MODELOS DE OTIMIZAÇÃO PARA PROBLEMAS DE CARREGAMENTO DE CONTÊINERES COM CONSIDERAÇÕES DE ESTABILIDADE E DE EMPILHAMENTO

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1 MODELOS DE OTIMIZAÇÃO PARA PROBLEMAS DE CARREGAMENTO DE CONTÊINERES COM CONSIDERAÇÕES DE ESTABILIDADE E DE EMPILHAMENTO Leonardo Junquera Renaldo Morabto Dense Sato Yaashta Departaento de Engenhara de Produção Unversdade Federal de São Carlos (leo_junquera@yahoo.co, orabto@ufscar.br, densesy@dep.ufscar.br) Resuo: Neste trabalho apresentaos odelos de prograação lnear ntera 0-1 para probleas de carregaento de caxas retangulares dentro de contêneres, canhões ou vagões ferrováros, consderando restrções prátcas de establdade e de eplhaento do carregaento. Os odelos tabé pode ser utlzados para probleas trdensonas de carregaento de caxas retangulares sobre paletes, e que as caxas não precsa ser arranjadas e caadas horzontas sobre o palete. Não teos conhecento de outros trabalhos na lteratura que apresentara forulações ateátcas para estes probleas consderando explctaente estas restrções. Experentos coputaconas co os odelos propostos fora realzados utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e exeplos gerados a partr de dados aleatóros. Os resultados ostrara que os odelos são coerentes e representa adequadaente as stuações tratadas, ebora esta abordage (na sua versão atual) esteja ltada a resolver otaente apenas probleas de taanho be oderado. No entanto, os odelos pode ser útes para otvar pesqusas futuras explorando étodos de decoposção, étodos de relaxação, étodos heurístcos, entre outros, para resolver estes probleas. Palavras-chave: Probleas de corte e epacotaento, carregaento de contêneres, otzação cobnatóra, odelage ateátca. Abstract: In ths paper we present 0-1 nteger lnear prograng odels for probles of loadng rectangular boxes nto contaners, trucks or ralway cars, consderng the practcal constrants of stablty and load bearng strength of the cargo. The odels can also be appled to three-densonal probles of loadng rectangular boxes on pallets, n whch the boxes do not need to be arranged n horzontal layers on the pallet. We are not aware of other studes n the lterature that present atheatcal forulatons to these probles consderng these constrants explctly. Coputatonal experents wth the proposed odels were perfored wth the software GAMS/CPLEX and randoly generated nstances. The results showed that the odels are consstent and they properly represent the stuatons treated, although ths approach (n ts current verson) s lted to optally solve only probles of oderate sze. However, the odels can be useful to otvate future research explorng decoposton ethods, relaxatons, heurstcs, aong others, to solve these probles. Keywords: Cuttng and packng probles, contaner loadng, cobnatoral optzaton, atheatcal odelng. 1. Introdução Nas epresas, a logístca pode ser vsta coo a copetênca que vncula a organzação a seus clentes e fornecedores, sto é, u esforço ntegrado planejaento, pleentação e controle do fluxo efcente e econocaente efcaz de atéras-pras, estoques e processo, produtos acabados e nforações relatvas desde os pontos de orge até os pontos de consuo co o objetvo de ajudar a crar valor para os clentes co o enor custo total possível,

2 exstndo para satsfazer as necessdades dos clentes e facltando as operações relevantes de produção e arketng. Produtos e servços não tê valor para os clentes a enos que esteja sob a posse dos clentes no oento (tepo) e onde (lugar) eles deseja consu-los (Ballou, 2002). A efcênca de alguas atvdades logístcas, coo transporte, arazenage, anuseo de ateras e ebalage, está dretaente relaconada, entre outros, co o conceto de untzação de carga. Dversos produtos ebalados e caxas são noralente juntados (ou untzados ) e undades aores, por eo de dspostvos de untzação de carga, coo paletes e contêneres. Estas cargas untzadas apresenta dversas vantagens e e geral reduze os custos logístcos. Por exeplo, os tepos de carga e descarga e o congestonaento no ponto de destno são reduzdos; o anuseo é facltado pela splfcação na verfcação das ercadoras, e sua entrada, e no rápdo posconaento para a separação de peddos; as cargas untzadas reduze a quantdade de avaras e trânsto, co a utlzação de equpaentos especalzados para o transporte (Bowersox & Closs, 2001). Neste trabalho estudaos o problea de otzar o carregaento (ou arranjo) de cargas (caxas retangulares) e dspostvos de untzação, coo contêneres, canhões, vagões ferrováros ou paletes. Bascaente, o objetvo do problea é deternar o elhor padrão de epacotaento, de odo a axzar o volue (ou valor) total das caxas carregadas, desde que as caxas não se sobreponha, uas às outras, dentro do contêner (sto é, duas caxas não pode ocupar u eso espaço do contêner) (Glore & Goory, 1965, George & Robnson, 1980, Morabto & Arenales, 1994, 1997, Martello et al., 2000, Myazawa & Wakabayash, 2000, Psnger, 2002, Wang et al. 2008, Huang & He, 2009). Na prátca, alé destas restrções de não sobreposção no arranjo das caxas, outras restrções e geral deve ser consderadas, tas coo a establdade do carregaento, a resstênca das caxas ao eplhaento e a fragldade das caxas, requstos de agrupaento ou separação de caxas no epacotaento, arranjos levando e conta últplos destnos das caxas, requstos de carregaento copleto de grupos de caxas, ltações de peso total do carregaento, dstrbuções de peso do carregaento dentro do contêner, entre outras (veja, por exeplo, Bschoff & Ratclff, 1995, Slva et al., 2003, Cecílo & Morabto, 2004; alguas teses e dssertações recentes neste tea pode ser encontradas e Araujo, 2006, Capos, 2008 e Junquera, 2009). Estas consderações tê otvado o estudo e desenvolvento de dversos étodos aproxados (heurístcos e etaheurístcos) para resolver os probleas de carregaento de contêneres (Gehrng & Bortfeldt, 2002, Bortfeldt et al., 2003, Jn et al., 2004, Mack et al., 2004, Moura & Olvera, 2005, Yeung & Tang, 2005, Gendreau et al., 2006, Araujo & Arentano, 2007). No entanto, poucos trabalhos na lteratura se preocupara e apresentar odelos ateátcos para representar probleas co estas restrções adconas. No presente trabalho estaos partcularente nteressados na odelage ateátca do problea co as restrções de establdade e de eplhaento do carregaento. Não teos conhecento de outros trabalhos que apresentara forulações ateátcas consderando explctaente restrções de establdade e de eplhaento. A establdade do carregaento refere-se ao suporte das faces nferores das caxas, no caso da establdade vertcal, ou ao apoo das faces lateras das caxas, no caso da establdade horzontal. O eplhaento do carregaento, por sua vez, refere-se ao núero áxo de caxas que pode ser colocadas uas sobre as outras, ou anda à pressão áxa que pode ser aplcada sobre a face superor de ua deternada caxa, se que ocorra alterações na sua fora. A portânca prátca da ncorporação destas consderações no problea está e evtar que os padrões de epacotaento perta caxas flutuando dentro do contêner, ou que produtos seja avarados devdo a alterações na fora das suas ebalagens protetoras (Bschoff & Ratclff, 1995, Slva et al., 2003, Bschoff, 2006). Confore enconado, nosso objetvo neste trabalho é apresentar odelos de prograação lnear ntera 0-1 para probleas de carregaento de contêneres, consderando as restrções de establdade e de eplhaento do carregaento. Os odelos tabé pode ser

