PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011

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1 Instruções: PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 00/0 Cada uestão respondda corretamente vale (um) ponto. Cada uestão respondda ncorretamente vale - (menos um) ponto. Cada uestão dexada em branco vale 0 (zero) pontos (neste caso marue TODAS as alternatvas). Pelo menos 9 (nove) uestões devem ser responddas pelo canddato. e) A nota fnal será a soma dos pontos (negatvos e postvos) de todas as uestões. f) As opções escolhdas devem ser assnaladas na folha de respostas no fnal da prova. Questão : Quantas maneras dstntas há para arranjar as letras na palavra MISSISSIPPI? Questão : Um lote contém 0 peças, das uas se sabe serem 9 defetuosas. Se a ordem da nspeção das peças se fzer ao acaso, ual a probabldade de ue a peça nspeconada em 5º lugar seja a últma peça defetuosa contda no lote?

2 Questão : Um geólogo afrma ue exste uma probabldade de 4/5 de exstr petróleo em determnada regão. Além dsso, caso realmente tenha petróleo na regão, a probabldade de ele sar na prmera perfuração é de /. Qual a probabldade de ter petróleo nesta regão, se na prmera perfuração não se encontrou petróleo? 0 /5 / / Questão 4: A moeda A tem probabldade p de sar cara e as moedas B e C têm a probabldade de sar cara. As três moedas (A, B e C) são colocadas dentro de um saco e uma delas é escolhda ao acaso (todas as três moedas têm gual probabldade de serem escolhdas). A moeda escolhda é então lançada duas vezes e obtém-se cara nestes dos lançamentos. Qual é a probabldade de ue a moeda escolhda seja a moeda B? p + p + p p + Questão 5: Um avão cau em algum local desconhecdo do Oceano Atlântco. Uma eupe atrbu uma probabldade provsóra p de ue o avão esteja em um setor consttuído por um uadrado cujo lado mede.000 mlhas náutcas. Sabe-se ue, caso o avão esteja de fato afundado neste setor, a probabldade de ue uma busca al tenha sucesso é. Uma busca é realzada neste setor e o avão não é encontrado. Qual é probabldade de ue o avão esteja afundado neste setor? 0 p p p +

3 Questão : A probabldade de fechamento de cada relé do crcuto a segur é dada por ρ. Se todos os relés funconam ndependentemente, ual será a probabldade de ue uma corrente crcule entre os termnas do crcuto, ou seja, ual a probabldade de ocorrer um camnho fechado entre os extremos do dagrama? 4 ρ ρ ρ ρ 4 ρ ρ + ρ ρ 4 ρ ρ + ρ + ρ Questão 7: Um tme de futebol tem probabldade de 0% de ganhar, 0% de empatar e de 50% de perder contra outros adversáros de um campeonato. Cada vtóra rende pontos e cada empate rende ponto. Em cnco jogos, ual a probabldade aproxmada deste tme obter pelo menos pontos? 0,00 0,0040 0,0054 0,094 Questão 8: Um funconáro de uma montadora de computadores apanha crcutos de uma estera ue passa ao seu lado. Ele testa cada um deles. Se o crcuto estver perfeto, adcona-o ao computador. Caso esteja com defeto, descarta o crcuto. Cada computador precsa de 5 crcutos para ser montado e a proporção de crcutos defetuosos é 5%. Quas são, respectvamente, () a probabldade aproxmada de um funconáro precsar testar mas de crcutos para montar um computador e () o número médo de crcutos ue a ndústra deve testar para montar 90 computadores com crcutos sem defetos? 0,0 e 000 0,0 e 997,5 0,9 e 000 0,9 e 997,5

