UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUISTA FILHO" FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS CAMPUS DE BOTUCATU

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUISTA FILHO" FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS CAMPUS DE BOTUCATU COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES DE MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS E MÍNIMOS DESVIOS ABSOLUTOS EM MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UMA APLICAÇÃO NA ENERGIA NA AGRICULTURA MÁRCIA APARECIDA ZANOLI MEIRA E SILVA Tese apresentada à Faculdade de Cêncas Agronôcas da UNESP - Capus de Botucatu, para obtenção do título de Doutor e Agronoa - Área de Concentração: Energa na Agrcultura. BOTUCATU - SP Janero 2002

2 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUISTA FILHO" FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS CAMPUS DE BOTUCATU COMPARAÇÃO ENTRE OS ESTIMADORES DE MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS E MÍNIMOS DESVIOS ABSOLUTOS EM MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UMA APLICAÇÃO NA ENERGIA NA AGRICULTURA MÁRCIA APARECIDA ZANOLI MEIRA E SILVA Orentador: Prof. Dr. José Raundo de Souza Passos Tese apresentada à Faculdade de Cêncas Agronôcas da UNESP - Capus de Botucatu, para obtenção do título de Doutor e Agronoa - Área de Concentração: Energa na Agrcultura. BOTUCATU - SP Janero 2002

3 II Aos eus pas, Fausto e Otíla. Ao eu ardo, Júlo, e aos eus flhos, Aanda e Thago.

4 III AGRADECIMENTOS À Deus, por pertr a conclusão desse projeto. Ao Prof. Dr. José Raundo de Souza Passos, pela azade, estíulo, ensnaentos, orentação e prncpalente por acredtar na realzação desse trabalho. À aga Profa. Dra. Andréa Carla Gonçalves Vanna, pela azade, ncentvo constante e portante colaboração na parte coputaconal, o eu uto obrgada. À nha faíla, pelo apoo e ncentvo. À nha flha que, apesar da pouca dade, soube entender os oentos e que estve ausente. Ao eu flho que, através das batalhas que enfrentaos co sua chegada, deue força e corage para reover as pedras encontradas no eu canho, ostrando-e que elas exste para valorzar as nossas conqustas. E especal ao eu ardo, pela pacênca, carnho, copreensão e apoo constante.

5 IV SUMÁRIO Págna LISTA DE FIGURAS... VI LISTA DE QUADROS... VIII RESUMO SUMMARY INTRODUÇÃO REVISÃO DE LITERATURA Regressão lnear sples Estação dos parâetros Regressão L O odelo Gaa de dstrbução de probabldade A dstrbução Gaa Propredades da dstrbução Gaa Assetra e curtose A dstrbução Gaa padronzada MATERIAL E MÉTODOS Materal Metodologa utlzada Sulação dos dados Estação dos parâetros Coparação dos estadores Materal e étodo utlzado na aplcação RESULTADOS E DISCUSSÃO Estadores de regressão L Coparação dos estadores Análse coparatva dos étodos de ínos quadrados e ínos desvos absolutos co base no REQM Razão dos Erros Quadrátcos Médos Efeto do parâetro de escala (λ) do odelo Gaa na REQM... 33

6 V Efeto das varações ncluídas na sulação na REQM Análse coparatva dos étodos de ínos quadrados e ínos desvos absolutos co base na DEQM Dferença dos Erros Quadrátcos Médos Efeto do parâetro de escala (λ) do odelo Gaa na DEQM Efeto das varações ncluídas na sulação na DEQM Análse coparatva dos étodos de ínos quadrados e ínos desvos absolutos co base e suas varânca resduas édas Aplcação CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA CONSULTADA... 5 APÊNDICE : Moentos APÊNDICE 2: Prograa fonte e lnguage SAS para a sulação e a função RANGAM APÊNDICE 3: Algorto de regressão L APÊNDICE 4: Hstograas do teor de udade do lho segundo cultvar safra... 63

7 VI LISTA DE FIGURAS Fgura Efeto do parâetro de escala (λ) do odelo Gaa de dstrbução de Págna probabldade na Razão dos Erros Quadrátcos Médos (REQM), obtdos por sulação (n=5400), consderando taanho aostral, coefcente lnear e angular do odelo de regressão lnear, parâetro de escala e de fora do odelo Gaa e o coefcente de assetra (000 repetções para cada cobnação) Efeto dos coefcentes lnear e angular do odelo de regressão (β 0 ) e (β ), respectvaente, na Razão dos Erros Quadrátcos Médos (REQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores de do parâetro de escala λ do odelo Gaa Efeto do taanho aostral e do coefcente de assetra na Razão dos Erros Quadrátcos Médos (REQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores do parâetro de escala λ do odelo Gaa Efeto do parâetro de escala (λ) do odelo Gaa de dstrbução de probabldade na Dferença dos Erros Quadrátcos Médos (DEQM), obtdos por sulação (n=5400), consderando taanho aostral, coefcente lnear e angular do odelo de regressão lnear, parâetro de escala e de fora do odelo Gaa e o coefcente de assetra (000 repetções para cada cobnação) Efeto dos coefcentes lnear e angular do odelo de regressão (β 0 ) e (β ) respectvaente, na Dferença dos Erros Quadrátcos Médos (DEQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores de do parâetro de escala λ do odelo Gaa Efeto do taanho aostral e do coefcente de assetra na Dferença dos Erros Quadrátcos Médos (DEQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores do parâetro de escala λ do odelo Gaa... 42

8 VII 7 Varâncas resduas édas dos ajustes dos odelos de regressão lnear sples utlzando os étodos de ínos quadrados e ínos desvos absolutos, obtdos por sulação (n=5400), consderando taanho aostral, coefcente lnear e angular do odelo de regressão lnear, parâetro de escala e de fora do odelo Gaa e o coefcente de assetra (000 repetções para cada cobnação) Ajuste do odelo de regressão lnear sples ao conjunto de dados de teor de udade e lho, cultvar-safra2 (Gusce, 200) Ajuste do odelo de regressão lnear sples ao conjunto de dados de teor de udade e lho, cultvar7-safra (Gusce, 200) Ajuste do odelo de regressão lnear sples ao conjunto de dados de teor de udade e lho, cultvar7-safra3 (Gusce, 200) Representação de alguns odelos probablístcos no plano assetra curtose ((α 3 ) 2 α 4 ), pontos sob a curva do odelo Gaa usado para a sulação de Monte Carlo e as aostras usadas na aplcação Hstograas do teor de udade de lho segundo cultvar-safra2, cultvar7- safra e cultvar7-safra3...