3 utlzados para probleas trdensonas de carregaento de caxas retangulares sobre paletes, e que as caxas não precsa ser arranjadas e caadas horzontas sobre o palete (Hodgson, 1982, Lns et al., 2003, Brgn et al., 2009). Para verfcar a coerênca dos odelos e analsar seus desepenhos coputaconas, eles fora codfcados na lnguage de odelage GAMS e resolvdos utlzando-se o software de otzação CPLEX. Este trabalho está organzado da segunte anera. Na seção 2 descreveos probleas de carregaento de contêneres, be coo restrções prátcas que deve ser levadas e consderação para odelar estes probleas. Na seção 3 apresentaos odelos ateátcos para os probleas, consderando as restrções de establdade e de eplhaento do carregaento. Na seção 4 analsaos os resultados dos testes coputaconas co os odelos propostos, utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e exeplos gerados a partr de dados aleatóros. Fnalente, na seção 5 dscutos as conclusões deste trabalho e alguas perspectvas para pesqusa futura. 2. Descrção do Problea Psnger (2002) dvde o problea de carregar caxas dentro de contêneres e quatro varantes: o Problea de Carregaento de Contêneres 2.5D PCC2.5D (Strp Packng Proble), o Problea de Carregaento de Contêneres 3D PCC3D (Knapsack Loadng Proble), o Problea de Carregaento de Bns PCB (Bn Packng Proble) e o Problea de Carregaento de Múltplos Contêneres PCMC (Mult-Contaner Loadng Proble). No PCC2.5D, o contêner te duas densões fxas (por exeplo, a largura e a altura), as ua densão varável (por exeplo, o coprento), e o problea consste e decdr coo carregar todas as caxas dentro do contêner de odo a nzar a densão varável (o coprento) necessára. No PCB, todos os contêneres tê as esas densões e u eso custo assocado, e o problea consste e decdr coo carregar todas as caxas de odo a nzar o custo assocado à escolha dos contêneres (núero de contêneres necessáro). No PCMC, os contêneres não necessaraente tê as esas densões e esos custos, e o problea consste e escolher u subconjunto de contêneres para sere carregados, e decdr coo carregar todas as caxas, de odo a nzar os custos assocados à escolha dos contêneres. No presente trabalho trataos apenas o PCC3D, e que o contêner te três densões fxas, cada caxa te assocada a s u valor, e o problea consste e escolher u subconjunto de caxas para sere carregadas dentro do únco contêner, e decdr coo carregar estas caxas, de odo a axzar o valor total do carregaento. Se o valor assocado a ua deternada caxa for proporconal ao seu volue, o problea então consste e axzar o volue total das caxas carregadas ou, equvalenteente, nzar os espaços vazos. O PCC3D fo estudado por dversos autores, por exeplo, George & Robnson (1980), Morabto & Arenales (1994, 1997), Bschoff & Ratclff (1995), Gehrng & Bortfeldt (2002), Ratclff & Bschoff (1998), Daves & Bschoff (1999), Lns et al. (2002), Martello et al. (2000), Bortfeldt & Gehrng (2001), Eley (2002), Psnger (2002), Bortfeldt et al. (2003), L et al. (2003), L et al. (2005), Ceclo & Morabto (2004), Chen & Deng (2004), Jn et al. (2004), Mack et al. (2004), Moura & Olvera (2005), Yeung & Tang (2005), Bschoff (2006), Araujo & Arentano (2007), Chrstensen & Rousøe (2007), Wang et al. (2008) e Huang & He (2009). Neste trabalho tabé abordaos, ebora co enor ênfase, o problea trdensonal de carregaento de caxas retangulares sobre paletes. Hodgson (1982) dvde o problea de carregar caxas sobre paletes e duas varantes: o Problea de Carregaento de Paletes do Produtor PCPP (Manufacturer s Pallet Loadng Proble) e o Problea de Carregaento de Paletes do Dstrbudor PCPD (Dstrbutor s Pallet Loadng Proble). A dferença entre eles é que no PCPP há apenas u tpo de caxa (sto é, todas as caxas são guas), enquanto no PCPD há as de u tpo. Tanto o PCPP quanto o PCPD pode ser

4 resolvdos de anera bdensonal ou trdensonal, ebora a prera seja a as couente encontrada na prátca. A dferença entre elas é que no caso bdensonal o padrão de epacotaento é construído e caadas horzontas sobre o palete, enquanto no caso trdensonal o padrão de epacotaento pode ser genérco. Este últo pode ser vsto coo u PCC3D co u únco tpo de caxa (Morabto & Arenales, 1994, 1997; Bschoff & Ratclff, 1995). Bschoff & Ratclff (1995) apresenta doze consderações prátcas que pode ser levadas e consderação quando se deseja odelar probleas de carregaento de contêneres as realstas. A Tabela 1 a segur apresenta ua breve descrção destas consderações prátcas, nclundo alguns exeplos de trabalhos que trata estas consderações. Não fora encontrados trabalhos que tratasse especfcaente das consderações de anuseo, prordades e coplexdade do padrão de carregaento. Tabela 1. Consderações prátcas apresentadas por Bschoff & Ratclff (1995). Consderação Prátca Descrção 1 Orentação Alguas caxas deve ser carregadas dentro do contêner co orentações préestabelecdas. 2 Eplhaento 3 Manuseo 4 Establdade Agrupaento de tens Múltplos destnos Separação de tens Carregaento copleto de grupos de tens 9 Prordades U núero áxo de caxas pode ser eplhado, uas sobre as outras, ou, as genercaente, a pressão total exercda sobre a face superor de ua deternada caxa não deve exceder u lte áxo pré-estabelecdo, para que não ocorra alterações na sua fora. Exeplos aparece e Schethauer et al. (1996), Gehrng & Bortfeldt (2002), Ratclff & Bschoff (1998), Bortfeldt & Gehrng (2001), Bschoff (2006), Gendreau et al. (2006), Ln et al. (2006), Chrstensen & Rousøe (2007). Alguas caxas, devdo às suas densões, ao seu peso, ou ao equpaento que realza o carregaento/descarregaento da carga, deve estar posconadas e deternados lugares dentro do contêner. Alguas caxas deve ter suas faces nferores suportadas por faces superores de outras caxas, e/ou suas faces lateras apoadas nas faces lateras de outras caxas. Exeplos aparece e Bschoff & Ratclff (1995), Schethauer et al. (1996), Gehrng & Bortfeldt (2002), Daves & Bschoff (1999), Terno et al. (2000), Bortfeldt & Gehrng (2001), Eley (2002, 2003), Psnger (2002), Bortfeldt et al. (2003), Slva & Soa (2003), Slva et al. (2003), Jn et al. (2004), Mack et al. (2004), Moura & Olvera (2005), Yeung & Tang (2005), Gendreau et al. (2006), Ln et al. (2006), Araujo & Arentano (2007). Caxas co u destno cou ou de u eso tpo deve ser posconadas próxas dentro do contêner. Exeplos aparece e Bschoff & Ratclff (1995), Terno et al. (2000), Eley (2003). Caxas a sere entregues para dferentes destnos deve ser posconadas próxas, uas das outras, dentro do contêner, e deve ser carregadas de odo a consderar o rotero a ser percorrdo pelo contêner e a orde e que elas serão descarregadas. Exeplos aparece e Bschoff & Ratclff (1995), Schethauer et al. (1996), Terno et al. (2000), Jn et al. (2004), Moura & Olvera (2005), Araujo (2006), Ln et al. (2006), Gendreau et al. (2006), Chrstensen & Rousøe (2007), Capos (2008). Caxas que não pode estar e contato, uas co as outras, deve ser posconadas afastadas dentro do contêner. U exeplo aparece e Eley (2003). As caxas contendo todos os coponentes que faze parte de ua esa entdade funconal (por exeplo, u equpaento) deve estar presentes no eso carregaento. U exeplo aparece e Terno et al. (2000). Caxas co produtos co data de entrega ou prazo de valdade próxos, por exeplo, pode ter aores prordades, e pode ser as portante que elas

