( ) F 1 pode ser deslocado de. M = r F. Mecânica Geral II Notas de AULA 2 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori. MOMENTO DE UM BINÁRIO.

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1 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor ET DE U IÁI. Duas forças, que tenham o mesmo módulo e lnha de ação paralelas e sentdos opostos formam um bnáro. Decomposção de uma força dada em uma força aplcada em e um bnáro. epresentando por r, r, respectvamente, os vetores posção dos pontos de aplcações de,, encontramos para a soma dos momentos das duas forças em relação a : r + r ( ( r r r r r r vetor é chamado de momento de um bnáro, é um vetor perpendcular ao plano que contém as duas forças e de módulo: r senθ d náros equvalentes Dos bnáros que têm o mesmo momento são equvalentes. dção de bnáros + r ( r + s + s edução de um sstema de forças a uma força e um bnáro,, 3 onsdere um sstema de forças que atuam nos pontos,, 3 de um corpo rígdo, defndos pelos vetores posção r, r, r. omo fo vsto, 3 pode ser deslocado de, a um dado ponto se for adconado ao sstema, de força orgnal um bnáro de momento r dado por: em relação a. epetndo o procedmento para outras forças, podemos dzer que o sstema força-bnáro equvalente será defndo pelas equações: r ( Uma vez que o dado sstema de forças tenha sdo reduzdo a uma força e um bnáro em um ponto, pode-se faclmente reduz-lo a uma força e um bnáro em qualquer ponto. força resultante fcará nalterada, porém o novo momento será:

2 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor + s SISTES EQUIVLETES DE ÇS E VETES Qualquer sstema de forças que atua num corpo rígdo pode ser reduzdo a um sstema forçabnáro que atua em e caracterza o efeto do sstema de forças sobre o corpo rígdo. Dos sstemas de forças são equvalentes, se puderem ser reduzdos ao mesmo sstema força-bnáro num dado ponto.,, 3 Dos sstemas de forças,, 3 ~são equvalentes, se e somente se, a soma das forças e a soma dos momentos, em relação a um dado ponto, das forças dos dos sstemas, forem respectvamente guas. s condções necessáras e sufcentes para que dos sstemas sejam equvalentes são: SISTES EQUIPLETES DE ÇS E VETES Dos sstemas de vetores que satsfazem as equações anterores são dtos eqüpolentes. Torsor. e o caso geral de um sstema de forças no espaço, o sstema força-bnáro equvalente em consste de uma força e um momento não perpendcular e não nulo.então, o sstema de forças não pode ser reduzdo a uma únca força ou a um únco bnáro. vetor bnáro, no entanto, pode ser substtuído por dos vetores bnáros obtdos pela decomposção de em uma componente segundo e uma componente contda num plano perpendcular a. Esse sstema força-bnáro partcular é chamado de torsor. força e o momento tendem, smultaneamente, a transladar o corpo rígdo na dreção de e a grá-lo em torno da lnha de ação de. lnha de ação de é conhecda como exo do torsor ou exo central. razão p é chamada de passo do torsor: p Podemos obter o valor de por: Para determnar o exo do torsor, podemos escrever uma equação que envolve o vetor posção r de um ponto arbtráro P do exo. plcando a força resultante e o vetor bnáro em P e escrevendo que o momento em relação a desse sstema força-bnáro é gual ao momento resultante. do sstema orgnal de forças, escrevemos: u: + r p + r

3 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor Exemplo Um cubo de aresta a é submetdo a uma força P, como lustrado. Determnar o momento de P do cubo: (a em relação a. (b em relação à aresta. (c em relação à dagonal G do cubo. ( ( ˆ ˆ ˆ ( ( ˆ ˆ ˆ ap ( ˆ ˆ ˆ nˆ 3 j G ˆ G n G 3 j + j+ G ap G ( 6 ap G 6 Exemplo Determne as componentes do bnáro equvalente aos dos bnáros da fgura: 3 (a em relação a. r aˆ a P ( P ˆ j ( P ˆ P ( P ( ˆ r P a ˆ P ˆ ( ( ( ap ( ˆ ˆ ˆ + + j (b em relação à aresta. plcamos ao ponto as forças de 00, paralelas às já exstentes de 00 e de sentdos opostos. btemos dos bnáros formados por forças de 00, um contdo no plano xz e outro em um plano paralelo ao plano xy. s três bnáros da fgura podem ser representados por três vetores bnáros x, y e z paralelos aos exos coordenados e dados por: x y z ( ( ( ( ( ( m m m ˆ ˆ ap ˆ ˆ + j+ ˆ ap ( ˆ (c em relação à dagonal G do cubo. nˆ G G aˆ aj ˆ aˆ G a ˆ m ˆ(

