Equações de Movimento

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1 Euações de Movmento Vbrações e Ruído (0375) 06 Departamento de Cêncas Aeroespacas

2 Tópcos Abordagem Newtonana. Prncípo de d Alembert. Abordagem energétca. Prncípo dos trabalhos vrtuas. Euações de Lagrange. Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

3 . Formulação das Euações de Movmento Os sstemas físcos são representados através de modelos matemátcos adeuados consttuídos por epressões ue defnem os deslocamentos de coordenadas específcas assocadas à dscretzação desses sstemas. A solução destas euações conduz-nos à resposta dnâmca do sstema. A formulação matemátca pode ser feta por três processos dstntos: recorrendo à ª Le de Newton, a uma abordagem energétca, ou então, ao prncípo dos trabalhos vrtuas. 3 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

4 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Para uma partícula aplcam-se as 3 Les de Newton: ª Le: se o somatóro das forças ue atuam numa partícula é nulo, esta está em repouso ou tem um movmento retlíneo unforme; ª Le: (Le Fundamental da Dnâmca) uma partícula sueta a uma força F fca sueta a uma aceleração epressa pela euação F=m.a, sendo m a massa da partícula; 3ª Le: se uma partícula A eerce uma força sobre uma partícula B, então esta reage eercendo sobre a partícula A uma força com a mesma dreção e magntude mas com sentdo oposto. 4 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

5 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Assm, para um corpo rígdo em translação: F et ma cm F F F y z ma ma ma y z (7) e para um corpo rígdo em rotação: M et I a onde I é o momento de nérca relatvamente ao eo de rotação e a é a aceleração angular em torno desse mesmo eo. (8) 5 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

6 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Usar a ª Le de Newton para dervar as euações de movmento O procedmento segunte pode ser usado para dervar as euações de movmento de um sstema de n DOF usando a segunda le de Newton: Defnr coordenadas adeuadas para descrever a posção de város pontos de massa e corpos rígdos no sstema. Assumr sentdos postvos adeuados para os deslocamentos, velocdades e acelerações das massas e dos corpos rígdos; Determnar a confguração do eulíbro estátco do sstema e medr os deslocamentos das massas e dos corpos rígdos a partr da suas posções de eulíbro estátco; 6 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

7 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Desenhar os dagramas do corpo rígdo para cada massa ou corpo rígdo do sstema. Indcar a mola, amortecedor ou força eterna ue atua em cada massa ou corpo rígdo uando um deslocamento ou uma velocdade postvos são dados à massa ou ao corpo rígdo; Aplcar a segunda le de Newton a cada massa ou corpo rígdo mostrado pelo dagrama do corpo lvre com para a massa m. m F 7 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

8 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Por eemplo, relatvamente ao sstema mola-massa-amortecedor da fgura abao pode desenhar-se o dagrama do corpo lvre da massa m ndcando as forças nela aplcadas. 8 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

9 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Eemplo.0: Derve as euações de movmento do sstema mola-massa-amortecedor mostrado na fgura. 9 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

10 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Eemplo.0: Derve as euações de movmento do sstema mola-massa mostrado na fgura. 0 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

11 . Formulação das Euações de Movmento.. Formulação de Newton Eemplo.03: Derve as euações de movmento lvre do sstema mola-massa mostrado na fgura. Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

12 . Formulação das Euações de Movmento.. Prncípo de d Alembert Este uma outra forma de encararmos a ª Le de Newton. Se consderarmos o efeto das forças aplcadas, F, e das forças de reação, f, podemos escrever esta Le como: F f ma 0 Esta epressão traduz o prncípo de d Alembert ue nos dz ue se em cada nstante, a cada uma das partículas do sstema além das forças aplcadas e de reação, se untarem as forças de nérca correspondentes, o sstema de forças estará em eulíbro e, então, poderemos aplcar-lhe todas as euações de estátca. (9) Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

13 . Formulação das Euações de Movmento.. Prncípo de d Alembert As vantagens desta nterpretação são: Encaram-se as forças de nérca como forças atvas de modo a reduzr o problema dnâmco a um estátco; Quando se formulam as euações vetoras de eulíbro dnâmco, as forças de nérca são ncluídas nos dagramas de corpo lvre como forças eterores aplcadas; Podemos aplcar o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas ao caso dnâmco. 3 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

14 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Contraramente à abordagem Newtonana, esta formulação usa uantdades escalares relaconando duas uantdades fundamentas: o trabalho das forças e a energa cnétca do sstema. Teorema da Varação da Energa Cnétca A varação da energa cnétca de um sstema resulta do trabalho das forças eternas ao sstema ou do trabalho das forças nternas, tal como representado na fgura abao. As forças nternas podem produzr uma dsspação de energa cnétca pelo efeto do atrto dnâmco (de rolamento ou de escorregamento) 4 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

15 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Assm, o teorema da energa cnétca ndca ue dt dt dw dt et dw dt nt (0) 5 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

16 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca A energa cnétca é uma uantdade escalar postva dada, para um corpo em translação, por T mv e para um corpo em rotação dada por () T I Desta forma, para um corpo a deslocar-se num plano tem-se () T mv CM I CM (3) 6 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

17 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Teorema da Varação da Energa Mecânca: Já vmos anterormente ue a energa potencal acumulada por uma mola é dada por: V k (4) Por outro lado, a energa potencal assocada a um corpo sueto a um campo gravítca é V mgh (5) Assm, a soma da Energa Potencal com a Energa Cnétca é denomnada como a Energa Mecânca U T V 7 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

18 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Atentemos na fgura Como vemos, podem ocorrer transferêncas de Energa do eteror para o sstema, sob a forma de calor ou trabalho. O trabalho altera a Energa Mecânca, enuanto ue o calor altera a energa nterna do corpo. 8 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

19 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Dentro do sstema, pode ocorrer transformação de energa mecânca em energa nterna por dsspação de energa causada por atrto. Assm, podemos dzer ue a varação nstantânea da energa mecânca de um sstema é du dt dw dt et, nc dw dt onde W et,nc é o trabalho das forças eternas não conservatvas (sto é, todas as forças eterores com eceção do peso e das forças eercdas por molas) (6) e W nt é o trabalho das forças nternas assocado à dsspação de energa mecânca. nt 9 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

20 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Eemplo: Veamos um eemplo de aplcação do teorema da energa mecânca aplcado ao movmento vbratóro do corpo da fgura abao em torno do seu ponto de eulíbro: Do teorema da varação da Energa Mecânca vem d T V dt dw dt et, nc dw dt nt 0 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

21 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Note-se ue neste caso sendo o corpo rígdo, o trabalho das forças nternas é nulo, não havendo dsspação nterna de energa. O trabalho das forças eternas, com a eceção do peso e da força da mola, e desprezando o atrto, é dw et, nc dw N 0 pos a força N é perpendcular ao deslocamento do corpo. Dau resulta ue a varação da energa total é d T V dt Integrando esta epressão em ordem ao tempo obtem-se U. 0 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

22 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Assm T V const m const Pode ver-se, desta epressão, ue a energa mecânca total permanece constante ao longo do tempo. O movmento do corpo pode ser obtdo dervando a epressão anteror em ordem ao tempo: k d m k 0 dt d d m k 0 dt dt m k 0 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

23 . Formulação das Euações de Movmento.3. Formulação Energétca Eemplo.04: Derve as euações de movmento do sstema mola-massa mostrado na fgura. 3 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

24 . Formulação das Euações de Movmento.4. Prncípo dos Trabalhos Vrtuas Este é, também, um método ue envolve apenas uantdades escalares. O prncípo dos trabalhos vrtuas (PTV) pode ser traduzdo matematcamente pela segunte euação W n F r (7) Esta euação estabelece ue a condção necessára e sufcente para ue o sstema estea em eulíbro estátco é ue o trabalho realzado por todas as forças aplcadas ao longo de deslocamentos vrtuas arbtráros, mas ue seam compatíves com os constrangmentos de lgação, sea gual a zero. 0 4 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

25 . Formulação das Euações de Movmento.4. Prncípo dos Trabalhos Vrtuas A partr do Prncípo de d Alembert podemos estender o prncípo dos trabalhos vrtuas ao caso dnâmco. Para ue uma partícula estea em eulíbro dnâmco, ter-se-á ue verfcar F f m r 0 (8) Fazendo o produto nterno por r obtemos a condção de eulíbro da partícula em termos de trabalhos vrtuas: F f m r r 0 (9) Como se vu anterormente, o trabalho das forças de reação é nulo f r 0 5 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

