Variáveis Aleatórias

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1 Unversdade Federal do Pará Insttuto de Tecnologa Estatístca Aplcada I Prof. Dr. Jorge Teóflo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenhara Mecânca /08/06 7:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teora das Probabldades Unversdade Federal do Pará Insttuto de Tecnologa Capítulo III Varáves Aleatóras Campus de Belém Curso de Engenhara Mecânca

2 III Varáves Aleatóras Introdução Varíáves aleatóras dscretas Varáves aleatóras contínuas Parâmetros das varáves aleatóras Varáves aleatóras bdmensonas III Varáves Aleatóras Introdução Varíáves aleatóras dscretas Varáves aleatóras contínuas Parâmetros das varáves aleatóras Varáves aleatóras bdmensonas

3 3. Introdução Em um expermento aleatóro, uma varável cuo valor meddo pode varar de uma réplca do expermento para outra é referda como varável aleatóra. Exemplos: X pode denotar a medda da resstênca mecânca no ensao de tração de um materal; Y representar o dâmetro de uma peça usnada; Z expressar a resstvdade do solo em um processo corrosvo em torres de lnha de transmssão. As varáves aleatóras (V.A) surgem em função da necessdade de se representar os resultados de uma experênca aleatóra por meo de números reas. 3. Introdução Defnção Uma varável aleatóra pode ser expressa como uma função defnda num espaço de resultados S e que tem como contradomíno os números reas. Sea E um expermento e S o espaço assocado a ele. Uma função X, que assoce a cada elemento s S um número real X(s) é denomnada varável aleatóra. S X R s Varável aleatóra X(s) 3

4 3. Introdução Defnção Exemplo: E : Lançamento de duas moedas; X : Número de caras (c) obtdas nas duas moedas; S : {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} X = 0 correspondente ao evento (k, k) com probabldade ¼; X = correspondente ao evento (k, c), (c, k) com probabldade ½; X = correspondente ao evento (c, c) com probabldade ¼. 3. Introdução Classfcação As varáves aleatóras classfcam-se em dscretas ou contínuas, dependendo do tpo de conunto de valores que elas podem assumr. - Varável dscreta: quando a varável assume valores num conunto fnto ou nfnto numerável. - Varável contínua: quando a varável assume valores de um conunto nfnto não numerável. 4

5 3. Introdução Classfcação Exemplos: - A V.A resultado do lançamento de um dado é dscreta; - A V.A que representa o tempo que um atleta leva para completar a prova dos 00 metros é contínua se for admtdo que é medda com precsão absoluta. - A V.A que representa as meddas de corrente elétrca a partr de um nstrumento dgtal que mostre a corrente para o mas próxmo centésmo de mlampére é dscreta (as meddas possíves são lmtadas). 3. Introdução Representação As varáves aleatóras são representadas por letras maúsculas (X, Y, Z, W,...), e os valores que elas podem assumr são representados pelas correspondentes letras mnúsculas (x, y, z, w,...). Exemplo: E: Medção do peso de uma pessoa escolhda ao acaso. S = {Conunto de todos os pesos atrbuíves a uma pessoa}. X = O peso da pessoa (assume qualquer valor do espaço de resultados). x =,65 m (a altura de uma das pessoas). 5

6 3. Introdução Observação: Exstem stuações em que os valores da varável aleatóra não são os resultados do espaço assocado ao expermento, mas sm uma transformação destes. - Exemplo: E: Lançamento de dos dados. S = Conunto dos valores obtdos pelos dos dados, num total de trnta e ses resultados possíves (tamanho de S = 36) S = {( x, y ) x, y =,,3,4,5,6}. X = V.A que representa a soma dos números dos pontos dos dos dados, a qual pode assumr qualquer valor ntero de a, ou X(s) = {,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,}. 3. Introdução Observação: No mesmo espaço assocado ao expermento anteror poder-se-a defnr outra varável aleatóra. - Exemplo: Y = V.A que representa a dferença, em valor absoluto, dos números dos pontos dos dos dados, a qual pode assumr qualquer valor ntero de 0 a 5, ou Y(s) = {0,,,3,4,5 } 6

7 III Varáves Aleatóras Introdução Varíáves aleatóras dscretas Varáves aleatóras contínuas Parâmetros das varáves aleatóras Varáves aleatóras bdmensonas 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função de probabldade A dstrbução de probabldade de uma varável aleatóra qualquer X é uma descrção das probabldades assocadas com os valores possíves de X. Para uma varável aleatóra dscreta, a dstrbução é freqüentemente especfcada por apenas uma lsta de valores possíves untamente com a probabldade de cada um. Em alguns casos, é convenente expressar a probabldade em termos de uma fórmula. 7

