CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 7 e 8 06/204 Ajuste de Curvas

3 AJUSTE DE CURVAS Cálculo Nuérco 3/64

4 INTRODUÇÃO E geral, experentos gera ua gaa de dados que deve ser analsados para a cração de u odelo. Obter ua função ateátca que represente (ou que ajuste) os dados perte fazer sulações do processo de fora confável, reduzndo ass repetções de experentos que pode ter u custo alto. Cálculo Nuérco 4/64

5 INTRODUÇÃO E geral, quando: usar nterpolação lnear Deseja-se extrapolar ou fazer prevsões e regões fora do ntervalo consderado; Os dados tabelados são resultados de experentos, onde erros na obtenção destes resultados pode nfluencar a sua qualdade; Cálculo Nuérco 5/64

6 INTRODUÇÃO O objetvo é obter ua função que seja ua boa aproxação e que perta extrapolações co algua arge de segurança. Cálculo Nuérco 6/64

7 INTRODUÇÃO A escolha das funções pode ser feta: Observando o gráfco dos pontos tabelados; Baseando-se e fundaentos teórcos dos experentos que forneceu a tabela ou; Através de ua função já conhecda. Cálculo Nuérco 7/64

8 INTRODUÇÃO O Método dos Mínos Quadrados é u étodo bastante utlzado para ajustar ua deternada quantdade de pontos e aproxar funções. Cálculo Nuérco 8/64

9 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Cálculo Nuérco 9/64

10 Método dos Mínos Quadrados Método dos Mínos Quadrados consste e escolher os α (, 2,..., n) de tal fora que: ϕ x ( ) α g x ( ) +α 2 g 2 x ( ) +!+α n g n x ( ) () se aproxe ao áxo de f(x). onde: f x ( ) g x ( ) fornece os pontos exatos; fornece os pontos estados. Cálculo Nuérco 0/64

11 Método dos Mínos Quadrados O Método dos Mínos Quadrados consste e escolher os α (, 2,..., n) de tal fora que a seja ína. E k 2 "# f ( x ) k ϕ ( x ) k $ % (2) Cálculo Nuérco /64

12 Método dos Mínos Quadrados Observe que, se o odelo ajustar exataente os dados, o íno da função: E k 2 "# f ( x ) k ϕ ( x ) k $ % será zero e, portanto, a é u dentro do étodo dos quadrados ínos. Cálculo Nuérco 2/64

13 Caso Dscreto Dado u conjunto de pontos (x ; f(x )), 0,, 2,..., (f dada por ) O problea de ajuste de curvas consste e encontrar funções g (x), tas que o desvo e cada ponto, defndo por (2) seja íno, ou seja: ϕ x ( ) α g x ( ) +α 2 g 2 x ( ) +!+α n g n x ( ) se aproxe ao áxo de f (x). Cálculo Nuérco 3/64

14 Caso Dscreto Neste caso, o ajuste é lnear. Lnear e relação aos α e não às g (x). Cálculo Nuérco 4/64

15 Caso Dscreto A escolha das funções g (x) depende do gráfco dos pontos, chaado de dagraa de dspersão, através do qual pode-se vsualzar o tpo de curva que elhor se ajusta aos dados. Cálculo Nuérco 5/64

16 Exeplo Consderando os dados da Tabela, e através do gráfco gerado, pode-se defnr que tpo de curva elhor se ajusta aos dados. Tabela Tabela x 9 3,0 0 5,6 y,3 2 3,5 3 4,2 4 5,0 5 7,0 6 8,8 7 0, 8 2,5 Cálculo Nuérco 6/64

17 Exeplo 20" 6" 2" y 8" 4" 0" 0" 2" 4" 6" 8" 0" 2" x Fgura. Dagraa de Dspersão para os dados da Tabela Cálculo Nuérco 7/64

18 Caso Dscreto (Ajuste Lnear) q Coo pode ser observado na Fgura, ua possível aproxação sera através de ua função lnear do tpo: ϕ x ( ) α x +α 0 (3) Ass o objetvo é deternar o valor de α 0 e α, que nze: 2 E "# y ( α x +α ) 0 $ % Cálculo Nuérco 8/64

19 Caso Dscreto (Ajuste Lnear) Para que E seja íno é necessáro que: E α 0 0 (4) E α 0 (5) Cálculo Nuérco 9/64

20 Caso Dscreto (Ajuste Lnear) As equações (4) e (5) splfca-se nas : α 0 +α x y (6) α 2 0 x +α x x y (7) Cálculo Nuérco 20/64

