Consideraremos agora, uma de cada vez, as equivalentes angulares das grandezas de posição, deslocamento, velocidade e aceleração.

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1 CAPÍTULO Introdução A cnemátca dos corpos rígdos trata dos movmentos de translação e rotação. No movmento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento lnear. Por outro lado, no movmento de rotação pura as partes de um corpo descrevem trajetóras crculares cujos centros stuam-se sobre uma mesma reta chamada de exo de rotação. No movmento de rotação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento angular. O movmento que se aproxma mas de uma stuação real é aquele que ncorpora tanto a translação quanto a rotação. 5. As varáves da rotação Desejamos examnar a rotação de um corpo rígdo em torno de um exo fxo. Um corpo rígdo é um corpo que pode grar com todas as suas partes mantdas juntas e sem qualquer mudança na sua forma. Um exo fxo sgnfca que a rotação se dá em torno de um exo que não se move. Assm, não examnaremos um objeto como uma bola de bolche rolando ao longo de uma psta de bolche, pos a bola gra em torno de um exo que se move (o movmento da bola é uma mstura de rotação com translação). Consderaremos agora, uma de cada vez, as equvalentes angulares das grandezas de posção, deslocamento, velocdade e aceleração Posção Angular A fgura 5.1 mostra uma lnha de referênca, fxa no corpo, perpendcular ao exo de rotação, e que gra acompanhando o corpo. A posção angular desta lnha é o ângulo que ela faz com uma dreção fxa, que tomamos como a posção angular nula. Fgura 5.1: Um corpo rígdo de forma arbtrára em rotação pura ao redor do exo z de um sstema de coordenadas. A posção da lnha de referênca em relação ao corpo rígdo é arbtrára, mas é perpendcular ao exo de rotação. Ela está fxa no corpo e gra com ele. Na fgura 5., a posção angular θ é medda em relação à dreção postva do exo x. Da geometra, sabemos que θ é dado por Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

2 78 s θ (ângulos meddos em radanos) 5.1 r Nesta equação, s é o comprmento de arco ao longo de um círculo e entre o exo x (a posção angular nula) e a lnha de referênca; r é o rao desse círculo. Fgura 5.: Uma seção transversal do corpo rígdo em rotação da fgura 5.1, vsta de cma. O plano da seção transversal é perpendcular ao exo de rotação, que nesta fgura se estende para fora da págna em dreção ao letor. Nesta posção do corpo, a lnha de referênca faz um ângulo θ com o exo x. Um ângulo defndo desta forma é meddo em radanos (rad) em vez de voltas (ou revoluções) ou graus. O radano, por ser a razão entre dos comprmentos, é um número puro, portanto não possu dmensão. Como a crcunferênca de um círculo de rao r é πr, em uma volta completa há π radanos: portanto πr 1 volta 360 π rad 5. r 1 rad 57,3 0,159 volta 5.3 Não zeramos θ a cada volta completa da lnha de referênca em torno do exo de rotação. Se a lnha de referênca completar duas voltas a partr da posção angular nula, a posção angular θ da lnha será θ 4π rad. Para uma translação pura ao longo da dreção x, podemos saber tudo a respeto do movmento de um corpo se conhecermos x(t), sua posção em função do tempo. De modo análogo, para uma rotação pura, podemos saber tudo a respeto do movmento de um corpo em rotação se conhecermos θ(t), a posção angular da lnha de referênca do corpo em função do tempo. 5.. Deslocamento Angular Se o corpo da fgura 5. grar em torno do exo de rotação como na fgura 5.3, varando a posção angular da lnha de referênca de θ 1 para θ, o corpo sofrerá um deslocamento angular θ dado por θ θ 5.4 θ 1 Esta defnção de deslocamento angular vale não apenas para o corpo rígdo como um todo, mas também para cada partícula no nteror desse corpo, porque as dstâncas às outras partículas se mantêm nalteradas. Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

