Todos os teoremas energéticos da teoria da elasticidade podem ser directamente deduzidos dos dois seguintes princípios energéticos complementares:

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1 Capítulo 4 Teoremas energétcos 4 - TEOREMS ENERGÉTICOS 4. - Introdução Todos os teoremas energétcos da teora da elastcdade podem ser drectamente deduzdos dos dos seguntes prncípos energétcos complementares: prncípo do trabalho vrtual (ou dos deslocamentos vrtuas); prncípo do trabalho vrtual complementar (ou das forças vrtuas). Os prncípos energétcos que se apresentam nesta secção só se aplcam a estruturas que desenvolvem deslocamentos e extensões nfntésmas, dado que se assume relações lneares entre as extensões e os deslocamentos (equações (.5)) Trabalho externo e trabalho externo complementar Se o elemento de barra representado na Fgura 4.a for submetdo a uma força exteror,, que aumenta desde o valor nulo até ao valor, a barra sofre um alongamento crescente de zero até ao valor de u. Se a resposta - u for não lnear, sto é, se o materal da barra desenvolver comportamento não lnear, a relação - u é a que se representa na Fgura 4.b. (a) Trabalho Complementar (Wc) δ δδu δu δ Trabalho (W) O u u δu δu (b) (c) Fgura 4. - barra submetda à força axal (a) pode desenvolver uma relação -u não lnear (b) ou lnear (c). O u u área sob a curva -u e o exo das abcssas, W e, representa o trabalho produzdo pela força ao mover o ponto B para B (ver Fgura 4.a), Joaqum Barros 4.

2 Capítulo 4 Teoremas energétcos W e trabalho externo u δ u (4.) sendo o trabalho extenddo à ampltude do deslocamentou. parcela δ u no ntegral de (4.) representa o trabalho elementar produzdo pela força durante o elongamento nfntesmal δ u da barra. Por sua vez, a área entre a curva - u e o exo das ordenadas representa o trabalho externo complementar determnado por ntermédo da segunte condção W ec trabalho externo complementar u δ. (4.) ssm, a parcela u δ no ntegral de (4.) representa o trabalho elementar produzdo durante a varação nfntesmal da força, δ, quando na barra está nstalado um elongamento u. Se a barra se comportar em regme lnear elástco, a relação - u é lnear, conforme se representa na Fgura 4.c. Neste caso, o trabalho realzado durante a deformação elástca é armazenado como energa elástca, que é recuperada se a carga aplcada à barra for retrada. Para uma barra com este comportamento e submetda a uma força crescente de zero até e em que o ponto de aplcação de sofre um deslocamento de zero até u, o trabalho realzado é o que se obtém por ntermédo da segunte relação (ver Fgura 4.c) We u. (4.) Neste caso o trabalho externo e o trabalho externo complementar são guas, dado se são guas as áreas Ou e O, na Fgura 4.c. Consdere-se agora que a barra representada na Fgura 4.a está submetda a uma força e que em determnado nstante essa força vara de um nfntésmo δ. Sob a força δ a barra sofre um deslocamento nfntésmal δ u na drecção de. Neste caso, o acréscmo de trabalho externo realzado durante a varação de deslocamento δ u é o segunte (ver Fgura 4.c) δ W e δu + δδu. (4.4) Se o materal da barra tver comportamento não lnear, surgram termos adconas em (4.4) que são nfntésmos de ordem superor a δ δu, que podem ser desprezados, dado se ter consderado que as estruturas em análse desenvolvem deslocamentos nfntésmas. No caso geral de uma estrutura submetda a um sstema de forças superfcas e forças de s volume, se se mpuser um acréscmo de deslocamentos generalzados δ U desenvolve-se um acréscmo de trabalho externo que se pode obter por ntermédo da segunte equação Joaqum Barros 4.

