1 Objetivo da experiência: Medir o módulo da aceleração da gravidade g no nosso laboratório com ajuda de um pêndulo simples.

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1 Departamento de Físca ICE/UFJF Laboratóro de Físca II Prátca : Medda da Aceleração da Gravdade Objetvo da experênca: Medr o módulo da aceleração da gravdade g no nosso laboratóro com ajuda de um pêndulo smples. Físca da Aceleração da Gravdade : A nteração gravtaconal é uma das quatro nterações fundamentas conhecdas e é a únca que afeta todo tpo de matéra e energa. A força gravtaconal é sempre atratva. A atração gravtaconal entre duas partículas puntformes em repouso é uma força central cujo módulo depende somente das massas m e m e da dstânca r entre as partículas. Fg. : Força de atração gravtaconal entre dos corpos puntformes. m F r -F m Esta dependênca é descrta pela segunte equação: mm F = G () r onde G é a constante gravtaconal de ewton, cujo valor expermental é 6,67 m kg. Uma nterpretação útl da atração gravtaconal é que a força gravtaconal F sobre um corpo puntforme de massa m é provocada pela ação de um campo gravtaconal g ( r ) e este campo é alterado pela presença dos corpos. A força é relaconada com o campo pela segunte equação: F = mg( r ) () onde r é o vetor posção da massa m. A undade do campo gravtaconal g é a mesma da aceleração. O campo g em torno de uma partícula puntforme de massa M localzada na orgem de coordenadas vale M r g( r ) = G (3) r r Pode-se mostrar que o campo gravtaconal em torno de um corpo extenso com smetra esférca é dêntco ao campo de uma partícula puntforme no centro da massa extensa e com um valor de massa gual ao corpo ntero. Como as estrelas e os planetas têm aproxmadamente smetra esférca este fato permte usar a equação (3) para descrever o campo gravtaconal fora da estrela ou do planeta. o caso da Terra temos na superfíce da Terra M terra g = g( superfíce ) = G 9,8 ms (4) Rterra Como as dmensões de um laboratóro são normalmente muto pequenas em comparação com o rao da terra R terra o campo gravtaconal é pratcamente constante dentro de um laboratóro (tarefa para pensar em casa: ) calcule a dferença entre g no chão e no teto do laboratóro, ) calcule o ângulo dos vetores g ( r ) e g ( r ) para duas posções r e r que são horzontalmente separadas por um metro). a verdade a equação (4) vale apenas de forma aproxmada. Desvos desta fórmula ocorrem por duas razões: ) a Terra não é esfercamente smétrca com absoluta

2 perfeção, exste um achatamento do globo terrestre e também exstem heterogenedades locas da densdade de massa no subsolo. ) devdo ao fato que a força gravtaconal é proporconal à massa (compare a equação ()) não é possível dstngur, dentro do laboratóro, uma força fctíca como a força centrífuga de uma verdadera força gravtaconal. Então o campo observado no laboratóro g ( r ) é a soma do verdadero campo gravtaconal e um campo centrífugo δ g ( r ) que tem módulo δg r = Ω cos (5) ( ) θ R terra e dreção e sentdo ndcados na fgura. O ângulo θ é defndo na fgura (para Juz de Fora vale θ o 47 ) e Ω é a velocdade angular da Terra: π 5 Ω = 7,7 s (6) 4 h Para Juz de Fora temos δg,3 ms. (Tarefa para pensar em casa: o que sgnfca o δ g para o módulo do g ( r )?) θ Resumndo, podemos dzer que o módulo de g observado pode varar lgeramente em torno δg do valor da equação (4). a nossa experênca vamos medr o valor de g no laboratóro com ajuda de um pêndulo. S Fg. Campo gravtaconal fctíco correspondente à força centrífuga. 3 A Físca do pêndulo: Um pêndulo é um corpo que está sujeto à força gravtaconal e que pode grar, sem deformação, em torno de um ponto fxo. Um pêndulo smples é uma forma dealzada de um pêndulo, e ele é caraterzado pelo fato que pratcamente toda a massa do pêndulo está concentrada numa partícula puntforme e a parte do corpo que lga esta partícula ao ponto de rotação tem massa desprezível. Expermentalmente podemos realzar um pêndulo smples pendurando uma pequena bola na extremdade de um fo fno flexível que é fxo pela outra extremdade num suporte rígdo e fxo no laboratóro. Este tpo de sstema mecânco pode osclar em torno de uma posção de equlíbro. Exctando o pêndulo l α adequadamente podemos ter osclações que se lmtam a um plano. este caso podemos descrever a confguração T do pêndulo com uma únca coordenada. Podemos usar o ângulo α que o fo faz com a dreção vertcal como tal T+mg coordenada. A vertcal é defnda como a dreção do mg vetor g. A fgura 3 mostra a defnção desta coordenada. Fg. 3 Pêndulo smples sobre a massa na extremdade do fo atuam as forças módulo e T é tal que a força resultante fca perpendcular ao fo. mg e a tração do fo T. O O achatamento do globo terrestre é provocado pela força centrífuga (força fctíca exstente num referencal não nercal em rotação).

