Física. Física Módulo 1. Sistemas de Partículas e Centro de Massa. Quantidade de movimento (momento) Conservação do momento linear

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1 Físca Módulo 1 Ssteas de Partículas e Centro de Massa Quantdade de ovento (oento) Conservação do oento lnear

2 Partículas e ssteas de Partículas Átoos, Bolnhas de gude, Carros e até Planetas... Até agora, trataos tudo sso coo partículas... A partr de agora, vaos entender porque podeos fazer sso.

3 Centro de Massa Para aplcar as les de Newton a corpos extensos, vaos adtr que tas corpos seja copostos por partículas, nu sstea de partículas. Vaos adtr tabé que as les de Newton se aplca a cada partícula neste sstea. c Neste sstea de partículas exste u ponto que se coporta coo se toda a assa do sstea estvesse concentrada nele, e todas as forças externas age sobre o sstea coo se estvesse agndo sobre ele. Este ponto é chaado de centro de assa (c).

4 Cálculo do centro de assa Vaos consderar ncalente u sstea sples, de duas partículas. x 1 x 2 X CM 1 2 x A coordenada do centro de assa X c é então defnda por MX = x + x na qual M = é a assa total do sstea. Ass, o cálculo do centro de assa é dado por CM X CM = x + x

5 Cálculo do centro de assa: Para duas partículas, ok! E coo resolver para e 32 partículas? Be, generalzando para N partículas, tereos que na qual MX = x + x + x + + x = x CM N N M = é a assa total do sstea. E notação vetoral, se r = x + y j + y k for o vetor posção da í-ésa partícula, o vetor posção do centro de assa R c MR CM = r

6 Exeplos: (a) 1 2 = x x CM x CM = x + x (b) 1 2 >> x xcm x 1 x CM (c) E geral, o centro de assa é u ponto nteredáro entre x 1 e x 2 : x=0 x CM x < 1 < xcm x2 2 x=l x x L 2 = = CM 3 3 L

7 Exeplo: 3 partículas de assas guas forando u trângulo 2 Barcentro do trângulo: Interseção das edanas CM 1/3 2/3

8 Centro de assa e setras: Se u corpo possu u ponto, ua lnha ou u plano de setra, o CM stuase nesse ponto, lnha ou plano. Lnhas de setra Centro de setra CM CM Planos de setra Note que para que u ponto, lnha ou plano seja de setra, é precso que, para cada eleento de assa, exsta u outro gual na posção sétrca e relação ao ponto, lnha ou plano. Note que o centro de assa pode estar nua regão onde não há assa!

9 Exeplo: Centro de assa de u sstea de partículas Na fgura abaxo teos u sstea de três partículas. Encontre o centro de assa deste sstea = 1kg = 2 kg = 4 kg x 1 x x 3 = 0 2 = 0 = 4 y 1 y y = = 3 = 0 x CM y CM = = = =

10 2 a Le de Newton para u sstea de partículas: O ovento dos ssteas aca é uto coplcado, as o centro de assa descreve ua parábola coo ua partícula.

11 Movento do centro de assa A velocdade do centro de assa de u corpo é obtda dervando a equação da posção do CM e relação ao tepo M dr dt CM = dr dt MV = ou anda CM v Dervando as ua vez, obteos a aceleração do centro de assa MA = a CM Pela segunda le de Newton, F = a é a força resultante que age e cada partícula. Portanto, F = a = F + F, nt, ext F, nt são as Forças nternas e F, ext são as Forças externas que age sobre a -ésa partícula do sstea

12 Movento do centro de assa F = a = F + F MA = a Ass, sabendo que, nt, ext e que CM podeos escrever MA = F + F CM, nt, ext De acordo co a tercera le de Newton, para cada força que atua sobre ua partícula há ua força gual, poré oposta. As forças nternas ocorre sepre aos pares de forças guas e opostas e, quanto soadas, se cancela, restando apenas as forças externas. Fres =,ext F,ext = MA CM O CM de u sstea se ove coo ua partícula de assa nfluênca da resultante das forças externas que atua sobre o sstea M = sob a

13 O Referencal do Centro de Massa Mutas vezes é convenente escolher u sstea de coordenadas co orge no centro de assa de u sstea (referencal do C). Para passar de u referencal ncal para o referencal do centro de assa subtra-se a velocdade do CM no referencal ncal da velocdade de cada partícula neste referencal. No exeplo ao lado, as velocdades no referencal do centro de assa são u 1 e u 2, dadas por: Referencal ncal 1 c 2 v 1 V c v 2 e u 1 = v 1 - V c u 2 = v 2 - V c Referencal no CM 1 2 c u 1 u 2

14 Exeplo: Centro de assa para forças nternas Dos patnadores no gelo (despreze o atrto) encontra-se ncalente a ua dstânca de 12. Eles puxa as extredades de ua corda até se encontrare. E que ponto eles se encontra? O resultado depende das forças exercdas por eles? =80 kg =60 kg Se só exste forças nternas ao sstea, o centro de assa te velocdade constante. x CM = = 5, Os patnadores se encontrarão a 5,1 da posção ncal do patnador da esquerda, não porta as forças exercdas por eles.