3 Capítulo 4 Teoremas energétcos e We δwe+ δ We+... T W δu d + δu ds s T s + termos de ordem superor (4.5a) em que e T δw δu d + δu ds s T (4.5b) s representa a varação de prmera ordem de ordem de We. We e e δ W representa a varação de segunda O prmero termo de (4.5b) representa o trabalho externo produzdo pelas forças de volume e o segundo termo representa o trabalho externo produzdo pelas forças de superfíce. S Se as forças exterores e forem reundas num únco vector,, e se o vector δu S representar a varação dos deslocamentos dos pontos de aplcação de segundo a drecção de, a varação do trabalho externo é dada por T δw δu. (4.6) e Consdere-se agora a mesma estrutura sueta a um sstema de forças externas de superfíce S e de volume. Se a esse corpo lhe for aplcado um acréscmo de força δ S e δ produz-se um acréscmo de trabalho denomnado de trabalho externo complementar dado por T W U δ d + U δ ds ec S S Wec δwec + δ Wec + T + termos de ordem superor (4.7a) em que δw U δ d + U δ ds ec T T (4.7b) S S representa o acréscmo de prmera ordem de W ec e δ W ec o acréscmo de segunda ordem de W ec. Se as forças exterores forem agrupadas no vector, o trabalho externo complementar vem expresso por T δw U δ. (4.8) ec Joaqum Barros 4.

4 Capítulo 4 Teoremas energétcos 4. Trabalho nterno e energa de deformação 4.. Deformação axal Consdere-se a barra bartculada de materal com comportamento lnear-elástco representada na Fgura 4.. Esta barra tem secção transversal de área, módulo de elastcdade E, comprmento e está submetda a uma força segundo o exo. Esta força aumenta desde o valor nulo até ao seu valor fnal, nduzndo na barra um esforço axal N, e consequentemente, um estado de tensão N σ. (4.9) N N, E S S u d Fgura 4. Barra bartculada de comprmento, módulo de elastcdade E e secção transversal de área. Sob o esforço axal N, a barra sofre um deslocamento u, obtdo por ntermédo da segunte expressão: u N E (4.) em que E/ é a rgdez axal da barra. O deslocamento u provoca uma extensão u ε. (4.) O trabalho nterno de deformação produzdo pelo esforço axal N é gual à área representada na Fgura 4.a, sendo obtdo segundo a expressão Nu W. (4.) Joaqum Barros 4.4

5 Capítulo 4 Teoremas energétcos N σ W U u (a) (b) Fgura 4. Trabalho nterno (a) e energa (b) produzdos durante a deformação axal de uma barra bartculada com comportamento lnear-elástco. ε Substtundo (4.) em (4.) obtém-se N W (4.a) E ou Eu W (4.b) pelo que o trabalho nterno pode ser explctado por ntermédo de uma função quadrátca nos esforços ou nos deslocamentos. Consderando-se um elemento de comprmento d (ver Fgura 4.), a varação de trabalho nterno, dw, realzado na deformação axal deste elemento será obtda substtundo em (4.) por d e u por du, resultando dw N d E (4.4a) ou dw Edu d. (4.4b) O trabalho nterno por deformação axal da barra obtém-se ntegrando as expressões (4.4) ao longo do comprmento da barra, N W d (4.5a) E Joaqum Barros 4.5

6 Capítulo 4 Teoremas energétcos ou du W E d d. (4.5b) Se em vez do esforço axal N e deslocamento u se se consderar a correspondente tensão, σ, e extensão, ε, e as substtur nas expressões (4.5) obtém-se as expressões que permtem determnar a energa dsspada na deformação axal de uma barra de volume, U σ E d σεd (4.6a) ou U ε E d. (4.6b) σ εd energa dsspada por undade de volume, também denomnada de densdade de energa obtém-se de U σ (4.7a) E ou U σε. (4.7b) No caso geral de um corpo submetdo a um estado de tensão caracterzado pelas componentes σ, σ, σ e pelas respectvas extensõesε, ε, ε, a energa de deformação obtém-se aplcando o prncípo da sobreposção dos efetos, resultando U ( σ ε σ ε σ ε) d + +. (4.9) 4.. Deformação por corte O elemento de barra representado na Fgura 4.4 está submetdo a esforços de corte no plano,, e a esforços de corte no plano,. Os exos e são prncpas centras de nérca da secção da barra. Estes esforços produzem trabalho nterno de deformação Joaqum Barros 4.6

7 Capítulo 4 Teoremas energétcos dstorsonal (ou de corte) das secções transversas da barra. Dado que o procedmento para se estabelecer as expressões do trabalho nterno e da energa por deformação de corte devdo a é semelhante ao que se aplca na determnação das expressões do trabalho nterno e da energa por deformação de corte devdo a, apenas se descreverá este últmo. f f Fgura 4.4 Elemento de barra submetdo a forças dstrbuídas por undade de comprmento segundo o exo, f, e segundo o exo, f. Devdo à actuação de f, a vga deforma-se, pelo que uma determnada secção transversal da barra desloca-se segundo, conforme se representa na Fgura 4.5. f s' s' du u ( ) s d s Fgura 4.5 Deformação da barra devdo à actuação de f. Joaqum Barros 4.7

