4 Sistemas de partículas

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1 4 Sstemas de partículas Nota: será feta a segunte convenção: uma letra em bold representa um vector,.e. b b Nesta secção estudaremos a generalzação das les de Newton a um sstema de váras partículas e as les de conservação daí resultantes. Consderamos um sstema fechado contendo um número fxo de partículas. A massa total de um sstema fechado não relatvsta é constante. Sejam m, r, v, a, p = 1,..., N, respectvamente, a massa, rao vector, velocdade, aceleração e quantdade de movmento da partícula de um sstema com N partículas. Sobre o sstema actuam dos tpos de forças: forças externas e forças nternas. As forças externas são exercdas sobre as partículas do sstema por agentes exterores ao sstema: f (e) é a força externa exercda sobre a partícula. As forças nternas são exercdas sobre as partículas do sstema por outras partículas do sstema: f () j é a força exercda pela a partícula j sobre a partícula. Assm, a força total exercda sobre a partícula é f = f (e) + j f () j. (5) A segunda le de Newton para um sstema de N partículas tem a forma dp dt = f = 1,..., N. (6) As equações (6) representam um conjunto de 3N equações dferencas de segunda ordem (3 por partícula) que determnam o estado de movmento do sstema. Na prátca torna-se mpossível resolver este sstema. Em partcular, o conhecmento das forças nternas é reduzdo. Podemos, no entanto, estudar faclmente o movmento do centro de massa. Assummos que a tercera le de Newton é válda para as forças nternas do sstema f () j,.e. f () j = f () j. (7) Esta le nem sempre é válda. Consderemos duas partículas carregadas que se drgem uma para outra conforme a fgura 3. No nstante representado na fgura 3 a força que exerce sobre 1 é fnta, vsto que com B = µ 4π sobre é nula porque F = qv 1 B = µ 4π e 1 e v 1 v, r1 e v, e perpendcular ao plano do papel. A força que a partícula 1 exerce r1 B 1 = µ 0 e 1 v 1 ˆr 1 4π r1 9 = 0.

2 1 v 1 v Fgura 3: Movmento de partículas carregadas 4.1 Conservação da quantdade de movmento A equação de movmento para o centro de massa do sstema pode ser obtda somando as equações (6) d dt p = f, ou, m d r dt N = (f (e) + j=1,j f () j). (8) Consderemos prmero o segundo membro. A prmera parcela representa a força total externa realzada sobre o sstema F (e) = f (e). (9) A segunda parcela anula-se se consderarmos a tercera le de Newton. No somatóro j, j aparecem parcelas da forma f () j + f () j = 0, de (7). Consderemos agora o prmero membro. Seja m = M, (30) f () j a massa total do sstema, e R o rao vector que ndca a posção do centro de massa do sstema m r R = M. (31) Em termos de M e R o prmero membro de (8) tem a forma m d r dt = d dt m r = M d dt = M d dt R, 10 N m r M

3 e a equação (8) reduz-se a M d R dt = F(e). (3) O centro de massa move-se como se a força total externa estvesse a actuar na massa total do sstema concentrada no centro de massa. Um exemplo clássco da equação (3) é a explosão de um foguete no ar: o centro de massa dos fragmentos deslocam-se como se o foguete contnuasse a vajar como um todo. A quantdade de movmento total do sstema, P = p = m v = M d dt m r M, P = M dr dt, (33) é dada pelo produto de massa total do sstema M pela velocdade do centro de massa, V = dr dt. (34) Em termos da quantdade de movmento total do sstema a equação (3) tem a forma dp dt = F(e). (35) Se a força total externa exercda sobre o sstema é nula P conserva-se. Teorema da Conservação da quantdade de movmento de um sstema de partículas: se a força total externa exercda sobre o sstema é nula a quantdade de movmento total do sstema conserva-se. Esta le é uma le vectoral. Podemos ter P z = C te se F (e) z F (e) x 0 e F (e) y Conservação do momento angular = 0, e P x 0 e P y 0 se Obtemos o momento angular total do sstema relatvamente à orgem O somando o momento angular de todas as partículas, relatvamente a O, L = A varação de L com o tempo é dada por dl dt = = = r p. (36) d dt (r p ) = r (f (e) + j=1,j 1 r f (e) + 11,j;j r p f () j ) (37) r f () j. (38)

