3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas

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1 3.6. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas descrtvas de posção e de dspersão Dados agrupados com varáves dscretas Para varáves dscretas os resultados com dados agrupados são os mesmos quando se tem a amostra, pos esta pode ser recomposta com as frequêncas da tabela. Exemplo 6: Dados coletados em entrevstas com 500 pessoas sendo coletadas nformações sobre o tempo de casamento até o prmero dvórco e o número de dvórcos de cada. Varável dscreta: X = número de dvórcos por ndvíduo Tabela 3: Número de dvórcos por ndvíduo. Dvórcos = x n f F ac x f n x 40 0,480 0,480 0, ,50 0,730 0, ,6 0,89 0, ,096 0,988 0, ,0,000 0, Total 500,000,90 387

2 ) Méda amostral: k é o número de classes na tabela de frequêncas, então, a méda amostral pode ser calculada fazendo x n x j n j k xn n k x n n, ou seja, x k x f. Portanto, no exemplo temos: x k x f =,9 dvórcos ( dvórcos) ) Varânca e desvo padrão amostras: da mesma forma como no caso anteror, podemos obter a varânca amostral fazendo: n x j j k n x. Desta forma, no exemplo varânca amostral: s x nx ( n ) (,9) (500 ) 56,95 499,3 desvo padrão amostral: s,06 dvórcos ( dvórco)

3 ) Medana: a medana pode ser obtda da mesma forma como no caso anteror, com a determnação da posção central. Logo, a medana é dada pela observação que ocupa a posção (n + )/. No exemplo, como n = 500, temos que a medana é dada pela observação que ocupa a posção: n ,5. Logo, a medana é dada pela méda entre a 50ª e 5ª observações ordenadas: x(50) x(5) med ( x) dvórcos v) Quarts: para os quarts, também procedemos da mesma forma, ou seja Como a medana dvde os dados em dos grupos de 50 observações, Q é dado pela observação que ocupa a posção central da prmera metade e Q 3 a observação central da segunda metade. x(5) x(6) Q dvórco x(375) x(376) 3 3 Q 3 3 dvórcos

4 Nota: Uma varação para o caso de dados agrupados pode ser obtda representando-se os desvos ( x x) dretamente na tabela: Tabela 4: Número de dvórcos por ndvíduo (representação alternatva). Dvórcos = x n f F ac x f (x x ) n (x x ) 40 0,480 0,480 0,480-0,90 98, ,50 0,730 0,500 0,090, ,6 0,89 0,486,090 96, ,096 0,988 0,384,090 09, ,0,000 0,060 3,090 57,886 Total 500,000,90 56,950 Méda amostral: x x f =,9 dvórcos Varânca amostral: x x ( n ) s 56,95 499,3

5 Exemplo 7: Consdere a tabela abaxo representando a dstrbução de frequêncas do número de parastas encontrados por muda de certa espéce de planta. X = número de parastas por muda. Tabela 5: Número de parastas por planta. x n n acum. f F ac x f n x 3 3 0,083 0,083 0, ,67 0,50 0, ,50 0,500, ,39 0,639 0, ,67 0,806, , 0,97 0, ,083,000 0,667 9 Total 36,000 4, Então: méda amostral: x k x f = 4,806 ( 5 parastas) varânca amostral: s x nx ( n ) (4,806) (36 ) s 07, ,07 desvo padrão amostral: s 3,07, 75 parastas

6 A medana é a observação na posção (36 + )/ = 8.5 x(8) x(9) 4 5 med ( x) 4,5 parastas Para a obtenção dos quarts, o procedmento é semelhante. Como n é par, os quarts são as observações centras das metades nferor e superor à medana. Desta forma, Q está entre 9ª e 0ª observações ordenadas: x(9) x(0) 3 4 Q 3,5 parastas. Q 3 está entre 7ª e 8ª observações ordenadas, porém, podemos ver que Q 3 pertence à qunta classe uma vez que esta acumula 9 observações, x(7) x(8) Q parastas. A moda é gual a 4 parastas, cuja frequênca é gual a 9, sto é, mo ( x) 4 parastas

