Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki
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- Nathan Barbosa Azenha
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1 JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P. 19 a
2 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA Jornada de Físca Teórca 010 Insttuto de Físca Teórca/UNESP Prof. Dr. Alfredo Takash Suzuk
3 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA CAMPOS: O QUE SÃO? REALIDADE INVÍSIVEL CUJOS EFEITOS VISÍVEIS VEIS PODEMOS OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR CAMPOS CLÁSSICOS 3
4 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA CAMPOS: O QUE SÃO? E OLHAR?... CAMPOS CLÁSSICOS 4
5 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA CAMPOS: O QUE SÃO? E APRECIAR E SENTIR?... CAMPOS CLÁSSICOS 5
6 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA CAMPOS: O QUE SÃO? E APRECIAR E SENTIR?... CAMPOS CLÁSSICOS 6
7 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA EXEMPLOS DE CAMPOS: 1. Campos Clásscos: CAMPOS CLÁSSICOS 7
8 CAMPOS: CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA EXEMPLOS DE CAMPOS: 1. Campos Clásscos: CAMPOS CLÁSSICOS 8
9 CLÁSSICO : SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À MECÂNICA QUÂNTICA, ou QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA MECÂNICA QUÂNTICA CAMPOS CLÁSSICOS 9
10 EXEMPLOS DE CAMPOS (CLÁSSICOS): GRAVITACIONAL, ELÉTRICO, MAGNÉTICO, CAMPOS CLÁSSICOS 10
11 NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE FORÇA. CAMPOS CLÁSSICOS 11
12 COMO TAL, CLASSICAMENTE, CAMPOS* TEM AÇÃO INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS DE PROVA COLOCADOS SOB SUA AÇÃO. * CLÁSSICOS! CAMPOS CLÁSSICOS 1
13 CAMPOS CLÁSSICOS 13
14 mm F grav M F ˆ ˆ grav G r G grav G r r m r Tomando-se o rao da Terra como dstânca do centro à superfíce, ou regões próxmas à superfíce da Terra, obtém-se a aceleração da gravdade local, F grav m G g G grav GM R Terra M r rˆ rˆ CAMPOS CLÁSSICOS 14
15 CAMPOS CLÁSSICOS 15
16 CAMPOS CLÁSSICOS 16
17 qq F Q F K rˆ elet E K rˆ elet elet r q r CAMPOS CLÁSSICOS 17
18 qq F Q F K rˆ elet E K rˆ elet elet r q r CAMPOS CLÁSSICOS 18
19 CAMPOS CLÁSSICOS 19
20 G G F F grav grav grav grav m E E F F elet elet elet elet q CAMPOS CLÁSSICOS 0
21 F mag B CAMPOS CLÁSSICOS 1
22 CAMPOS CLÁSSICOS
23 CAMPOS CLÁSSICOS 3
24 q F vb mag c CAMPOS CLÁSSICOS 4
25 F qq Q Felet K rˆ E ˆ elet K r r r qq v K 1 ˆ ˆ mag r F r r c qq v F ˆ ˆ mag K r r c v r B ˆ mag v r Q v q B F v B mag K r c mag c CAMPOS CLÁSSICOS 5
26 Vetor F Vetor ma CAMPOS CLÁSSICOS 6
27 FORMALISMO LAGRANGIANO: a. Le de Newton Força em componentes d F ( ) m v m x ; 1,,3,...,3 N dt CAMPOS CLÁSSICOS 7
28 FORMALISMO LAGRANGIANO: Energa cnétca: 1 1 K m v m ( x ) ; 1,,3,...,3N K x m j x jj m x ; 1,,3,...,3 N j CAMPOS CLÁSSICOS 8
29 FORMALISMO LAGRANGIANO: PORTANTO d F ( m x ) dt d K F K dt x m x x a. Le de Newton CAMPOS CLÁSSICOS 9
30 FORMALISMO LAGRANGIANO: Em sstemas conservatvos, a força é o gradente de um potencal: V ( x ) F ; 1,,3,...,3 N x CAMPOS CLÁSSICOS 30
31 FORMALISMO LAGRANGIANO: Em sstemas conservatvos F F d K dt x d K V ( x ) V ( x ) dt x x x a. Le de Newton CAMPOS CLÁSSICOS 31