8 Capítulo 4 Teoremas energétcos Durante o deslocamento dessa secção, o esforço transverso nessa secção,, desenvolve o trabalho segunte u W (4.) denomnado de trabalho nterno por deformação de corte no plano da secção. Dado que, u γ, (4.) e τ (4.) * τ G γ (4.) então u (4.4) * G * em que G é o módulo de elastcdade transversal do materal que consttu a barra e é a * área reduzda de corte segundo o exo. Em (4.4) o factor G é a rgdez de corte segundo o exo. Substtundo (4.4) em (4.) obtém-se ou W (4.5a) G * * Gu W (4.5b) que é uma função quadrátca no esforço de corte ou no deslocamento segundo, respectvamente. Consderando-se um elemento de comprmento d (ver Fgura 4.5), a varação de trabalho nterno, dw, realzado na deformação por corte no plano deste elemento será obtda substtundo em (4.5) por d e u por du, resultando ou dw d (4.6a) G * G du dw d *. (4.6b) ssm, o trabalho nterno por deformação de corte da barra, no plano obtém-se ntegrando as expressões (4.6) ao longo do comprmento da barra, Joaqum Barros 4.8

9 Capítulo 4 Teoremas energétcos ou W d (4.7a) G * * du dw G d. (4.7b) d Se a barra estver submetda a esforços de corte no plano,, então o trabalho por deformação de corte neste plano determna-se por procedmento análogo ao acabado de expôr, obtendo-se u W (4.8) ou W d (4.9a) G * * du dw G d. (4.9b) d em que * é a área reduzda de corte segundo. Se em vez dos esforços de corte e e dos deslocamentos transversas u e u, se se consderar as correspondentes tensões, τ e τ, e extensões (dstorsões, mas propramente dto), γ e γ, obter-se-a a energa por deformação de corte nos planos e. Neste caso, as relações (4.) e (4.7) a (4.9) converter-se-am nas seguntes: U U U τ γ (4.) * τ d G, (4.a) τ γ d * γ G d, (4.b) τ γ d U τ γ (4.) Joaqum Barros 4.9

10 Capítulo 4 Teoremas energétcos U U * τ d G, (4.a) τ γ d * γ G d, (4.b) τ γ d respectvamente, que representam a energa dsspada na deformação por corte nos planos e de um elemento de barra de volume. energa de corte dsspada por undade de volume no plano será, ou enquanto no plano será, U U τ, (4.4a) G γ G, (4.4b) ou U U τ, (4.5a) G γ G. (4.5b) No caso geral de um corpo submetdo a um estado de tensão e deformação caracterzado pelas componentes τ, τ, τ, e γ, γ, γ, respectvamente, a energa de deformação por corte obtém-se aplcando o prncípo da sobreposção dos efetos, resultando U ( τ γ τ γ τγ) d + +. (4.6) Deformação por flexão Joaqum Barros 4.

11 Capítulo 4 Teoremas energétcos Consdere-se que a barra representada na Fgura 4.6 tem comportamento lnear-elástco. dmta-se que os exos e concdem com os exos prncpas centras de nérca e que defnem com o exo um sstema de exos cartesano. M M Fgura Barra submetda a um par de momentos M nas suas extremdades. Se esta barra for submetda a um par de momentos flectores M (momento em torno do exo ) nas suas extremdades (ver Fgura 4.6), após a flexão as secções das extremdades da barra formam um ângulo θ, denomnado de ângulo de rotação por flexão (ver Fgura 4.7), que pode ser obtdo por ntermédo da segunte equação M θ (4.7) EI em que I é a nérca em torno do exo da secção da barra. O trabalho nterno produzdo pela actuação dos momentos flectores M será gual à área representada na Fgura 4.8, sendo obtdo por ntermédo da segunte expressão W M θ. (4.8) Joaqum Barros 4.

12 Capítulo 4 Teoremas energétcos θ dθ θ / θ / M ( ) M d Fgura Flexão da barra no plano. Μ W Fgura Trabalho nterno produzdo durante a flexão em torno do exo de uma barra (flexão no plano ). Substtundo (4.7) em (4.8) obtém-se, θ ou M W (4.9a) EI Joaqum Barros 4.

