Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 1º Teste 04/05/ :00h

Transcrição

1 Lcencatura e Engenhara Geológca e de Mnas Lcencatura e Mateátca Aplcada e Coputação Mestrado Integrado e Engenhara Boédca Mecânca e Ondas 1º Ano -º Seestre 1º Teste 04/05/017 19:00h Duração do teste: 1:30h Lea o enuncado co atenção. Justfque todas as respostas. Identfque e nuere todas as folhas da prova. Problea 1 U pêndulo balístco é u dspostvo destnado a edr a velocdade de u projétl e é consttuído por u bloco de adera de assa M, suspenso, coo lustrado na fgura, no qual u projétl de assa e velocdade v 0 fca ncrustado ao atng-lo. a) Deterne a expressão da velocdade do conjunto bloco de adera + projétl edataente após a nclusão do projétl no bloco. b) Suponha que, ao ser atngdo pelo projétl, o bloco se eleva de ua altura h. Deterne a expressão do ódulo da velocdade ncal do projétl v 0 e função de, M e h. c) Se e vez de suspenso, o eso bloco de adera se encontrasse ncalente e repouso sobre o tapo de ua esa de altura, h, dealente se atrto, e o conjunto bloco de adera + projétl fosse car a ua dstânca d, qual sera a expressão do ódulo da velocdade ncal do projétl v 0 e função dos parâetros do problea,, M, h e d.

2 Problea U grupo de cranças resolve fazer ua corrda de carrnhos ao longo de ua rapa co ua nclnação defnda por u ângulo, coo representado na fgura. Os carrnhos não tê otor e deve descer a rapa sujetos apenas à força resultante do seu própro peso. Para tal tê que construr os carrnhos e escolher as rodas que resulta no elhor desepenho possível. As regras do jogo obrga a que todas as rodas tenha o eso rao, R, e a esa assa,. a) Para resolver o problea coece por deternar as expressões da energa cnétca e da energa potencal gravítca de ua roda de assa, rao R e oento de nérca I que rode se deslzar ao longo da rapa, sujeta ao seu própro peso. Apresente o resultado e função de R, I,, e da dstânca, x percorrda a partr do topo da rapa. Despreze o efeto do atrto. b) Deterne a função de Lagrange de u carrnho co ua carroçara de assa M e quatro rodas, caracterzadas pelos parâetros defndos na alínea anteror. Utlze a varável x defnda na alínea a) e deterne a equação dferencal do ovento do carrnho. Consdere, coo aproxação, que o carrnho é consttuído apenas pela carroçara e pelas rodas. c) Sabendo que o oento de nérca de u clndro de assa para rotação e torno do exo de setra clíndrca é dado por I C 1 R e que o oento de nérca de ua esfera é dado por I E 5 R, deterne as expressões da aceleração para dos carrnhos, co carroçara dêntca (de assa M) co quatro rodas de assa, respectvaente clíndrcas ou esfércas de dêntco rao, R, justfcando, qual sera a sua escolha para construr o carrnho vencedor. Problea 3 a) Consdere que o carrnho, defndo na alínea b), co ua carroçara de assa M 0,4 kg e co quatro rodas, cada ua co ua assa 0,1 kg, atnge o f da rapa co ua velocdade de ódulo v 1,6 s 1, contnuando a deslocar-se ao longo de u percurso horzontal, sujeto a ua força de atrto constante, proporconal ao peso, de ódulo F a K P, co K 0,8. Deterne a dstânca percorrda pelo eso até se oblzar. b) Se o carrnho descrto na alínea a) tvesse u otor, qual sera a potênca que este tera que despender para poder contnuar e ovento co velocdade constante co o valor dado nessa alínea (consdere que a assa do carrnho se antnha constante).

3 v dr a dv d r dθ ω e z α dω v ω R a N v R e R a T R d θ e. f θ T 1 dp F a P v T v F W C F dr P ec dw F v U L d L L T 0 q q R CM r V CM v r R CM + r v V CM + v P v 0 T 1 v L r P N r F I R F U T 1 MV CM + T dl N L I I ρr 1 dv TROT I P V ec ROT N ω M F G e r U G M r r