3 79 Fgura 5.3: A lnha de referênca do corpo rígdo das fguras 5.1 e 5. está na posção angular θ 1 no tempo t 1 e na posção angular θ no tempo t. A grandeza θ (θ - θ 1 ) é o deslocamento angular que ocorre durante o ntervalo de tempo t (t t 1 ). O própro corpo não é mostrado Se um corpo estver se transladando ao longo de um exo x, seu deslocamento x será postvo ou negatvo, dependendo de o corpo estar se movendo no sentdo postvo ou negatvo do exo. Analogamente, o deslocamento angular θ de um corpo em rotação será postvo ou negatvo, de acordo com a segunte regra: Um deslocamento angular no sentdo ant-horáro é postvo, e um no sentdo horáro é negatvo. Observe que o sentdo postvo dos deslocamentos angulares é o mesmo sentdo usado em trgonometra. Assm, a frase os relógos são negatvos pode ajudar a relembrar esta regra Velocdade Angular Suponha (veja a fgura 5.3) que o corpo em rotação esteja na posção angular θ 1 no nstante t 1 e na posção angular θ no nstante t. Defnmos a velocdade angular méda do corpo no ntervalo de tempo t de t 1 para t como sendo θ θ1 θ ω méd 5.5 t t t 1 na qual θ é o deslocamento angular que ocorre durante t. Se o corpo grar: - no sentdo ant-horáro: θ aumenta e ω é postva. - no sentdo horáro: θ dmnu e ω é negatva. A velocdade angular (nstantânea) ω, na qual estaremos mas nteressados, é a dervada da posção angular em função do tempo dθ ω () t 5.6 dt Se conhecermos θ(t), podemos encontrar a velocdade angular ω dervando esta expressão. As equações 5.5 e 5.6 são váldas não só para o corpo rígdo em rotação como um todo, mas também para cada partícula desse corpo porque a posção relatva das partículas não se altera. A undade de velocdade angular é normalmente o radano por segundo (rad/s), ou revolução por segundo (rev/s). Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

4 Aceleração Angular Se a velocdade angular de um corpo em rotação não for constante, este corpo possu uma aceleração angular. Sejam ω 1 e ω as velocdades angulares nos nstantes t 1 e t, respectvamente. A aceleração angular méda do corpo em rotação no ntervalo de t 1 a t é defnda como ω ω1 ω α méd 5.7 t t t 1 onde ω é a varação da velocdade angular que ocorre durante o ntervalo de tempo t. A aceleração angular (nstantânea) α, com a qual estaremos mas envolvdos, é a taxa temporal da varação da velocdade angular - se ω aumenta com o tempo a aceleração do corpo é postva - se ω dmnu com o tempo a aceleração do corpo é negatva dω α 5.8 dt As equações 5.7 e 5.8 são váldas não apenas para o corpo rígdo como um todo, mas também para cada partícula desse corpo. A undade de aceleração angular usualmente empregada é o radano por segundo ao quadrado (rad/s ) ou a revolução por segundo ao quadrado (rev/s ). 5.3 Relaconando as Varáves Lneares com as Angulares No capítulo 4, dscutmos o movmento crcular unforme, no qual uma partícula se desloca com uma velocdade lnear constante v ao longo de um círculo e ao redor de um exo de rotação. Quando um corpo rígdo, como um carrossel, gra em torno de um exo, cada partícula no corpo se move em seu própro círculo ao redor desse exo. Como o corpo é rígdo, todas as partículas perfazem uma volta completa na mesma quantdade de tempo; ou seja, todas elas possuem a mesma velocdade angular ω. Entretanto, quanto mas afastada do exo estver uma partícula, maor será a crcunferênca do seu círculo e, conseqüentemente, maor deverá ser a sua velocdade lnear v. Isso pode ser percebdo em um carrossel. Você dá voltas com a mesma velocdade angular ω, ndependente da sua dstânca ao centro, mas a sua velocdade lnear v aumenta consderavelmente se você se mover em dreção à borda externa do carrossel. Com freqüênca, precsamos relaconar as varáves lneares s, v e a de um ponto partcular em um corpo em rotação com as varáves θ, ω e α desse corpo. Os dos conjuntos de varáves estão relaconados por r, a dstânca perpendcular do ponto ao exo de rotação. Esta dstânca entre o ponto e o exo de rotação é medda ao longo da perpendcular ao exo. Ela também é o rao r do círculo percorrdo pelo ponto ao redor do exo de rotação Posção Se na lnha de referênca sobre um corpo rígdo grar de um ângulo θ, um ponto no nteror do corpo a uma dstânca r do exo de rotação se move uma dstânca s ao longo de um arco de círculo, onde s é dado por Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