13 Capítulo 4 Teoremas energétcos EIθ W (4.9b) em que EI é a rgdez à flexão da barra em torno do exo. Num elemento de comprmento nfntesmal d, a varação de trabalho nterno, dw, será obtda substtundo em (4.9) por d e θ por dθ, resultando ou dw M d EI (4.4a) dw EI ( dθ ) d (4.4b) sendo dθ a varação de ângulo entre duas secções afastadas de d (ver Fgura 4.7). Se a barra estver submetda a flexão smples, o momento M vara ao longo de, pelo que o trabalho nterno de flexão em torno do exo resulta da ntegração das relações (4.4), obtendo-se ou M W d (4.4a) EI dθ W EI d. (4.4b) d Para o caso de flexão no plano, desenvolver-se-a racocíno smlar ao acabado de descrever, obtendo-se as seguntes expressões ou M W d (4.4a) EI dθ W EI d d (4.4b) em que I é a nérca da secção em torno do exo Deformação por torsão Joaqum Barros 4.

14 Capítulo 4 Teoremas energétcos Consdere-se que a barra de secção crcular representada na Fgura 4.9 está sueta a um par de momentos torsores M (momento em torno do exo de barra, ) aplcado nas extremdades da barra. pós a torsão as secções das extremdades da barra rodam entre s de um ângulo θ, denomnado de ângulo de torsão. θ' M θ'' θ θ' + θ'' M Fgura Barra de secção crcular submetda a torsão. Se o materal da barra se comportar em regme lnear-elástco, o trabalho nterno produzdo será gual à área OB representada na Fgura 4., sto é: Segundo a le de Hooke, W M θ. (4.4) M θ (4.44) GI em que I é o momento de nérca polar e GI Substtundo (4.44) em (4.4) obtém-se é a rgdez à torsão da barra clíndrca. M W. (4.45a) GI ou Joaqum Barros 4.4

15 Capítulo 4 Teoremas energétcos θ GI W. (4.45b) M W O B θ Fgura 4. - Trabalho nterno produzdo durante a torsão de uma barra. Num elemento de comprmento nfntesmal d, a varação de trabalho nterno, dw, obtém-se substtundo nas equações (4.45) por d e θ por dθ, resultando ou M dw d (4.46a) GI dw ( dθ ) d GI. (4.46b) ssm, o trabalho nterno por deformação de torsão da barra obtém-se ntegrando (4.46) no comprmento da barra,.e., ou M W d (4.47a) EI dθ d W GI d. (4.47b) Em barras de secção dferente da crcular, o ângulo de torsão será também proporconal ao momento torsor aplcado e nversamente proporconal à rgdez à torsão, pelo que, M C θ (4.48) Joaqum Barros 4.5

16 Capítulo 4 Teoremas energétcos em que C GI / é a rgdez à torsão, sendo I o momento de nérca à torsão, que vara com a forma da secção transversal da barra Corpo submetdo a deformação generalzada No caso mas geral, uma barra pode estar submetda a esforço axal N, a esforços de corte na secção ortogonal ao exo e drgdos segundo o exo,, e segundo o exo,, a momento torsor, sto é, momento em torno do exo, M, a momento flector em torno do exo, M, e a momento flector em torno do exo, M. barra nº do pórtco trdmensonal representado na Fgura 4. é exemplo dsto, dado estar submetda aos ses tpos de esforços referdos. Neste caso, o trabalho nterno obtém-se aplcando o prncípo da sobreposção dos efetos, pelo que é a soma das parcelas obtdas nas secções anterores, sto é, N W d + d + d + * * E G G Parcela afecta Parcela afecta Parcela afecta ao esforço axal ao esforço de corte na ao esforço de corte na drecção do exo drecção do exo M M M d + d d GI + EI EI Parcela afecta ao Parcela afecta ao Parcela afecta ao momento torsor momento flector em momento flector em torno do exo torno do exo (4.46) em que e * S 4 r h * S 4 r h (4.47a) d, (4.47b) d são as áreas reduzdas de corte segundo os exos e, sendo r e r o rao de gração da secção de área em torno do exo e, respectvamente, S e S o momento estátco em relação ao exo e, e h, h a dmensão da secção segundo e, respectvamente. Joaqum Barros 4.6