4 Obtvemos a eq. (37) usando a equação (6). A segunda parcela da eq. (38) é consttuída por pares de parcelas da forma r f () j + r j f () j = (r r j ) f () j, (39) se fzermos f () j = f () j. Supondo que além de obedecerem a (7) os pares acçãoreacção têm a mesma lnha de acção,.e., a drecção da lnha que une as duas partículas, f () j = f j r r j r j = f jˆr j sendo f () j = f j r j r r j = f jˆr j = f jˆr j, r j = r r j = r j r = r j, f j = f j, os módulos das forças f () j e f () j. A expressão (39) é nula porque o vector r r j = r j é paralelo a f () j = f j r j r j. (40) A equação (38) reduz-se a ou, sendo dl dt = r f (e), dl dt = N(e), (41) N (e) = N (e), o momento da força externa total relatvamente à orgem O. A partr da equação (41) podemos enuncar o segunte teorema: Teorema da conservação do momento angular total de um sstema de partículas: O momento angular total dum sstema de partículas relatvamente à orgem O é constante se o momento resultante das forças externas aplcadas sobre o sstema, relatvamente a O, é nulo. Vmos que a quantdade de movmento total do sstema de N partículas é gual à quantdade de movmento do centro de massa (C.M.) do sstema como se a massa total do sstema estvesse concentrada nesse ponto (ver eq.(33)). Qual a relação entre o momento angular do sstema relatvamente a O e o momento angular do C.M. do sstema, consderando a massa total do sstema concentrado nesse ponto, relatvamente ao mesmo ponto O? Seja L = r p (4) 1

5 o momento angular total do sstema relatvamente a O, e sejam r = R + r, (43) v = Ṙ + r = V + v (44) as coordenadas e velocdades das partículas relatvamente à orgem O, escrtas em termos das coordenadas (velocdade) do C.M., R(V), relatvamente a O e das coordenadas (velocdades) das partículas relatvamente ao C.M. r (v ) CM R r O r Fgura 4: Vector posção do centro de massa (C.M.) Substtundo (43) e (44) em (36) temos L = (R + r ) m (V + v ) = R m V + r m v + R m v + r m V = R MV + r m v +R ( m v ) + ( m r ) V. As duas últmas parcelas são nulas pos 1 M m v e 1 M m r defnem a velocdade do C.M. e o vector posção do C.M. relatvamente ao sstema do C.M. e, portanto, ambos os factores são nulos. Restam as duas prmeras parcelas L = R MV + r m v. (45) O momento angular total do sstema relatvamente à orgem O é gual ao momento angular do C.M., consderando a massa total do sstema concentrada neste ponto, relatvamente à orgem O mas o momento angular total do sstema relatvamente ao C.M.. L é dependente da orgem O, vsto que em (45) R é defndo relatvamente a O. No entanto, se V, a velocdade de C.M., é nula L = r m v se V = 0, 13

6 e L é ndependente de O. Com os resultados da presente secção e da secção anteror podemos conclur que a resultante das forças externas e a resultante dos correspondentes momentos das forças que actuam sobre um corpo rígdo em equlíbro devem ser nulos: F (e) = 0 N (e) = 0. Dzemos que um corpo é rígdo se não se deformar ou partr quando sobre ele actuam forças externas,.e. a dstânca entre quasquer dos pontos do corpo é sempre a mesma Podemos mostrar que para descrever o movmento deste objecto bastam 6 coordenadas: três que defnem a posção do centro de massa, e outras 3 que descrevem a orentação do objecto relatvamente a um sstema fxo no laboratóro. 14