4 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor Exemplo 3 Substtur o bnáro e a força lustrados por uma únca força, equvalente, aplcada à alavanca. Determnar a dstânca do exo ao ponto de aplcação dessa força equvalente. Exemplo 4 Uma vga de 4.8m está submetda às forças ndcadas. eduzr o sstema de forças dado a: (a um sstema força-bnáro equvalente em. (b um sstema força-bnáro equvalente em. (c uma únca força ou resultante. 4 Incalmente, a força e o bnáro dados são substtuídos por um sstema força-bnáro equvalente em. Deslocamos a força para e somamos a ela um bnáro de momento gual ao momento da força em sua posção orgnal em relação a : j 60 ˆ m ( ˆ ˆ ( 400 Esse bnáro é adconado ao bnáro de momento -4.m formado pelas duas forças de 00, sendo obtdo um bnáro de -84 (.m. Esse bnáro pode ser elmnado pela aplcação de em um ponto escolhdo, de tal modo que: 84ˆ ˆ 0ˆ 0 84 cos 60 + sen ˆ j ( ( ( ˆ 0 84 cos ˆ 40mm (a um sstema força-bnáro equvalente em. r ( r 600 ˆ( j (.6ˆ 600 ˆ.8ˆ 00 ˆ 4.8ˆ 50 ˆ j + j + j 880ˆ( m 600 ( ; 880ˆ ( m ( ( ( (b um sstema força-bnáro equvalente em. Desejamos encontrar o sstema força-bnáro em equvalenteao sstema força-bnáro em determnado anterormente. força permanece nalterada, porém, o novo vetor bnáro deve ser determnado ˆ 4.80ˆ 600 ˆ + j 880 ˆ 880 ˆ + 000ˆ( m 600 ( ; 880ˆ ( m (c uma únca força ou resultante. r xˆ ˆ

5 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor 880 x 600 x 3.3m Exemplo 5 Quatro rebocadores são usados para trazer um transatlântco ao cas. ada robocador exerce uma força de 5 nas dreções e sentdos lustrados. Determnar: (a o sstema força bnáro equvalente no mastro dantero. (b o ponto no casco onde um só rebocador mas poderoso deverá empurrar para produzr o mesmo efeto que os quatro rebocadores orgnas. ( r ( 7 ˆ 5 ˆ (.5 ˆ.7 ˆ + j j + ( ( ( ( ( 90 ˆ ( 7.7 ˆ ˆ+ 5ˆ + 0ˆ+ 5 55ˆ (b rebocador únco: r xˆ+ yj ˆ r xˆ+ yj ˆ 45. ˆ 49.0 ( ( ( 49.0 ˆ 949 ˆ 55 ˆ x x.3m 5 + (a ( r Exemplo 6 Três cabos são atados ao suporte. Substtur as forças exercdas pelos cabos por um sstema força-bnáro em..5ˆ.7 + 5ˆ ˆ+ 7.7 ( ( ( 45.ˆ 49.0 ĵ Determnamos ncalmente os vetores que lgam o ponto aos pontos de aplcações das forças e decompomos as forças em suas componentes cartesanas. E n ˆE 700nˆ E E

6 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor E E 3ˆ 6 + ˆ ( E nˆ ˆ ˆ ˆ E j r 0.075ˆ 0.05ˆ + 300ˆ ˆ r 0.075ˆ 0.05ˆ 707ˆ 707ˆ r 0.ˆ 0.ˆ D D D + j 600ˆ+ 039 D sstema força-bnáro em equvalente às forças dadas consste em: 607ˆ ˆ r ( r ( ˆ ˆ ˆ 45ˆ ˆ ˆ r ˆ ˆ r D ˆ 30ˆ ˆ( m Exemplo 7 Uma laje suporta as quatro colunas ndcadas. Determne o módulo, a dreção e o sentdo das quatro cargas. Incalmente, reduzremos o sstema de forças dado a um sstema de forçabnáro equvalente na orgem das coordenadas. Esse sstema consste na resultante e no momento : 607ˆ ˆ r( m r ( ( ( r m ˆ 3 ( 60 80ˆ 3ˆ +.5ˆ 40 60ˆ 0ˆ.ˆ + 3ˆ ˆ 0ˆ 6 omo a força e o vetor bnáro são mutuamente perpendculares, o sstema força

7 ecânca Geral II otas de UL - Teora Prof. Dr. láudo S. Sartor bnáro obtdo pode ser reduzdo a uma força. novo ponto de aplcação de será determnado, sobre a laje, de modo que o momento de em relação a seja gual a. epresentando por r o vetor posção e por x e z suas coordenadas, teremos: r ( ˆ ( xˆ+ z ˆ 40ˆ 400zˆ 400xˆ 360ˆ 40ˆ x.05m z 0.9m onclundo: 400 ; x.05m z 0.9m ˆ( Exemplo 8 Duas forças, ambas de módulo P, estão aplcadas ao cubo de aresta a da fgura. Substtua as duas forças por um torsor equvalente e determne: (a o módulo, a dreção e o sentdo da resultante. (b o passo do torsor. (c o ponto onde o exo do torsor corta o exo z. r ˆ ˆ E a + aj r ˆ ˆ D aj+ a ˆ ˆ + P + Pj P( ˆ+ re + rd ( ˆ ˆ ( ˆ ( ˆ ˆ a + aj P + aj + a Pj ˆ ˆ ˆ Pa Pa Pa ˆ ˆ ( (a orça resultante em : Verfca-se que a resultante tem módulo: P θ θ 45 θ x y z (b Passo do torsor: Substtundo os valores de e das equações anterores teremos: ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ P + j Pa p P ( ( 0 0 Pa + + p P a p (c Exo do torsor: omento do torsor: a p P ( ˆ+ torsor é formado pela resultante e pelo momento. Para determnarmos o ponto em que o exo do torsor ntercepta o plano yz gualamos o momento do torsor em relação a ao momento total do sstema orgnal de forças: + r omo: r yj ˆ + zˆ Pa ˆ + ˆ j + yj ˆ + z ˆ P ˆ + ˆ j Pa ˆ + ˆ ( ( ( ( btemos y a. 7 Incalmente determna-se o sstema forçabnáro equvalente, na orgem. bservamos que os vetores-posção dos pontos de aplcação E e D das forças são: