Ajuste de um modelo linear aos dados:

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1 Propagação de erros Suponhamos que se pretende determnar uma quantdade Z, a partr da medda drecta das grandezas A, B, C,, com as quas se relacona através de Z = f(a,b,c, ). Se os erros assocados a A, B, C,... forem ndependentes (não houver correlação entre eles) então: melhor estmatva para Z é : Z = f ( A, B, C,...) melhor estmatva para o erro em Z é : Z A Z B Z C ( s ) ( s ) + ( s ) + ( s ) +... Z = A B C A A A

2 Ajuste de uma recta a dados epermentas (regressão lnear) valor prevsto ŷ ε = - ŷ ˆ = a + b Ajuste de um modelo lnear aos dados: = a declve + b + ordenada na orgem ε resíduo

3 Pressupostos de uma regressão lnear 1. A relação funconal entre as varáves e é lnear.. Os erros assocados à medção de são desprezáves. 3. Se fzermos váras observações de para cada valor de, obtemos uma dstrbução normal dos desvos.

4 barra de erro σ A probabldade do verdadero valor da grandeza para o correspondente valor da grandeza estar dentro do ntervalo defndo pela barra de erro é de 68%.

5 Método dos Mínmos Quadrados: o crtéro para defnr «a melhor» recta é que seja mínma a soma dos quadrados dos desvos entre os dados e os correspondentes pontos da recta,,.e., ŷ N = 1 [ ( a + b) ] Os «melhores» valores para os coefcentes a e b são tas que D a D b = 0 = 0 D = ε ˆ = a + b valor prevsto ε = ŷ, valor prevsto =, valor observado = erro resdual

6 Caso mas smples: Os desvos padrão σ ( ) são todos guas Seja Após alguma álgebra chegamos a N N e σ σ σ σ σ σ = = = = << ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = = = = b a N N N N N b N N a a b σ σ σ σ σ

7 Teste dagnóstco para a regressão lnear Dstrbução dos resíduos no caso do modelo lnear ser o mas adequado para traduzr a dependênca funconal =f() ε 0

8 Dstrbução dos resíduos no caso de um modelo não lnear traduzr melhor a dependênca funconal =f() (eemplos) ε ε 0 0

9 Algarsmos sgnfcatvos e arredondamentos Um observador deve apresentar o seu resultado com o número de algarsmos sgnfcatvos aproprados à ncerteza no valor obtdo. Não faz sentdo apresentar algarsmos sgnfcatvos para lá do algarsmo em que se espera que ocorra o erro, como por eemplo no caso =,36 ± 0,1. O resultado deve antes apresentar-se =,4 ± 0,1. É prátca corrente trabalhar-se com mas algarsmos sgnfcatvos nos cálculos ntermédos e fazer os arredondamentos necessáros apenas no resultado fnal.

10 Lnguagem da Termodnâmca Sstemas macroscópcos contêm um grande número de partículas consttuntes (átomos, moléculas, ões,...) N A = 6, Em Termodnâmca, Prncípos e Les são ndependentes de qualquer nterpretação mcroscópca Formalsmo termodnâmco pode ser aplcado aos mas dversos sstemas (vasta área de aplcação). Eemplos são: gás ou vapor num recpente; corda estcada ou barra metálca; membrana estcada; crcuto eléctrco; íman num campo magnétco.

11 Sstema termodnâmco Vznhança do sstema Uma certa porção de matéra, que pretendemos estudar, sufcentemente etensa para poder ser descrta por parâmetros macroscópcos. Aqulo que é eteror ao sstema e com o qual o sstema pode, eventualmente, trocar energa e/ou matéra. Sstema Vznhança = Unverso Frontera Superfíce fechada, real (uma parede, uma membrana, etc) ou abstracta (magnada por nós), que separa o sstema da sua vznhança.