17 Capítulo 4 Teoremas energétcos g F g F g F g g g h M barra h N M M Fgura 4. - Barra de pórtco contínuo trdmensonal. densdade de deformação de um corpo sob estado trdmensonal de tensão e de extensão também pode ser obtdo aplcando o prncípo da sobreposção dos efetos, pelo que U ( σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ). (4.48) Em notação tensoral esta relação rescreve-se da forma segunte U σ ε. (4.49) Substtundo as equações da le de Hooke (equações (.47)) em (4.48) obtém-se: U υ ( σ + σ + σ ) ( σσ + σσ + σσ) + ( τ + τ + τ) (4.5) E G pelo que (4.48) passa a ser função somente das componentes de tensão. relação (4.48) pode ser reescrta em função somente das componentes de extensão (recorrendo-se novamente à le de Hooke) obtendo-se Joaqum Barros 4.7

18 Capítulo 4 Teoremas energétcos sendo U G G ( ) ( ) λ + ε + ε + ε + γ + γ + γ (4.5) νe λ ( + ν)( ν) (4.5) a constante de amé e ε+ ε+ ε (4.5) a extensão volumétrca. nalsando a expressão (4.5) constata-se que a dervada de U em ordem a qualquer componente da extensão dá a correspondente componente de tensão. Por exemplo. du d λ Gε ε + (4.54) que, tendo em conta as relações (.58) e (.59), é gual a σ. De forma smlar verfca-se que du d E σ σ υ σ + σ ( ) (4.55) que, tendo em conta a expressão (.47a), se constata ser gual a ε. ssm, por ntermédo do cálculo da energa de deformação é possível obter as componentes de tensão e de extensão em determnado ponto. No caso geral de um corpo sueto a um sstema de forças externas em equlíbro, qualquer ponto do seu nteror fcará submetdo a um estado de tensão caracterzado pelo vector σ e a um estado de extensão caracterzado pelo vector ε. Se o estado de deformação varar de ε para ε + δ ε ocorrerá um ncremento da densdade de energa dado por (ver Fgura 4.) U U T σ δ ε δu + δ U termos de ordem superor (4.56) em que δ U T σ δε. (4.57) energa de deformação armazenada no corpo, U, pode ser obtda ntegrando (4.57) ao volume do corpo, pelo que, T U σ dε d. (4.58) Joaqum Barros 4.8

19 Capítulo 4 Teoremas energétcos σ UC dσ UC U U dε Fgura 4. - Energa de deformação (representação a uma dmensão). ε Na Fgura 4., a área entre a curva σ ε e o exo das abcssas representa a densdade de energa de deformação. Por seu lado, a área entre a curva σ ε e o exo das ordenadas (ver Fgura 4.) representa a energa complementar de deformação (a uma dmensão), U δ U d (4.59) c c em que δ U c é a energa complementar de deformação que se dsspa num elemento de volume d. Se o estado de tensão varar de σ para σ + d σ, o ncremento de energa complementar de deformação será dado por U U c c T ε δσ δu c c + δ U termos de ordem superor (4.6) em que δ U c T ε δσ. (4.6) Substtundo (4.6) em (4.59) obtém-se a energa complementar de deformação do corpo de volume, T U ε dσ d. (4.58) c Prncípo do trabalho vrtual Conceto de grandeza vrtual Denomna-se de grandeza vrtual toda aquela que é bastante pequena. No presente trabalho, toda a grandeza precedda pelo smbolo δ é consderada vrtual. Por exemplo, δ u, δε, δ e Joaqum Barros 4.9