8 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função de probabldade Defne-se como função de probabldade, f, a função que assoca a cada valor que a varável pode assumr, a probabldade da varável assumr esse valor. Para uma varável aleatóra dscreta X, com valores possíves x, x,..., x n, a função de probabldade é f ( x ) P( X x ) Já que f(x ) é defnda como n uma probabldade, então f ( x ) 0 para todo x e f ( x ) P(X) pode ser expresa por uma tabela, gráfco ou fórmula. 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função de probabldade Exemplo: E: Lançamento de duas moedas. X: nº de caras obtdas. P(X) pode ser expressa das seguntes formas: x 0 P(x) P(x) /4 / /4 P( x ) C,x 4 ½ ¼ 0 x 8

9 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função de probabldade Exemplo: Sea X a varável aleatóra que representa o resultado do lançamento de um dado equlbrado. A função de probabldade é defnda por: f (), 6 f ( ), 6 f ( 3 ), 6 f ( 4 ), 6 f ( 5 ), 6 x f (6 ) Em termos de notação e de modo a smplfcar, a função de probabldade pode ser representada por meo de uma tabela, assumndo que os valores que não aparecem na tabela têm probabldade zero de ocorrer. Neste exemplo tem-se, então: f(x) /6 /6 /6 /6 /6 / Varáves Aleatóras Dscretas Função de probabldade Observações: - Se uma varável aleatóra X apresentar f(x) 0 e constante para todos os valores de x, dz-se que essa V.A tem uma dstrbução unforme (dscreta). - Qualquer função de uma varável aleatóra é também uma varável aleatóra, sto é, se X é V.A, então Y = φ(x) também será. Exemplos: X V.A pontos de um dados; Y = X + X V.A; Z = Max {(x, x )} onde (x, x ) são pontos de dos dados. 9

10 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Uma função dstrbução cumulatva, também chamada função repartção ou função dstrbução de probabldades, pode também ser usada para fornecer a dstrbução de probabldades de uma varável dscreta. A função dstrbução cumulatva em um valor de x é a soma das probabldades em todos os pontos menores ou guas a x. Defne-se, então, como função dstrbução cumulatva de uma certa varável aleatóra X, no ponto x, como sendo a probabldade de que X assuma um valor menor ou gual a x, sto é: F( x ) P( X x ) f ( x ) x x 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Exemplo (Montgomery et al., 00): Há uma chance de que um bt transmtdo através de um canal de transmssão dgtal sea recebdo com erro. Consdere X gual ao número de bts com erro nos quatro próxmos bts transmtdos. Os valores possíves para a varável aleatóra X são {0,,, 3, 4}. Com base em um modelo de probabldades, as probabldades para esses valores foram determnados como sendo: P(X = 0) = 0,656 P(X = ) = 0,96 P(X = ) = 0,0486 P(X = 3) = 0,0036 P(X = 4) = 0,000 0

11 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Exemplo (cont.): - A dstrbução de probabldades de X é especfcada pelos valores possíves, untamente com a probabldade de cada um. A fgura mostra uma descrção gráfca dessa dstrbução: f(x) 0,656 0,96 0,0486 0,0036 0, x 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Exemplo (cont.): - Por consegunte, a função dstrbução cumulatva de X será: F(0) = 0,656 F() = 0,9477 F() = 0,9963 F(3) = 0,9999 F(4) = - Mesmo se a varável aleatóra puder assumr somente valores nteros, a função dstrbução cumulatva é defnda em valores não nteros. Por exemplo: F(,5) = P(X,5) = P(X ) = 0,9477

12 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Exemplo (cont.): - O gráfco do exemplo é mostrado abaxo, onde se observa que o mesmo apresenta descontnudades (saltos) nos valores dscretos para X. O tamanho do salto em um ponto x é gual à probabldade em x. F(x) x 0,8 0,6 0,4 0, 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Propredades:. 0 F(x), para todo x. F(- ) = 0 3. F(+ ) = 4. P(a < X b) = F(b) F(a) 5. P(a X b) = F(b) F(a) + P(X = a) 6. P(a < X < b) = F(b) F(a) P(X = b) 7. lm F(x) = e lm F(x) = 0 x + x -