5 s θr (ângulos meddos em radanos) 5.9 Esta é a prmera das nossas relações entre as grandezas lneares e angulares Velocdade Dervando a equação 5.9 em relação ao tempo, com r mantdo constante, chega-se a ds dθ r dt dt Entretanto, ds/dt é a velocdade escalar lnear (a ntensdade do vetor velocdade lnear) do ponto em questão, e dθ/dt é a velocdade angular ω do corpo em rotação. Então v ω r (ângulos meddos em radanos) 5.11 A equação 5.11 nos dz que, já que todos os pontos no nteror do corpo rígdo possuem a mesma velocdade angular ω, pontos com um rao r maor possuem maor velocdade escalar lnear v. A fgura 5.4 nos lembra que a velocdade lnear é sempre tangente à trajetóra crcular do ponto em questão. Se a velocdade angular ω do corpo rígdo for constante, a equação 5.11 nos dz que a velocdade lnear v de qualquer ponto dentro dele também é constante. Assm, cada ponto dentro do corpo está sujeto a um movmento crcular unforme. O período de revolução T para o movmento de cada ponto e para o própro corpo rígdo é dado por πr T 5.1 v 81 Fgura 5.4: O corpo rígdo em rotação da fgura 5.1, mostrado em seção transversal vsta de cma. Todo e qualquer ponto do corpo (como, Por exemplo, P) se move em um círculo ao redor do exo de rotação. (a) O vetor velocdade lnear v de todo e qualquer ponto é tangente ao círculo no qual o ponto se move. (b) A aceleração lnear a do ponto possu (em geral) duas componentes: uma componente tangencal a t e uma componente radal a r. A equação 5.1 nos dz que o tempo para uma volta é a dstânca πr percorrda em uma volta dvdda pela velocdade com que essa dstânca é percorrda. Substtundo v da equação 5.11 e cancelando r, encontramos também que Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

6 8 T π 5.13 ω Aceleração Dervando a equação 5.11 em relação ao tempo, novamente com r mantdo constante, temos dv dt dω r 5.14 dt Aqu nos defrontamos com uma complcação. Na equação 5.14, dv/dt representa apenas a parcela da aceleração lnear que é responsável por mudanças na ntensdade v da velocdade lnear v. Como v, essa parcela da aceleração lnear é tangente à trajetóra do ponto em questão. Chamamos esta parcela de componente tangencal a t da aceleração lnear do ponto e escrevemos onde α dω/dt. a t α r (ângulos meddos em radanos) 5.15 Além dsso, como nos dz a equação 4.47, uma partícula (ou ponto) que se move em uma trajetóra crcular possu uma componente radal da aceleração lnear, a r v /r (drgda radalmente para dentro), que é responsável por varações na dreção da velocdade lnear v. Substtundo v da equação 5.11, podemos escrever essa componente como a r v ω r (ângulos meddos em radanos) 5.16 r Assm, como mostra a fgura 5.4b, a aceleração lnear de um ponto sobre um corpo rígdo em rotação possu, em geral, duas componentes. A componente radal a r drgda para o centro (dada pela equação 5.16) está presente sempre que a velocdade angular do corpo for dferente de zero. A componente tangencal a t (dada pela equação 5.15) está presente sempre que a aceleração angular for dferente de zero. 5.4 Torque, Momento de Inérca e Segunda Le de Newton para a Rotação Para por um dsco para grar é necessáro, por exemplo, a) aplcar duas forças F1 e F a sua perfera ou c) aplcar uma força a um ponto qualquer, cuja dstânca perpendcular entre a lnha de ação da força e o exo de rotação é o braço de alavanca da força. No caso b) da fgura abaxo, a combnação das forças F1 e F produz um efeto nulo, e o dsco não gra. Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