20 Capítulo 4 Teoremas energétcos δσ representam um deslocamento vrtual, uma extensão vrtual, uma força vrtual e uma tensão vrtual. s grandezas vrtuas podem ser consderadas como varações das correspondentes verdaderas grandezas. Dz-se que um corpo está submetdo a um campo de deslocamentos e extensões vrtuas ( δ U, δ ε ) se essas deformações forem bastante pequenas (nfntésmas), cnematcamente admssíves e compatíves com as lgações ao exteror, sto é, se as condções de lgação do corpo ao exteror, antes e depos da deformação vrtual, forem guas. Por sua vez dz-se que um corpo está submetdo a um sstema de forças e tensões vrtuas ( δ e δ σ ) se essas forças e tensões forem nfntesmas e estatcamente admssíves Príncpo dos deslocamentos vrtuas Consdere-se um corpo submetdo a um sstema de forças exterores de volume e a um sstema de forças exterores de superfíce (forças dstrbuídas na superfíce de contorno do S corpo). O sstema de força e nduz um estado de tensão σ em qualquer ponto do S nteror do corpo. dmta-se que sob este sstema de forças o corpo sofreu uma deformação nfntesmal, tendo os pontos de aplcação e sofrdo deslocamentos vrtuas δ U S (varação de deslocamentos) e os pontos do nteror do corpo sofrdo extensões vrtuas δ ε (varação das extensões). Durante a deformação vrtual cnematcamente admssível, as forças exterores e produzem um trabalho, denomnado de trabalho vrtual exteror, δ W, S e (4.59) δ W δ Ud + δ UdS e S S enquanto as forças nterores, σ, produzem um trabalho denomnado de trabalho vrtual nterno, δ W, ou de deformação, T δw σ δε d. (4.6) a-se demonstrar que δ W δ (4.6) e W sto é, que o trabalho realzado pelas forças exterores aplcadas a um corpo qualquer, deformável e em equlíbro para qualquer estado de deformação vrtual compatível com as lgações ao exteror, é gual ao trabalho vrtual nterno. expressão (4.59) pode ser reescrta da forma segunte (4.6) δ W δ u d + δ u ds e S S em que o prmero ntegral é um ntegral de volume (trplo) estenddo ao conunto dos elementos de volume d do corpo, enquanto o segundo ntegral é um ntegral de superfíce Joaqum Barros 4.

21 Capítulo 4 Teoremas energétcos estenddo ao conunto de elementos ds da superfíce exteror do corpo. Por sua vez, a expressão (4.6) pode ser reescrta na forma segunte δw σ δε d. (4.6) Como u u ε + (4.64) x x então δε x ( δu ) ( δu ) + x. (4.65) Substtundo (4.65) em (4.6) obtém-se: δw ( δu ) ( δu ) σ + x x ( δu ) ( δu ) σ + σ x d. (4.66) d x Devdo à smetra do tensor das tensões, σ σ, pelo que ( δu ) ( δu ) σ σ. (4.67) δx δx Dado que e são índces mudos podem ser trocados entre s, σ ( δu ) ( δu ) δx pelo que a expressão (4.66) reduz-se à segunte: σ δx ( δu ). (4.68) d. (4.69) x δw σ plcando a regra da dervada do produto de duas funções, ( σ δu ) σ ( δu ) d δud + σ d. (4.7) Substtundo (4.7) em (4.69) obtém-se x x x Joaqum Barros 4.

22 Capítulo 4 Teoremas energétcos ( σδ u ) σ δ. (4.7) δw d u d x x O teorema da dvergênca de Gauss (Kreyszg 988) dz que se F é uma função contínua, escalar, vectoral ou tensoral, F d F n S ds x (4.7) em que n são as componentes do versor normal à faceta S. Se em (4.7) substtur F por σ δ obtém-se, u ( σ δu ) d σ δu n ds (4.7) x pelo que a expressão (4.7) reduz-se à segunte σ δw σ δu n ds δu d S x S. (4.74) Tendo em conta as expressões (4.6) e (4.74) verfca-se que σ δwe δw + δu d σ S n S δu ds x ( ). (4.75) O prmero ntegral de (4.75) é nulo porque, estando o campo de tensões σ em equlíbro, tem que se verfcar as equações de equlíbro ndefendo estabelecdas na relação (.6), sto é: σ x +. (4.76) O segundo ntegral de (4.75) é também nulo porque o campo de tensões condções de superfíce traduzdas pelas equações (.9), sto é: S σ obedece às σ n. (4.77) Conclu-se assm que δ We δw que se pode traduzr no segunte enuncado: a condção necessára e sufcente para que um corpo deformável estea em equlbro é que o trabalho das forças exterores sea gual ao trabalho das forças nterores (trabalho de deformação) para todo o campo de deslocamentos vrtuas, cnematcamente admssível. Em notação matrcal a relação (4.6) apresenta a forma Joaqum Barros 4.