9 VIII LISTA DE QUADROS Quadro Valores obtdos para a assetra α3 através da relação α3 = 2 η varando η de 0,25 a 9,75 co ncreento de 0, Análse de varânca referente ao ajuste do odelo de regressão lnear sples ao conjunto de dados de teor de udade e lho, segundo cultvar safra Págna (Gusce, 200) Estatva dos parâetros referente ao ajuste do odelo de regressão lnear sples ao conjunto de dados de teor de udade do lho, segundo cultvar 28 safra (Gusce, 200), obtdos por regressão L ( ˆβ 0 q, ˆβ q ) e por ínos quadrados ( ˆβ, ˆβ q )... 0 q 47 4 Razão entre o erro quadrátco édo da regressão L e o erro quadrátco édo dos ínos quadrados para o conjunto de dados de teor de udade do lho, segundo cultvar safra (Gusce, 200)... 48

10 RESUMO E utas stuações prátcas e Energa na Agrcultura pode-se utlzar odelos de regressão lnear sples co o objetvo de copreender deternados fenôenos de nteresse. No entanto, apesar de sua aparente splcdade, esses odelos possue certas pressuposções que deve ser observadas pelo pesqusador, coo por exeplo, a noraldade dos erros, cuja volação traz séros probleas co relação à qualdade dos estadores de ínos quadrados obtdos, podendo coproeter as conclusões do estudo. Desse odo, os odelos de regressão L, que te coo base a nzação da soa dos desvos absolutos, surge coo ua alternatva vável, pos fornece estadores robustos co relação à noraldade. Neste estudo, ncalente, fora fetas coparações epírcas (sulação de Monte Carlo) entre os estadores de ínos quadrados e ínos desvos absolutos de odelos de regressão lnear sples co dstrbução Gaa padronzada, consderando a varação do parâetro de escala entre 0,2 e 2,2 co ncreento de 0,4 e o parâetro de fora varando de 0,25 a 9,75 co ncreento de 0,5. Fora, tabé, consderados os taanhos de aostra varando de 20 a 00 co ncreento de 20, co 000 replcações. Nestas coparações, observou-se que: a razão e a dferença de erros quadrátcos édos alé de podere ser usados co crtéros para coparação da qualdade de estadores, não dferndo entre s, produze resultados dferentes do crtéro usual da varânca resdual; o parâetro (λ) de escala do odelo Gaa de probabldade é responsável por dferencar a qualdade dos

11 2 estadores: λ o estador de ínos quadrados produz enor erro quadrátco édo, caso contráro, o elhor estador é o de ínos desvos absolutos. Posterorente, coo aplcação prátca desta etodologa, fora ajustados odelos de regressão lnear sples a u conjunto de dados de teor de udade e grãos de lho (Zea ays L.), cuja análse dos resultados obtdos, confrara a efcênca da regressão L.

12 3 COMPARISONS BETWEEN ORDINARY LEAST SQUARE AND LEAST ABSOLUTE ERRORS ESTIMATORS IN THE LINEAR REGRESSION AN AGRICULTURE APPLICATION. Botucatu, Tese (Doutorado e Agronoa/Energa na Agrcultura) - Faculdade de Cêncas Agronôcas, Unversdade Estadual Paulsta. Author: Márca Aparecda Zanol Mera e Slva Advser: José Raundo de Souza Passos 2 SUMMARY Lnear regresson odels are wdely used to understand any phenoena n agrculture. In the order hand, although apparently sple, these odels have soe assuptons that ust be consdered, lke non-noral error. The volatons of ths assupton ay slead the conclusons of the results of the research. L regresson odels, whch are based n the least absolute error, are very attractve as an alternatve technque, snce they have robust estators wth respected to noralty. In ths study, frstly, eprcal coparsons was done (Monte Carlo sulaton) between the least square estator and the least absolute error (L regresson) of the lnear regresson odel wth p.d.f. standard gaa dstrbuton. The gaa paraeters used n the sulatons were: scale paraeter vared fro 0,2 to 2,2 by 0,4 and shape paraeter vared fro 0,25 to 9,75 by 0,5. The saplng sze vared fro 20 to 00 by 20, wth.000 replcatons. In ths coparsons, we see that the rato and the dfference between ean square error can be use to copare the qualty estators nstead the resdual varance estated fro the odel. The shaper paraeter of the Gaa odel s responsble to choce between the two crtera,.e., least square and least absolute error ethods: When the shaper paraeter s greater than,0 we choce the least absolute error ethods, n the other hand, we choce the least square ethod. Further lnear regresson odels were ftted usng the two technques, least square and the least absolute error, to the data of hudty n Zea

13 4 ays L. n te, for several cultvars and crops. It was shown that, n ajorty cases, the L regresson had estators wth ean squared error saller than the least square estator. Keywords: Least square ethod, least absolute error, Mont Carlo ethod, ean square error, standard gaa dstrbuton.

14 5 3 INTRODUÇÃO E utas stuações prátcas e Energa na Agrcultura coo, por exeplo, a varação da produção de ua deternada cultura e função da adubação utlzada e o crescento de ua deternada cultura e função do tepo - o pesqusador observa que o odelo as aproprado para o estudo de deternado fenôeno é u odelo de regressão lnear sples (3.): Y = β +β X + ε para =, 2,..., (3.) 0 e que, Y é a varável resposta assocada a -ésa observação; β 0 e β são os coponentes do vetor de parâetros b co β 0 e β sendo, respectvaente, o ntercepto e a nclnação da reta. O vetor de parâetros é consderado coo sendo ua constante populaconal, de valor desconhecdo; os X s são consderados coo constantes pré-fxadas, ou seja, não são varáves aleatóras; e os ε s são os coponentes aleatóros chaados de erros, sendo estes responsáves pelas flutuações de Y.

15 6 As pressuposções báscas desse odelo são:. Os valores de X são fxos, não exste varação aleatóra e X; 2. Para cada valor de X, exste ua sub população de Y, e Y é noralente dstrbuída Y~N(µ,σ 2 ); 3. A varânca de Y não uda co X, é constante; 4. A esperança de Y dado X te ua relação lnear co X: E(Y/X) = β 0 +β X; 5. Os valores de ε s, para =,...,, são ndependentes e dentcaente dstrbuídos (..d.) - todos os erros possue o eso odelo probablístco, no caso o odelo noral - co éda µ e varânca σ 2, constante: ε ~ N(µ;σ 2 ). A volação de alguas dessas pressuposções pode ter conseqüêncas tanto na estatva pontual coo no aspecto nferencal de b. Bolfarne et al. (992) abordara as conseqüêncas da volação do te, para o caso e que os X s são varáves aleatóras. Nos odelos de regressão lnear sples, quando essas pressuposções são voladas, o uso dos estadores de ínos quadrados para a nclnação da reta, por exeplo, fca subestado, o eso ocorrendo para o estador da varânca e o coefcente de deternação R 2. Quando encontraos stuações que vola a pressuposção 5 co relação a não noraldade, não podeos, por exeplo, construr o ntervalo de confança para b co base na dstrbução t de Student, ou proceder a Análse de Varânca entre b, para o caso e que cada odelo de regressão corresponde à u trataento. A partr dessas pressuposções, pode-se deonstrar que os estadores obtdos pelo étodo de ínos quadrados são tabé estadores obtdos pelo étodo de áxa verosslhança. Estes são não tendencosos, e dentro da classe dos estadores lneares não tendencosos, possue a propredade de varânca ína.