15 Moento Lnear e sua conservação

16 Moento lnear O oento lnear (ou quantdade de ovento) de ua partícula é ua quantdade vetoral defnda coo: p = v A 2 a le de Newton pode ser escrta e teros do oento de ua partícula. Dervando a equação aca e relação ao tepo, tereos Segundo Newton, Força é a varação teporal da quantdade de ovento de ua partícula, ou seja; uur F res ur d p dt r d v = = dt r ur = dv d dt = p dt = r a r a ou uur F res = ur d p dt O conceto de oento é portante, pos se não houver ua força externa resultante o oento total do sstea se conserva,.e, não vara co o tepo.

17 Conservação de oento lnear Vaos consderar duas partículas 1 e 2 que pode nteragr entre elas, as que estão soladas de sua vznhança. Estas partículas pode exercer forças ua sobre a outra, as não exste forças externas presentes. De acordo co a 3ª. Le de Newton (ação e reação), F 12 = -F 21 ou anda que F 12 + F 21 =0 A 2ª. Le de Newton, por sua vez uur F ur ur d p uur d p = e F = dt dt Ass, podeos obter que Observe que a dervada teporal do oento total é zero.

18 Conservação de oento lnear Coo a dervada teporal do oento total p total = p 1 + p 2 é zero, podeos conclur que o oento total do sstea peranece constante. ou anda, ptotal = p = p1 + p2 = constante A soa dos oentos ncas deve ser gual dos oentos fnas. Ass, podeos escrever que Quando duas ou as partículas soladas nu sstea nterage, o oento total do sstea peranece constante. Le da conservação do oento lnear

19 Moento lnear para u sstea de partículas O oento lnear total P de u sstea de partículas é a soa vetoral dos oentos lneares ndvduas: ur P = v = p De acordo co a defnção de centro de assa, podeos escrever que: ur ur P v M V = = Dferencando e relação ao tepo a defnção do centro de assa: ur d dt Poré, a assa vezes a aceleração do centro de assa é gual a Força externa resultante CM ur d r = M = MA dt P VCM uur F, res, ext = d dt P ur CM

20 Conservação de oento lnear: sstea de partculas Ua conseqüênca edata da 2 a le de Newton para u sstea de partículas é a conservação do oento lnear total de u sstea na ausênca de forças externas F ur (ext) = 0 Ass coo no caso da conservação da energa ecânca, essa le pode ser uto útl para resolver probleas, se ter que achar a dnâca detalhada do sstea. Note que a únca condção para a conservação do oento lnear total é a ausênca de forças externas. Não há nenhua restrção quanto à presença de forças dsspatvas, desde que elas seja nternas. P ur = cte Se F (ext) = 0 Ausênca de forças externas P = cte O oento se conserva!!

21 Durante o chute, ua parte da quantdade de ovento do pé do Garfeld é transferda para o corpo do cachorro. Acopanhe o esquea: Dessa fora, a quantdade de ovento total se conserva, ebora vare as quantdades de ovento do pé do Garfeld e do cachorro.

22 Exercíco Exeplo: Ua caxa de 2,5 kg se ove co velocdade v 1 = 10 /s e outra de 3,5 kg co velocdade v 2 = -2/s. Achar (a) o oento total, (b) a velocdade do centro de assa e (c) a velocdade de cada caxa no referencal do centro de assa

23 Exercíco Exeplo: U canhão co sua platafora sobre rodas te assa M = 100 Kg. O canhão atra a bala de assa = 1 kg na horzontal co velocdade v rel de 300 /s e relação a s própro. Calcule a velocdade ncal V 0 de recuo do canhão e a velocdade ncal v 0 da bala e relação ao solo. Tanto ncalente coo edataente após a explosão, o oento lnear total do sstea é nulo, pos as forças que atua durante a explosão são todas forças nternas. MV v rel 0 + v0 = 0 = v 0 V 0 Resolvendo o sstea de equações encontraos: V0 = vrel = 2,97 /s + M v0 = vrel + V0 = 297 /s Os ódulos das velocdades estão ass relaconados: v v rel V 0 v 0 rel = v 0 V 0

24 Próxa aula: Colsões U assunto para r de encontro...