Figura 8.1: Distribuição uniforme de pontos em uma malha uni-dimensional. A notação empregada neste capítulo para avaliação da derivada de uma

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1 Capítulo 8 Dferencação Numérca Quase todos os métodos numércos utlzados atualmente para obtenção de soluções de equações erencas ordnáras e parcas utlzam algum tpo de aproxmação para as dervadas contínuas presentes nestas equações Na grande maora das vezes, elas são substtuídas por suas versões dscretas em um processo conhecdo como dscretzação O prmero passo dado na construção destas aproxmações por erenças-fntas é o estabelecmento de uma malha A fgura 81 mostra uma malha un-dmensonal com N pontos unformemente dstrbuídos ao longo de um comprmento L A posção x de cada ponto da malha é dada por x = x L + ( 1) wth = x R x L N 1 where x L = 0 and x R = L, (81) x 0 x 0 L x N 2 N 1 N Fgura 81: Dstrbução unforme de pontos em uma malha un-dmensonal A notação empregada neste capítulo para avalação da dervada de uma função arbtrára f(x) na malha acma é f = f(x 0 ), f ±1 = f(x 0 ± ) and f ±2 = f(x 0 ± 2), (82) onde, prmero, séres de Newton serão utlzadas para a construção das fórmulas clásscas de aproxmação Depos, versões generalzadas destas aproxmações serão obtdas com o uso de séres polnomas 81 Sére de Taylor As prmeras aproxmações dscretas para dervadas contínuas foram obtdas com expansões em sére de Taylor, como a expressão (62), que determna o 67

2 68 Capítulo 8 Dferencação Numérca comportamento da função em um ponto x que é arbtráro porém próxmo ao ponto de referênca x 0 Esta sére é escrta de manera geral como f(x) = f(x 0 ) + n k=1 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + O ( (x x 0 ) n+1), (83) onde a dstânca = x x 0 e a ordem n do polnômo determnam o erro da aproxmação Quanto maor, maor deve ser n de modo que a precsão do resultado seja mantda aproxmadamente constante A equação (83) será amplamente utlzada nas próxmas seções para construção de aproxmações numércas para erentes dervadas 811 Dferenças Avançadas/Atrasadas Aproxmações com erenças avançadas são aquelas em que a expansão (83) é utlzada para determnar o valor da função em pontos mas dstantes da orgem do que o ponto de referênca x, como lustrado na Fgura 81 Por exemplo, de acordo com as relações (82), podemos escrever f +1 = f + dx + ()2 d2 f 2! dx 2 + ()3 d3 f 3! dx 3 +, (84) ou, alternatvamente, dx = f +1 f 2 d2 f dx 2 ()2 6 d3 f dx 3, (85) o que nos permte escrever a aproxmação avançada de prmera ordem para a prmera dervada no ponto x na forma dx = f +1 f + O() (86) A precsão da aproxmação acma depende de Na verdade, o teorema do valor médo dz que exste um valor ξ dentro do ntervalo x ξ x +1 para o qual esta aproxmação retorna o valor exato da dervada O erro desta fórmula, representado por O() e obtdo com a erença entre as duas expressões acma, é chamado de erro de truncamento Smlarmente, aproxmações com erenças atrasadas são aquelas em que a expansão (83) é utlzada para determnar o valor da função em pontos mas próxmos da orgem do que o ponto de referênca x Anda de acordo com as relações (82), podemos escrever f 1 = f dx + ()2 d2 f 2! dx 2 ()3 d3 f 3! dx 3 +, (87)

3 81 Sére de Taylor 69 ou, alternatvamente, dx = f f d2 f dx 2 ()2 6 d3 f dx 3 +, (88) o que nos permte escrever a aproxmação atrasada de prmera ordem para a prmera dervada no ponto x na forma dx = f f 1 + O() (89) As aproxmações (86) e (89) deveram ser ntutvas para o letor uma vez que a dervada de uma função contínua pode ser defnda como dx = lm f(x + ) f(x) 0 f(x) f(x ) = lm 0 (810) Maores ordens de precsão também podem ser obtdas Para tal, novas relações envolvendo outros pontos da malha são utlzadas para elmnar os termos de menor ordem no erro de truncamento Nas aproxmações de prmera ordem mostradas acma, estes são os termos que contém a segunda dervada da função avalada em x nas expressões (85) e (88) Logo, basta combnarmos as novas séres f ±2 = f ± 2 dx + 2 () 2 d2 f dx 2 ± 4 3 ()3 d3 f dx 3 +, (811) com as séres (84) e (87) para obter as aproxmações avançada e atrasada de segunda ordem para a prmera dervada no ponto x nas formas dx = 3 f ± 4 f ±1 f ±2 + ()2 d3 f 2 3 dx 3 ±, (812) respectvamente Este procedmento pode ser repetdo, acrescentado mas pontos da malha através das novas séres f ±3 = f ±3 dx ()2 d2 f dx 2 ± 9 2 ()3 d3 f dx 3 +, (813) no ntuto de alcançar ordens de precsão anda maores Por exemplo, as aproxmações avançada e atrasada de tercera ordem são dx = 11 f ± 18 f ±1 9 f ±2 ± 2 f ±3 (814) 6 ()3 d4 f 4 dx ()4 d5 f dx 5 respectvamente