16 7 Para estar os parâetros, usou-se o étodo dos ínos quadrados, nzando-se a soa de quadrados dos erros (Z(β 0, β )), cujas soluções são obtdas toando-se as dervadas parcas da função Z e relação à β0 e β e gualando-as a zero. Ass obté-se os estadores: ˆβ = 2 2 X X Y X Y X = = = = = (3.2) X ˆ Y ˆ 0 β = β. Ua outra anera de soluconar o problea apresentado anterorente, é trabalhar co a nzação da soa dos desvos absolutos, sto é, deternar b tal que: n = ε sujeto a: Xb + e = Y, (3.3) Coo neste trabalho n = 2, te-se X = x x M M b = β β 0 e ε ε = M Y = y y M (3.4) tal que X x2 R, é a atrz obtda por u conjunto de eddas de observações e varável ndependente; b 2 R, é o vetor de parâetros do odelo;

17 8 Y R, é o vetor de eddas na varável dependente; e R, denota o vetor de erros aleatóros (desvos ou ruídos). Este problea é chaado de Problea de Aproxação Lnear no L, pos nzar a soa dos desvos absolutos é o eso que nzar os resíduos na nora, já que ε = = ε. Este problea tabé é conhecdo splesente por Regressão L. A regressão L fo proposta eo século antes do desenvolvento da regressão de ínos quadrados. Entretanto, devdo a dfculdades coputaconas não exstentes na regressão de ínos quadrados e o extenso desenvolvento da regressão de ínos quadrados e teros da teora da probabldade, a regressão L não recebeu a devda atenção. Nas últas quatro décadas o nteresse sobre a regressão L cresceu uto, devdo a sua reforulação coo u problea de prograação lnear, surgndo a segur dversos algortos efcentes para resolver o problea. A regressão de erros absolutos (L ) é atualente consderada, entre os procedentos robustos para regressão, ua técnca vável para a análse de dados. Ela é resstente a valores aberrantes e não requer ua constante de ajuste coo os deas procedentos robustos. O seu uso é recoendado quando os erros tê ua dstrbução sétrca (Narula & Stangenhaus, 988). A regressão de erros absolutos fo estudada e dversos contextos sob ua varedade de noes, tas coo, ína soa dos erros absolutos, ínos desvos, erros ou valores absolutos. Slva (994) estudou o Problea de Regressão L consderando-o coo u problea de prograação lnear e explorou o fato da função ser lnear por partes. Esta abordage propcou ua teora específca, tendo coo conseqüênca a elaboração de u novo algorto que, para os conjuntos de dados testados, se ostrou as efcente que o tradconal étodo dos ínos quadrados nos casos de regressão lnear.

18 9 Os objetvos desse trabalhos são: a) coparar a efcênca dos estadores de ínos quadrados e os de ínos desvos absolutos Regressão L (Slva, 994), utlzando-se a razão e a dferença entre os erros quadrátcos édos para odelos de regressão lnear sples co erro Gaa através de sulação; b) coparar os dos étodos através de suas varâncas resduas édas; c) verfcar o efeto da assetra, do taanho aostral e dos coefcentes lnear e angular do odelo de regressão teórco na efcênca desses estadores; d) proceder ua aplcação de odelos de regressão lnear e Energa na Agrcultura. A contrbução deste trabalho deve-se ao fato de que o uso da razão e da dferença entre os erros quadrátcos édos para realzar as coparações entre os dos étodos consderados, ebora sples, não é ua etodologa encontrada na lteratura. Alé dsso, este trabalho faz uso de u novo étodo de regressão L (Slva, 994), o que auenta sua contrbução.

19 0 4 REVISÃO DE LITERATURA 4. Regressão Lnear Sples Nesta seção, alguns resultados portantes de regressão lnear sples, enconados por Hoffann & Vera (987), serão apresentados a segur. Ua das preocupações na elaboração de odelos estatístcos é que estes seja fés à realdade, ou seja, deve-se, sepre que possível, construr odelos que contenha e sua estrutura bases e fundaentos teórco-centífcos, seja eles Bológcos, Físcos, Quícos, Agronôcos ou Econôcos. Ass, ua estratéga convenente de análse é supor que cada observação é forada por duas partes: ua prevsível e outra aleatóra. Desse odo, cada observação podera ser representada por: observação = prevsível + aleatóra A prera coponente, a parte prevsível, ncorpora o conhecento que o pesqusador te sobre o fenôeno e é usualente expressa por ua função ateátca co parâetros desconhecdos.

20 Para a segunda coponente, devdo ao seu caráter aleatóro, põe-se que os esos obedeça a algu odelo de probabldade. Co essas suposções, o trabalho estatístco passa a ser aquele de produzr estatvas para os parâetros desconhecdos, baseando-se e aostras observadas. Coo otvação, suponha que teos pares de observações ( ) X, Y, =, 2,...,. Podeos traçar esses pontos e tentar ajustar a eles ua função, dentre ua faíla de funções pré estabelecdas (por exeplo, funções lneares, quadrátcas, etc.), tal que os pontos esteja "o as próxo possível" da função. Meso que as varáves X e Y tvesse ua relação exata, os pontos traçados não satsfara esta relação, devdo aos erros de eddas. Genercaente, tas relações funconas pode ser representadas por Y = f(x, X 2,..., X k ) e que Y representa a varável dependente e os X s, =, 2,..., k, representa as varáves ndependentes. São exeplos de relações funconas entre varáves: a) crescento da população de u país (Y) e função dos anos (X); b) varação da produção (Y) obtda nua cultura confore a quantdade de ntrogêno (X ), fósforo (X 2 ) e potásso (X 3 ) utlzada na adubação; c) varação do preço (Y) de u produto no ercado e função da quantdade oferecda (X). Suponhaos que a relação entre as duas varáves X e Y seja lnear Y = f(x ) + ε. Tal relação é conhecda coo ua regressão lnear sples de Y e X, onde e é o erro de edda e, seu odelo estatístco é dado por:

21 2 Y = β 0 + β X + ε, e que β0 e β são parâetros desconhecdos e se quer está-los. O coefcente angular da reta (β ) é tabé denonado coefcente de regressão e, o coefcente lnear da reta (β 0 ) é tabé conhecdo coo tero constante da equação de regressão ou ntercepto. Ao estabelecer o odelo de regressão lnear sples, pressupõe-se que: ) A relação entre X e Y é lnear. ) Os valores de X são fxos, sto é, X não é ua varável aleatóra. ) O valor esperado do erro é nulo, E(ε) = 0. v) Para u dado valor de X, a varânca do erro e é sepre σ 2, denonada varânca resdual, sto é, E( ε 2 ) = σ 2 v) O erro de ua observação é não correlaconado co o erro e outra observação, sto é, E(ε ε j ) = 0 para j v) Os erros tê dstrbução noral. A pressuposção v) é necessára para que se possa utlzar a dstrbução t de Student e a dstrbução F para testar as hpóteses relaconadas aos valores dos parâetros ou construr ntervalos de confança. Sendo ass, ela é ua pressuposção adconal. Cobnando-se as pressuposções ), v) e v) te-se, coo já enconado anterorente, que os erros ε s são varáves aleatóras ndependentes co éda zero, varânca σ 2 e dstrbução noral, ou seja, ε ~ N(0,σ 2 ). O erro ε do odelo de ua regressão lnear pode ser devdo à nfluênca de todas as varáves que afeta a varável dependente e que não fora ncluídas no odelo. Ua vez que tas varáves não fora consderadas, elas deve ser as varáves de enor nteresse para o pesqusador e seus efetos deve ser todos relatvaente pequenos. Consderando que o núero de fatores que pode afetar certa varável dependente é bastante