13 3. Varáves Aleatóras Dscretas Função dstrbução cumulatva Propredades: - Exemplo: Do exemplo anteror, tem-se: F( x ) 0 0,656 0,9477 0,9963 0,9999 se x 0 se 0 x se x se x 3 se 3 x 4 se x 4 III Varáves Aleatóras Introdução Varíáves aleatóras dscretas Varáves aleatóras contínuas Parâmetros das varáves aleatóras Varáves aleatóras bdmensonas 3

14 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Uma função densdade de probabldade f(x) pode ser usada para descrever a dstrbução de probabldades de uma varável aleatóra contínua X. A probabldade de X estar entre a e b é determnada pela ntegral de f(x) entre a e b. f(x) P(a < x < b) a b x 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Defnção: Dz-se que f(x) é a função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua X se a área lmtada por f(x), o exo dos x e as retas x = a e x = b for gual a P(a x b), sto é: Propredades: P( a x b ) f ( x )dx b a.. f ( x ) f 0 ( x )dx para todo x 4

15 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Observações:. A defnção anteror mostra que a probabldade de qualquer valor especfcado de X, por exemplo x o, tem P(X = x o ) = 0, pos P( X xo xo ) f ( x )dx 0 xo sendo assm, as probabldades abaxo serão todas guas, se X for uma varável aleatóra contínua: P( a X b ) P( a X b ) P( a X b ) P( a X b ) 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Observações:. Note-se que f(x), densdade de probabldade, não é probabldade. Somente quando a função for ntegrada entre dos lmtes, ela produzrá uma probabldade, que será a área sob a curva função entre x = a e x = b, para a < b. 5

16 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Exemplo (Montgomery et al., 00): Sea a varável aleatóra contínua X a representação do dâmetro de um orfíco perfurado em uma placa com um componente metálco. O dâmetro alvo é,5 mm. A maora dos dstúrbos aleatóros no processo resulta em dâmetros maores. Dados hstórcos mostram que a dstrbução de X pode ser modelada por uma função densdade de probabldade f(x) = 0e -0(x,5), x,5. (a) Se uma peça com dâmetro maor que,6 mm for descartada, qual será a proporção de peças descartadas? (b) Que proporção de peças está entre,5 e,6? 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Solução: A função densdade e a probabldade requerda são mostradas na fgura abaxo. f(x),5,6 x 6

17 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função densdade de probabldade Solução (cont.): a) Uma peça é descartada se X >,6, logo: P( X,6 ) e f ( x )dx,6, 6 0( x,5 ) 0,35 dx b) Uma peça não é descartada se,5 < X <,6, logo: P(,5 X,6 ) e f ( x )dx 0( x,5 ),6,6,5,5,6,6,5 0e 0e 0,865 0( x,5 ) 0( x,5 ) dx 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função dstrbução cumulatva A função dstrbução cumulatva de uma varável aleatóra contínua X, com função densdade de probabldade f(x) é: F( x ) para < x <. P( X x ) x f ( u )du Para uma varável aleatóra contínua X, a defnção pode também ser F(x) = P(X < x), pos P(X = x) = 0. 7

18 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função dstrbução cumulatva A função dstrbução cumulatva F(x) pode ser relaconada à função densdade de probabldade f(x) e pode ser usada para obter probabldades, como segue: P( a X b ) b f ( x )dx f ( x )dx a b a f ( x )dx F(b ) F( a ) O gráfco de uma função dstrbução cumulatva tem propredades específcas. Pelo fato de F(x) fornecer probabldades, ela é sempre postva. Além dsso, à medda que x aumenta, F(x) é crescente. Fnalmente, quando x tende a, F(x) = P(X x) tende a. 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função dstrbução cumulatva Exemplo (Montgomery et al., 00): As leturas da temperatura de um termopar em um forno flutuam de acordo com a função dstrbução cumulatva 0 F( x ) 0,x 80 0 x 800º C 800º C x 80º C x 80º C Determne: a) P(X < 805); b) P(800 < X 805); c) P(X > 808) d) Se as especfcações para o processo solctassem que a temperatura do forno estvesse entre 80ºC e 808ºC, qual sera a probabldade da fornalha operar fora das especfcações? 8