26 . Formulação das Euações de Movmento.4. Prncípo dos Trabalhos Vrtuas Então, para n partículas, Dau se conclu ue n F m r r 0 (0) W W forças W reas forças nérca 0 () 6 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

27 . Formulação das Euações de Movmento.5. Euação Geral da Dnâmca Segundo o Prncípo de d Alembert, os métodos da estátca podem ser utlzados para analsar o movmento dos sstemas. Pode, então, aplcar-se o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas ao estudo do movmento de um sstema mecânco deal. Assm, pode dzer-se ue o trabalho vrtual de todas as forças, nclundo as de nérca, é nulo para ualuer deslocamento vrtual do sstema: W ( a) ( r) ( ) W W 0 () onde W representa o trabalho, os sobrescrtos (a), (r) e () representam as forças atvas, as reatvas e as de nérca, respetvamente, e representa o deslocamento vrtual de. 7 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

28 . Formulação das Euações de Movmento.5. Euação Geral da Dnâmca Para um sstema deal W (r) =0, portanto: W ( a) ( ) W 0 (3) Assm, em ualuer nstante do movmento de um sstema mecânco deal, o trabalho vrtual de forças atvas e forças de nérca é nulo para ualuer deslocamento vrtual do sstema. A euação (3) é chamada Euação Geral da Dnâmca. Utlzando a euação (7), é possível escrever e W W ( a) ( ) n n Q Q ( a) ( ) 8 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

29 . Formulação das Euações de Movmento.5. Euação Geral da Dnâmca Au, Q (a) e Q () representam as forças generalzadas atvas e de nérca, respetvamente. Portanto, a Euação Geral da Dnâmca pode ser também escrta na forma ou então n ( a) ( ) Q Q 0 Q ( a) ( ) Q 0 ;, n (4) 9 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

30 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange As euações de movmento de translação de um stema em coordenadas cartezanas toma a forma m F ; n, (5) onde m, m e m 3 tomam o valor da massa da prmera partícula, m 4, m 5 e m 6 são guas à massa da segunda partícula e assm sucessvamente. A energa cnétca do sstema é Agora, sabendo ue, T n m ;,,,,,, n, t n (6) 30 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

31 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange pode escrever-se Dau, vê-se ue n ;, n t Da euação (7) pode escrever-se onde e são tratadas como varáves ndependentes.,,,,, n,,,,,, n, t (7) (8) 3 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

32 Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas 3. Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Também se poda ter usado a regra de L Hôptal ue dz ue Então, usando a defnção de dervada tem-se 0 0 lm lm 0 lm 0 lm

33 Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas 33. Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Multplcando a euação (8) por e dervando em ordem ao tempo obtém-se Agora, sabe-se ue e ue (9) dt d dt d dt d (30) t dt d k n k k

34 Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas 34. Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange pelo ue, da relação (8), se obtém Logo, usando as euações (7) e (30) obtém-se (3) (3) k n k k k n k k dt d t t (30) t dt d k n k k (7) t n

35 Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Substtundo as euações (3) e (3) na euação (9) tem-se 35. Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange (33) dt d dt d dt d dt d (3) dt d (3)

36 Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Pegando na euação anteror, multplcando por m e somando para todos os tem-se Podemos observar ue o termo da esuerda é a dervada em ordem ao tempo da dervada da energa cnétca em ordem à varável. O segundo termo da dreta é a dervada da energa cnétca em ordem à varável. Assm, usando a euação (5) e a (6) fca-se com 36. Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange n n n m m m dt d (34) n T F T dt d

37 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Dau, usando a euação das forças generalzadas e sabendo ue, para um sstema dnâmco conservatvo, então Q F Q Substtundo a euação (35) na euação (34) fca-se com n F (35) W V (36) n V V (37) d dt T Q T (38) 37 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

38 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange e substtundo a euação (36) na anteror obtém-se d dt T V T É convenente, agora, ntroduzr a função de Lagrange L, ou a Lagrangana, ue é defnda como a dferença entre a energa cnétca e a energa potencal do sstema dnâmco: (39) Uma vez ue V é claramente ndependente de, a euação (39) pode ser reescrta na forma d dt L T V (40) T V T V 38 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