22 3 grande, e desde que seus efetos seja adtvos e ndependentes, pode-se conclur que o erro resdual te dstrbução aproxadaente noral. 4.. Estação dos parâetros O prero passo, na análse de regressão, é obter os estadores ˆβ 0 e ˆβ dos parâetros β 0 e β da regressão. Os valores desses estadores serão obtdos a partr de ua aostra de pares de valores (X, Y ), =, 2,...,, que corresponde a pontos nu gráfco. Consderando Y = β0 + βx + ε sendo ε s os desvos da regressão, o étodo dos ínos quadrados consste e adotar coo estatvas dos parâetros os valores que nza a soa dos quadrados dos desvos nzar Z(β 0, β ) = [ Y b b X ] = 0 ) 2 relação à β0 e β fore nulas. A função Z terá íno quando suas dervadas parcas de prera orde e Z β 0 Z β = 2 = 2 [ Y β β X ] = [ Y β β X ] = 0 0 = 0 (4.) ( X ) = 0 (4.2) Splfcando, chega-se ao sstea de equações noras

23 4 = + β β = + β β = = = = = (4.4) (4.3) X Y X ˆ X ˆ Y X ˆ ˆ Resolvendo o sstea te-se: 0 ˆβ = X X Y X X Y X = = = = = = ˆβ = 2 2 X X Y X Y X = = = = = Na prátca deterna-se ˆβ e prero lugar e da equação (4.3) te-se 0 ˆβ = X ˆ Y = = β = X ˆ Y β 4.2 Regressão L Consdere o núero de observações e (n-) o núero de varáves ndependentes. Assundo, por hpótese, que n < e posto(x) = n, a Regressão L, sto é, a regressão que nza a soa dos erros absolutos, ou splesente regressão de erros absolutos, consste e deternar o vetor b, co coponentes β 0 e β, tal que

24 5 n ε = n y β0 βx = sujeto a: Xb + e = Y, (4.5) sendo X, b, e, Y dados confore (3.4). A regressão L é consderada ua alternatva robusta à regressão de ínos quadrados por dversos autores. Esta regressão, segundo Narula & Stangenhaus (988), não necessta de ua constante de ajuste coo outros étodos robustos de regressão. O fato da regressão de erros absolutos ser enos sensível à valores aberrantes do que a regressão de ínos quadrados, pode ser parcalente explcado pelo fato de que observações nconsstentes são tratadas de fora dferente pelos dos étodos. Se ua observação está afastada do restante das observações, o étodo dos ínos quadrados é as nfluencado por esse dado do que pelos deas, o que é ndesejável. A regressão de erros absolutos, por outro lado, assegura u esforço gual tanto co relação aos dados aberrantes quanto ao restante do conjunto de dados. Portanto, podeos esperar que os dados aberrantes rão destacar-se as quando se usa a regressão de erros absolutos. Deve-se ressaltar que a regressão de ínos quadrados está para a regressão de erros absolutos ass coo a éda aostral está para a edana da aostra. A lteratura apresenta dversos casos e que a regressão de ínos quadrados fo consderada nadequada. Por exeplo, e alguns odelos econôcos o erro absoluto é ua edda as adequada de perda do que a função de perda quadrátca, plícta na regressão de ínos quadrados, sendo que aqu a perda representa a gravdade do erro de predção não nulo para o pesqusador. O uso da regressão L fo recoendado para estudos e econoa e que os erros co varânca não-fnta são as representatvos do que os erros co varânca fnta. Coo exeplo podeos ctar: estação de funções de nvestento e prevsão de nvestentos; detecção de erros e conjuntos de dados, a f de tentar descobrr forações na subsuperfíce, onde recursos neras pode exstr; processaento de dados

25 6 orbtas e objetos espacas; astronoa; odelage de dversos dados geofíscos; estação de funções de custo; análse de dados síscos; estação de parâetros faracocnétcos; e obtenção de estatvas de estados e ssteas de potênca. E as, e dversos estudos coparatvos o desepenho da regressão de erros absolutos fo pelo enos gual, quando não fo elhor do que a regressão de ínos quadrados (Narula & Stangenhaus, 988). Co relação aos seus estadores, pode-se afrar que o estador de ína soa dos erros absolutos não se altera quando ocorre udanças nos valores da varável resposta assocados a resíduos não nulos, desde que a observação peraneça do eso lado do hperplano de regressão L (contnua co resíduo postvo ou negatvo). Alé dsso, os estadores dos parâetros da regressão L são estadores de áxa verosslhança, portanto, são assntotcaente não-tendencosos e efcentes, quando os erros te dstrbução de Laplace. Estes estadores tê ua elpsóde de concentração estrtaente enor do que os estadores de ínos quadrados quando a dstrbução dos erros é tal que a edana aostral é u estador de posção as efcente do que a éda aostral. Baseado e estudos de Monte Carlo, o uso da regressão L te sdo recoendado nos casos e que a dstrbução dos erros é Laplace, Cauchy e dstrbuções noras contanadas. Ass, a regressão L te elhor desepenho do que o étodo dos ínos quadrados quando os erros tê dstrbução sétrca para a qual a edana aostral é u estador de posção as efcente do que a éda aostral, quando os erros tê dstrbução co caudas alongadas ou quando a função de perda baseada nos erros absolutos é as aproprada do que a função perda quadrátca. A regressão L é enos sensível a valores aberrantes do que o étodo dos ínos quadrados e fornece ua boa solução ncal para város procedentos robustos de regressão. Bloofeld & Steger (980) relata que o Problea da Aproxação Lnear no L (regressão L ) fo sugerdo por Boscovtch na etade do século XVIII antes da ntrodução do étodo dos ínos quadrados, poré não fo uto usado devdo ao desconhecento de algortos efcentes para probleas co város parâetros. Os autores