7 3.6.. Dados agrupados com varáves contínuas No caso de varáves contínuas os resultados com dados agrupados não são os mesmos daquelas da amostra. Neste caso, faz-se uma aproxmação a partr da suposção de que os dados são dstrbuídos de manera unforme dentro da classe. A partr desta suposção, como as classes têm ampltude constante h, tomamos os seus pontos médos como referênca e, a partr daí, para o cálculo de x e s, procedemos da mesma manera como no caso anteror. Para as meddas de posção ordenadas, no entanto, devemos dentfcar o ponto exato para o qual a frequênca acumulada é gual àquela desejada. Exemplo 8: Dados coletados em entrevstas com 500 pessoas sendo coletadas nformações sobre o tempo de casamento até o prmero dvórco. X = tempo (anos) até o prmero dvórco. Tabela 6: Tempo até o prmero dvórco. Anos até º. Pto. médo dvórco x n f F ac x f n x Total

8 ) Méda amostral: x x f = 6,90 anos ) Varânca e desvo padrão amostras: s x nx ( n ) (6,90) (500 ) ,685 s 5,6 anos ) Medana: Incalmente devemos dentfcar a classe que contém a medana, ou seja, a classe que acumula uma frequênca gual ou maor do que 0.50 (50%). med(x) pertence à ª classe, pos a F ac é maor do que Uma vez dentfcada a classe da medana devemos encontrar o ponto exato que acumula a sua frequênca, ou seja, devemos encontrar o ponto exato com F ac = 0.50.

9 Devdo à suposção de unformdade dentro das classes, este ponto é faclmente obtdo através de uma smples regra de três: (6 0) med ( x) 0 50, de onde se obtêm: med ( x) med ( x) med ( x) 5.36 anos v) Quarts: Os quarts são obtdos de manera semelhante à medana, com a dferença que as suas frequêncas acumuladas são 0.5 (5%) e 0.75 (75%), respectvamente. Q pertence à ª classe, pos a F ac é maor do que 0.5.

10 Regra de três (6 0) Q 0 5 Q Q.68 anos, Q 3 pertence à ª classe, pos a F ac é maor do que A frequênca cumulada até a classe anteror é 0.56, portanto, faltam de frequênca. Regra de três ( 6) Q Q Q anos,

11 v) Moda: Para dados agrupados, ao nvés da moda, pode-se consderar a classe modal, que neste caso é a ª classe, com frequênca gual a 80, ou seja, a classe modal sera: [ 0; 6) anos. Porém, uma opção mas aproprada sera a moda de Czuber, calculada a segur: Em que: L é o lmte nferor da classe modal; h é a ampltude de classe da dstrbução de frequêncas; d a é a dferença da frequênca da classe modal (relatva ou absoluta) com a classe medatamente anteror; d p é a dferença da frequênca da classe modal (relatva ou absoluta) com a classe medatamente posteror. Fgura 9: Cálculo da moda de Czuber.

12 Com os dados do tempo de casamento até o prmero dvórco, temos: L I = 0, h = 6, d a = 80 e d p = 40, portanto: mo cz ( x) (80 40) mo cz ( x) 4anos.

13 Exemplo 3: Notas no teste GMAT na seleção de alunos de graduação numa unversdade amercana. Tabela 7: Notas no teste GMAT Pto. médo: Notas x n f x f F ac n x Totas ) Méda amostral: x x f = pts ) Varânca e desvo padrão amostras: s n x nx ( n ) pts s pts

14 v) Medana: med(x) pertence à 4ª classe, pos a F ac = 0.6 é maor do que Regra de três: med( x) , 0.7 de onde se obtêm: med ( x) med ( x) med ( x) pts v) Quarts: Q pertence à 3ª classe, pos a F ac = 0.39 é maor do que 0.5. Regra de três: Q , 0.33 Q Q 43.4 pts

15 Q 3 pertence à 5ª classe, pos a F ac = é maor do que Regra de três: Q , 0.39 Q Q pts Fgura 0: Hstograma das notas do teste GMAT

16 ) Moda: pelo método de Czuber, temos: L I = 450, h = 50, d a = 6 e d p = 9, portanto: mo cz 6 ( x) (6 9) mo cz ( x) 470 pts

17 Percents amostras pelo gráfco da dstrbução acumulada Tabela 8: Notas no teste GMAT Escores Pto. médo: x n f F ac Totas Fgura : Gráfco de frequêncas acumuladas (F ac ) das notas no teste GMAT.