5 10 Coplexdade do padrão de epacotaento 11 Lte de peso 12 Dstrbução de peso dentro do contêner esteja no carregaento, e detrento de outras caxas co enores prordades. Caxas presentes e padrões de carregaento coplexos pode deandar esforços aores de anuseo, devdo, por exeplo, às ltações do equpaento que realza o carregaento/descarregaento da carga. Caxas bastante pesadas deve ser carregadas dentro do contêner se exceder o lte de peso áxo que o contêner pode suportar. Exeplos aparece e Schethauer et al. (1996), Gehrng & Bortfeldt (2002), Terno et al. (2000), Bortfeldt & Gehrng (2001), Gendreau et al. (2006). O centro de gravdade de u contêner carregado deve estar localzado próxo do centro geoétrco do plano que defne a base. Exeplos aparece e Daves & Bschoff (1999), Bortfeldt & Gehrng (2001), Eley (2002, 2003). Estes trabalhos, ebora trate de probleas de carregaento de contêneres co as consderações prátcas destacadas, e geral não apresenta forulações ateátcas para as esas. Alguns estudos, coo Beasley (1985, 2004), Hadjconstantnou & Chrstofdes (1995) e Martns (2002), apresentara forulações para probleas de corte e epacotaento bdensonas, que pode ser faclente estenddas para tratar o PCC3D. Outras forulações para o PCC3D são apresentadas e Tsa et al. (1993) e Chen et al. (1995). No entanto, todas estas forulações não trata as consderações prátcas destacadas, se ltando apenas a pedr que as caxas se sobreponha dentro do contêner. Na próxa seção apresentaos odelos de prograação lnear ntera 0-1 para o PCC3D co as consderações prátcas de establdade e de eplhaento do carregaento. Estes odelos anda pode ser adaptados ou estenddos para consderar outras restrções da Tabela 1, alé de establdade (lnha 4) e eplhaento (lnha 2), tas coo orentação (lnha 1) e lte de peso (lnha 11). Por exeplo, a consderação de lte de peso envolve nclur ua restrção lnear do tpo ochla (sto é, o soatóro dos pesos de todas as caxas carregadas no contêner deve ser enor ou gual ao lte de peso suportado pelo contêner) nos odelos. 3. Forulações Mateátcas Seja u objeto (contêner, canhão, vagão ferrováro ou palete) de coprento L, largura W e altura H conhecdos (no caso de palete, H é a altura áxa pertda do carregaento), que deve ser carregado co caxas de dferentes tpos. Cada tpo de caxa possu coprento l, largura w, altura h, quantdade b e valor v, 1,...,. Adte-se que as densões das caxas são nteras, que elas só pode ser epacotadas ortogonalente (sto é, co os seus lados paralelos aos lados do contêner), e que as suas orentações são fxas (sto é, as caxas não pode grar e torno de nenhu de seus exos). Esta últa suposção pode ser faclente relaxada nos odelos (seção 4), e é aqu consderada apenas por splcdade de apresentação das forulações. Adotando-se u sstea de coordenadas cartesanas co orge no canto nferor frontal esquerdo do contêner, seja ( p, q, r ) a posção onde o canto nferor frontal esquerdo de ua deternada caxa é colocado. As possíves posções, ao longo do coprento L, da largura W e da altura H do contêner, onde cada caxa pode ser colocada, pode ser defndas por eo dos conjuntos: X { p 0 p L n( l ) e ntero, 1,..., } (1) Y { q 0 q W n( w ) e ntero, 1,..., } (2) Z { r 0 r H n( h ) e ntero, 1,..., } (3)

6 Chrstofdes & Whtlock (1977) observara que e u dado padrão de corte ou epacotaento, cada caxa epacotada pode ser ovda para baxo e/ou para frente e/ou para esquerda, até que suas faces nferor, lateral da frente e lateral esquerda fque adjacentes às deas caxas ou ao própro contêner. Estes padrões, chaados padrões noras ou cobnações côncas, perte, eventualente, se perda de generaldade, reduzr os conjuntos X, Y e Z para: X { p l, 0 n( ), 0 e ntero, 1,..., } 1 p L l b (4) Y { q, 0 n( ), 0 e ntero, 1,..., } 1 w q W w b (5) Z { r h, 0 r H n( ), 0 b e ntero, 1,..., } (6) 1 A Fgura 1 lustra ua possível dsposção de ua caxa do tpo dentro de u contêner. De odo a descrever as restrções de não sobreposção das caxas dentro do contêner, seja a função a pqrstu, 1,...,, p, s X, q, t Y e r Z, defnda coo: a pqrstu Fgura 1. Exeplo de posconaento de ua caxa do tpo dentro de u contêner. 1, se ua caxa do tpo, quando epacotada co seu canto nferor frontal esquerdo na posção ( p, q, r), não perte que outra caxa qualquer ocupe a posção ( s, t, u) dentro dela; 0, caso contráro. Note que a função a pqrstu não é ua varável de decsão do odelo, e pode ser coputada a pror (sto é, antes da resolução do odelo) da segunte anera:

7 a pqrstu 1, se 0 p s p l 1 L 1; 0 q t q w 1 W 1; 0 r u r h 1 H 1; 0, caso contráro. ou seja, se apqrstu 1, sgnfca que a posção ( s, t, u ) está ocupada por ua caxa do tpo colocada co seu canto nferor frontal esquerdo na posção ( p, q, r ) do contêner (Fgura 1). Caso contráro, se apqrstu 0, sgnfca que esta posção não está ocupada pela caxa. As varáves de decsão x pqr do odelo são defndas coo: 1, se ua caxa do tpo é epacotada co seu canto nferor frontal esquerdo na xpqr posção ( p, q, r), tal que 0 p L l, 0 q W w e 0 r H h ; 0, caso contráro. Seja anda: X { p X 0 p L l} 1,..., (7) Y { qy 0 q W w } 1,..., (8) Z { r Z 0 r H h } 1,..., (9) O problea de carregaento de caxas dentro de u únco contêner, se consderações adconas de establdade e de eplhaento, pode ser forulado coo ua extensão dreta do odelo de prograação lnear ntera 0-1 proposto e Beasley (1985) para o problea de corte bdensonal não gulhotnado restrto: ax v xpqr (10) 1 px qy rz Sujeto a: apqrstu xpqr 1 s X, t Y, u Z (11) 1 px qy rz xpqr b 1,..., px qy rz x {0,1} pqr (12) 1,..., p X, qy, r Z (13) Na forulação (10)-(13), a função objetvo (10) vsa axzar o valor total das caxas epacotadas dentro do contêner (se v ( l w h ), então (10) corresponde a axzar o volue total de caxas a sere nserdas no contêner), as restrções (11) pede que haja sobreposção entre as caxas, as restrções (12) lta o núero áxo de caxas epacotadas de cada tpo, e as restrções (13) defne o doíno das varáves de decsão. Para econozar eóra coputaconal ao coplar o odelo (10)-(13) e GAMS, a expressão (11) pode ser reescrta confore abaxo, de odo a consderar a função a plctaente, se precsar coputar a pror os valores desta função: pqrstu