3 A força gravtaconal provoca um torque sobre o pêndulo. Este torque vale τ = eˆ mg l sen α, onde ê é um vetor untáro perpendcular ao plano de osclação e com sentdo tal que uma exctação do pêndulo com α > defne junto com ê um parafuso dreto (se grarmos um parafuso dreto junto com o pêndulo ele deve avançar na dreção do vetor ê ). l é o comprmento do pêndulo, sto é a dstânca entre ponto de dα rotação e centro de massa. O momento angular do pêndulo vale L = eml ˆ. Com a dt segunda le de ewton para movmentos rotatóras, d L = τ dt, obtemos a equação dferencal que descreve a dnâmca do pêndulo: d α ml = mg l sen α (7) dt Como podemos ver, o valor da massa cancela e a dnâmca do pêndulo é ndependente de m. Infelzmente a equação (7) é de dfícl solução. Mas para ângulos pequenos podemos usar uma aproxmação que faclta a solução: Para α << vale sen α α (contando α em radanos) e a equação (7) pode ser aproxmada por d α g = α (8) dt l A solução geral desta equação é α( t) = α cos( ωt + ϕ) (9) A ampltude de osclação α e a constante de fase ϕ são determnadas pelas condções ncas do movmento enquanto a constante ω, que se chama frequênca angular, é determnada uncamente pela dnâmca. Vale g ω = () l (Verfque em casa se a função da equação (9) com o valor de ω dado pela equação () satsfaz a equação (8))! Esta constante é relaconada com o período de osclação T da segunte forma: π ω = () T Conseqüentemente vale l g = () T Podemos medr l e T e determnar g (ou mas precsamente g ) pela equação (). Mas, temos que consderar váras ressalvas: R) a equação () fo deduzda com a aproxmação sen α α e devemos especfcar qual erro é ntroduzdo por esta aproxmação. R) a equação () fo deduzda com a hpótese que a massa do pêndulo é concentrada num únco ponto, mas na verdade a esfera pendurada no fo tem um rao maor que zero e o fo também tem massa. R3) O pêndulo é amortecdo pelo ar. R4) Além da gravtação atua também o empuxo do ar. R5) A nérca do sstema não provem apenas da massa do pêndulo, mas o ar em torno da esfera tem que executar também movmentos acelerados e com sto contrbu para a nérca do sstema. R6) O fo tem propredades elástcas. R7) O suporte do pêndulo não é completamente rígdo. 3

4 Aqu vamos tratar apenas das prmeras duas ressalvas: R) A substtução da equação dfícl (7) pela equação fácl (8) é boa para pequenas ampltudes de osclação. Correções para ampltudes maores podem ser calculadas na forma de uma sére de potênca em α (compare H. Moysés ussenzveg Físca Básca Vol.). Consderando uma prmera correção obtém-se l g = + α (3) T 3 O expermentador deve anotar o valor da ampltude usado no expermento e deve avalar se o termo de correção α / 3 é relevante. R) A aproxmação de tratar a esfera pendurada como um ponto deves ser boa quando o comprmento do pêndulo for grande em comparação com o rao da esfera. A equação () descreve uma relação lnear entre o quadrado do período e o comprmento do pêndulo: g l = T (4) Para pequenos valores de l podemos observar desvos deste comportamento lnear e os dados desta regão não devem ser usados para a determnação de g. 4 As Meddas Vocês têm à dsposção os seguntes materas: Suporte Esfera com barbante Cronômetro dgtal Régua de aço Paquímetro Monte o pêndulo 7 vezes com comprmentos l que varam de aprox. 5 cm até m. Sugestão: l 5 cm, e os demas comprmentos maores que 3cm. A medda com l 5 cm serve só para verfcar até que ponto a aproxmação de pêndulo smples é boa e para a determnação de g podemos gnorar esta meda. Coloque o pêndulo para osclar num plano com ampltude α sufcentemente pequena tal que o termo de correção α / 3 seja pelo menos menor que,%. (anote os valores de α ). Meça os períodos para cada comprmento do pêndulo. Para aumentar a precsão não meça dretamente T mas a duração de osclações. (Cudado ao contar osclações e não passagens pelo ponto de referênca). Para poder avalar o erro na medda de osclações convém repetr cada medda algumas vezes. Cudado com os algarsmos sgnfcatvos na hora de calcular T a partr de T! 5 - Análse de Dados Podemos adotar duas maneras de extrar o valor de g dos dados expermentas: Método : Podemos substtur os 7 (ou 6) conjuntos de dados expermentas na equação () e calcular a méda artmétca dos resultados. g = g = (5) 4