39 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange ou anda como L Esta é a Euação de Lagrange. d dt L De acordo com a dervação acma, se pudermos epressar a energa cnétca e a energa potencal do sstema dnâmco apenas em função das coordenadas generalzadas e as suas dervadas, então pode escrever-se medatamente as euações de movmento do sstema epressas em termos das coordenadas generalzadas usando a euação de Lagrange. Infelzmente estas euação só funcona para sstemas conservatvos. 0 (4) 39 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

40 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Se no sstema dnâmco em uestão houver forças dsspatvas, então a euação de Lagrange tem ue ser alterada para nclur o seu efeto. Assm L L D onde D é a função dsspatva dada por d dt D n c ; 0, n (4) (43) 40 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

41 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Eemplo.05: Derve as euações de movmento do sstema mola-massa mostrado na fgura usando a euação de Lagrange. 4 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

42 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Eemplo.06: Derve as euações de movmento do sstema lustrado na fgura, desprezando o atrto entre o bloco e a mesa. A massa do bloco A é M, a massa do ponto B é m e o comprmento do fo é l. 4 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

43 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Eemplo.07: A máuna de Atwood consste em massas, m e m, lgadas por um fo netensível e leve de comprmento l, ue passa por uma roldana de rao a (muto nferor a l) e momento de nérca I. Derve as euações de movmento do sstema, desprezando o atrto na roldana. 43 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

44 . Formulação das Euações de Movmento.6. Euações de Lagrange Eemplo.08: Consdere o caso de uma massa m a deslzar por um plano nclnado lso de massa M ue, por sua vez, é lvre de deslzar numa superfíce horzontal lsa. Este sstema tem DOF. Derve as euações de movmento do sstema. 44 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

45 . Movmento Harmónco O movmento harmónco é um movmento osclatóro smples do tpo peródco, podendo ser representado por funções crculares do tpo seno ou cosseno, assm, o movmento harmónco smples pode ser representado como a proeção do movmento de um ponto ue se desloca com velocdade constante sobre uma crcunferênca de rao A, tal como vísvel na fgura abao. 45 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

46 . Movmento Harmónco Como se vê, T corresponde ao período constante defndo como o mínmo ntervalo de tempo ao fm do ual o movmento se repete, de tal forma ue ( t) ( t T) Portanto, a le de varação do movmento harmónco é dada por Asn t T (44) Da fgura anteror, vemos ue este movmento pode ser epresso em função da velocdade re rotação resultando na epressão Asn T t com f (45) 46 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

47 . Movmento Harmónco onde é a freuênca crcular em [rad/s] e f em [Hz]. Note-se ue ualuer combnação das funções seno ou cosseno pode ser utlzada para representar um movmento harmónco smples. De facto, se Então, com t) X X X X X t X cos t X snt cos t ( sn obtém-se X X X ; a arctan X X ( t) X sn t cos a cos tsna X sn t a (45) 47 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

48 . Movmento Harmónco A partr da função (t) podemos obter a velocdade e a aceleração da massa do sstema, calculando, respetvamente, as dervadas de prmera e segunda ordem. Assm, por eemplo, Relembrar da trgonometra: sn(a+b)=sna.cosb+cosa.snb Deslocamento: Velocdade: Aceleração: ( t) ( t) X sn t X cos t ( t) X cos X cost t X cost (46) 48 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

49 . Movmento Harmónco Como se vê, a velocdade e a aceleração são também movmentos harmóncos com a mesma freuênca, embora tenham uma ampltude dferente (através do fator =constante) e apresentem um desfazamento de 90º e 80º, respetvamente, em relação ao deslocamento. Combnando as epressões do deslocamento e da aceleração, obtém-se a epressão ue descreve, de uma forma genérca, um movmento harmónco smples: ou 0 (47) 49 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

50 . Movmento Harmónco Note-se ue a soma de duas funções harmóncas com a mesma freuênca mas com dferentes ângulos de fase é também uma função harmónca da mesma freuênca, como se vê através do segunte eemplo. 50 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