8 x 1 s X, t Y, u Z (14) pqr 1 { px sl 1 ps}{ qy tw 1 qt}{ rz uh 1 ru} Para fns dos testes coputaconas realzados na seção 4, defnos aqu o odelo base coo sendo o odelo coposto por (10), (12), (13) e (14). Observaos que ao utlzar a expressão (11) nos testes coputaconas da seção 4, não fo possível coplar os odelos devdo à eóra coputaconal requerda para pré-coputar a, ao passo que estes esos odelos pudera ser coplados e resolvdos utlzando-se a expressão (14). 3.1 Consderando Establdade do Carregaento A establdade do carregaento pode ser dvdda e duas coponentes: a establdade vertcal e a establdade horzontal. A establdade vertcal está relaconada à capacdade das caxas e u carregaento de resstre à atuação da aceleração da gravdade sobre seus corpos, sto é, de não se deslocare e relação ao exo z. Esta coponente da establdade é tabé chaada de establdade estátca, ua vez que trata o carregaento e stuações e que o contêner ou canhão está parado. A establdade horzontal, por sua vez, está relaconada à capacdade das caxas e u carregaento de resstre à atuação da nérca dos seus própros corpos, sto é, de não se deslocare e relação aos exos x e y. Esta coponente da establdade é tabé chaada de establdade dnâca, ua vez que trata o carregaento e stuações e que o contêner ou canhão está sendo deslocado horzontalente, e fca, nevtavelente, sujeto a varações na velocdade/aceleração do deslocaento. Por otvos de econoa de espaço, a segur apresentaos forulações apenas para a establdade vertcal, que é a as consderada nos trabalhos da lteratura. Forulações para a establdade horzontal são dervadas de anera análoga e estão descrtas e Junquera (2009). A establdade vertcal, coo se refere ao suporte da face nferor de cada caxa, trata, portanto, da establdade e relação ao exo z. Ass, de odo a apear o conjunto de pontos que ua deternada caxa pode oferecer para suportar caxas colocadas edataente sobre sua face superor, seja a função cpqrst ( r h ), 1,...,, p, s X, q, t Y e r Z, defnda coo: pqrstu c pqrst ( rh ) 1, se ua caxa do tpo, quando epacotada co seu canto nferor frontal esquerdo na posção ( p, q, r), conté o ponto defndo pela posção ( s, t, r h ) na sua face superor; 0, caso contráro. A rgor, o subíndce r h e c ( ) é redundante, as fo aqu antdo por pqrst r h convenênca de notação. Note que cpqrst ( r h ), ass coo a pqrstu, não é ua varável de decsão do odelo, e tabé pode ser coputado a pror (sto é, antes da resolução do odelo) da segunte anera: c pqrst ( rh ) 1, se 0 p s p l 1 L 1; 0 q t q w 1W 1; 0 r H h ; 0, caso contráro.

9 Note que cpqrst ( r h ) é defnda analogaente à a pqrstu, co a dferença de que a prera apea soente o conjunto de pontos da face superor de ua caxa do tpo na posção ( p, q, r ), enquanto que a segunda apea o conjunto de pontos contdos dentro de ua caxa do tpo na posção ( p, q, r ), excetuando-se os pontos contdos nas faces superor, lateral do fundo e lateral dreta da esa. A Fgura 2 lustra o apeaento desse conjunto de pontos para duas caxas colocadas dentro de u contêner, e que a face nferor da caxa enor está parcalente suportada pela face superor da caxa aor. Este apeaento sgnfca deternar, para ua caxa do tpo colocada na posção ( p, q, r ), todos os possíves pontos ( s, t, r h ) que esta caxa pode oferecer para suporte de ua outra caxa de u tpo j qualquer (nclusve j ), colocada na posção ' ' ' ( p, q, r ), co ' r r h, sto é, co as caxas e contato (Fgura 2). Fgura 2. Posção relatva entre duas caxas e u contêner (establdade vertcal). Alé dsso, pode ser defndo u parâetro [0,1], chaado de parâetro de establdade e relação ao exo z (ou parâetro de establdade vertcal). Este parâetro é cou na lteratura de carregaento de contêneres (Eley, 2002) e ndca o percentual de establdade vertcal que se deseja para todas as caxas. E u extreo, 1 ndca que as faces nferores de todas as caxas deve estar 100% suportadas pelas faces superores de ua ou as caxas colocadas edataente abaxo delas, e, no outro extreo, 0 ndca que não há exgêncas quanto à establdade das caxas e relação ao exo z (por exeplo, as caxas pode estar apenas parcalente apoadas, ou eso flutuando dentro do contêner). Consderando-se os conjuntos X, Y e Z defndos confore (1), (2) e (3), respectvaente, a restrção de establdade vertcal pode ser forulada coo: ' ' ' ' ' { r h 0} px qy { sx p s p l j 1}{ ty q tq wj 1} j 1,..., p X, q Y, r Z /{0} ' ' ' j j j c x l w x ' ' ' ' ' ' pq( r h) str pq( r h) j j jp q r (15)

10 ou seja, ua fração ína dos pontos apeados da face nferor de ua caxa do tpo j deve estar suportada pelos pontos apeados das faces superores de caxas do tpo, que esteja colocadas edataente abaxo da caxa do tpo j (nclusve j ), e contato co esta (Fgura 2). Note e (15) que ' r Z j /{0}, ao nvés de ' r Z j, porque ua caxa colocada ' sobre o pso do contêner (sto é, r 0) sepre te establdade vertcal. Note que a forulação (15) não é válda quando se consdera os conjuntos X, Y e Z defndos confore (4), (5) e (6), respectvaente (padrões noras), pos co estes pode ocorrer a foração de buracos na face superor da caxa do tpo, passando esta a não as contrbur co todos os pontos ( s, t, r h ) que a forulação (15) contrbu utlzando (1), (2) e (3). Slarente ao que fo feto co a expressão (11), a expressão (15) tabé pode ser reescrta confore abaxo, de odo a consderar a função cpqrst ( r h ) plctaente, e, co sso, não precsar deternar a pror os valores desta função: ' ' n( pl 1, p l j 1) n( qw 1, q wj 1) ' ' ' ' ' ' ' { r h 0}{ px p l 1 p p l j 1}{ py q w 1 qq wj 1} sax( p, p ) tax( q, q ) j 1,..., p X, q Y, r Z /{0} ' ' ' j j j x l w x ' ' ' ' pq( r h ) j j jp q r (16) que pode ser reescrta coo: ' ' ' ' ' { r h 0}{ px p l 1 p p l j 1}{ qy q w 1 qq wj 1} j 1,..., p X, q Y, r Z /{0} ' ' ' j j j [1] ' ' co Lj n( p l 1, p l j 1) ax( p, p ) W [1] n( 1, ' 1) ax(, ' ) j q w q wj q q L W x l w x [1] [1] j j ' pq( r h ) j j ' ' ' jp q r (17) Note agora que (16) e (17) tabé são váldas consderando-se os conjuntos X, Y e Z defndos confore (4), (5) e (6), devdo a elas consderare os possíves buracos na face superor da caxa do tpo, contrbundo co todos os seus pontos ( s, t, r h ). Por splcdade, (17) é reescrta coo: ' ' ' ' ' { r h 0}{ px p l 1 p p l j 1}{ qy q w 1 qq wj 1} j 1,..., p X, q Y, r Z /{0} ' ' ' j j j [2] ' ' co Lj n( p l, p l j ) ax( p, p ) W [2] n(, ' ) ax(, ' ) j q w q wj q q L W x l w x [2] [2] j j ' pq( r h ) j j ' ' ' jp q r (18) ou seja, ua fração ína da área da face nferor de ua caxa do tpo j deve estar suportada pelas áreas das faces superores de caxas do tpo, que tenha as projeções destas áreas couns e relação à caxa do tpo j, e que esteja colocadas edataente abaxo da