23 Capítulo 4 Teoremas energétcos T T T δ U d + δ U ds σ δε d. (4.78) S S Num número consderável de estruturas apenas actuam forças e reacções aplcadas em pontos do contorno da estrutura. Nestes casos, a varação do trabalho exteror traduz-se por δw e n δu (4.79) em que n é o número de pontos em que actuam forças exterores e δ u é a varação de deslocamento do ponto de aplcação da força, na drecção desta força, mas provocado por outras cargas. No caso geral de um corpo sueto a um estado trdmensonal de tensão e extensão, se lhe for aplcado uma deformação vrtual, durante esta deformação desenvolve-se um trabalho vrtual nterno representado pela segunte relação ( ) d. (4.8) δw σ δε + σ δε + σ δε + τ δγ + τ δγ + τ δγ Para um corpo com uma forma qualquer, o cálculo deste ntegral pode não ser smples. Porém, para peças lneares o trabalho nterno de deformação pode calcular-se a partr dos dagramas de esforços axas, de esforços transversos, de momentos flectores e de momentos de torção, o que smplfca bastante o problema. vga representada na Fgura 4.a está sueta a um sstema de forças exterores qualquer em equlíbro com as reacções nos apoos. Consdere-se um outro carregamento consttuído pelas forças (Fgura 4.b) em equlíbro com as respectvas reacções de apoo, que nduz na vga uma deformação vrtual. No caso geral, a confguração de equlíbro correspondente ao carregamento é dferente da confguração de equlíbro correspondente ao carregamento. Se os pontos de aplcação do sstema de forças sofrerem deslocamentos δ u,, δ u, δ u n na drecção das forças,,, n, estas produzem um trabalho exteror durante a deformação vrtual determnado pela relação δw e n δu. (4.8) Para calcular o trabalho nterno de deformação, consdere-se um elemento da vga de comprmento nfntesmal d. Neste elemento, devdo à actuação do sstema de forças, actuam esforços axas N, esforços transversos, e momentos flectores M. Por seu lado, sob a actuação do sstema de forças, o mesmo elemento d sofre varação de comprmento, u δ, varação de rotação, δθ, e varação de deslocamento transversal entre duas secções transversas, δ. Estes deslocamentos vrtuas explctam-se em função do u Joaqum Barros 4.

24 Capítulo 4 Teoremas energétcos N esforço axal,, do esforço transverso,, e do momento flector, M, respectvamente, que se desenvolvem devdos à actuação do sstema de forças, da forma segunte N d M δ u ; δθ d ; δ u d '. (4.8) E E I G m ( ) m d (a) ( ) δu δu δu δum (b) Fgura 4. ga submetda a um conunto de forças (a) e (b). plcando o prncpo do trabalho vrtual obtém-se n δu N δ u + δ u + M δθ N N M M d d * d E G EI + +. (4.8) Neste exemplo não há momento torsor, M, mas se houvesse, o respectvo termo energétco sera M M d (4.84) GI que devera ser adconado à parte da dreta da expressão (4.8). Joaqum Barros 4.4

25 Capítulo 4 Teoremas energétcos Exemplo de aplcação Para a vga representada na Fgura 4.4, de secção com largura b e altura h, e carregada como se exemplfca, calcular o deslocamento do ponto. Sob a carga a estrutura desenvolve esforços de corte,, e momentos flectores, M, conforme se assnala na Fgura 4.4a. Para calcular o deslocamento peddo aplca-se uma carga untára no ponto, na drecção e sentdo do deslocamento pretenddo (Fgura 4.4b). Sob a carga untára, F, desenvolvem-se F esforços de corte, F, e momentos flectores, M (ver Fgura 4.5). ( ) h /4 / u / b F ; M (a) ( ) /4 F F ; M (b) Fgura 4.4 Deslocamento u devdo à actuação da carga. O trabalho vrtual externo devdo à actuação da força F para os deslocamentos reas, sto é, para os deslocamentos devdos à actuação da força é δ We u, dado que no sstema correspondente à actuação F, além desta força, somente exstem reacções de apoo, que, todava, não produzem trabalho, pos são nulos os correspondentes deslocamentos na estrutura sob a carga. O trabalho vrtual das forças nternas do sstema correspondente a F para os correspondentes deslocamentos do sstema de forças determna-se de M δw d + M d. (4.85) F F * G EI ssm, pelo teorema dos trabalhos vtuas (T.T..) vem Joaqum Barros 4.5