32 FORMALISMO LAGRANGIANO: Sstema cartesano de referênca d K V ( x ) dt x x a. Le de Newton CAMPOS CLÁSSICOS 3
33 FORMALISMO LAGRANGIANO: Coordenadas cartesanas Generalzadas q q ( x, x, x,..., x ; t) q ( x ; t) 1 3 3N j Transformação Inversa (não sngular) x x ( q ; t) j j CAMPOS CLÁSSICOS 33
34 FORMALISMO LAGRANGIANO: Da transformação nversa x x ( q ; t) j j x j dx x x dt q t j j j q x q j x q j CAMPOS CLÁSSICOS 34
35 ENERGIA CINÉTICA: 1 K m j ( x j ) j K q m x j j j m x j j j x q x j q j CAMPOS CLÁSSICOS 35
36 ENERGIA CINÉTICA: K q m x j j j x q j d K x j d x j m j x j m j x j dt q j q j dt q CAMPOS CLÁSSICOS 36
37 ENERGIA CINÉTICA: d x j x j x j q k dt q k q k q t q x j x q k q k qk t dx j x j q dt q j CAMPOS CLÁSSICOS 37
38 ENERGIA CINÉTICA: d K x j d x j m j x j m j x j dt q j q j dt q x x j m x q j j j j m j x j q j CAMPOS CLÁSSICOS 38
39 ENERGIA CINÉTICA: d K x x dt q q q j j m j x j m j x j j j m x j x 1 j j j m j x j q q j x K j Fj j q q CAMPOS CLÁSSICOS 39
40 ENERGIA CINÉTICA: d K x j K Fj dt q j q q V x j K j x j q q V K K V q q q CAMPOS CLÁSSICOS 40
41 R E S U M I N D O : d K ( K V ) dt q q V V ( q ) d ( K V ) ( K V ) dt q q d L L dt q q CAMPOS CLÁSSICOS 41
42 R E S U M I N D O : d L L dt q q EQUAÇÕES DE EULER- LAGRANGE L K V CAMPOS CLÁSSICOS 4
43 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS Vamos consderar o segunte sstema dscreto e estudar seu movmento osclatóro: CAMPOS CLÁSSICOS 43
44 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS Segunda le de Newton, e le de Hooke: mq k q q q q 1 1 CAMPOS CLÁSSICOS 44
45 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS Energa Cnétca: Sstema conservatvo K 1 mq V k q1 q 1 CAMPOS CLÁSSICOS 45
46 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS Lagrangana do sstema: 1 L K V mq k q q 1 CAMPOS CLÁSSICOS 46
47 Equação de Euler-Lagrange: L 1 q q q q mq mq j m q j mq j j j j d dt j, j L q mq CAMPOS CLÁSSICOS 47
48 Equação de Euler-Lagrange: L 1 k q j1 q j q q j q j1 k q q k q q q j1 j j1 j j j k q q k q q j 1 j, j 1 j 1 j, j L k q q k q q q 1 1 q q j CAMPOS CLÁSSICOS 48
49 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS Lagrangana do sstema: 1 L K V mq k q q 1 CAMPOS CLÁSSICOS 49
50 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS Densdade Lagrangana (lnear) do sstema: 1 m q1 q 1 L a q ka a L a a CAMPOS CLÁSSICOS 50
51 PARTÍCULAS CLÁSSICAS: INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO: N N 1 a a dx dx m a ka Y q1 q q a x CAMPOS CLÁSSICOS 51
52 ONDAS CLÁSSICAS: INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO: N L L = dxl 1 q onde Y q x Note que q q q( t, x) CAMPOS CLÁSSICOS 5
53 ONDAS CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTON A 0 dtl 0 A dtl dt dxl 0 CAMPOS CLÁSSICOS 53
54 ONDAS CLÁSSICAS: EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE: LAGRANGE: d L d L L dt q dx q ' q 0 q ' dq dx CAMPOS CLÁSSICOS 54
55 ONDAS CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTON 1 ' L L = q Y q 0; q q Yq" 0 L q L q ' q ; Yq ' CAMPOS CLÁSSICOS 55
56 ONDAS CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTON q Yq '' 0 d q Y d q dt d x 0 Equação de onda para propagação lnear em um sóldo elástco undmensonal de uma perturbação com velocdade: v Y CAMPOS CLÁSSICOS 56