4 70 Capítulo 8 Dferencação Numérca 812 Dferenças Parcalmente Avançadas/Atrasadas Aproxmações tanto avançadas quanto atrasadas de alta ordem de precsão não são comuns na obtenção de soluções dscretas de equações erencas devdo a baxa establdade numérca que elas mpõem ao sstema algébrco resultante Este problema é remedado com a utlzação de aproxmações parcalmente avançadas ou atrasadas Por exemplo, um esquema de tercera ordem para a prmera dervada que é parcalmente avançado usa um ponto à frente de x e dos atrás, combnando as expansões em sére de Taylor para as funções f 1, f +1 e f +2 de modo a gerar dx = 2 f 1 3 f + 6 f +1 f +2 (815) 6 + ()3 12 d4 f dx 4 + ()4 d5 f 30 dx 5 +, que avala a função em quatro pontos dstntos para obter a dervada, assm como a aproxmação avançada em (814) A versão parcalmente atrasada desta fórmula combna as expansões em sére de Taylor para as funções f 2, f 1 e f +1 de modo a construr a nova fórmula dx = f 2 6 f f + 2 f +1 (816) 6 ()3 12 d4 f dx 4 + ()4 d5 f 30 dx 5 Formulações parcalmente avançadas/atrasadas podem ser construídas com ordens anda maores de precsão Assm como as aproxmações acma ndcam, esquemas parcalmente avançados (ou atrasados) são construídos com usando um ponto a mas (ou menos) a frente de x do que atrás Desta forma, apenas ordens de erro O ( () n) ímpares, que avalam a função em um número par n + 1 de pontos da malha, são obtdas Uma das conseqüêncas desta relação é o fato das versões parcalmente avançada e atrasada de prmera ordem serem guas as aproxmações totalmente avançada e atrasada (86) e (89), respectvamente 813 Dferenças Centradas Prmeras dervadas costumam aparecer em modelos matemátcos baseados em equações erencas representando varações temporas ou o transporte de alguma varável dependente Neste contexto, aproxmações totalmente ou parcalmente atrasadas/avançadas são a escolha padrão Contudo, dversas stuações podem ocorrer onde é necessáro calcular dervadas de funções conhecdas apenas na forma de conjuntos dscretos de dados Nestes casos,

5 81 Sére de Taylor 71 erenças centradas são uma boa escolha Por exemplo, podemos combnar as séres (84) e (87) para escrever a aproxmação dx = f +1 f 1 2 ()2 6 d3 f dx 3 ()4 d5 f 120 dx 5, (817) onde, ao elmnar o termo contendo a segunda dervada para garantr a precsão de segunda ordem, todas as dervadas pares desapareceram Esta é uma característca comum de todas as aproxmações centradas da prmera dervada Um outro exemplo que confrma esta afrmação é a fórmula com precsão de quarta ordem dx = f 2 8 f f +1 f ()4 d5 f 30 dx 5 + ()6 d7 f 252 dx 7 +, (818) obtda ao nclur as séres em (811) na construção da aproxmação Somente o cálculo numérco da prmera dervada fo dscutdo até o momento, porém aproxmações semelhantes também podem ser deduzdas para a segunda dervada Combnando as séres (84) e (87) de modo a elmnar a tercera dervada e substtundo a fórmula (817) na expressão resultante para elmnar a prmera dervada, obtemos a aproxmação de segunda ordem para a segunda dervada d 2 f dx 2 = f 1 2 f + f +1 () 2 (819) ()2 d4 f 12 dx 4 ()4 d6 f 360 dx 6, cujo erro de truncamento possu termos contendo apenas dervadas pares Esta é uma característca comum de todas as aproxmações centradas para a segunda dervada Um outro exemplo que confrma esta afrmação é a fórmula com precsão de quarta ordem d 2 f dx 2 = f f 1 30 f + 16 f +1 f () 2 (820) + ()4 d6 f 90 dx 6 + () d8 f dx 8, obtda ao nclur as séres em (811) na construção da aproxmação