51 . Movmento Harmónco Eemplo.09: Consdere dos movmentos harmóncos representados por X a) Verfcar ue a soma dos dos movmentos resulta num movmento harmónco de freuênca. X b) Representar grafcamente os três movmentos sabendo ue X =, X =, = rad/s e a=/4 rad. cos t cos t a Relembrar da trgonometra: cos(a+b)=cosa.cosb-sna.snb 5 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

52 . Movmento Harmónco Eemplo.09: Gráfco: =Xcos(t+b), X=.789, b=0.53rad Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

53 3. Funções Snusodas As funções snusodas podem ser relaconadas com a função eponencal tratando-as como funções compleas na forma de Euler: e cos sn (48) Usando uma representação vetoral no plano de Argand-Gauss, o vetor grante Z, com uma ampltude A, é rodado a uma velocdade angular e assume a forma Z Ae t Acos t Asnt (49) 53 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

54 3. Funções Snusodas A utlzação da forma eponencal oferece váras vantagens, sendo relatvamente smples proceder à operação de números compleos, tas como: Z A e e Z Ae Multplcação: Dvsão: Potênca: Dferencação: Z Z Z Z n Z Z A e A n A e A e A A e n 54 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

55 3. Funções Snusodas Desta forma, consderando ue um movmento harmónco é dado por ou na forma eponencal t Asn t (50) Z Ae t então, as epressões para a velocdade e a aceleração são obtdas por dervação d dt t Asnt Acos t Asn t Z Ae t (5) 55 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

56 3. Funções Snusodas e d dt t A cos t Asnt Asnt (5) Z A e t 56 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

57 4. Euvalênca de Sstemas Por forma a poder-se analsar sstemas elástcos compleos, normalmente estruturas, por meo da redução dos graus de lberdade é convenente encontrar constantes elástcas euvalentes. A rgdez de um sstema vbratóro pode ser calculada para uma mola por F k M k deslocamento lnear deslocamento angular 57 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

58 4. Euvalênca de Sstemas Vamos consderar uma vga encastrada numa etremdade sueta à fleão com uma massa M na outra etremdade. A rgdez deste sstema vbratóro pode ser calculada aplcando uma força F na ponta lvre e obtendo a defleão correspondente. Sabe-se ue a defleão máma da vga é dada por onde L é o comprmento da vga E é o módulo de Young I é o segundo momento de área em torno de um eo perpendcular à força F y ma 3 FL 3EI 58 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

59 4. Euvalênca de Sstemas Portanto, a constante elástca euvalente da vga à fleão é dada por k F y ma F 3 FL 3EI 3EI 3 L Também se sabe ue o ângulo de torção mámo da vga é dado por ma onde G é o módulo elástco de corte J é o momento de área polar T é o momento torsor TL GJ 59 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

60 4. Euvalênca de Sstemas Portanto, a constante elástca euvalente da vga à torção é dada por O cálculo da rgdez euvalente k e pode também efetuar-se gualando a energa potencal do modelo de parâmetros concentrados com o somatóro da energa potencal de todos os componentes do sstema real. Assm V k k e T ma T TL GJ k GJ L k 60 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

61 4. Euvalênca de Sstemas Resumndo algumas constantes elástcas: Barra à tração Tpo de mola Constante da mola Mola helcodal d dâmetro do varão D dâmetro médo da mola N nº de espras Vga à fleão Vga à torção 6 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

62 4. Euvalênca de Sstemas Eemplo.0: Determne a constante elástca euvalente de uma vga encastrada numa etremdade e lvre noutra uando sueta a uma força unformemente dstrbuída ao longo do seu comprmento. 6 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

63 4. Euvalênca de Sstemas Eemplo.: Determne a rgdez euvalente do sstema da fgura usando o deslocamento da massa como coordenada generalzada. 63 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor

64 4. Euvalênca de Sstemas Eemplo.: Tendo em consderação o sstema da fgura, e recorrendo a uma abordagem energétca, determne os parâmetros euvalentes do sstema,.e., m e, k e e c e. Use a coordenada assocada ao movmento do centro de rotação do dsco de massa m (ue roda sem escorregar) como coordenada generalzada. 64 Vbrações e Ruído Departamento de Cêncas Aeroespacas Faculdade de Engenhara Unversdade da Bera Interor