12 Eemplo 1: Gás contdo num clndro com uma parede móvel Vznhança Gás (o sstema) Parede móvel (êmbolo) + Superfíce lateral do clndro + Base do clndro Frontera (real)

13 Eemplo : Porção de fludo numa canalzação Sstema: massa de fludo na regão a azul escuro Frontera: superfíce que lmta essa regão (abstracta) Vznhança: restante massa de fludo e regão eteror à canalzação

14 Sstema solado Sstema fechado Não troca energa nem matéra com a sua vznhança. Não troca matéra com a sua vznhança (pode trocar energa). Sstema aberto Troca matéra com a sua vznhança. Paredes móves (contráro: fas) Permtem transferênca de energa na forma de trabalho mecânco. Paredes datérmcas (contráro: adabátcas) Paredes permeáves (contráro: mpermeáves) Permtem transferênca de energa na forma de calor. Permtem transferênca de matéra.

15 Fase parte homogénea de um sstema, lmtada por uma superfíce através da qual as propredades do sstema varam descontnuamente. Sstema homogéneo Consttudo por uma só fase. (E: água líquda num recpente) Sstema heterogéneo Composto de város subsstemas homogéneos (váras fases). (E: água líquda + vapor de água + gelo)

16 Varáves/propredades de estado ou varáves termodnâmcas Grandezas macroscópcas mensuráves e que servem para caracterzar o sstema. (E: temperatura, pressão, volume, magnetzação de um íman, área superfcal de um líqudo, tensão numa corda, etc.) Varáves etensvas O seu valor no sstema é a soma dos seus valores em qualquer conjunto de subsstemas nos quas o sstema se decomponha. (E: volume, energa, nº de moles) Varáves ntensvas Têm o mesmo valor em todos os pontos do sstema em equlíbro. (E: pressão, temperatura, densdade)

17 Y Varável etensva = Y m = Y n Varável específca ou mássca (m é a massa do sstema) Varável molar (n é o número de moles do sstema)

18 Estado de equlíbro termodnâmco Termodnâmca do equlíbro Estado termodnâmco caracterzado por um valor unforme (o mesmo por todo o sstema) e estaconáro (não vara com o tempo) das varáves termodnâmcas. Estuda os estados de equlíbro de um sstema, estabelecendo relações entre as propredades macroscópcas do sstema quando este se encontra em equlíbro. Equlíbro térmco Equlíbro mecânco Valor unforme da temperatura (contacto térmco entre subsstemas) Valor unforme da pressão (no caso de gases). Equlíbro químco Valor unforme das concentrações químcas.

19 Equação de estado Equação que relacona as dferentes varáves termodnâmcas de um sstema (sgnfca que nem todas as varáves do sstema são ndependentes). (E: eq. de estado do gás deal: PV=nRT, equvalente a f(p,v,t,n) = 0) Em geral, são precsas uncamente varáves de estado para caracterzar um sstema fechado e de uma componente (Es: (P,V), (Γ,L),...) P P1 Dagrama PV ou de Claperon Estado Estados ntermédos de equlíbro Estado 1 V V1

20 Processo termodnâmco Proc. reversível e quase-estátco Transformação de um estado de equlíbro do sstema noutro estado de equlíbro, por varação das propredades termodnâmcas do sstema. Sucessão de processos nfntesmas (modfcação nfntesmal das varáves) que pode nverter-se em cada passo medante uma mudança nfntesmal nas condções eterores.

21 Proc. rreversível e quase-estátco Proc. não quase-estátco O sstema va passando por sucessvos estados de equlíbro, mas a operação nversa não é possível. O sstema não passa por estados de equlíbro ntermédos. São processos rreversíves. Epansão lvre

22 Fonte de calor (ou reservatóro de calor) Sstema termodnâmco que pode nteragr com outros sstemas trocando calor. A sua capacdade térmca é tão grande que a sua temperatura se mantém constante. Fonte de trabalho Sstema termodnâmco que pode nteragr com outros sstemas trocando trabalho. A sua pressão mantém-se constante.

23 Temperatura Interpretação mcroscópca (Teora cnétca) medda da energa cnétca méda dos átomos ou moléculas que consttuem o sstema. (gases: energa cnétca de translação; sóldos: energa cnétca de vbração)

24 Temperatura Defnção termodnâmca (º Prncípo da Termodnâmca) T = 1 S U N, V Defnção operaconal a grandeza que se mede com um termómetro. A temperatura é lda no termómetro ao fm de um certo tempo (tempo de relaação), quando A e B atngrem o equlíbro térmco.