6 72 Capítulo 8 Dferencação Numérca 82 Interpolação Polnomal Mutas décadas após os város concetos apresentados na seção 81 foram desenvolvdos e aplcados com sucesso na solução de equações erencas, fo descoberto que as mesmas aproxmações podem ser obtdas através de nterpolações polnomas O mpacto desta abordagem na construção de novas fórmulas para o cálculo numérco de dervadas é dscutdo a segur 821 Sére de Potênca Consderando a sére de potênca (73), porém retendo apenas 4 prmeros termos, podemos escrever o polnômo p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4, (821) cuja prmera dervada é dada por dx = a a 2 x + 3 a 3 x a 4 x 3, (822) e a segunda dervada é dada por d 2 p dx 2 = 2 a a 3 x + 12 a 4 x 2 (823) As constantes a 0 e a 1 podem ser obtdas ao avalarmos o polnômo (821) nos pontos x e x +1 Substtundo estes resultados na expressão (822), também avalada em x, permte escrever dx = p +1 p ( a a 3 x + 6 a 4 x 2 ) 2 (a a 4 x ) 3 a 4, (824) que é equvalente à fórmula (85) Estas constantes também podem ser obtdas se avalarmos o polnômo (821) nos pontos x 1 e x Substtundo estes novos resultados em (822), anda avalada em x, permte escrever dx = p p 1 + ( a a 3 x + 6 a 4 x 2 ) 2 (a a 4 x ) + 3 a 4, (825) que é equvalente à fórmula (88) Vale a pena notar que os termos de ordem ímpar do erro de truncamento das duas aproxmações acma tem a mesma magntude, porém snas erentes Desta forma, somando estas duas expressões permte escrever dx = p +1 p 1 2 (a a 4 x ) 2, (826)

7 82 Interpolação Polnomal 73 que é equvalente à fórmula (817) Esta aproxmação também podera ser obtda avalando o polnômo (821) nos pontos x 1, x e x +1, calculando as constantes a 0, a 1 e a 2 das equações resultantes e substtundo os valores encontrados na fórmula (822), avalada no ponto x Substtundo as expressões encontradas para estas constantes no polnômo (823), avalado em x, gera a aproxmação para a segunda dervada d 2 p dx 2 = p +1 2 p + p a 4, (827) que é equvalente à fórmula (819) 822 Sére de Lagrange Interpolação polnomal, utlzando séres de potênca como apresentado na subseção anteror, gera os mesmos resultados que a sére de Taylor para aproxmações dscretas de dervadas contínuas Mesmo assm, esta técnca se tornou bastante popular entre os usuáros de métodos numércos A prncpal razão para sso é o fato de aproxmações em malhas não unformes serem sgnfcatvamente mas fáces de se obter Consderando o polnômo (718) com n = 2 obtemos p(x) = (x x 1) (x x 2 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) p 0 + (828) (x x 0 ) (x x 2 ) (x 1 x 0 ) (x 1 x 2 ) p 1 + (x x 0) (x x 1 ) (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) p 2, onde n + 1 equvale ao número de pontos utlzados para a construção de uma aproxmação dscreta de ordem n para uma dervada contínua Três fórmulas erentes podem ser geradas a partr da prmera dervada deste polnômo A aproxmação avançada ( ) 1 1 dx = + p + (829) x +1 x x +2 x (x +2 x ) p +1 (x +1 x ) (x +2 x +1 ) (x +1 x ) p +2 (x +2 x ) (x +2 x +1 ), onde x j = x +j e p j = p +j, com j = 0, 1 e 2, a aproxmação centrada dx = ( (x +1 x ) p 1 (x x 1 ) (x +1 x 1 ) + (830) 1 x x 1 1 x +1 x ) p + (x x 1 ) p +1 (x +1 x 1 ) (x +1 x ),