57 PARTÍCULAS & ONDAS CLÁSSICAS: R E S U M O A T É A Q U I Partículas que osclam harmoncamente geram ondas elástcas no meo em que se propagam. Conexão é estabelecda quando passamos do caso dscreto para o contínuo. CAMPOS CLÁSSICOS 57
58 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): No caso de sstemas não conservatvos d K j K Fj j dt q q q x Q Corols, centrífuga, etc. CAMPOS CLÁSSICOS 58
59 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): No caso de sstemas não conservatvos Suponha que as componentes da força generalzada sejam da forma d M M Q dt q q CAMPOS CLÁSSICOS 59
60 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. 1 F e E v B c? CAMPOS CLÁSSICOS 60
61 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. E B 1 A c t A CAMPOS CLÁSSICOS 61
62 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. E B 1 A c t A 1 A E( x, y, z) ( x, y, z) c t A A ( z, x, y) ( y, z, x) B( x, y, z) ( y, z, x) ( z, x, y) ( x, y, z) CAMPOS CLÁSSICOS 6
63 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. 1 ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z) F e E v B c CAMPOS CLÁSSICOS 63
64 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. 1 A A x e y Ax Ax Az Fx e y z x c t c x y z x CAMPOS CLÁSSICOS 64
65 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. 1 A A x e y Ax Ax A F z x e y z x c t c x y z x 1 Ay Az 1 Fx e y z y z A x c x x c t y z x CAMPOS CLÁSSICOS 65
66 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. 1 Ay Az 1 Fx e y z y z A x c x x c t y z 1 A A x y Az 1 e x y z x y z A x c x x x c t x y z x x CAMPOS CLÁSSICOS 66
67 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. 1 A A x y Az 1 Fx e x y z x y z A x c x x x c t x y z 1 1 e v A x y z Ax x c c t x y z x CAMPOS CLÁSSICOS 67
68 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. ( t, x, y, z) A A( t, x, y, z) CAMPOS CLÁSSICOS 68
69 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. dax Ax Ax Ax Ax x y z dt t x y z x y z A t x y z x CAMPOS CLÁSSICOS 69
70 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. A xa ya za x v A x x x y z CAMPOS CLÁSSICOS 70
71 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d Ax Ax Ax Ax v A x y z dt x t x y z x y z A t x y z x CAMPOS CLÁSSICOS 71
72 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d 1 1 A x Ax A x A 0 x v A x y z dt x c c t x y z 1 x y z A c t x y z x CAMPOS CLÁSSICOS 7
73 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d 1 1 Fx e v A v A dt x c x c d 1 e v A dt x x c CAMPOS CLÁSSICOS 73
74 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d 1 Fx e v A dt x x c d 1 d 1 F y e v A F e v A dt y y c dt x x c d 1 F z e v A dt z z c M CAMPOS CLÁSSICOS 74
75 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d F dt x x 1 M e v A c M onde CAMPOS CLÁSSICOS 75
76 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. Q x d M M x j j Fj j q j dt x j x j q CAMPOS CLÁSSICOS 76
77 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. Q d M x j M x dt x q x q j j j d M x M d x M x dt x q x dt q x q j j j j j j j j CAMPOS CLÁSSICOS 77