7 83 O produto entre a força e o braço de alavanca é o valor do torque τ para o ponto : τ F 5.17 Por outro lado, a capacdade da força F grar o corpo depende não apenas da ntensdade da sua componente tangencal F t, mas também da dstânca ao ponto O em que a força é aplcada. Para nclurmos estes dos fatores, defnmos o torque como sendo o produto dos dos fatores e escrevemos ( )( Fsen θ) τ r 5.18 Um torque pode ser magnado como uma torção tal como uma força é um empurrão. É o torque que modfca a velocdade de um corpo no movmento de rotação. Undade de torque: N.m Seja Ft a resultante das forças externas que atuam sobre a -ésma partícula. Pela segunda le de Newton: Multplcando a equação 5.19 por r, temos F t ma t mrα 5.19 r F τ t m r m r α α 5.0 Somando para todas as partículas do dsco: τ m r α 5.1 onde m r I, ou também conhecdo como momento de nérca do corpo, e τ τres. O momento de nérca é a medda da resstênca que um corpo oferece às modfcações do seu movmento de rotação. Dessa forma τres I ω 5. Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

8 84 Na tabela 5.1 vemos alguns momentos de nérca para geometras conhecdas. Tabela 5.1: Algumas nércas à rotação 5.5 Energa Cnétca de Rotação A energa cnétca de um corpo que gra, em torno do seu exo, é a soma das energas cnétcas das suas partículas. A energa cnétca de um elemento de massa m para uma únca partícula é 1 K mv 5.3 Estendendo a soma a todas as partículas do corpo e usando v r ω, temos a energa cnétca de rotação do corpo todo K K rot rot 1 1 mr ω 1 Iω m r ω 5.4 na qual ω é a mesma para todas as partículas. Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

9 5.6 Rotação sem Escorregamento Há mutas stuações em que se puxa uma corda enrolada em torno de um clndro. Se a corda não escorregar sobre o clndro, a sua velocdade lnear deve ser gual à velocdade tangencal da borda do clndro, v r ω (vde equação 5.11). A condção dada pela da velocdade defne uma stuação de ausênca de escorregamento. Se dervarmos a expressão em relação ao tempo, encontramos a relação entre a aceleração tangencal do clndro e a aceleração lnear da corda motrz, a t α r (vde equação 5.15). Exemplo 5-1: Um corpo de massa m está pendurado num cordel que passa por uma pola cujo momento de nérca em relação ao própro exo é I e o rao R, como mostra a fgura 5.5. A pola tem rolamento sem atrto e o cordel não escorrega pela sua borda. Calcular a tensão no cordel e a aceleração do corpo. 85 Fgura 5.5 Solução: Neste sstema, o corpo desce com aceleração constante para baxo a, enquanto a pola gra com aceleração constante α. Como o cordel se desenrola sem escorregar, arα. Aplcamos a le de Newton para a rotação à pola para ter a aceleração α e depos aplcamos a segunda le de Newton ao corpo em queda para ter a.vamos tomar como postvos o sentdo de rotação horáro da pola e a dreção vertcal para baxo. 1. A únca força que exerce um torque sobre a pola é a tensão T, cujo braço de alavanca, em relação ao exo de rotação, é R. Com a segunda le de Newton, τext Iα, podemos relaconar T e a aceleração angular TR I α. O dagrama de forças do corpo pendurado está abaxo. Aplcando a segunda le de Newton F ma temos a relação entre T e a aceleração lnear a mg T ma Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