11 caxa do tpo j, e contato co esta. A Fgura 3 lustra a área que ua caxa do tpo oferece para suportar ua caxa do tpo j. Confore enconado, a restrção (18), ao contráro da restrção (15), é válda eso quando há a foração de buracos na face superor da caxa do tpo, sto é, é válda para X, Y e Z defndos confore (4), (5) e (6). Fgura 3. Área de contato entre duas caxas no plano xy (establdade vertcal e relação ao exo z ). No entanto, a restrção (18) usando os conjuntos defndos confore (4), (5) e (6) é válda apenas para 1. A Fgura 4 lustra u exeplo desta stuação, co u contêner ( L, W, H) (12,5,2) e dos tpos de caxas ( l1, w1, h1 ) (6,3,1) co b1 2, e ( l2, w2, h2 ) (10,5,1) co b2 1, e que há perda de generaldade quando se consdera o odelo base co a restrção (18) usando (4), (5) e (6) e co 0,8. Note que este padrão é por do que o padrão óto deste problea, obtdo consderando o odelo base co a restrção (18) usando (1), (2) e (3) e co 0,8. O uso de (4), (5) e (6) pede que o padrão óto seja obtdo, dado que a posção ( p, q, r) (1, 0, 0), utlzada pela caxa do tpo 2, não é ua cobnação cônca. Fgura 4. Padrões de epacotaento obtdos usando a restrção (18) co (4), (5) e (6), e co (1), (2) e (3), respectvaente 3.2 Consderando Resstênca das Caxas ao Eplhaento

12 Para o caso do eplhaento, propoos ua nova restrção a ser adconada ao odelo base. Neste caso, ua caxa do tpo deve ter u núero áxo de caxas colocadas aca dela (não apenas edataente aca). Ou, de ua outra anera, a pressão total que estas caxas exerce sobre a caxa do tpo não pode exceder a pressão áxa que esta caxa pode suportar na sua superfíce, para que não ocorra alterações na fora da caxa e coproetento do produto dentro dela. Para evtar que haja buracos no padrão de epacotaento, adte-se aqu 100% de establdade vertcal no carregaento (sto é, 1). Isto tabé é consderado e trabalhos da lteratura que trata esse tpo de consderação, coo e Ratclff & Bschoff (1998) e Bschoff (2006). Ass, seja P o peso de ua caxa do tpo j, e j a pressão áxa adssível que s t da face superor de ua caxa do tpo. Note que pode ser suportada e qualquer ponto (, ) estaos supondo que qualquer ponto da face superor da caxa do tpo suporta a esa pressão adssível. Tabé estaos adtndo que a pressão exercda por ua caxa do tpo j seja unforeente dstrbuída sobre a área lj wj da sua face nferor. A Fgura 5 lustra caxas, colocadas aca de ua caxa aor, e que exerce pressão sobre pontos desta caxa. Consderando-se os conjuntos X, Y e Z defndos tanto confore (1), (2) e (3), quanto confore (4), (5) e (6), se perda de generaldade, a restrção de eplhaento pode ser forulada coo: Fgura 5. Conjunto de caxas eplhadas sobre a caxa de referênca. j1 ' ' ' ' ' ' { p X j sl j 1 p s}{ q Y j twj 1 q t}{ r Z j u1 r H hj } j j 1 { px sl 1 ps}{ qy t w 1 qt}{ rz uh 1 ru} x l pqr P j x w s X, t Y, u Z (19) ' ' ' jp q r ou seja, o lado dreto da restrção (19) verfca, para cada ponto ( s, t, u ) do contêner, se exste algua caxa do tpo ocupando tal ponto. Se este for o caso, então o lado dreto da restrção (19) será gual ao valor da pressão áxa adssível que cada ponto da face superor da caxa do tpo suporta (Fgura 5). O lado esquerdo da restrção (19) corresponde à

13 soa da pressão exercda por todas as caxas do tpo j eplhadas aca da caxa do tpo ' ( r u). U caso partcular de eplhaento é a chaada fragldade. Neste caso, nenhua caxa deve ser colocada aca da caxa de referênca, pos a face superor desta não pode sofrer nenhua pressão. Para tratar deste caso, basta consderar 0 para cada caxa frágl do tpo no lado dreto da restrção (19). Convé observar que o odelo base (sto é, se establdade vertcal e se eplhaento), o odelo base co as restrções (18) (sto é, co establdade vertcal), e o odelo base co as restrções (18) e (19) (sto é, co establdade vertcal e co eplhaento), envolve X 1 Y Z varáves bnáras. Alé dsso, o odelo base resulta e X Y Z restrções, as restrções (18) soa 1 X Y ( Z 1) restrções no odelo base, e as restrções (19) soa X Y Z restrções no odelo base co (18). 4. Resultados Coputaconas O odelo base, o odelo base co as restrções (18) e o odelo base co as restrções (18) e (19), fora pleentados na lnguage de odelage GAMS (versão 22.7). O solver CPLEX 11.0 (co parâetros default) fo utlzado para resolvê-las. Todos os testes fora realzados e u crocoputador PC Pentu D (3,2 GHz, 2,0 GB). Os odelos fora testados co exeplos gerados a partr de dados aleatóros, que fora dvddos de acordo co as seguntes característcas: Quatro quantdades dferentes de tpos de caxas: 1 (neste caso, as caxas pode grar e torno de todos os seus exos), 5, 10 e 20 (nestes três últos casos, as caxas tê orentação fxa). Duas aneras dferentes de gerar as densões das caxas: (A, 1, 5, 10 e 20 ) densões das caxas varando entre 25% e 75% das densões do contêner, ou seja, l [0,25 L, 0,75 L], w [0,25 W, 0,75 W] e h [0,25 H, 0,75 H] ; (B, 1, 5, 10 e 20 ) densões das caxas varando entre 10% e 50% das densões do contêner, ou seja, l [0,10 L, 0,50 L], w [0,10 W, 0,50 W] e h [0,10 H, 0,50 H]. Por splcdade, e todos os exeplos consderaos contêneres cúbcos, sto é, co densões L W H. Para o caso de 1, fo crada ua varável de decsão adconal para cada possível orentação da caxa, totalzando ses varáves de decsão, e o odelo base, o odelo base co (18), e o odelo base co (18) e (19), fora odfcados apropradaente para consderar estas novas varáves. Ua anera alternatva de se tratar este caso sera consderar cada ua das ses possíves rotações de ua caxa splesente coo ses caxas dferentes, sto é, 6, e ltar o núero áxo de caxas epacotadas destes ses tpos artfcas nas restrções (12) dos odelos. Ua otvação dos probleas dos grupos A 1 e B 1 (se orentações fxas para as caxas) é que eles pode ser vstos coo probleas trdensonas de carregaento de paletes (do produtor), e que as caxas não precsa ser arranjadas e caadas horzontas sobre o palete. A Tabela 2 apresenta as densões L W H dos contêneres, varando de 10 até 100. A prera coluna destaca as dferentes quantdades de tpos de caxas, e a segunda e tercera colunas destaca, respectvaente, as aneras A e B de gerar as densões das caxas. Os grupos A envolve exeplos e geral as fáces, quando coparados co os grupos B, pos coo as densões das caxas geradas são, e éda, aores, o núero de padrões noras (cobnações côncas) é, e éda, be enor. No caso dos grupos B, realzaos testes apenas até densões L W H guas a 30, pos, e geral, para valores aores que