4 Soluções Problea 1 a) Atendendo à conservação do oento lnear no choque entre a bala e o bloco de adera e consderando apenas a coponente horzontal: p v 0 p f ( + M)v 1 p p f v 0 ( + M)v 1 v 1 ( ) v +M 0 b) Consderando que se verfca a conservação da energa ecânca quando o bloco se eleva após o choque: E 1 T 1 ( + M)v 1 E U g ( + M)gh E 1 E 1 ( + M)v 1 ( + M)gh v 1 gh Na alínea a) teos v 1 ( + M ) v 0 logo: ( + M ) v 0 gh + M v 0 ( ) gh c) Consderando que o choque entre a bala e o bloco de adera pode ser descrto por u choque nelástco, coo na alínea a), a velocdade ncal do conjunto bloco de adera + bala será: v 1 ( +M ) v 0 O objecto (bloco de adera + bala) terá ovento unfore segundo x (horzontal), co velocdade v 1, e unforeente acelerado (co aceleração g) segundo y, partndo da posção y 0 h, co velocdade ncal nula segundo esta coponente. x v 1 t y h 1 gt t x v 1 0 h 1 gt t d v 1 h 1 gt

5 t d v 1 h 1 g ( d ) v 1 v 1 d g h E utlzando o resultado relatvo ao choque nelástco ncal: ( + M ) v 0 d g h + M v 0 d ( ) g h Problea a) T T T + T R 1 (x ) + 1 Iω T 1 (x ) + 1 I (x R ) 1 I ( + (x ) R) U gx sn α b) L T U 1 (M + 4)(x ) + 4 ( 1 Iω ) + (M + 4)gx sn α L 1 (M + 4)(x ) + 4 [ 1 I (x R ) ] + (M + 4)gx sn α L 1 4I (M R ) (x ) + (M + 4)gx sn α x (M I R) x d ( ) (M I R) x x d ( ) 0 (M I R) x 0

6 c) x (M I R ) Carrnho co rodas clíndrcas: I 1 R x C (M R R ) x C x C (M ) (M + 6) Carrnho co rodas esfércas: I 5 R x E (M R R ) x E (M ) x E (M ) Coparação entre x C e x E: ( ) 8 5 < 6 logo: x E > x C O carrnho co rodas esfércas te ua aceleração superor portanto sera o vencedor da corrda.

7 Problea 3 a) Energa cnétca do carrnho (e função da varável x (correspondente nesta alínea à dstânca percorrda no plano após o f da rapa). T 1 (M + 4)v + 4 ( 1 Iω ) T 1 (M + 4)v + 4 [ 1 I (v R ) ] T 1 4I (M v R) Utlzando o prncípo da conservação da energa: E T 1 4I (M R ) v E f T f 1 4I (M R ) v f T + W Fa (note-se que o trabalho das forças de atrto W Fa é negatvo ua vez que a força te sentdo contráro ao deslocaento) ou T f T + W Fa T f T + F a dl T f T F a d Consderando a stuação e que o carrnho se oblza (v f 0) teos: 1 4I (M R ) v F a d 1 4I (M R ) v K(M + 4)gd d (M I R ) v K(M + 4)g Carrnho co as rodas clíndrcas:

8 d d (M R R ) v K(M + 4)g (M + 6)v K(M + 4)g (0, ,1) 1,6 0,8 (0, ,1) 9,8 1,6 19,6 0,64 1,66 Carrnho co as rodas esfércas: d (M R R ) v K(M + 4)g (M ) v K(M + 4)g 8 (0,4 + 0,1) 1,6 d 5 0,8 (0, ,1) 9,8 (0,4 +,8 5 ) 1,6 1,15 19,6 0,64 Ou x d ( ) F ext L T U T 1 4I (M R ) x x 0 x (M I R) x d ( ) (M I R) x F ext F a x d ( ) F ext (M I R ) x F a x F a R + M + 4) K(M + 4)g R + M + 4)

9 Carrnho de rodas clíndrcas: K(M + 4)g K(M + 4)g x a R + M + 4) [ 4(R ) R + M + 4] 6,7s v v 0 at x x 0 + v 0 t 1 at 0 v 0 at d +v 0 t 1 at t v 0 a d v 0 a 1 a v 0 a t v 0 a d v 0 a d v 0 a v 0 K(M + 4)g R + M + 4) Carrnho de rodas esfércas: a d K(M + 4)g 0,8 0,8 9,8 6,5(3) R + M + 4) 8 s 5 0,1 + 0,4 R + M + 4) v 0 K(M + 4)g K(M + 4)g (M + 6) ,4 + 0,6 t v 0 a R + M + 4) v 0 K(M + 4)g (M + 6)v 0 K(M + 4)g 1,66 ( 4 R 5 R + M + 4) v 0 K(M + 4)g (M ) v 0 K(M + 4)g 1,15 b) dw Fa F a dx dw Fa F a dx F a. v K(M + 4)gv 0,8 (0, ,1) 9,8 1,6 79,03 W