26 7 relata anda que, as de 00 anos depos, Edgeworth propôs o ajuste de curva e de odelos as coplcados pela nzação rrestrta de (4.5). Entretanto, os cálculos são as coplexos que a solução das equações lneares que resulta do étodo dos ínos quadrados. Alé dsso, relata que e 930 u novo étodo fo ntroduzdo por Rhodes e dscutdo por Sngleton e 940. O desenvolvento da prograação lnear e a observação de Harrs (950), ctada pelos autores, de que o problea de aproxação lnear no L pode ser transforado e u problea de prograação lnear, fo u grande avanço. Ass, o conceto splsta de estar desvos absolutos ínos, assocado ao desenvolvento de técncas co custo coputaconal copettvo torna o problea consderavelente portante. Esta lnha fo seguda por Wagner (959), Barrodale & Roberts (973) e Abdelalek (975), entre outros. Arenales (99) cta tabé Narula & Wellngton (977), e Roberts & Ben-Israel (970) e, afra que ebora co otvações dferentes, estes étodos são equvalentes. Desta fora, o problea (4.5) é u problea típco de Prograação Lnear, e que probleas co estruturas partculares ocorre co freqüênca. Poré, a sples aplcação de u étodo geral de Prograação Lnear noralente é uto dspendosa. Ass, co o objetvo de obter grandes econoas, tanto de eóra coo de tepo de processaento (pos se evta arazenar e operar co zeros), deve-se explorar a estrutura partcular que cada problea possu. Slva (994) estudou o Problea de Regressão L consderando-o coo u problea de prograação lnear explorando o fato da função ser lnear por partes, co o ntuto de deternar sua solução nuérca. Esta abordage consstu no desenvolvento de todos os passos do Método Pral Splex da Prograação Lnear para esse problea, gerando ua especalzação do étodo splex co u ebasaento teórco que, coo conseqüênca, conduzu à elaboração de u novo algorto. A aplcação deste algorto para os conjuntos de dados testados ostrou-se as efcente que o tradconal étodo dos ínos quadrados nos casos de regressão lnear. A autora desenvolveu sua teora e, conseqüenteente seu algorto, não apenas para regressão lnear sples, as para a

27 8 regressão lnear últpla e tabé fez ua generalzação de seu étodo para os probleas de regressões quantílcas (Slva, 994; Slva, 997), ua vez que a regressão no L é u caso partcular das regressões quantílcas. Desenvolveu tabé ua análse pós-otzação, dferente das que consta na lteratura, de fora be sples e efcente (Slva, 994; Slva, 2000). As Regressões Quantílcas são apresentadas e Koenker & Bassett (978) coo quantdades de nteresse no desenvolvento de procedentos de estatvas robustas. Elas são defndas coo soluções ( θ) n β R do problea: n / ε< 0 0 s.a. Xb + e = Y ( θ) ε + θε / ε tal que [ 0, ] θ. Este problea tabé pode ser escrto coo co n ρ = θ ε s.a. Xb + e = Y ρ θ se ε 0 = θ ( θ ) se ε < 0 e θ [ 0, ] ou anda n b f q ( b, e) = n ( ) f e q = s.a. Xb + e = Y (4.6)

28 9 tal que X xn R, co posto(x) = n θ [ 0, ] f θ é ua função lnear por partes lustrada a segur: f θ θ θ ε Observe que para θ = 0,5 teos a regressão L, pos 0 ( β,ε) = ( ε ) f, 5 f = ε 0,5 = 2 = e o fator 0,5 não nterfere na nzação. Alguas aplcações da regressão quantílca e seus prncpas fundaentos teórcos pode ser encontrados e Koenker & Portnoy (997). Stangenhaus & Narula (99) utlzara o étodo de Monte Carlo co o objetvo de deternar o taanho aostral, no qual são váldas as propredades assntótcas dos estadores do odelo de regressão lnear sples, tanto no caso de ínos quadrados coo na nzação da soa dos desvos absolutos, a partr da dstrbução noral contanada, Cauchy e Laplace, para o coponente aleatóro ε e consequenteente para a varável resposta Y.

29 O Modelo Gaa de Dstrbução de Probabldade 4.3. A Dstrbução Gaa A dstrbução Gaa é u portante odelo de descrção probablístca para varáves contínuas que assue soente valores postvos. Esta dstrbução possu coo caso partcular a dstrbução exponencal, utlzada e estudos de confabldade, e a dstrbução Qu-quadrado, de aplo uso na nferênca estatístca. A dstrbução Gaa é o odelo aproprado para descrever o tepo necessáro até a ocorrênca de exataente η eventos ndependentes, se os eventos ocorre a ua taxa constante λ. Esta dstrbução te núeras aplcações, prncpalente e tepo de calbração de nstruentos, teora dos jogos, teora Bayesana, análse de sobrevvênca e análse de confabldade (Hahn & Shapro, 967). Mutos fenôenos, coo por exeplo, o estudo do tepo de falha de capactores (Hahn & Shapro, 967) e o tepo de vda de equpaentos elétrcos, entretanto, possue varáves aleatóras que não pode ser justfcados teorcaente coo tendo ua dstrbução Gaa, apesar de eprcaente resultare e bons ajustes. Através desta dstrbução pode-se conhecer as sobre o funconaento dos ssteas bológcos e agrícolas, prncpalente os as coplexos, tendo coo balzadores alguas dstrbuções probablístcas epírcas. A função Gaa (Γ) é defnda por Γ( η) = x e dx, η > 0 0 η x e Γ(η) = (η - )! e que η é u ntero postvo.

30 2 Seja X ua varável aleatóra contínua, co valores não negatvos. Dz-se que X te dstrbução de probabldade Gaa de parâetros η e λ, se sua função densdade de probabldade (f.d.p.) é dada por f(x; η, λ) = η λ x Γ( η) 0, η e λ x, x > 0, η> 0, λ > 0 caso contráro (4.7) Quando λ é fxo e η vara, obté-se ua grande quantdade de foras; por outro lado, se η é fxo e λ vara, a fora da dstrbução não uda, as apenas sua escala. Por consegunte, η e λ são parâetros, respectvaente, de fora e escala (Hahn & Shapro, 967). A dstrbução Gaa acuulada é dada por F (x; η, λ) = η λ Γ( η) 0, x η t 0 e λ t dt, x 0, x < 0.. Fazendo y = λt e dt = λ dy te-se: F(x; η, λ) = Γ( η) x y 0 η e y dy, x 0 que fornece a probabldade de X assur valores enores ou guas a x e, se encontra tabelada para os város valores de η. A função

31 22 h (x) = x y 0 η e y dy é conhecda coo função Gaa ncopleta Propredades da dstrbução Gaa a) Se η =, f(x; η, λ) se transfora e f(x; η, λ) = λe -λx, x 0. Portanto, a dstrbução exponencal é u caso partcular da Gaa. b) Quando o parâetro η é u ntero postvo a função de dstrbução acuulada da dstrbução Gaa pode ser expressa e teros da função de dstrbução acuulada da dstrbução de Posson, coo ostra Meyer (969). c) Se X te ua dstrbução Gaa de parâetros η e λ, dada por (4.7), te-se E(X) = λ η e V(X) = η 2 λ (4.8) cuja deonstração pode ser vsta e Slvera Júnor et al. (992). d) A dstrbução Gaa se aproxa de ua dstrbução noral quando η auenta (Hahn & Shapro, 967) Assetra e Curtose Os oentos são quantdades que auxla na descrção de ua dstrbução de probabldade. Os oentos centrados na éda de orde dos, três e quatro (Apêndce ), são usados para deternação do grau de assetra e de curtose.