14 30 (co = 10 ou 20 tpos de caxas), a eóra prncpal do coputador utlzado fo nsufcente para o GAMS coplar os odelos. Ass, para cada u dos valores das densões L W H dos contêneres, fora gerados 10 exeplos, totalzando 320 exeplos para sere testados co cada u dos odelos. Tabela 2. Densões L W H dos contêneres para os grupos de exeplos co dados aleatóros. A B (10%, 50%) (25%, 75%) 1 10, 20, 30, 50 e , 20 e , 20, 30, 50 e , 20 e , 20, 30, 50 e , 20 e , 20, 30, 50 e , 20 e 30 O valor v fo defndo coo a fração de volue ocupado pela caxa do tpo no contêner, sto é: v [( l w h )/( LW H)], 1,...,. A quantdade dsponível b de caxas que pode ser carregadas no contêner fo defnda de duas aneras dferentes. Para os exeplos co 5, 10 e 20, o valor de b fo unforeente sorteado no ntervalo: [1, L l W w H h ], 1,...,. Note que, desta anera, o PCC3D torna-se restrto do ponto de vsta de dsponbldade de caxas de cada tpo (na lteratura de corte e epacotaento o problea é chaado restrto se b ( LW H)/( l w h ) para algu ). Para os exeplos co 1, o valor de b fo defndo coo: b ( LW H)/( l w h ), para todo 1,...,, o que plca que o problea é rrestrto do ponto de vsta de dsponbldade de caxas. O peso P fo defndo coo sendo o própro volue da caxa do tpo, ua vez que, por splcdade, consderaos que todas as caxas são fetas de u eso ateral e possue, portanto, a esa densdade: P ( l w h ), 1,...,. A pressão áxa adssível que pode ser suportada e qualquer ponto da face superor de ua deternada caxa fo defnda de duas aneras dferentes. Para os exeplos co 5, 10 e 20, o valor de fo sorteado de ua dstrbução unfore no ntervalo: [0, 3 h ], para todo 1,...,. Coo nestes casos as caxas tê orentação fxa, e o peso de cada caxa pode ser defndo coo sendo o seu própro volue, então a pressão áxa adssível pode ser defnda coo sendo proporconal à altura da caxa. A constante 3 ultplcando o valor da altura da caxa é o valor as cou utlzado na lteratura (Ratclff & Bschoff, 1998). Note que, para o caso e que o valor escolhdo é 0, sto ndca que a face superor da caxa é frágl, ou seja, não pode ter nenhua outra caxa colocada enca dela. Para os exeplos co 1, o valor de fo defndo de anera seelhante, as agora dependendo de qual face da caxa serve coo base de apoo para a esa: [0, 3 ], para o caso e que a caxa está apoada sobre h l w, [ 0, 3 w ], para o caso e que a caxa está apoada sobre l h, e [0, 3 l ], para o caso e que a caxa está apoada sobre w h, para todo 1,...,. O valor do parâetro de establdade vertcal fo defndo coo sendo 1, sto é, as faces nferores de todas as caxas deve estar 100% suportadas pelas faces superores de ua ou as caxas colocadas edataente abaxo delas (ou pelo pso do contêner). Note que, no caso do odelo base co (18), a condção 1 evta perda de soluções ótas ao se utlzar cobnações côncas, e no caso do odelo base co (18) e (19), esta condção é necessára para evtar que possa ocorrer buracos no padrão de epacotaento, coo dscutdo na seção 3.

15 Para lustrar o taanho dos odelos gerados nos grupos A e B, a Tabela 3 apresenta os taanhos íno, édo e áxo dos conjuntos X, Y e Z, e os núeros íno, édo e áxo de restrções e varáves (bnáras), para cada u dos oto grupos, consderando u contêner co densões L W H guas a 10. Estes núeros corresponde aos valores reportados pelo CPLEX após o pré-processaento. Observa-se que as porcentagens édas de redução do núero de varáves pelo pré-processaento do CPLEX para cada u dos 8 grupos consderados nesta tabela são, respectvaente, 74,07, 75,23, 70,63, 69,34, 38,36, 40,80, 39,99 e 38,96. Tabela 3. Núero de eleentos dos padrões noras e núero de restrções e de varáves dos odelos co L W H guas a 10. Padrões Noras Res. Est. Var. Modelo Base Modelo Base X Y Z Modelo Base co (18) co (18) e (19) n. 3,00 3,00 3,00 73,00 29,00 69,00 96,00 A 1 ed. 6,10 6,10 6,10 353,20 266,80 532,60 797,40 ax. 9,00 9,00 9, ,00 731, , ,00 n. 5,00 6,00 6,00 294,00 246,00 492,00 732,00 A 5 ed. 7,50 8,10 7,60 571,80 472,40 925, ,00 ax. 9,00 9,00 9, ,00 654, , ,00 n. 5,00 8,00 8, ,00 416, , ,00 A 10 ed. 8,50 8,90 8, ,40 676, , ,80 ax. 9,00 9,00 9, ,00 740, , ,00 n. 9,00 9,00 9, ,00 750, , ,00 A 20 ed. 9,00 9,00 9, ,90 750, , ,80 ax. 9,00 9,00 9, ,00 750, , ,00 n. 9,00 9,00 9, ,00 731, , ,00 B 1 ed ,00 947, , ,00 ax. 10,00 10,00 10, , , , ,00 n. 5,00 10,00 9, ,00 456, , ,00 B 5 ed. 9,00 10,00 9, ,70 891, , ,80 ax. 10,00 10,00 10, , , , ,00 n. 9,00 10,00 10, ,00 911, , ,00 B 10 ed. 9,80 10,00 10, ,00 991, , ,80 ax. 10,00 10,00 10, , , , ,00 n. 10,00 10,00 10, , , , ,00 B 20 ed. 10,00 10,00 10, , , , ,70 ax. 10,00 10,00 10, , , , ,00 Coo pode ser observado na Tabela 3, o núero de varáves e restrções cresce sgnfcatvaente à edda que cresce (copare, por exeplo, A 5 e A 20 ), e à edda que o taanho das caxas dnu (copare, por exeplo, A 5 e B 5 ). Note que eso para probleas co L W H pequenos (sto é, guas a 10), os odelos pode envolver orde de lhares de varáves e restrções. Nos experentos a segur, o tepo coputaconal para resolver cada odelo fo arbtraraente ltado e 1 hora (3600 segundos) e os s de otaldade fora calculados coo: elhor ltante obtdo - elhor valor obtdo 100% elhor ltante obtdo Ass, quatro stuações são possíves de ocorrer quanto à qualdade da solução obtda pelo aplcatvo GAMS/CPLEX: () solução óta, co gual a zero; () solução factível (ntera), co aor que zero e co o lte de tepo exceddo pelo CPLEX; () se solução factível, se e co o lte de tepo exceddo pelo CPLEX; (v) nsufcênca de eóra do coputador para coplar o odelo pelo GAMS, se e se nforação