78 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. x j x j d x j x q q dt q q Q d M x M x M x dt x q x q x q j j j j j j j CAMPOS CLÁSSICOS 78 j
79 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d M M Q dt q q CAMPOS CLÁSSICOS 79
80 FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sstemas não conservatvos Exemplo: Cargas elétrcas num campo E.M. d L L 0 onde dt q q 1 L K M K e v A c RESUMO PARA SISTEMAS NÃO CONSERVATI VOS: CAMPO E.M. CAMPOS CLÁSSICOS 80
81 FORMALISMO HAMILTONIANO: Momento generalzado d L L dt q q d L p dt q p L q 0 Se a Lagrangana não depender explctamente da coordenada generalzada, o momento se conserva. CAMPOS CLÁSSICOS 81
82 FORMALISMO HAMILTONIANO: Momento generalzado 1 1 L K M m q e v A c L e p mq A q c CAMPOS CLÁSSICOS 8
83 FORMALISMO HAMILTONIANO: Por um lado L L( q, q, t) dl L L L q dt t q q q CAMPOS CLÁSSICOS 83
84 FORMALISMO HAMILTONIANO: Por outro lado d L d L L q q q dt q dt q q L q q L q q CAMPOS CLÁSSICOS 84
85 FORMALISMO HAMILTONIANO: Então, consequentemente dl L d L q dt t dt q d L L q L dt q t d L p q L dt t H ( p, q, t) p q L CAMPOS CLÁSSICOS 85
86 FORMALISMO HAMILTONIANO: Por um lado H H ( p, q, t) H H H dh dt dp dq t p q CAMPOS CLÁSSICOS 86
87 FORMALISMO HAMILTONIANO: Por outro lado H p q L dh p dq q dp dl CAMPOS CLÁSSICOS 87
88 FORMALISMO HAMILTONIANO: Mas L L( q, q, t) L L L dl dt dq dq t q q L dl dt p dq p dq t CAMPOS CLÁSSICOS 88
89 FORMALISMO HAMILTONIANO: Então dh p dq q dp dl L dh p dq q dp dt p dq p dq t L dh dt q dp p dq t CAMPOS CLÁSSICOS 89
90 FORMALISMO HAMILTONIANO: Comparando-se as duas expressões para dh L H H H H t t dh dt dp dq t p q H q L p dh dt q dp p dq t H p q CAMPOS CLÁSSICOS 90
91 FORMALISMO HAMILTONIANO: Equações de Hamlton para o movmento H H q p p q L t H t CAMPOS CLÁSSICOS 91
92 FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t): df F F F F p q dt t p q F F H F H t q p p q F F, H t q, p CAMPOS CLÁSSICOS 9
93 FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t): F F t F, H, q p F, H, q p F H F H q p p q CAMPOS CLÁSSICOS 93
94 FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS: q q p p j j,, 0; q, p ; j j CAMPOS CLÁSSICOS 94
95 CAMPOS CLÁSSICOS 95
96 CAMPOS CLÁSSICOS 96
97 MECÂNICA RELATIVISTA: ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA Da experênca Interação nstantânea não exste na natureza; O tempo é relatvo; A velocdade da luz é constante e máxma. CAMPOS CLÁSSICOS 97
98 MECÂNICA RELATIVISTA: EVENTO: Qualquer fenômeno especfcado pelas coordenadas do local e pelo nstante de tempo em que ocorre. CAMPOS CLÁSSICOS 98
99 MECÂNICA RELATIVISTA: EVENTO 1: * Emtr um snal de luz em P ( x, y, z, t ) EVENTO : * Chegada do snal de luz em P ( x, y, z, t ) CAMPOS CLÁSSICOS 99
100 MECÂNICA RELATIVISTA: Dstânca percorrda pelo snal lumnoso: c( t t ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) c ( t t ) 0 Intervalo entre dos eventos: 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) s c t t x x y y z z CAMPOS CLÁSSICOS 100
101 MECÂNICA RELATIVISTA: Intervalos são nvarantes: 1 1 s s ' Intervalo nfntesmal: ds c dt dx dy dz ds ds ' CAMPOS CLÁSSICOS 101
102 MECÂNICA RELATIVISTA: Da nvarânca dos ntervalos: ds c dt dx dy dz c dt ' dx ' dy ' dz ' CAMPOS CLÁSSICOS 10