32 23 Por assetra deve-se entender o grau de afastaento de ua dstrbução do seu exo de setra e é utlzada para coparar a setra de duas dstrbuções cujas escalas de eddas dfere. Ua dstrbução poderá ser assétrca postva (α 3 > 0) quando há ua freqüênca aor de observações à esquerda ou enores do que a éda; assétrca negatva (α 3 < 0) quando os valores de X são as freqüentes à dreta da éda; ou sétrca (α 3 = 0) quando a éda separa os valores de X e duas partes guas, ua etade à dreta e a outra à esquerda. Ua edda objetva do grau de assetra de ua dstrbução é dada pelo coefcente de assetra α 3, ou seja: α 3 = ( ) 3/ 2 µ µ 2 3 e que µ 2 e µ 3 são, respectvaente, o segundo e o tercero oentos centrados na éda (Apêndce ). A curtose pode ser concetuada coo o grau de achataento de ua dstrbução. Ua dstrbução é chaada de leptocúrtca se α 4 > 3 e de platcúrtca se α 4 < 3. A dstrbução é denonada esocúrtca quando α 4 = 3. A relação α 4 = µ µ é ua edda relatva de curtose e µ 4 é o quarto oento centrado na éda (Apêndce ). Consderando η o parâetro de fora, a assetra e a curtose da dstrbução Gaa são dadas, respectvaente por (Hahn & Shapro, 967):

33 24 α 3= α 4 = 3 2 η ( η+ 2) η 3 2 = α A Dstrbução Gaa Padronzada Confore Cohen & Whtten (988), a dstrbução Gaa padronzada pode ser obtda através da segunte transforação: Z = X E(X) V(X) (4.9) Ass, a função densdade de probabldade da dstrbução Gaa padronzada resultante, que segue ua dstrbução Gaa (0,, α 3 ) sendo α 3 o parâetro de fora, é dada por 2 α3 g(z; 0,, α 3 ) = 4 α z + α α 2 3 exp α 2 2 z + 3 α 3, 2 < z < α 3 caso contráro Esta dstrbução Gaa padronzada é a dstrbução utlzada neste trabalho.

34 25 5 MATERIAL E MÉTODOS 5. Materal Os procedentos utlzados para o desenvolvento desse trabalho fora os coputaconas. Tas procedentos fora realzados utlzando o prograa Statstcal Analyss Syste, SAS, (SAS, 996), e u coputador Pentu III 500 MHz, co 28 MB de eóra RAM e 20 GB de dsco rígdo, junto ao Departaento de Boestatístca do Insttuto de Bocêncas da UNESP Capus de Botucatu, para a realzação das sulações necessáras e a utlzação do étodo dos ínos quadrados. Fo utlzado tabé, u coputador Celeron Intel 400 MHz, 64 MB de eóra RAM e 20 GB de dsco rígdo, de uso partcular, para executar o étodo de regressão L, pleentado por Slva (994), através do coplador Borland Pascal V.7.

35 Metodologa Utlzada 5.2. Sulação dos dados A captal de Mônaco, Monte Carlo, é conhecda por seus epreendentos arrscados onde as pessoas joga co sua sorte na esperança de ganhar fortunas. O resultado desses jogos é deternado por fatores aleatóros. Analogaente, a técnca conhecda coo sulação de Monte Carlo é baseada e u procedento que produz u resultado fundaentado e jogos cuja conseqüênca depende de u núero de fatores aleatóros. E u estudo de sulação, o jogo é ua representação ateátca ou funconal de u sstea e, os fatores aleatóros são as varáves aleatóras que são usadas para representar os eleentos do sstea. U estudo de sulação geralente envolve os seguntes passos (Shapro & Gross, 98):. deterne o odelo ateátco e/ou funconal que representa o sstea de entrada; 2. assoce a cada varável de entrada ua dstrbução de probabldade; 3. gere valores aleatóros para cada varável de entrada e utlze-os no odelo funconal para calcular os valores de saída; 4. repta os passos anterores utas vezes para obter u conjunto de dados que represente o sstea de entrada; 5. resua o conjunto de dados ajustando ua dstrbução epírca e calculando os oentos e percents desejados. de dados analsados. Este trabalho utlzou-se desta técnca de Monte Carlo para gerar os conjuntos por: Incalente assuu-se u odelo de regressão lnear sples representado Y = β 0 + β X + ε (5.)

36 27 co =, 2,..., n, sendo n o taanho da aostra. Neste odelo, β 0 e β são parâetros da população conhecdos, e os erros (coponentes aleatóros) ε segue ua dstrbução Gaa padronzada co parâetro α 3 (assetra), éda zero e desvo padrão, sto é, ε ~ Gaa (0,, α 3 ). Coo enconado anterorente, a função densdade de probabldade da dstrbução Gaa padronzada é dada por: g(z; 0,, α3) = 2 α 3 4 α z + α 3 4 α 2 3 exp α 2 2 z + 3 α 3, 2 < z < α 3 e, através das expressões (4.8) e (4.9) te-se z = λ X η η (5.2) sendo η u parâetro de fora e λ o parâetro de escala. Devdo a relação exstente entre a assetra e o parâetro de fora η, quando η = te-se α 3 = 2 e, portanto, 2 α 3 = 4, obtendo-se o odelo exponencal; auentando-se o valor de η a dstrbução Gaa se aproxa da noral ( α 0). 2 3 O Quadro ostra os valores de α 3 para alguns valores de η e partcular, os quas fora utlzados nas sulações.

37 28 Quadro - Valores obtdos para a assetra α 3 através da relação α 3 = 2 varando η de 0,25 a 9,75 co ncreento de 0,50. η α 3 η α 3 0,25 4,0000 5,25 0,8729 0,75 2,3094 5,75 0,834 η,25,7889 6,25 0,8000,75,59 6,75 0,7698 2,25,3333 7,25 0,7428 2,75,2060 7,75 0,784 3,25,094 8,25 0,6963 3,75,0328 8,75 0,676 4,25 0,970 9,25 0,6576 4,75 0,977 9,75 0,6405 Consderando o odelo (5.) e a relação entre α3 e η, fora gerados város conjuntos de observações através de sulações realzadas no SAS, utlzando-se da função RANGAM para gerar a dstrbução Gaa (Apêndce 2) e da expressão (5.2) para obter a dstrbução Gaa padronzada. Tas conjuntos fora obtdos varando-se o taanho da aostra de 20 a 00 co ncreento de 20; λ varou de 0,2 a 2,2 co ncreento de 0,4 e; η varou de 0,25 a 9,75 co ncreento de 0,50. Alé dsso, co base nos valores obtdos na aplcação, consderouse β 0 valendo 20, 30 e 40; be coo β valendo 0,5, -0,4 e 0,3. Para cada cobnação, β 0, β, taanho de aostra, λ e η, co 000 repetções cada, o odelo (5.) fo gerado utlzando a dstrbução Gaa padronzada Estação dos parâetros Na etapa segunte deternou-se as estatvas dos parâetros do odelo gerado anterorente por dos étodos: a) étodo dos ínos quadrados, que é o étodo clássco utlzado e regressões lneares;