19 3.3 Varáves Aleatóras Contínuas Função dstrbução cumulatva Solução: a) P( X 805 ) P( X 805 ) F( 805 ) F( ) 0, ,5 b) P( 800 X 805 ) F( 805 ) F( 800 ) 0, (0, ) 0,5 c) d) P( X P( X P( X 808 ) P( 808 X ) F( ) F( 808 ) (0, ) 0, 80 ) P( X 80 ) F( 80 ) F( ) 0, , 80 ou X 808 ) 0, 0, 0,4 III Varáves Aleatóras Introdução Varíáves aleatóras dscretas Varáves aleatóras contínuas Parâmetros das varáves aleatóras Varáves aleatóras bdmensonas 9

20 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras Os parâmetros que caracterzam uma varável aleatóra em termos médos (méda e medana), e em termos de dspersão (varânca e desvo padrão), podem ser usados para resumr uma dstrbução de probabldades. a) Meddas de posção a.) Méda ou esperança matemátca: Chama-se valor médo ou esperança matemátca ao valor que se obtém somando (ou ntegrando) todos os valores que uma varável aleatóra pode assumr, ponderados pela respectva probabldade pontual (ou densdade de probabldade no ponto) e representa-se por μ = n E( X ) : E( X ) E( X ) x f ( x ) f ( x )dx ( caso contínuo ) x ( caso dscreto ) 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.) Méda ou esperança matemátca: - Propredades: Serão demonstradas somente para o caso de varáves dscretas.. A méda de uma constante é a própra constante E( K ) Kf ( x ) K f ( x ) K K. Multplcando uma varável aleatóra X por uma constante, sua méda fca multplcada por essa constante. E( KX ) Kx f ( x ) K x f ( x ) KE( X ) 0

21 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.) Méda ou esperança matemátca: - Propredades: 3. A méda da soma ou da dferença de duas varáves aleatóras é a soma ou dferença das médas. E( X Y ) x ( x y x f ( x ) f ( x f ( x, y ) ) f ( x, y ) x, y ) y y f ( y y f ( x, y ) f ( ) E( X ) E(Y ) x, y ) 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.) Méda ou esperança matemátca: - Propredades: 4. Somando ou subtrando uma constante a uma varável aleatóra, a sua méda fca somada ou subtraída da mesma constante. E( X K ) E( X ) E( K ) E( X ) K 5. A méda de uma varável aleatóra centrada é zero. E( X ) E( X ) E( ) 0 X X X X

22 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.) Méda ou esperança matemátca: - Propredades: 6. A méda do produto de duas varáves aleatóras ndependentes é o produto das suas médas. E( XY ) X Y X f ( x ) E( X ) E(Y ) X Y f ( x, y ) f ( x ) Y f ( y f ( y ) ) Se X e Y são ndependentes 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.) Medana: Medana de uma varável aleatóra é o valor que dvde a dstrbução em duas partes guas, ou sea, F( Md ) 0,5 Exemplo: Sea X uma varável aleatóra com a segunte função dstrbução cumulatva: F(X) = 0 para x < 0 F(X) = x para 0 x < F(X) = para x Logo, a medana será o valor de x tal que F(x = Md) = 0,5. Assm: x Md 0,5 Md 0,5

23 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.3) Moda: É o valor da varável aleatóra com maor probabldade, se X for dscreta, ou maor densdade de probabldade se X for contínua. Exemplo: Sea X uma varável aleatóra dscreta tal que: Logo, a moda será gual a. x - 0 P(x) 0,3 0, 0,5 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras a) Meddas de posção a.3) Moda: Exemplo : Sea X uma varável aleatóra contínua tal que: O gráfco de f(x) é: f(x) 0 x f ( x ) 0 para 0 x para outros valores de x x Então: Moda: Medana: M ; o F( Md ) x Md 0 0,5 Md 0 xdx 0,5 0,5 Md 0,5 Md 0,5 3

24 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras b) Meddas de dspersão b.) Varânca: A varânca de uma varável aleatóra X é representada por Var(X) = σ x e defne-se por: Var x ( X ) E ( X E( X )) x x x E( X ) x E( X ) f ( x ) f ( x )dx (caso dscreto ) ( caso contínuo ) 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras b) Meddas de dspersão b.) Varânca: - Exste uma fórmula prátca para o cálculo da varânca: Var( X ) E( X E( X ) ) onde, E( X E( X ) ) x x f ( x ) f ( x )dx ( caso dscreto ) ( caso contínuo ) 4