4 Questão 9: Uma peça metalúrgca especal é usnada e testada para dentfcar se há defetos. Caso seja encontrado algum defeto, a peça é descartada e uma nova peça é novamente usnada. O processo se repete até ue uma peça perfeta seja produzda. A probabldade de ue a peça seja produzda sem defeto a cada tentatva é de 0%. O custo para se produzr a peça na prmera tentatva é de R$ 500,00 e de R$ 00,00 a partr da segunda tentatva. Qual é o custo esperado para se produzr uma peça sem defeto? R$.500,00 R$.00,00 R$ 850,00 R$ 450,00 Questão 0: Suponha ue uma varável aleatóra contínua tenha a função de densdade de probabldade dada por: x + k, 0 < x <, f ( x) 0, caso contráro. Supondo ue P(X> = /, uas são os valores de k e b, respectvamente? k =, b = ( + 5) / k =, b = + 5 k =, b = ( + 5) / k =, b = + 5 Questão : Seja X uma varável aleatóra contínua com a segunte função de densdade de probabldade: x +, f ( x) 8 0, < x <, caso contráro, e seja Y uma varável aleatóra defnda em função da varável aleatóra X: Y X, < x < 4, caso contráro. A função de densdade de probabldade de Y, g(y), é: +, 0 < y < 4, y g( y) caso contráro. y, 0 < y < 4, g( y) caso contráro., 0 < y < 4, y P( Y = 4) = e g( y) caso contráro. +, 0 < y < 4, y P( Y = 4) = e g( y) caso contráro. 4

5 Questão : Sejam X e Y duas varáves aleatóras contínuas e ndependentes com as seguntes funções de densdade de probabldades: x +, < x <, f ( x) e 0, caso contráro, y, 0 y, f ( y) y, < y 0, caso contráro. Suponha T = 5X + Y. A E(T) é: 4 4 Questão : Para uma população na ual o tempo até a morte seja uma varável aleatóra T unformemente dstrbuída em [0, 00], consdere um casal cujas dades sejam 45 e 50. Assuma ue a morte deles seja eventos ndependentes. Quas são, respectvamente, as probabldades para ue: () ambos vvam ao menos 0 anos e () ambos morram nos próxmos 0 anos? 84/990 e /990 84/990 e 44/990 78/990 e /990 78/990 e 44/990 Questão 4: Garrafas de um refrgerante popular devem conter 00 mlltros (ml). Entretanto, a máuna de encher não tem uma precsão absoluta e ocorrem varações de uma garrafa para outra. A dstrbução do conteúdo é aproxmadamente normal, com desvo-padrão σ =0,50 ml, conhecdo de análses anterores. Um estudante desconfa ue o conteúdo médo seja nferor aos 00 ml anuncados e mede o conteúdo de uatro garrafas, obtendo os seguntes resultados: 99,4 0,0 98,9 97,7 Analsando os resultados obtdos pelo estudante, assnale a alternatva ue apresenta corretamente as hpóteses a serem testadas de forma a garantr ue o erro tpo I seja o mas grave, o valor da estatístca de teste e ual a conclusão ue chegara o estudante, a um nível de sgnfcânca de %. H 0 : μ 00 versus H : μ 00; -,5; não rejeta H 0. H 0 : μ=00 versus H : μ 00; -,0; rejeta H 0. H 0 : μ=00 versus H : μ 00; -,5; não rejeta H 0. H 0 : μ=00 versus H : μ 00; -,0; rejeta H 0. 5

6 Questão 5: Para um modelo de regressão lnear smples sem ntercepto, Y X = β X + ε, onde ε são varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas, ε ~ Normal( µ = ε 0, σ ). O estmador de mínmos uadrados para o parâmetro β, consderando uma amostra de tamanho n é: ˆβ = ˆβ = ˆβ = ˆβ = y y x x y y x y x x ***

7 PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 00/0 //00 Instruções: No uadro abaxo, assnale com um X a opção de resposta escolhda para cada uestão USE CANETA Questão Resposta ( ( ( ( Pontuação NOME COMPLETO: IDENTIDADE/PASSAPORTE Nº: ASSINATURA: 7

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