38 29 b) étodo desenvolvdo por Slva (994), que é ua especalzação do étodo pral splex da prograação lnear para o problea de regressão L e explora o fato da função objetvo ser lnear por partes (Apêndce 3) Coparação dos estadores Concluída a etapa anteror, procedeu-se à coparação entre os estadores obtdos por abos os étodos, be coo as análses da efcênca do étodo de regressão L e relação ao étodo dos ínos quadrados. Deve-se lebrar que, dado u vetor de parâetros q = (β 0, β ) t o erro quadrátco édo (EQM) do estador qˆ, consderando a dstrbução Eucldana, é dado por: EQM(qˆ ) = E 2 2 q ˆq = ( β ) ( ) 2 0 βˆ ˆ 0 + β β Alé dsso, sabe-se da nferênca estatístca que, dados dos estadores ˆq e ˆq 2 de q, se EQM( ˆq ) < EQM( ˆq 2 ), então ˆq é elhor que ˆq 2 (Mood et al., 974). A partr do exposto, defnu-se R qq coo sendo a razão entre os erros quadrátcos édos dos estadores da regressão L e os erros quadrátcos édos dos estadores de ínos quadrados, ou seja: R qq = EQM(ˆ θq ) EQM(ˆ θq ) (5.3)

39 30 sendo ˆθ q o vetor dos estadores da regressão L e ˆθ q o vetor dos estadores de ínos quadrados. Deve-se lebrar que EQM é sepre aor que zero e, ass esta razão pode ser crada. A razão (5.3) fo utlzada coo crtéro de coparação entre os dos étodos. Quando esta razão é enor que teos que a regressão L é elhor que o étodo dos ínos quadrados e, portanto, é esta relação que nos nteressa. As coparações fora efetuadas utlzando as seguntes etapas: a) efeto do parâetro de escala do odelo Gaa na REQM b) efeto dos coefcentes lnear e angular do odelo de regressão na REQM; c) efeto do taanho aostral e do coefcente de assetra na REQM. Estas esas etapas fora utlzadas para coparar os dos étodos utlzando a dferença entre os erros quadrátcos édos. O uso da razão dos erros quadrátcos édos (5.3) para realzar as coparações entre os dos étodos consderados, ebora sples, não é ua etodologa encontrada na lteratura. Desta fora, este trabalho apresenta ua etodologa nova, sples e efcente. A coparação entre os dos étodos fo realzada tabé, utlzando-se as varâncas resduas édas desses étodos, vsto que é este tpo de coparação que encontrase na aora das pesqusas (Narula & Wellngton, s.n.t). 5.3 Materal e Método Utlzado na Aplcação Gusce (200) analsou a qualdade fsológca das seentes de lho doce e função do teor de água na colheta e da teperatura de secage e espga, utlzando 3 cultvares de lho co trataentos, copostos pela cobnação colheta e secage. A portânca do estudo de Gusce (200) deve-se ao fato de que u dos fatores que as afeta a qualdade do fruto está relaconado co o seu alto teor de água, ass

40 3 a secage da planta pode elhorar a qualdade do produto. A secage natural e capo na própra planta pode acarretar perdas físcas e qualtatvas potencalente prejudcas. Por outro lado, a secage artfcal requer ua aor produção de lho para cobrr seu alto custo, devdo ao grande gasto de energa para a secage. Ass, o estudo do teor de udade da planta a f de se obter a enor taxa é de fundaental portânca tanto na agronoa quanto e energa na agrcultura. Gusce (200) não realzou o ajuste do odelo de regressão lnear e seus conjuntos de dados, não coproetendo ass suas conclusões. Se os conjuntos de dados satsfzesse todas as pressuposções do odelo de regressão lnear ele podera ser utlzado, pos o parâetro estado ˆβ representa a perda éda do teor de udade da planta. Por se adequare aos nossos propóstos, este trabalho utlza três dos conjuntos de dados de Gusce (200) coo exeplo prátco. Ass, o étodo de regressão L de Slva (994) e o étodo dos ínos quadrados fora aplcados nestes conjuntos de dados e os seus resultados analsados.

41 32 6 RESULTADOS E DISCUSSÃO Neste capítulo apresentareos os resultados e dscussão do trabalho e fora de seções para ua elhor copreensão. 6. Estadores de regressão L Os estadores de β 0 e β da regressão L fora obtdos, coo já enconado, pela aplcação do étodo de Slva (994). As sulações realzadas, consderando as varações do taanho aostral, λ, η, β 0, β e.000 repetções para cada caso, gerara conjuntos de dados. Desse valor, ao aplcar regressão L,.567 conjuntos (0,0290%) não convergra e.000 terações. O problea de convergênca ocorreu devdo ao fato de Slva (994) e seu prograa não ter consderado a possbldade de ocorrer base degenerada, sto é, no étodo splex da prograação lnear, no qual o étodo de regressão L de Slva (994) se basea, exste stuações e que a solução encontrada se alterna entre dos valores e necessta de u trataento especal (splex lexcográfco) para escolher a elhor solução e atngr a convergênca. Esses.567 conjuntos de observações não fora consderados neste estudo.

42 Coparação dos Estadores As análses dos resultados obtdos estão apresentadas segundo três dferentes lnhas. A prera te coo base a razão dos erros quadrátcos édos dos étodos estudados, a segunda é baseada na dferença dos erros quadrátcos édos e, a tercera utlza a coparação das varâncas resduas dos odelos ajustados pelos dos étodos. Esta últa lnha é encontrada na aor parte dos artgos centífcos(narula & Wellngton, s.n.t) Análse coparatva dos étodos de ínos quadrados e ínos desvos absolutos co base no REQM Razão dos Erros Quadrátcos Médos Efeto do parâetro de escala (l) do odelo Gaa na REQM De todas as varações ncluídas nas sulações: taanho aostral, coefcente lnear e angular do odelo de regressão lnear, parâetro de escala e de fora do odelo Gaa e o coefcente de assetra; o parâetro de escala λ fo o únco a afetar as REQM s de duas aneras opostas. Valores de λ nferores a,0 produze REQM aores que,0 - favorecendo o étodo de ínos quadrados; já valores de λ superores a,0 o efeto é o oposto, sto é, produze REQM enores que,0 - favorecendo ass o étodo de ínos desvos absolutos (Fgura ). Observa-se que cada grupo de λ ( e >), conté 50% das observações. Ass, nas stuações estudadas (n=5.400) 50% dos casos sugere o uso do étodo dos ínos desvos absolutos (regressão L ) e os outros 50% o étodo dos ínos quadrados.

43 34 3,0 2,5 REQM 2,0,5,0 REQM< (λ>) REQM> (λ<) 0,5 0,0 0,0 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0 λ Fgura - Efeto do parâetro de escala (λ) do odelo Gaa de dstrbução de probabldade na Razão dos Erros Quadrátcos Médos (REQM), obtdos por sulação (n=5400), consderando taanho aostral, coefcente lnear e angular do odelo de regressão lnear, parâetro de escala e de fora do odelo Gaa e o coefcente de assetra (000 repetções para cada cobnação) Efeto das varações ncluídas na sulação na REQM Pela Fgura 2, pode-se verfcar que a varação de β 0 não nfluenca na razão dos erros quadrátcos édos, tanto para λ< (caso e que o étodo dos ínos quadrados é elhor), coo para λ> (stuação e que o étodo dos ínos desvos absolutos é elhor). Observa-se tabé que, para λ<, ndependente dos valores de β 0, há ua aor concentração de valores da razão dos erros quadrátcos édos e sua parte nferor. Fato seelhante pode ser observando para λ>, poré esta concentração é aor para valores da razão as próxos de. Resultado análogo pode ser observado para a varação de β, tanto e relação a λ quanto a concentração dos valores da razão dos erros quadrátcos édos.