21 Cálculo Nuérco 2/64 Caso Dscreto (Ajuste Lnear) A solução para o sstea de equações é: (8) (9) x x x y x y x 2 2 α x x y x y x α

22 Exeplo Consderando a Tabela, e os dados necessáros para as equações (8) e (9) a Tabela 2 pode ser calculada: x y x 2 x y,3, ,5 4 7, ,2 9 2, ,0 6 20, , , , , , 59 70, , , ,0 8 7, , ,0 Σ Aula 7 55 e 8 8 Ajuste de 385 Curvas 572,4 Cálculo Nuérco 22/64

23 Exeplo Consderando os dados da Tabela 2, os parâetros α e α 0 pode ser calculados coo: α 0 0,360 α, 538 Ass a reta de ajuste lnear é deternada por: y,538x 0,360 Cálculo Nuérco 23/64

24 Exeplo Na Fgura 2, pode-se observar o ajuste através da reta: 20" 6" y.5382x " y 8" 4" 0" 0" 2" 4" 6" 8" 0" 2" x Fgura 2. Ajuste lnear Cálculo Nuérco 24/64

25 Caso Dscreto (Ajuste Polnoal) O processo usado para o ajuste lnear pode ser estenddo para ajuste polnoal. Ass, ua função polnoal de grau n é dada por: P n x ( ) α n x n +α n x n +!+α x +α 0 O objetvo é nzar o erro: 2 E "# y P ( n x ) $ % Cálculo Nuérco 25/64

26 Caso Dscreto (Ajuste Polnoal) Coo no caso lnear, para que E seja nzado é E necessáro que para cada j 0,,..., n. α j ( α 0,α,!,α n ) 0 Isto fornece as n+ equações noras nas n+ ncógntas a j : n α k k0 j+k j x y x, para cada j 0,,!, n. Cálculo Nuérco 26/64

27 Cálculo Nuérco 27/64 Caso Dscreto (Ajuste Polnoal) n n y x x x α α α α! n n x y x x x x α α α α! n n n n n n x y x x x x α α α α!!!

28 EXEMPLO 2 Ajustar os dados da Tabela 3 co u polnôo de grau dos utlzando o étodo dos ínos quadrados. Tabela 3 x y 0,00, ,25, ,50, ,75 2,70 5,00 2,783 Cálculo Nuérco 28/64

29 EXEMPLO 2 x y x 2 x 3 x 4 x y x 2 y 0,00,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,25,2840 0,0625 0,563 0,0039 0,320 0, ,50,6487 0,2500 0,250 0,0625 0,8244 0, ,75 2,70 0,5625 0,429 0,364,5878,908 5,00 2,783,0000,0000,000 2,783 2,783 Σ 2,50 8,7680,875,5625,3828 5,454 4,405 Cálculo Nuérco 29/64

30 EXEMPLO 2 Para este problea, n 2, 5 e as três equações noras são: 5, 0α 0 + 2, 5α +,875α 2 8, , 5α 0 +,875α +, 5625α 2 5, 454,875α 0 +, 5625α +,3828α 2 4, 405 Resolvendo o sstea, obtê-se: α 0, 005 α 0,8647 α 2 0,8432 Cálculo Nuérco 30/64

31 EXEMPLO 2 y, ,8642x + 0,8437x 2 y 3" 2.5" 2".5" " 0.5" 0" y x x " 0.5" ".5" x Fgura 3. Ajuste polnoal E 5 O erro total y P( x ) "# $ % 2 2, é o íno que pode ser obtdo usando u polnôo co grau áxo 2 Cálculo Nuérco 3/64

32 Caso Contínuo Outro problea é a aproxação de funções. Para o caso dscreto, teos u. Para o caso contínuo, teos. Cálculo Nuérco 32/64

33 Caso Contínuo Dada ua função f (x), contínua e [a, b] e escolhdas funções g (x), g 2 (x),..., g n (x), todas contínuas e [a, b], deternar constantes α, α 2,..., α n, tal que: ϕ x ( ) α g x ( ) +α 2 g 2 x ( ) +!+α n g n x ( ) se aproxe ao áxo de f (x). Cálculo Nuérco 33/64