8 74 Capítulo 8 Dferencação Numérca onde x j = x 1+j e p j = p 1+j, com j = 0, 1 e 2, e a aproxmação atrasada (x x 1 ) p 2 dx = (x 1 x 2 ) (x x 2 ) (831) ( ) (x x 2 ) p 1 (x 1 x 2 ) (x x 1 ) p x x 2 x x 1 As aproxmações (829) e (831) são reduzdas para suas respectvas versões mplíctas na fórmula (812) ao utlzarmos uma malha unforme, já que x ±1 = x ± e x ±2 = x ± 2 neste caso Já a aproxmação (830) é reduzda para a fórmula (817) Também é possível construr uma aproxmação dscreta e não-unforme para a segunda dervada a parr do polnômo (828) Sua segunda dervada, avalada em x, gera a formulação centrada d 2 p dx 2 = 2 ( p +1 (x x 1 ) p (x +1 x 1 ) + (832) p 1 (x +1 x ) )/( (x x 1 ) (x +1 x 1 ) (x +1 x ) ), que reduz para a fórmula (819) caso a malha seja unforme 823 Sére de Hermte Todas as aproxmações para a prmera e segunda dervadas mostradas até aqu são de natureza explícta Isto sgnfca que a ncógnta, neste caso a dervada em questão no ponto x, depende apenas de varáves conhecdas em uma quantdade arbtrára de pontos Quanto maor o número de pontos, maor a ordem do erro de truncamento Contudo, nterpolações polnomas e séres de Taylor são equvalentes na construção de aproxmações dscretas para dervadas Logo, como dscutdo no capítulo 7, aumentar em excesso a ordem da aproxmação ntroduz osclações ndesejadas na solução Este problema pode ser remedado aglomerando pontos nas extremdades da malha Outra manera de establzar a aproxmação é ntroduzr mas nformações em cada ponto da malha A manera mas smples de atngr este objetvo é tornar o esquema mplícto, ou seja, nclur tanto a função quanto a dervada em cada ponto utlzado no cálculo Esta abordagem é equvalente a utlzar séres de Hermte ao nvés de séres de Taylor para construr as aproxmações dscretas da dervada de natureza mplícta Consdere a fórmula generalzada a 1 dx + a 1 dx + a +1 dx = +1 ( )/ b 1 p 1 + b p + b +1 p +1, (833)

9 82 Interpolação Polnomal 75 onde, por exemplo, escolher a 1 = a +1 = b = 0, b ±1 = ±1 e a = 2 reduz esta fórmula a aproxmação (817) Num esquema mplícto ou compacto, a 1 e/ou a +1 são erentes de zero Os coefcentes desta aproxmação são determnados de modo a assegurar a maor ordem de erro possível para a dervada em x Assm sendo, substtuímos as expansões (84) e (87) para p ±1, e as expansões para suas dervadas, que tem a forma dx = ±1 dx ± d2 p dx 2 + ()2 d3 p 2! dx 3 ±, (834) na equação (833) e coletamos todos os coefcentes que multplcam p e suas dervadas, até a qunta Igualando estes coefcentes a zero, construímos o sstema de ses equações algébrcas e ses ncógntas b 1 + b + b +1 = 0, a 1 + a + a +1 + b 1 b +1 = 0, 2 a 1 2 a +1 + b 1 + b +1 = 0, (835) 3 a a +1 + b 1 b +1 = 0, 4 a 1 4 a +1 + b 1 + b +1 = 0 e a 1 + a +1 = 0, que, quando satsfeto, garante a máxma ordem de erro possível para esta aproxmação, ou seja, quarta ordem Desta forma, acrescentar a dervada da função nos pontos adjacentes a x permte aumentar quatro vezes a ordem do erro de truncamento em relação à (817) Contudo, apenas cnco equações neste sstema são lnearmente ndependentes Escolhendo a = 4, elmnando a segunda equação e resolvendo o sstema resultante nos leva à dx dx + dx = 3 +1 ( ) p +1 p 1, (836) uma vez que a ±1 = 1, b ±1 = ±3 e b = 0 Devdo a natureza mplícta da equação, um sstema acoplado e trdagonal com N 2 equações deve ser resolvdo para as prmeras dervadas de p 2 à p N 1 Consderando a dstrbução de pontos da malha mostrada na Fgura 81, este sstema toma a forma p p 2 + p 3 = 3 (p 3 p 1 ) /, p p 3 + p 4 = 3 (p 4 p 2 ) /, p p 4 + p 5 = 3 (p 5 p 3 ) /, = p p 1 + p = 3 (p p 2 ) /, p p + p +1 = 3 (p +1 p 1 ) /, (837) p + 4 p +1 + p +2 = 3 (p +2 p ) /,

