D = POLINÔMIO INTERPOLADOR DE NEWTON 1) DIFERENÇAS DIVIDIDAS 1.1) DIFERENÇAS DIVIDIDAS ORDINÁRIAS (D) Sejam n+1 pontos de uma função y = f(x):

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1 POLINÔMIO INTERPOLAOR E NEWTON ) IFERENÇAS IVIIAS.) IFERENÇAS IVIIAS ORINÁRIAS () Sejam n pontos de uma função f():... n f( )... n - ferença dvdda de ordem zero: n n M - ferença dvdda de ordem um: M M - ferença dvdda de ordem dos: M

2 Generalzação: dferença dvdda de ordem n: k k k k Eemplo: Escrever as dferenças dvddas para os conjuntos de pontos dados: I) f() ,5, , 5 II),5 4 f() 5,,4 9, (5, )/(,5 ) 6,4,5 5, (,4 6,4)/( ) 6 (,4 5,)/(,5),4 (,7 6)/(4 ),4,4 (7,8,4)/(4,5),7 (9,,4)/(4 ) 7,8 4 9, ) IFERENÇAS IVIIAS PARA UMA FUNÇÃO efnção: ados n pontos de uma função, as dferenças dvddas são defndas como segue: k n k k k ; k,, K, n

3 ) FÓRMULA O POLINÔMIO E NEWTON Consderando-se uma função f(), defnda pela tabela: f( ) Aqu, então, deve ser escrto um polnômo de grau. Tem-se que: P () Escrevendo a dferença de ordem : P () Então: () ( ) () P Este polnômo anda não está completamente defndo porque anda está em função de. Escrevendo a dferença de ordem : ( ) Substtundo em (): P () ( ) ( )( ) () Para completar o polnômo escreve-se a dferença de ordem : Mas, por defnção: Assm: o polnômo nterpolador de Newton de grau pode ser escrto trocando-se em () por :

4 P () ( ) ( )( ) Observa-se que este polnômo já está perfetamente defndo vsto que:, e são dados na tabela de pontos da função; e são as dferenças ordnáras de de ordens um e dos respectvamente. P () é a varável dependente e a varável ndependente. Para 4 pontos de uma função (polnômo de grau ): P () ( ) ( )( ) ( )( )( ) O polnômo de Newton de grau três pode ser escrto: P () ( j) j GENERALIZAÇÃO: Para n pontos o polnômo de Newton fca: P n n () ( j) j EXEMPLO : A tabela mostrada abao, relacona a quantdade deal de caloras, em função da dade e do peso, para homens que possuem atvdade físca moderada e vvem a uma temperatura ambente de o C. Peso (kg) Cota de Caloras (kcal) Idade (anos) Usando três pontos, determne a cota apromada de caloras para um homem de anos que pesa 7 kg. Use a fórmula de Newton. Resolução: O valor a ser nterpolado é a dade. Então deve-se etrar da tabela os pontos:

5 f() As magens dos pontos são as caloras para um homem de 7 kg. O objetvo é calcular o valor de f() apromando-o por um polnômo de grau : P (). Tabela de dferenças dvddas: , -, Polnômo de Newton de grau : P () ( ) ( )( ) Com os pontos da tabela de dferenças dvddas: () P Em : () P P () ( 5),( 5)( 45) ( 5),( 5)( 45) 7,44 Ou seja: a cota apromada de caloras para um homem de anos que pesa 7 kg é 7,44 kcal Eemplo : A fgura dada a segur mostra o esboço do leto de um ro. A partr de uma lnha reta, próma a uma das margens, foram meddas dstâncas (em metros) entre esta lnha reta (eo ) e as duas margens do ro, de 5 em 5 metros, a partr de um ponto tomado como orgem. Tas dados foram regstrados na tabela dada. etermnar o valor apromado da largura do ro no ponto que está a

6 metros da orgem (tomado na lnha reta). Usar casas decmas nos cálculos. RESOLUÇÃO: 5 45 M ,5 M,5 54, Prmera manera: a dstânca entre uma margem e outra é dada por L M M. Então, deve-se calcular o valor de cada uma destas dstâncas à m da orgem. O cálculo de M, equvale a estmar o valor de f(), sendo dados os pontos: 5 45 f(),5 54, Tabela de dferenças dvddas para este conjunto de pontos:,5,8 5 54,5 -,,7 -, 95 -,4 -, O polnômo de Newton então é escrto: P () ( ( ( ) )( )( ) )( )

7 Em : P (),5,8( ),( )( 5),( )( 5)( ) P () 7, M 7, a margem M está a 7, metros da lnha reta que é representada, no gráfco, pelo eo. Agora para M : deve ser encontrado o valor de f(), dados: 5 45 f() ,5 Tabela de dferenças dvddas: 5,4 5 86,5 4 -,8 46 -,94-4,8 45 7,5 P () ( ( ( ) )( ) )( )( ) P () 5,4( ),5( )( 5),8( )( 5)( ) P (), M, a margem M está a, metros da lnha reta que é representada, no gráfco, pelo eo. Assm, a largura do ro à metros da orgem é L 7,,, ou seja: L 59,9 m.

8 Segunda manera: a dstânca entre uma margem e outra é dada por L M M. Então, pode-se montar uma tabela com valores desta dferença, para cada ponto tabelado: 5 45 M M 6,5 68, ,5 O objetvo passa a ser o cálculo de P (), para este conjunto de pontos. Tabela de dferenças dvddas: 6,5,4 5 68,5 -,57 -,,5 49,5, 45 97,5 O polnômo de Newton então é escrto: P () ( ( ( ) )( ) )( )( ) P () 6,5,4( ),57( )( 5),5( )( 5)( ) P () 59,8 a largura do ro à metros da orgem é L 59,8 m.

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