16 relevante sobre o tepo. Estas duas últas stuações estão representadas nas tabelas pelo síbolo. As tabelas a segur apresenta os valores íno, édo e áxo para: o de otaldade (e %) obtdo, o tepo coputaconal (e segundos) utlzado, e a fração do volue (e %) ocupado pelas caxas carregadas no contêner. Destacaos aqu que estes valores íno, édo e áxo, fora calculados apenas para os exeplos que fora resolvdos na otaldade, ou para aqueles e que se encontrou ua solução ntera subóta. Note que a prera coluna das tabelas refere-se à densão do contêner ( L W H ). 4.1 Resultados co Exeplos dos Grupos A Os resultados obtdos co os 200 exeplos dos grupos A 1, A 5, A 10 e A 20 para os três odelos estão apresentados nas Tabelas 4 a 7. Convé notar que, coo era esperado, e função da anera coo fora gerados os exeplos e A, a fração do volue ocupado e éda auenta à edda que cresce (copare, por exeplo, os resultados das Tabelas 5 e 7 co 5 e 20, respectvaente). Por outro lado, para cada grupo A, a fração do volue ocupado e éda decresce à edda que as densões L W H dos contêneres auenta, coo tabé era esperado. Note tabé que as soluções (ótas) dos odelos co establdade e eplhaento pode ser dferentes das soluções (ótas) do odelo base, o que plca que estas últas não satsfaze as restrções de establdade e de eplhaento Tabela 4. Resultados obtdos co o grupo A 1. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 0,08 64,00 0,000 0,08 54,00 0,000 0,09 54,00 ed. 10 0, ,90 79, , ,31 77, ,000 1,16 75,58 ax. 0, ,42 96,00 7, ,17 96,00 0,000 7,67 96,00 n. 0,000 0,06 39,20 0,000 0,06 39,20 0,000 0,13 39,20 ed. 10 0,000 0,20 67, ,000 4,09 67, ,000 3,74 65,30 ax. 0,000 0,91 90,00 0,000 38,73 90,00 0,000 31,45 90,00 n. 0,000 0,05 37,33 0,000 0,03 37,33 0,000 0,11 37,33 ed. 10 0,000 0,08 59, ,000 0,12 56, ,000 0,19 56,96 ax. 0,000 0,13 80,00 0,000 0,23 80,00 0,000 0,36 80,00 n. 0,000 0,06 33,18 0,000 0,06 33,18 0,000 0,13 33,18 ed. 10 0,000 3,03 59, ,000 64,66 58, , ,74 56,84 ax. 0,000 28,91 87,09 0, ,39 87,09 0, ,84 70,76 n. 0,000 0,06 20,33 0,000 0,06 20,33 0,000 0,03 20,33 ed. 10 0,000 0,86 54, , ,27 53, ,000 0,78 53,03 ax. 0,000 7,59 97,20 0, ,66 86,40 0,000 6,44 86,40 Tabela 5. Resultados obtdos co o grupo A 5. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 0,13 77,20 0,000 0,25 76,00 0,000 0,30 47,40 10 ed. 10 0,000 2,73 91, ,000 38,07 89, , ,24 71,44 ax. 0,000 13,42 100,00 0, ,91 100,00 4, ,19 93,60 n. 0,000 0,16 60,69 0,000 0,17 55,53 0,000 0,08 52,85 20 ed. 10 0,000 4,59 78, ,000 50,71 75, ,000 78,31 66,73 ax. 0,000 40,53 91,10 0, ,53 87,80 0, ,80 81,40 n. 0,000 0,13 42,93 0,000 0,11 42,93 0,000 0,03 42,93 30 ed. 10 0,000 0,22 60, ,000 0,25 60, ,000 0,28 59,62 ax. 0,000 0,36 76,18 0,000 0,69 76,18 0,000 0,80 70,84 50 n. 10 0,000 0,06 51, ,000 0,06 51, ,000 0,08 50,01

17 ed. 0,000 1,36 70,08 0, ,20 67,49 0,000 14,04 64,37 ax. 0,000 5,69 84,85 0, ,25 82,60 0, ,64 75,79 n. 0,000 0,09 48,70 0,000 0,08 46,52 0,000 0,09 43, ed. 10 0,000 0,54 68, ,000 0,83 64, ,000 1,69 59,63 ax. 0,000 1,61 85,04 0,000 2,25 85,04 0,000 6,45 85, Tabela 6. Resultados obtdos co o grupo A 10. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 0,34 98,40 0,000 1,25 96,80 0,000 5,52 83,20 ed. 10 0, ,33 99, , ,51 99, , ,76 94,02 ax. 0, ,83 100,00 1, ,23 100,00 16, ,63 100,00 n. 0,000 1,34 76,45 0,000 4,14 70,76 0,000 3,27 64,62 ed. 10 0, ,87 89, , ,21 85, , ,84 78,38 ax. 5, ,75 94,30 16, ,80 94,30 18, ,63 94,30 n. 0,000 2,08 70,06 0,000 3,00 63,83 0,000 11,50 58,67 ed. 10 0, ,15 83, , ,90 78, , ,64 76,57 ax. 4, ,03 93,56 14, ,77 93,56 13, ,02 86,59 n. 0,000 20,42 77,36 0,000 43,41 68,14 0,000 18,28 60,45 ed. 9 2, ,48 82,02 9 5, ,08 77,05 7 4, ,93 68,25 ax. 10, ,25 85,85 14, ,31 84,82 14, ,75 73,89 n. 0, ,17 65,70 0,000 59,02 59,21 0,000 79,63 58,87 ed. 4 0, ,19 78,12 9 4, ,94 78,69 7 2, ,36 70,93 ax. 3, ,69 88,37 16, ,30 93,09 13, ,27 81,27 Tabela 7. Resultados obtdos co o grupo A 20. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 6,41 99,60 0,000 57,45 99,60 0,000 82,14 93,40 ed. 10 0,000 10,40 99, , ,92 99, , ,72 98,92 ax. 0,000 15,02 100,00 0, ,89 100,00 6, ,16 100,00 n. 0, ,91 90,71 0, ,84 80,77 0, ,66 80,50 ed. 10 2, ,56 95, , ,60 91, , ,34 86,44 ax. 4, ,55 97,69 15, ,67 97,20 17, ,22 93,75 n. 0, ,92 86,42 1, ,16 80,01 0, ,27 80,59 ed. 7 1, ,66 91,85 7 6, ,20 87,66 4 1, ,82 87,19 ax. 5, ,64 97,21 11, ,03 92,89 5, ,33 92,92 n. ed ax. n. ed ax. Para avalar a qualdade do ltante de relaxação lnear dos odelos, toaos os 50 exeplos do grupo A 5 (Tabela 5) e os resolveos co o odelo base co (18). Os s de relaxação lnear fora calculados slarente ao de otaldade, substtundo na expressão anteror o elhor ltante obtdo pelo elhor ltante de relaxação lnear obtdo. O édo de relaxação lnear obtdo destes 50 exeplos fo de 6,706% (íno de 0,000% e áxo de 27,216%), o que ostra que o ltante pode ser relatvaente apertado, dependendo da classe de exeplos. A Tabela 8 apresenta u resuo dos exeplos testados para os grupos A. Para cada u dos odelos, são apresentados, respectvaente, o núero de exeplos testados, o núero de