10 76 Capítulo 8 Dferencação Numérca = p N p N 3 + p N 2 = 3 (p N 2 p N 4 ) /, p N p N 2 + p N 1 = 3 (p N 1 p N 3 ) / p N p N 1 + p N = 3 (p N p N 2 ) / Todo o procedmento apresentado nesta subseção poder ser repetdo para gerar uma aproxmação dscreta mplícta ou compacta para a segunda dervada da função O sstema de equações que precsa ser resolvdo neste caso é construído a partr da fórmula de quarta ordem d 2 p dx d2 p 1 dx 2 + d2 p dx 2 = ( ) p 1 2 p + p +1 (838) Os esquemas mplíctos apresentados nesta subseção são smétrcos, ou seja, utlzam erenças centradas A característca mas mportante destes esquemas é a ausênca de dervadas pares, na aproxmação da prmera dervada, ou de dervadas ímpares, na aproxmação da segunda dervada, em seus respectvos erros de truncamento Esquemas assmétrcos, como as erenças explíctas totalmente ou parcalmente avançadas ou atrasadas, porém agora mplíctos, também podem ser construídas Na grande maora dos casos, apenas três pontos contém nformações sobre a dervada que está sendo aproxmada para manter o sstema tr-dagonal 83 Condções de Contorno O sstema (837) dexa em evdênca um problema que anda não fo dscutdo neste capítulo, a defnção de condções de contorno para o cálculo numérco das dervadas Elas são necessáras para tornar as aproxmações obtdas úncas Esta é uma característca de qualquer equação erencal, seja ela contínua ou em sua versão dscreta Neste últmo caso, a aproxmação é resolvda para os pontos no nteror da malha, ou seja, em 2 N 1 Já os valores nos contornos em = 1 e N precsam ser dados pelo usuáro 831 Explíctas Métodos explíctos requerem apenas condções de contorno explíctas para a função Por exemplo, a aproxmação (85) em = N 1 dz que dx p N p N 1, (839) N 1 ou seja, o valor da função p N precsa ser fornecdo Porém, o mesmo não ocorre em = 2 Alternatvamente, a aproxmação (88) em = 2 dz que dx p 2 p 1, (840) 2 e

11 83 Condções de Contorno 77 ou seja, o valor da função p 1 precsa ser fornecdo Smlarmente, o mesmo não ocorre em = N 1 Já a aproxmação centrada (817) precsa receber as funções p 1 e p N nos pontos = 2 e = N 1, respectvamente Vale a pena ressaltar que as fórmulas de maor ordem necesstam de um cudado adconal devdo ao maor número de pontos que utlzam em suas aproxmações Isto requer que elas sejam mocadas nas regões próxmas ao contorno Por exemplo, a fórmula de quarta ordem (817) não pode ser usada nos pontos = 2 e = N 1 No prmero ponto no nteror da malha, a fórmula de tercera ordem (815) deve ser usada em seu lugar Já no últmo ponto no nteror da malha, a fórmula de tercera ordem (816) deve ser usada em seu lugar 832 Implíctas Métodos mplíctos por sua vez podem usar condções de contorno tanto explíctas quanto mplíctas No contexto de equações erencas, condções explíctas são evtadas pos elas reduzem a establdade numérca do método sendo utlzado Por exemplo, no caso do sstema (837), podemos escrever, de uma forma genérca, as seguntes condções de contorno c 1 dx + c 2 1 dx = c 1 p 1 + c 2 p 2, (841) 2 c N 1 dx + c N N 1 dx = c N 1 p N 1 + c N p N, N o que permte re-escrever (837), agora na forma matrcal, como ā ā N onde temos que p 2 p 3 p 4 p 1 p p +1 p N 3 p N 2 p N 1 = b2 b3 b4 b 1 b b+1 bn 3 bn 2 bn 1, ā 1 = 4 c 2 c 1 e (842)

12 78 Capítulo 8 Dferencação Numérca b2 = ( 3 p 3 + c ( 2 c1 ) ) / p p 1, c 1 c 1 para o contorno à esquerda e também que ā N = 4 c N 1 c N e (843) bn 1 = ( ( cn c N + 3 ) p N + c N 1 c N p N 1 3 p N 2 ) /, para o contorno à dreta Ao fazer c 2 e/ou c N 1 serem nulos, a respectva condção de contorno se torna explícta Caso contráro, ela permanece mplícta Além dsso, os valores de p 1 e p N anda precsam ser fornecdos

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