18 A medana pode ser obtda faclmente por semelhança de trângulos unndo-se os pontos abaxo dos degraus do gráfco, conforme mostra a Fgura. Fgura : Representação da medana no gráfco de frequêncas acumuladas das notas GMAT Regra de três: Isolando no gráfco apenas o degrau referente à classe da medana, temos: med( x) , med ( x) med ( x) pts

19 O mesmo procedmento pode ser realzado para a obtenção dos quarts. Regra de três: Isolando no gráfco os degraus referente às classes dos quarts Q e Q 3, temos: Obtenção de Q : Q , Q Q 43.4 pts Obtenção de Q 3 : Q , Q Q pts

20 Exemplo 4: Dados coletados em entrevstas com 48 mulheres de uma comundade rural sobre o número de vezes que fcaram grávdas (dados fctícos). X = varável número de gravdezes por mulher x Tabela 9: Número de gravdezes por mulher (var. dscreta) n f F ac x f n ( x x) Total Calcular a méda, varânca, medana, moda, quarts: ) Cálculo da méda: x k x f ( 0.46) ( 0.7) (3 0.9) ( 40.46) (5 0.5) (60.083) x k x f x k x f gravdezes ) Cálculo da varânca e desvo padrão: s k n x x n

21 s,9.54 gravdezes ) Cálculo da medana: med ( x) 3 gravdezes pos F ac (3) > x(4) x(5) Anda: med ( x) 3 v) Cálculo dos quarts: Q gravdezes pos F ac () > 0.5. x() x(3) Anda: Q. Q 4 gravdezes pos F 3 ac (4) > x(36) x(37) Anda: Q 4. v) Cálculo da moda: mo ( x) gravdezes observação com maor frequênca.

22 Fgura 3: Hstograma do número de gravdezes/mulher (dados fctícos). Exemplo 6: Saláro de 36 funconáros da Companha MB em número de saláros mínmos (dados do lvro Estatístca Básca de Bussab & Morettn). X = saláro (sm) Tabela 0: Saláro dos funconáros da Ca MB, em s.m. (var. contínua) Pto. Médo x n classes ac ,78 0,78, ,333 0,6 3, , 0,833 3, ,39 0,97, ,08,000 0,6 484 Total 36,000 -, 53 f F n x x f

23 Fgura 4: Saláro dos funconáros da Ca MB, em s.m. Calcular a méda, varânca, medana, moda, quarts: (no caso, x, =,,, k são os pontos médos das classes) ) Cálculo da méda: x k x f, sm ) Cálculo da varânca e desvo padrão: x nx n s (,) 35 0,00 s 0,00 4,47 sm

24 ) Cálculo da moda: Para esses dados a classe modal é a ª classe, com frequênca gual a, ou seja, a classe modal é a classe [ 8; ). A moda de Czuber, por sua vez, é dada por: mo cz ( x) ( 4) mo cz ( x) 9.33sm 8 6 v) Medana: med (x) pertence à ª classe, pos a ª classe acumula mas de 50% dos dados ( F 0, 50). Como até a classe anteror temos 0,8 de dstrbução acumulada, os 0, restantes para totalzar 0,50 devem ser obtdos da ª classe. Assm, por meo da proporconaldade entre os retângulos na fgura (regra de três), obtém-se a medana. ac

25 ( 8) 0,33, med ( x) 8 0, med ( x) 8 40, 0,33 med ( x) 0,67 sm v) Quarts: Para os quarts o procedmento é semelhante ao da medana. Para o quartl Q devemos encontrar a classe que acumula uma frequênca gual ou maor do que 0,5. Desta forma, Q pertence à ª classe, que acumula uma frequênca gual a 0,8. Num procedmento semelhante ao anteror, temos: (8 4) 0,8 0, Q 4 5 Q 4 40,5 0,8 Q 7,57sm

26 Q 3 pertence à 3ª classe, que acumula uma frequênca gual a 0,83 (> 0,75). Desta forma, temos: (6 ) 0, 0, Q 4 3 Q 3 40,4 0, Q3 4,55 sm Fórmula para o cálculo da medana e quarts Os cálculos acma podem resumdos na fórmula dos percents amostras. No caso a medana é o percentl 0,50 (50%) e sua fórmula é dada por: med ( x) L nf h 0,50 F f ( ) ac Em que: h = ampltude da classe; L nf = lmte nferor da classe da medana; f = frequênca relatva da classe que contém a medana; () ac F = frequênca acumulada até a classe medatamente anteror à classe da medana.

27 Para os quarts Q e Q 3 a fórmula é a mesma, substtundo apenas a frequênca 0,50 por 0,5 e 0,75, respectvamente. Para Q Para Q 3 Q L nf h 0,5 F f ( ) ac Q 3 L nf h 0,75 F f ( ) ac