25 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras b) Meddas de dspersão b.) Desvo padrão: Desgna-se por desvo padrão e representa-se por σ a raz quadrada postva da varânca: x Var( X ) 3.4 Parâmetros das Varáves Aleatóras b) Meddas de dspersão - Propredades: Seam X e Y duas varáves aleatóras e K, a e b constantes.. Var(k) = 0. Var(kX) = k Var(X) 3. Var(aX ± by ) = a Var( X ) + b Var( Y ) ± abcov(x,y ) Caso as varáves seam ndependentes, Cov(X,Y ) = 0, então: Var( ax ± by ) = a Var( X ) + b Var( Y ) 5

26 III Varáves Aleatóras Introdução Varíáves aleatóras dscretas Varáves aleatóras contínuas Parâmetros das varáves aleatóras Varáves aleatóras bdmensonas 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Até aqu consderou-se que o resultado do expermento sera regstrado como um únco número x. Contudo, exstem casos em que há nteresse por dos resultados smultâneos. Por exemplo, estatura e peso de pessoas. Para sso precsa-se da segunte defnção: Seam E um expermento aleatóro e S o espaço amostral assocado a E. Seam X = X(s) e Y = Y(s), duas funções, cada uma assocando um número real a cada resultado s S; denomna-se (X,Y) uma varável aleatóra bdmensonal. s X Y X(s) Y(s) 6

27 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Uma varável aleatóra bdmensonal não é mas do que uma par de varáves aleatóras (X,Y). No caso de X e Y serem duas varáves aleatóras dscretas, o par dz-se uma varável aleatóra bdmensonal dscreta. Na stuação em que ambas são contínuas tem-se uma varável aleatóra bdmensonal contínua. Portanto, tal como a varável undmensonal, (X,Y) poderá ser dscreta ou contínua, valendo as mesmas consderações fetas anterormente. 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Função de probabldade conunta (V.A.D) Chama-se função de probabldade conunta da varável aleatóra bdmensonal dscreta (X,Y) à função f(x,y) que assoca a cada elemento (x,y) a probabldade da varável aleatóra X assumr o valor x ao mesmo tempo da varável Y assumr o valor y. - Propredades:.. f ( x, y ) 0 f ( f (x,y) = P(X = x,y = y) x, y ), x R 7

28 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Função dstrbução cumulatva conunta (V.A.D) Chama-se função de dstrbução de probabldade cumulatva conunta da varável aleatóra dscreta (X,Y) à função F(x,y) que assoca a cada elemento (x,y) a probabldade da varável aleatóra X tomar valores menores ou guas a x ao mesmo tempo da varável Y tomar valores menores ou guas a y. F( x, y ) P( X x,y y ) F( x, y ) sx t y f ( s,t ) 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Função dstrbução cumulatva conunta (V.A.D) Propredades: F( x, y ) lm F( x, y ), x y lm F( x, y ) 0 x lm F( x, y ) 0 y,,, ( x, y ) R ( y x x, y ) x x ^ y y F( x, y ) F( x, y ) 8

29 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Funções de probabldade margnal (V.A.D.) Dada uma varável aleatóra bdmensonal dscreta e sua função de dstrbução conunta, pode-se determnar a função de dstrbução de X sem consderar Y, ou vce-versa. São as chamadas funções de probabldade margnal. - Função de probabldade margnal de X : f X ( x ) P( X x, Y ) P( X x,y y ) f ( x, y ) - Função de probabldade margnal de Y : fy ( y ) P( X,Y y ) P( X x,y y ) f ( x, y ) y x y x 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Função densdade de probabldade conunta (V.A.C) Tal como acontece nas varáves undmensonas contínuas, nas varáves bdmensonas contínuas não faz sentdo falar em função de probabldade vsto que P(X = x,y = y) = 0 para qualquer (x,y), aparecendo em seu lugar a função de densdade de probabldade conunta. Esta função ndca como a probabldade se dstrbu pelos valores que o par aleatóro (X,Y) pode assumr. Sea X uma varável aleatóra bdmensonal contínua. Dz-se que f(x,y) é uma função densdade de probabldade conunta se:.. f ( x, y ) 0, ( ( x, y )dx dy f x, y ) R 9