34 Caso Contínuo O objetvo é deternar u polnôo de grau áxo n (φ (x) P n (x)): P n ( ) n n x α + nx αn x +! + αx + α0 que nze o erro total: n αk k 0 x k E b a "# f ( x) P ( n x) $ % 2 b ' dx ) f x ( a n k0 ( ) α k x k *, + 2 dx Cálculo Nuérco 34/64

35 Caso Contínuo O problea é encontrar os coefcentes α j que nze E. Ua condção necessára para que os núeros α j nze E é que: E α j ( α, α,!, α ) 0 0 n para cada j0,,...,n. Cálculo Nuérco 35/64

36 Caso Contínuo Coo: E b a n b b 2 ( n!" f ( x) # $ dx 2 αk x k f ( x)dx + * α k x k ) k0 a a k0 + -, 2 dx As dervadas fca na segunte fora: E α j α 0,α,!,α n ( ) 2 x j f x b n k0 b a ( )dx + 2 α k x j+k dx 0 a Cálculo Nuérco 36/64

37 Caso Contínuo Para encontrar P n (x), teos (n + ) equações noras: n j+ k α k x dx k 0 b a b a x j f ( x) dx que deve ser resolvdas para se deternar as (n+) ncógntas α j, para cada j 0,,..., n. Cálculo Nuérco 37/64

38 Exeplo 3 Encontrar o polnôo de aproxação por ínos quadrados de segundo grau para a função abaxo no ntervalo [0,]. f ( x) sen( π x) Cálculo Nuérco 38/64

39 EXEMPLO 3 n j+ k α k x dx k 0 b a b a x j f ( x) dx 2 dx + α xdx + α2 x dx ( πx) α0 sen dx xdx α x dx α2 x dx ( πx) α0 xsen dx α ( ) 0 x sen πx dx x dx α x dx α2 x dx Cálculo Nuérco 39/64 0

40 EXEMPLO 3 Calculando as ntegras obtê-se: α α + 3 α 2 2 π 2 α α + 4 α 2 π 3 α α + 5 α π π 3 Resolvendo o sstea obtê-se o segunte polnôo: P 2 ( x) 4,225x 2 + 4,225x 0, 0505 Cálculo Nuérco 40/64

41 EXEMPLO 3 Fgura 4. Aproxação de f(x) pelo polnôo P 2 (x). Cálculo Nuérco 4/64

42 Caso Não-Lnear Exste casos, onde o dagraa de dspersão de ua função ndca que os dados deve ser ajustado por ua função não lnear. Ocasonalente, é aproprado supor que os dados esteja relaconados exponencalente. Exeplo: φ(x) ae bx, para a e b constantes. A dfculdade de aplcação do étodo dos ínos quadrados neste caso consste na tentatva de nzar E. Cálculo Nuérco 42/64

43 Caso Não-Lnear Para estes casos u processo de lnearzação deve ser epregado, para que seja possível aplcar o Método dos Mínos Quadrados. Neste caso, podeos proceder da segunte fora: Cálculo Nuérco 43/64

44 Caso Não-Lnear Caso I: Função Exponencal ϕ ( x) y ae bx Aplcando logarto e abos os lados, obtê-se: ln( y) ln( ae bx ) ln( a) + bx Realzando as seguntes substtuções: Y ln y ( ) α 0 ln a ( ) Obtê-se: Y α X +α 0 α b X x Cálculo Nuérco 44/64

45 Caso Não-Lnear Caso II: Função Logarítca y a ln bx ( ) Expandndo: y a ln b ( ) + a ln x ( ) Realzando as seguntes substtuções: Obtê-se: Y α X +α 0 Y y α 0 a ln b ( ) α a X ln x ( ) Cálculo Nuérco 45/64

46 Caso Não-Lnear Caso III: Função Potencal y ax b Aplcando logarto e abos os lados: ln( y) ln( ax b ) ln( a) + ln( x b ) ln( a) + bln( x) Realzando as seguntes substtuções: Obtê-se: Y α X +α 0 Y ln y ( ) α 0 ln a ( ) α b X ln x ( ) Cálculo Nuérco 46/64

47 Caso Não-Lnear Caso IV: Função Hperbólca y a + b x Realzando as seguntes substtuções: Y y α 0 a α b Obtê-se: Y α X +α 0 X x Cálculo Nuérco 47/64

48 Usa-se as equações do caso dscreto (ajuste lnear) para obter α 0 e α : α 0 +α x y α 2 0 x +α x x y Cálculo Nuérco 48/64