44 35 Ass, pode-se conclur que a varação dos coefcentes lnear (β 0 ) e angular (β ) do odelo de regressão não afeta a razão dos erros quadrátcos édos para os casos analsados. λ< λ> REQM 3,0 REQM,2 2,5,0 REQM= 2,0 0,8,5 0,6,0 REQM= 0,4 0,5 0,2 0, β0 0, β0 REQM 3,0,2 2,5 REQM=,0 2,0 0,8,5 REQM 0,6 REQM=,0 0,4 0,5 0,2 0,0-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2 β 0,0-0,5-0,45-0,4-0,35-0,3-0,25-0,2 β Fgura 2 Efeto dos coefcentes lnear e angular do odelo de regressão (β 0 ) e (β ), respectvaente, na Razão dos Erros Quadrátcos Médos (REQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores de do parâetro de escala λ do odelo Gaa. Analsando o taanho aostral e consderando λ<, observa-se pela Fgura 3 que, quanto aor o taanho da aostra, aor o valor da razão dos erros quadrátcos édos e, a concentração destes valores tende a dnur.

45 36 Consderando λ>, nota-se que o taanho aostral parece não nfluencar nos valores de REQM. Observa-se tabé que, a concentração dos valores da razão dos erros quadrátcos édos tende a ser aor para os valores de REQM as próxos de. Pela Fgura 3, pode-se observar o efeto que o coefcente de assetra (α 3 ) exerce sobre a razão dos erros quadrátcos édos. À edda que o coefcente de assetra auenta, a razão tabé auenta, quando λ< e, o oposto ocorre no caso de λ>, sto é, nesta stuação quanto aor α 3 as próxo de zero está a razão dos erros quadrátcos édos. Ass, conclu-se que a varação do taanho aostral afeta a razão dos erros quadrátcos édos apenas no caso de λ<, sto é, no caso e que o étodo dos ínos quadrados é elhor. Co relação ao coefcente de assetra, conclu-se que, para λ<, quanto aor o coefcente de assetra, elhor é o étodo dos ínos quadrados e, para λ>, auentando o valor de α 3 o étodo dos ínos desvos absolutos torna-se as efcente.

46 37 λ< λ> 3,0,2 2,5,0 REQM= 2,0 0,8 REQM,5 REQM 0,6,0 REQM= 0,4 0,5 0,2 0, Taos 0, Taos 3,0,2 2,5,0 REQM= 2,0 0,8 REQM,5 REQM 0,6,0 REQM= 0,4 0,5 0,2 0,0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 α3 0,0 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 α 3 Fgura 3 Efeto do taanho aostral e do coefcente de assetra na Razão dos Erros Quadrátcos Médos (REQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores do parâetro de escala λ do odelo Gaa.

47 Análse coparatva dos étodos de ínos quadrados e ínos desvos absolutos co base na DEQM Dferença dos Erros Quadrátcos Médos Efeto do parâetro de escala (l) do odelo Gaa na DEQM Consderando as dferenças dos erros quadrátcos édos DEQM = EQM_Q EQM_MQ sendo EQM_Q o erro quadrátco édo da regressão L e EQM_MQ o erro quadrátco édo do étodo de ínos quadrados, te-se que se DEQM<0 o étodo da regressão L é elhor que o étodo de ínos quadrados, conseqüenteente, o étodo de ínos quadrados é elhor caso DEQM>0. Ass coo no caso da razão dos erros quadrátcos édos, consderando todas as varações ncluídas nas sulações apenas o parâetro de escala λ afeta as DEQM s. Valores de λ nferores a,0 produze DEQM aores que zero - favorecendo o étodo de ínos quadrados; já valores de λ superores a,0 o efeto é o oposto, sto é, produze DEQM enores que zero - favorecendo ass o étodo de regressão L (Fgura 4). Observa-se pela Fgura 4 que para o caso e que λ>, stuação e que a regressão L é elhor, a concentração dos valores das dferenças é aor e as próxa de zero quanto as próxo de estver λ, conseqüenteente, a edda que λ auenta, a dferença dos erros quadrátcos édos tabé auenta e ódulo, sto é, elhor é o étodo da regressão L.

48 39 DEQM 0,2 0,0-0,2 DEQM=0 λ 0,5,0,5 2,0 2,5 3,0-0,4-0,6-0,8 -,0 DEQM<0 ( λ>) DEQM>0 ( λ <) -,2 -,4 -,6 -,8 Fgura 4 - Efeto do parâetro de escala (λ) do odelo Gaa de dstrbução de probabldade na Dferença dos Erros Quadrátcos Médos (DEQM), obtdos por sulação (n=5400), consderando taanho aostral, coefcente lnear e angular do odelo de regressão lnear, parâetro de escala e de fora do odelo Gaa e o coefcente de assetra (000 repetções para cada cobnação) Efeto das varações ncluídas na sulação na DEQM Pela Fgura 5, observa-se que, tanto para o coefcente lnear (β 0 ) quanto para o coefcente angular (β ) do odelo de regressão, nas duas stuações de λ, à edda que os valores de DEQM se afasta do exo de referênca (DEQM=0), a concentração destes valores dnu, co ua dnução as sgnfcatva no caso e que λ<, sto é, caso onde o étodo de ínos quadrados é elhor.

49 40 Alé dsso, coo na razão dos erros quadrátcos édos (REQM), observa-se que a varação dos coefcentes lnear (β 0 ) e angular (β ) do odelo de regressão não afeta a dferença dos erros quadrátcos édos para os casos λ< e λ>. DEQM 0,30 0,25 0,20 0,5 0,0 0,05 λ< λ> ,00 β0 DEQM=0-0,20-0,40-0,60-0,80 -,00 -,20 -,40 -,60 DEQM=0 0,00 β ,80 DEQM DEQM 0,30 0,25 β -0,6-0,5-0,4-0,3-0,2 0,0 DEQM=0-0,2-0,4 0,20 0,5-0,6-0,8 -,0 0,0 0,05 -,2 -,4 -,6 β DEQM=0-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2 0,00 -,8 DEQM Fgura 5 Efeto dos coefcentes lnear e angular do odelo de regressão (β 0 ) e (β ) respectvaente, na Dferença dos Erros Quadrátcos Médos (DEQM), obtdos por sulação (000 repetções), segundo valores de do parâetro de escala λ do odelo Gaa. Analsando o taanho aostral e consderando λ<, observa-se pela Fgura 6 que, quanto aor o taanho da aostra, aor o valor da dferença dos erros quadrátcos édos, favorecendo o étodo de ínos quadrados. Consderando λ>, nota-se que o taanho aostral parece não nfluencar nos valores de DEQM.