30 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Função dstrbução cumulatva conunta (V.A.C.) Chama-se função de dstrbução de probabldade conunta da varável aleatóra contínua (X,Y) à função F(x,y) que assoca a cada elemento (x,y) a probabldade da varável aleatóra X assumr valores menores ou guas a x ao mesmo tempo da varável Y assumr valores menores ou guas a y. É defnda como na varável aleatóra undmensonal, assm: F( x, y ) F( x, y ) P( X x y x,y y ) f ( x, y )dx dy 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Função dstrbução cumulatva conunta (V.A.C.) Propredades: F( x, y ) lm x y lm x lm y F( F( F( x, y ) x, y ) x, y ) 0 0,,,, ( x, y ) R ( y x x, y ) x x ^ y y F( x, y ) F( x, y ) 30

31 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Funções de probabldade margnal (V.A.C.) Dada uma varável aleatóra bdmensonal contínua e sua função densdade de probabldade conunta pode-se determnar a função densdade de probabldade de X sem consderar Y, ou vce-versa. São as chamadas funções de probabldade margnal. - Função de probabldade margnal de X : f X ( x ) f ( x, y ) dy - Função de probabldade margnal de Y : f Y ( y ) f ( x, y ) dx 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Funções de (densdade de) probabldade condconas Sabendo o valor que uma das varáves va assumr (ou assumu) pode-se calcular a função de probabldade (no caso dscreto) ou a função densdade de probabldade (no caso contínuo) da outra varável, tendo em conta a nformação conhecda relatvamente ao valor da prmera varável. - Caso dscreto e caso contínuo: f f X Y y Y X x f ( x, y ) ( x ) f ( y ) ( y ) Y f ( x, y ) f ( x ) X 3

32 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Covarânca No estudo das relações exstentes entre duas varáves aleatóras X e Y pode-se analsar a covarânca das duas varáves. Defne-se, então, covarânca entre X e Y, Cov(X,Y), como: X E( X ) Y E(Y ) Cov( X,Y ) XY E - No caso dscreto: Cov( X,Y ) - No caso contínuo: Cov( X,Y ) x E( X ) y E(Y ) x y x E( X ) y E(Y ) f f ( x, y ) ( x, y )dx dy 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Covarânca Fórmula prátca para o cálculo da covarânca: Cov( X,Y ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) - Verfca-se que: Cov( X,Y ) 3

33 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Covarânca A covarânca entre duas varáves fornece uma medda da relação lnear exstente entre as duas varáves: - Quando a covarânca assume um valor muto alto postvo tem-se a ndcação que exste uma relação lnear postva forte entre as duas varáves. - Quando a covarânca assume um valor muto baxo negatvo tem-se a ndcação que exste uma relação lnear negatva forte. - Nas stuações em que a covarânca assume valores próxmos de zero, a relação lnear é muto fraca, e nexstente no caso em que a covarânca é gual a zero. 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Coefcente de correlação lnear A covarânca está expressa nas undades das varáves X e Y smultaneamente, o que ntroduz dfculdades quando se pretende fazer comparações. Para evtar esta stuação pode-se calcular o coefcente de correlação lnear (ρ) que tem sempre o seu valor entre e. Dado um par de varáves aleatóras (X,Y), defne-se coefcente de correlação lnear como: XY Cov( X,Y ) XY Var( X ) Var(Y ) X Y 33

34 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Coefcente de correlação lnear Quando: ρ XY =, exste correlação lnear negatva perfeta entre X e Y. ρ XY = 0, não há correlação lnear entrex e Y. ρ XY =, exste correlação lnear postva perfeta entre X e Y. 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Independênca das varáves aleatóras X e Y Dada uma varável aleatóra bdmensonal (X,Y), dz-se que as varáves undmensonas que a ntegram, X e Y, são ndependentes, se a sua função (densdade) de probabldade conunta f(x,y), for gual ao produto das funções (densdade) de probabldade margnas, sto é: X e Y são ndependentes se f ( x,y ) f ( x ) f ( y ), ( x,y ) Como consequênca da defnção tem-se que X e Y são ndependentes se e somente se f X Y y ( x ) f ( x ) ( y ) f ( y ) X ou f Y X x Y 34

35 3.5 Varáves Aleatóras Bdmensonas Independênca das varáves aleatóras X e Y Teorema: - Se duas varáves aleatóras X e Y são ndependentes então a Cov(X,Y) = 0. - Nota: A recíproca não é verdadera. Duas varáves podem ter Cov(X,Y) = 0 e não serem ndependentes. Apenas podemos garantr que não exste relação lnear entre as duas varáves; no entanto, pode exstr outro tpo de relação, que não a lnear, e não serem ndependentes. III Varáves Aleatóras FIM 35