18 exeplos e que pelo enos ua solução ntera fo obtda, e o núero de exeplos que fora resolvdos na otaldade. Coo pode ser observado nesta tabela, para o odelo se establdade vertcal, e 85,00% dos exeplos (170 de 200) ua solução ntera fo obtda, e e 89,41% deles (152 de 170), ua solução óta fo encontrada. Para os odelos co establdade vertcal e co establdade vertcal e eplhaento, estes núeros resultara e 87,50% e 80,00%, e e 75,00% e 86,67%, respectvaente. Convé ressaltar que o GAMS/CPLEX coeça a ter dfculdades para resolver os odelos nos grupos A 10 e A 20, e função das necessdades de tepo e eóra coputaconas (condções () e (v) enconadas antes). Tabela 8. Resuo dos exeplos testados co os grupos A. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Sol. Sol. Sol. Sol. Sol. Sol. Exp. Intera Óta Exp. Intera Óta Exp. Intera Óta A A A A Total Resultados co Exeplos dos Grupos B Os resultados obtdos co os 120 exeplos dos grupos B 1, B 5, B 10 e B 20 para os três odelos estão apresentados nas Tabelas 9 a 12. Váras das observações fetas anterorente para os resultados das Tabelas 4 a 7 tabé são váldas para os resultados das Tabelas 9 a 12. Slarente à Tabela 8, a Tabela 13 apresenta u resuo dos exeplos testados para os grupos B. Convé ressaltar que o GAMS/CPLEX te dfculdades para resolver os odelos dos grupos B 10 e B 20, eso para densões L W H relatvaente pequenas, guas a 20 ou Tabela 9. Resultados obtdos co o grupo B 1. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 0,28 96,00 0,000 1,23 89,60 0,000 2,75 66,00 ed. 10 0,000 8,46 98, , ,54 96, , ,10 83,82 ax. 0,000 26,80 100,00 6, ,77 100,00 17, ,08 99,60 n. 0,000 0,05 39,20 0,000 0,08 39,20 0,000 0,08 22,95 ed. 8 2, ,25 81,90 6 0, ,62 78,35 7 0, ,78 64,72 ax. 9, ,67 100,00 2, ,25 100,00 0, ,91 96,00 n. 0,000 0,09 57,60 0,000 0,30 51,23 0,000 0,30 48,53 ed. 9 1, ,00 88, , ,27 79, , ,95 65,21 ax. 15, ,02 100,00 40, ,70 100,00 43, ,27 99,20 Tabela 10. Resultados obtdos co o grupo B 5. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 0,83 95,20 0,000 6,34 95,20 0, ,69 50,00 ed. 10 0, ,44 98, , ,23 98,54 9 5, ,81 73,18 ax. 0, ,14 100,00 0, ,47 100,00 43, ,41 98,00 n. 0,000 80,17 77,60 0, ,45 81,70 9, ,03 46, ed. 0, ,57 94,19 5, ,76 91,52 13, ,75 61,84

19 30 ax. 2, ,38 99,40 16, ,27 99,20 14, ,64 74,02 n. 1, ,84 81,06 4, ,13 75,50 3, ,89 71,08 ed. 5 3, ,38 88,27 3 9, ,87 83,44 3 8, ,89 77,76 ax. 10, ,77 96,98 17, ,34 94,53 11, ,75 87, Tabela 11. Resultados obtdos co o grupo B 10. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 17,72 100,00 0,000 23,88 96,90 0, ,19 55,80 ed. 10 0,000 36,79 100, , ,67 99, , ,16 78,20 ax. 0,000 74,89 100,00 3, ,78 100,00 28, ,53 100,00 n. ed ax. n. ed ax. Tabela 12. Resultados obtdos co o grupo B 20. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Est. n. 0,000 15,02 100,00 0, ,98 100,00 18, ,08 81,60 ed. 10 0,000 30,88 100,00 7 0, ,62 100, , ,08 81,60 ax. 0,000 43,22 100,00 0, ,63 100,00 18, ,08 81,60 n. ed ax. n. ed ax. Tabela 13. Resuo dos exeplos testados co os grupos B. Modelo Base Modelo Base co (18) Modelo Base co (18) e (19) Sol. Sol. Sol. Sol. Sol. Sol. Exp. Intera Óta Exp. Intera Óta Exp. Intera Óta B B B B Total A Fgura 6 lustra os padrões de epacotaento obtdos para u dos exeplos testados, respectvaente para o odelo base, para o odelo base co (18), e para o odelo base co (18) e (19). O odelo base epacota 65 caxas e 95,20% do volue do contêner. Note que o carregaento possu caxas apenas parcalente apoadas ou flutuando dentro do contêner, sto é, ele não é 100% estável. O odelo base co (18), por sua vez, epacota 68 caxas nos esos 95,20% do volue do contêner. Note, poré, que os espaços vazos fora jogados para ca das caxas, e o carregaento é, portanto, 100% estável. Já o odelo base co (18) e (19), devdo a ltações da pressão áxa adssível, epacota apenas 35 caxas e 50,00% do volue do contêner.

20 Fgura 6. Padrões de epacotaento obtdos co os três odelos para u exeplo. Os resultados coputaconas desta seção ostra as ltações do aplcatvo GAMS/CPLEX (co parâetros default) para resolver os odelos co exeplos gerados a partr de dados aleatóros, de taanhos be oderados. Isso ndca que esta abordage terá dfculdades para tratar probleas realstas de carregaento de contêneres, envolvendo u grande núero de possíves posções para arranjar as caxas dentro do contêner (coo os probleas e George & Robnson, 1980, Bschoff & Ratclff, 1995, Cecílo & Morabto, 2004). Por exeplo, testes prelnares fora realzados co o problea real e George e Robnson (1980) e os odelos não coplara no GAMS por falta de eóra coputaconal. No entanto, convé observar que os exeplos resolvdos nesta seção, envolvendo odelos co lhares de varáves e restrções, estão longe de sere consderados de fácl resolução. 5. Conclusões Neste trabalho apresentaos odelos de prograação lnear ntera 0-1 para representar probleas de carregaento de caxas retangulares dentro de objetos (contêneres, canhões, vagões ferrováros ou paletes), que consdera restrções prátcas de establdade e de eplhaento do carregaento. Os odelos anda pode ser estenddos para consderar outras restrções prátcas, coo alguas das dscutdas na Tabela 1. Testes coputaconas fora realzados co os odelos utlzando o aplcatvo GAMS/CPLEX e centenas de exeplos gerados a partr de dados aleatóros. Os resultados ostrara que os odelos são coerentes e representa adequadaente as stuações tratadas, ebora esta abordage (na sua versão atual) esteja ltada a resolver otaente apenas probleas de taanho be oderado, sto é, e que o núero de possíves posções para se arranjar as caxas dentro do contêner é relatvaente pequeno. Acredtaos que os odelos apresentados possa ser útes para otvar pesqusas futuras explorando étodos de decoposção, étodos de relaxação, étodos heurístcos, entre outros, para resolver probleas as realstas de carregaento de contêneres. Outras perspectvas nteressantes para pesqusa futura são: () estender os odelos para consderar outras restrções prátcas alé de establdade e de eplhaento do carregaento, () testar e planejaento de experentos quas as cobnações de valores dos parâetros CPLEX as adequadas para resolver os probleas (por splcdade, neste trabalho todos os parâetros CPLEX fora utlzados nos seus valores default), () explorar nos odelos o uso de restrções para redução de setra nos padrões de epacotaento, e nvestgar se os conjuntos noras descrtos e (4), (5) e (6) e utlzados nos odelos, pode ser substtuídos, se perda de generaldade, por conjuntos de enor cardnaldade, coo os conjuntos de raster ponts (Schethauer et al., 1996, Brgn et al., 2009), para reduzr o taanho dos odelos.