5 esta expressão g, g,... g são os resultados das meddas (no nosso caso sera 7 ou 6 se exclurmos a medda com l 5cm). O erro estatístco da méda é dado pela segunte expressão: δg = K = ( g g ) ( ) esta expressão K é uma constante numérca da nossa escolha dependendo do nível de confabldade que exgmos. Aqu recomendamos usar K=. Com esta escolha o verdadero valor de g estara com 95% de probabldade dentro do ntervalo de erro: g VERDAD. [ g δg, g + δg ] com 95% de probabldade. A todo rgor deveríamos também acrescentar contrbuções de erros sstemátcos dos nstrumentos. Mas no nosso caso os erros de nstrumento da régua e do cronômetro são certamente pequenos em comparação com os erros estatístcos. o entanto erros sstemátcos relaconados com falhas do modelo teórco do pêndulo (ressalvas -7) podem ser relevantes. Método : O método corresponde a um procedmento que se usa em númeras stuações. Mas no caso da nossa experênca ele pode ocasonalmente fornecer resultados nsatsfatóros. Para pequenos valores de l um erro δ l causa muto mas erro no valor de g do que para grandes valores de l. Portanto métodos de análse de dados que atrbuem mas peso nas meddas com grandes valores de l fornecem melhores resultados. Sugermos o segunte método: Faça um gráfco que mostre l em função do quadrado do período T. Com a equação (4) os dados expermentas deveram ser bem descrtos por uma reta que passa pela orgem de coordenadas. Se você detectar pontos expermentas muto fora da reta, desconsdere estes para a subsequente análse. Faça um ajuste de mínmos quadrados com os dados dos ses maores valores de l (retrando anda pontos muto fora da reta se for o caso). Mas como já sabemos que a reta deve passar pela orgem, não faremos um ajuste de uma reta do tpo y = ax + b. Usaremos o método de mínmos quadrados para uma reta do tpo y = ax, onde x corresponde ao T e o y ao l (escolhemos l como y por que a medda de comprmento terá mas erro do que a medda do período e o método de mínmos quadrados supõem erros somente no y). A teora dos mínmos quadrados fornece os seguntes resultados: (6) Melhor valor do coefcente angular: Erro estatístco do a : a = = = δa = K x x y = ( x a y ) ( ) = x (7) (8) Os x e y são os valores expermentas de T e l respetvamente, é o número total de dados usados e K é uma constante numérca da nossa escolha 5

6 dependendo do nível de confabldade que exgmos. Aqu recomendamos usar K= dando um nível de confança de 95%.. O valor de g e o erro de g obtemos do a com ajuda da equação (4), que g dentfca o coefcente angular a com. Ambos os métodos devem ser usados e os resultados devem ser comparados crtcamente. 6 - O relatóro O relatóro deve nformar de forma clara e sucnta o que fo feto, para que fo feto como fo feto, quas são os resultados, que confável são os resultados e como os resultados se comparam com dados da lteratura. ão é desejável gastar págnas e tempo com longas explcações da teora. Esta já tem em lvros e na própra apostla. O resultado deve ser declarado com as devdas undades, número de casas adequado e especfcação de erro. É desejável que os resultados e os métodos usados sejam crtcamente analsados. Por exemplo, as sete ressalvas do modelo teórco R)-R7) podem ser dscutdas quanttatvamente estmando quanto erro cada uma podera causar. Outros tpos de erro que anda poderam exstr podem ser dscutdos. Lteratura: ) H. Moysés ussenzveg: Físca Básca Vol.. Edtora Edgard Blücher São Paulo ) O.A.M. Helene, V.R. Vann: Tratamento Estatístco de Dados em Físca Expermental. Edtora Edgard Blücher São Paulo (98) 6