103 MECÂNICA RELATIVISTA: No referencal K, relógos fxos: ds c dt dx dy dz c dt ds dx dy dz dt ' dt 1 c c dt ' dx dy dz dt x y z v CAMPOS CLÁSSICOS 103
104 MECÂNICA RELATIVISTA: No referencal K, relógos fxos: ds dt ' dt 1 c v c CAMPOS CLÁSSICOS 104
105 MECÂNICA RELATIVISTA: TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ x x ' vt ' ; y y '; z z '; v t t ' x ' c 1 1/ CAMPOS CLÁSSICOS 105
106 MECÂNICA RELATIVISTA: QUADRIVETORES: x x x x ct, x, y, z 0, 0 1 3,,, x x x x x x x CAMPOS CLÁSSICOS 106
107 MECÂNICA RELATIVISTA: QUADRIVETORES: x x x x ct, x, y, z, x,,, x x x x x x CAMPOS CLÁSSICOS 107
108 MECÂNICA RELATIVISTA: PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE): 3 x x x x x x x x x x x x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 0 ( x ) x CAMPOS CLÁSSICOS 108
109 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON: S b a b a t 1 cdt ' S t t 1 L dt c 1 dt L c 1 t ds CAMPOS CLÁSSICOS 109
110 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON: L c 1 mc 1 v 1 L c c c CAMPOS CLÁSSICOS 110 L 1 mv
111 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON: L mc 1 mc 1 v c CAMPOS CLÁSSICOS 111
112 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE MOMENTO LINEAR: p L q L p v v v 1 1 L mc c mc 1/ L 1 v v mc 1 v c c p mv v 1 c p c mv CAMPOS CLÁSSICOS 11
113 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE FORÇA: F p t mv CAMPOS CLÁSSICOS 113
114 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE ENERGIA: H pq L E p v L CAMPOS CLÁSSICOS 114
115 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE ENERGIA: mv v E mc 1 v c 1 c mc v v 1 c c v 1 c E mc 1 mc E mc 0 CAMPOS CLÁSSICOS 115
116 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIA MOMENTO: p mv 1 β E mc 1 mv p 1 β mc v c 1 β v E c p E CAMPOS CLÁSSICOS 116 v c
117 CAMPOS CLÁSSICOS CAMPOS CLÁSSICOS CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS MEC MECÂNICA RELATIVISTA ÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE PARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIA RELAÇÃO ENERGIA MOMENTO: MOMENTO: β v p c c E E 1 1 c m c c c c p p p p p p E E E E 1 1 β c m β m β v p
118 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIA MOMENTO: E c p m c CAMPOS CLÁSSICOS 118
119 MECÂNICA RELATIVISTA: PARTÍCULA LIVRE QUADRI-MOMENTO: E p, p c p m c 0 p p p p p CAMPOS CLÁSSICOS 119
120 SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS E CONTÍNUOS: Equação de Euler-Lagrange: d L d L L dt q dx q ' q CAMPOS CLÁSSICOS 10
121 q CAMPOS CLÁSSICOS: Equação de Euler-Lagrange em 3-D: ( t, x) 3 L L L t t dx x / / 1 CAMPOS CLÁSSICOS 11
122 CAMPOS CLÁSSICOS: Equação de Euler-Lagrange em notação covarante: L L x / x CAMPOS CLÁSSICOS 1
123 CAMPOS CLÁSSICOS: Equação de Euler-Lagrange em notação covarante: x L ( ) L Equações de Euler-Lagrange são covarantes se a densdade L for um escalar de Lorentz CAMPOS CLÁSSICOS 13
124 CAMPOS CLÁSSICOS: Campo escalar (Klen-Gordon): L = 0 onde c 1 t CAMPOS CLÁSSICOS 14
125 CAMPOS CLÁSSICOS: Campo escalar (Klen-Gordon): dscr cont t * t k x k x 1 ( t, x) a e k a e k V k k k k k x * k x 1 dk t t ( t, x) a( k) e a ( k) e k mc onde CAMPOS CLÁSSICOS 15 k
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