49 Após aplcar o étodo dos ínos quadrados, é precso fazer as substtuções necessáras para encontrar os parâetros a e b da função de aproxação orgnal. Cálculo Nuérco 49/64

50 Observe que os parâetros a e b ass obtdos não são ótos dentro do crtéro dos quadrados ínos, porque estaos ajustando o problea lnearzado e não o problea orgnal. Cálculo Nuérco 50/64

51 EXEMPLO 4 Encontrar ua função exponencal que se ajusta aos valores da tabela abaxo: x y -,0 36,547-0,7 7,267-0,4 8,55-0, 3,852-0,2,82-0,5 0,86-0,8 0,406,0 0,246 Cálculo Nuérco 5/64

52 y ae bx Y ln y α ln( a) 0 α b Cálculo Nuérco 52/64

53 Caso Não-Lnear Coo o ajuste será realzado por ua função exponencal é necessáro calcular: Y ln y A tabela para os cálculos fca da segunte fora: x y Y ln(y) x 2 x Y -,0 36,547 3,599,00-3, ,7 7,264 2,849 0,49 -, ,4 8,55 2,099 0,6-0, , 3,852,349 0,0-0,35 5 0,2,820 0,599 0,04 0,20 6 0,5 0,860-0,5 0,25-0, ,8 0,406-0,90 0,64-0,72 8,0 0,246 -,402,00 -,402 Σ 0,3 69,5 Aula 7 e 88,04 Ajuste de Curvas 3,59-8,645 Cálculo Nuérco 53/64

54 Caso Não-Lnear α 0, 099 α 2, 5 α ln( a) α b 0 a 3, 00 b 2, 5 Cálculo Nuérco 54/64

55 Os parâetros α 0 e α que ajusta a função ϕ (x) à função Y no sentdo dos quadrados ínos. Não se pode afrar que os parâetros a e b (obtdos através de α 0 e α ) são os que ajusta ϕ(x) à função y dentro dos crtéros dos quadrados ínos. Cálculo Nuérco 55/64

56 TESTE DE ALINHAMENTO Ua vez escolhda ua função não lnear e a, b, para ajustar ua função. Ua fora de verfcar se a escolha fo razoável é aplcar o Teste de Alnhaento. Cálculo Nuérco 56/64

57 TESTE DE ALINHAMENTO Fazer a lnearzação da função não lnear escolhda; Fazer o dagraa de dspersão dos novos dados; Se os pontos do dagraa estvere alnhados, sto sgnfcará que a função não lnear escolhda fo ua boa escolha. Cálculo Nuérco 57/64

58 EXEMPLO Gráfco de x versus Y ln y x y Y ln(y) - 36,547 3, ,7 7,264 2, ,4 8,55 2, , 3,852, ,2,820 0, ,5 0,860-0,5 7 0,8 0,406-0,90 8 0,246 -,402 Σ 0,3 69,5 8,04 Cálculo Nuérco 58/64

59 TESTE DE ALINHAMENTO EXEMPLO Dagraa de dspersão dos novos dados (Y ln y). Cálculo Nuérco 59/64

60 EXEMPLO 2 Usando o Método dos Mínos Quadrados, ajustar ua curva do tpo s q t p aos dados abaxo: t 2,2 2,7 3,5 4, s Qual o valor de s quando t 4,5? Qual o vaor de t quando s 40? Cálculo Nuérco 60/64

61 EXEMPLO 2 Caso III: Função Potencal s qt p Aplcando logarto e abos os lados: logs logq + plogt Realzando as seguntes substtuções: Obtê-se: Y α X +α 0 Y logs α 0 logq α p X logt Cálculo Nuérco 6/64

62 EXEMPLO 2 Teos então: t s X Y X 2 X Y 2,2 65 0,3424,829 0,72 0, ,7 60 0,434,7782 0,86 0, ,5 53 0,544,7243 0,2960 0, , 50 0,628,6990 0,3755,04 Σ,9307 7,044 0,9748 3,367 Cálculo Nuérco 62/64

63 EXEMPLO 2 4α 0 +, 9307α 7, 044, 9307α 0 + 0, 9748α 3,367 α, α 0, 434 α logq 0 α p q 9,83 p 0, 434 s 9,83t 0,434 Cálculo Nuérco 63/64

64 EXEMPLO 2 Se: s 9,83t 0,434 então, para t 4,5; s 48, e para s 40; t 6,8. Cálculo Nuérco 64/64