10 86 3. Temos duas equações e três ncógntas, T, a e α. A tercera equação provém da ausênca de escorregamento, que relacona a com α a R α 4. Temos agora as três equações para determnar T, a e α. Elmna-se α na equação da etapa 1 e resolve-se em a: TR Iα TR a I 5. Com este resultado para a, a equação da segunda le de Newton nos dá T a I r TR mg T m I mg mr 1+ I I I + mr T 6. Entrando com este valor de T na etapa 4 vem a aceleração a mr I + mr a Exemplo 5-: Dos corpos estão presos a um cordel que passa por uma pola de rao R e momento de nérca I. O corpo de massa m 1 deslza sobre uma superfíce horzontal sem atrto. O corpo de massa m está pendurado no cordel (fgura 5.6). Calcular a aceleração a dos dos corpos e as tensões T 1 e T admtndo que não haja escorregamento do cordel na pola. g mg Fgura 5.6 Solução: Neste problema, as tensões T 1 e T não são guas, pos há atrto entre o cordel e a pola. (Se não houvesse atrto, a pola não rodara em torno do seu exo.) Veja que T provoca um torque Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

11 87 no sentdo horáro e T 1 um a cada corpo à pola τ I α, e com a condção da ausênca de escorregamento, a Rα, se têm as equações necessáras. 1. Dagrama de forças de cada corpo e da pola (fgura abaxo). A pola não é acelerada e o seu exo deve exercer uma força F s que equlbra as forças exercdas pelo cordel.. Aplcando a segunda le de Newton F ma a cada corpo, vem T 1 m1a m g T m a 3. Somando as duas equações anterores e reordenando tem-se a equação de T T 1 : T m g ( m m )a T Com ale de Newton aplcada ao movmento de rotação, τ I α, tem-se outra equação para T T 1. Elmna-se α pela condção de ausênca de escorregamento: ( T ) R Iα T 1 I T1 a R T 5. Com as equações das etapas 3 e 4, elmna-se T T 1 e se tem a em termos das massas, de I e de R : m a m g m + m + I / R 1 6. Entrando com este resultado para a em cada equação da etapa se resolve em T 1 e em T : m1 T1 m g m + m + I / R 1 ( m + I / R ) 1 T m g m + m + I / R 1 Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

12 88 5ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Uma roda parte do repouso com a aceleração angular constante de,6 rad/s e rola durante 6 s. No fnal deste ntervalo de tempo, (a) qual a velocdade angular? (b) Qual o ângulo varrdo na rotação da roda? (c) Quantas voltas fez a roda? (d) Qual a velocdade e qual a aceleração de um ponto a 0,3 m de dstânca do exo da roda? R: (a) 15,6 rad/s; (b) 46,8 rad; (c) 7,45 rev; (d)4,68 m/s, 73 m/s. Um dsco, com o rao de 1 cm, em repouso, prncpa a grar em torno do própro exo, com a aceleração angular constante de 8 rad/s. Determnar, no nstante t 5 s, (a) a velocdade angular do dsco e (b) a aceleração tangencal a t e a aceleração centrípeta a c de um ponto na borda do dsco. R: (a) 40 rad/s; (b) 0,96 m/s ; 19 m/s 3. Uma roda ggante, com 1 m de rao, dá uma volta em 7 s. (a) Qual a velocdade angular em radanos por segundo? (b) Qual a velocdade lnear de um passagero da roda? (c) Qual a aceleração centrípeta do passagero? R: (a) 0,33 rad/s; (b),8 m/s; (c) 0,65 m/s 4. Um clndro de,5 kg e rao de 11 cm está ncalmente em repouso. Uma corda de massa desprezível está enrolada no clndro e é puxada com uma força constante de 17 N. Calcular (a) o torque exercdo pela corda, (b) a aceleração angular do clndro e (c) a velocdade angular do clndro em t 5 s. R: a) 1,87 N.m; b) 14 rad/s ; c) 60 rad/s 5. Um dsco horzontal homogêneo, de massa M e rao R, gra em torno do seu exo vertcal com velocdade angular ω. O coefcente de atrto cnétco entre o dsco e uma superfíces horzontal sobre a qual está pousado é µ c. (a) Determnar o torque dτ exercdo pela força de atrto sobre um elemento anular de rao r e largura dr. (b) Determnar o torque total do atrto sobre o dsco. (c) Determnar o tempo que o dsco leva para chegar ao repouso. R: a) (M/R ) µ c gr dr; b) (/3) MRµ c g; c)3 Rω/ 4µ c g 6. Um dsco unforme de massa M e rao R está montado de modo a poder grar lvremente em torno de um exo horzontal que passa pelo seu centro e é perpendcular ao seu plano. Uma pequenna partícula, de massa m, é presa à borda do dsco, no seu topo, na vertcal, acma do exo. O sstema recebe pequeno mpulso e o dsco prncpa a grar. (a) Qual a velocdade angular do dsco quando a partícula passa pelo ponto mas baxo da sua trajetóra? (b) Nesse ponto, que força deve ser exercda sobre a partícula, pelo dsco, a fm de ela não se desprender? R: a) 8mg R 8m ; b) mg (m + M) 1 + (m + M) 7. Um carro de 100 kg está sendo descarregado por um gundaste. No nstante em que a posção do carro era a esquematzada na fgura abaxo, a engrenagem do tambor do gundaste se rompeu e o carro cau., partndo do repouso. Durante a queda do caro não há escorregamento entre o cabo (cuja massa é desprezível), a pola e o tambor. O momento de nérca do tambor é de 30 kg.m e o da pola, 4 kg.m. O rao do tambor é 0,80 m e o da pola 0,30 m. Calcular a velocdade do carro ao atngr a água. R: 8, m/s Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC

13 89 8. Um esfera macça homogênea, de massa M e rao R, pode grar lvremente em torno de um dâmetro horzontal. Uma fta é enrolada na esfera, sobre um círculo máxmo perpendcular ao exo de rotação, e suporta um peso de massa m, como mostra a fgura abaxo. Calcular (a) a aceleração do peso pendente e (b) a tensão na fta. g mmg R: a) ; b) M 5m + M 1 + 5m 9. Dos corpos estão pendurados em cordas que passam por uma pola dupla conforme o esquema da fgura abaxo. O momento de nérca total das duas polas é de 40 kg.m. Os raos são R 1 1, m e R 0,4 m. (a) Se m 1 4 kg, calcular m de modo a ser nula a aceleração angular da pola. (b) Se um corpo de 1 kg for colocado suavemente sobre o corpo de massa m 1, calcular a aceleração angular da pola e as tensões nas duas cordas. R: a) 7 kg; b) 1,37 rad/s, T 1 94 N, T 745 N 10. Na fgura ao lado, o volante A de rao r A 10 cm está acoplado pela correa B ao volante C de rao r c 5 cm. Aumenta-se a velocdade angular do volante A a partr do repouso a uma taxa constante de 1,6 rad/s. Determne o tempo para que o volante C alcance uma velocdade de rotação de 100 rpm, supondo que a correa não deslze (Dca: Se a correa não deslza, as velocdades lneares nas bordas dos dos volantes devem ser guas.) R: 16 s 11. Na fgura ao lado, um bloco tem massa M 500 g, o outro apresenta massa m 460 g, e a roldana, que está montada em mancas horzontas sem atrto, tem um rao de 5,00 cm. Quando solto do repouso, o bloco mas pesado ca 75,0 cm em 5,00 s (sem que a corda escorregue na roldana). (a) Qual a ntensdade da aceleração dos blocos? Qual a tração na parte da corda que sustenta (b) o bloco mas pesado e (c) o bloco mas leve? (d) Qual a ntensdade da aceleração angular da roldana? (e) Qual a sua nérca à rotação? R: (a) 6,00 cm/s ; (b) 4,87 N; (c) 4,54 N; (d) 1,0 rad/s ; (e) 0,0138 kg. Apostla elaborada pela Profª. Ângela Emla de Almeda Pnto CAV/UDESC