26 Capítulo 4 Teoremas energétcos M u d + M d F F * G E I /4 / d + d + d + * * * G /4 / G G 4 d /4 / d + d / EI /4 EI EI (4.86) / / / / 4 M /4 /4 F /4 /4 6 F M Fgura 4.5 Dagramas de esforços devdos à actuação da carga (a) e F (b) Prncípo das forças vrtuas um determnado corpo aplque-se um sstema de forças vrtuas. Durante a deformação real do corpo estas forças efectuam um trabalho vrtual complementar, que se decompõe em trabalho exteror e em trabalho nteror ou de deformação. Consdere-se, por exemplo, a resultante das tensões vrtuas normas à faceta BCD que é ortogonal ao exo x (ver Fgura 4.6). Esta resultante denomna-se de força vrtual, e o trabalho vrtual complementar realzado na deformação de um elemento de comprmento dx é ( dx )( ε dx ) δσ d δσ dx ε. (4.87) No caso de um corpo submetdo a estado trdmensonal de tensão e de deformação obter-se-a c ( ) d. (4.88) δ W δσ ε + δσ ε + δσ ε + δτ γ + δτ γ + δτ γ Se a um corpo deformado se aplcar um sstema de forças vrtuas estatcamente admssíves, δ e δ S, desenvolvem-se tensões vrtuas δσ. Neste caso, as equações de equlíbro ndefndo Joaqum Barros 4.6

27 Capítulo 4 Teoremas energétcos ( δσ ) x + δ (4.88) e as equações de equlíbro no contorno do corpo ( ) n δs δσ (4.89) verfcar-se-ão. O trabalho vrtual nterno complementar ou o trabalho de deformação complementar determna-se por ntermédo da segunte expressão δw ε δσ d (4.9) c enquanto o trabalho vrtual exteror complementar obtém-se de. (4.9) δ W u δ d + u δ ds ec S S dx x δσ dx dx Fgura 4.6 Elemento de volume d dx dx dx submetdo a varação de tensão δσ. Substtundo (4.88) e (4.89) em (4.9) obtém-se ( δσ ) δσ. (4.9) δw u d + u n ds ec S x Segundo a regra da dervada do produto de duas funções ( uδσ) u ( δσ) d δσ d + u d (4.9) x x x pelo que (4.9) pode-se converter na equação Joaqum Barros 4.7

28 Capítulo 4 Teoremas energétcos u ( u δσ). (4.94) δw δσ d d + u δσ n ds ec S x x Segundo o teorema da dvergênca de Gauss ( u δσ) d u δσ n ds. (4.95) x Substtundo (4.95) em (4.94) obtém-se S u δw δσ d u δσ n ds + u δσ n ds ec S S x u x δσ d. (4.96) Devdo à smetra do tensor das tensões σ σ, pelo que (4.96) pode converter-se na segunte expressão u u δwec + δσ d x x (4.97) ε δσ d que é gual a (4.9), pelo que δ W δ. (4.98) ec W c Estas condções devem ocorrer para qualquer campo de tensões vrtuas δσ estatcamente admssível. Pode-se assm enuncar o prncípo do trabalho das forças vtuas: a condção necessára e sufcente para que um corpo deformável desenvolva deslocamentos cnematcamente admssíves é que o trabalho exteror complementar sea gual ao trabalho nteror complementar, para todo o sstema de forças vrtuas estatcamente admssíves,.e., δ W δ. ec W c Tendo em conta as expressões (4.9) e (4.97), a gualdade anteror pode ser representada, em notação matrcal, pela segunte T T T U δ d + U δ ds ε δσ d (4.99) S S Exemplo de aplcação Consdere a vga representada na Fgura 4.7. vga está encastrada na extremdade B e smplesmente apoada na extremdade. Em actua um momento M. Neste apoo Joaqum Barros 4.8

29 Capítulo 4 Teoremas energétcos desenvolve-se uma reacção R, que se pretende determnar. À dstânca x do apoo ocorrem tensões axas determnadas por ntermédo da segunte expressão M Rx + M σ x x. I I Na Fgura 4.7b representa-se um sstema de forças vrtuas estatcamente admssíves. O trabalho destas forças vrtuas nos deslocamentos da acção real (consttuída pelo momento M ), δ Wec, é nulo porque o sstema de forças vrtuas δ e δ não produz trabalho, dado os que pontos em correspondênca com δ e δ, na estrutura real, não sofrem deslocamentos. O trabalho nterno complementar é em que δw c ε δσ d σ δσ d E R x + M δ x x x d EI I R x + M δ x EI I ( x ) d dx e δσ δ M ( x ) x I δ x x I I x d. Por ntegração obtém-se δ δ W R x + M x dx ( ) c EI δ R + M EI Pelo teorema das forças vrtuas sabe-se que δ W δw pelo que ec c. R M + EI EI Joaqum Barros 4.9

30 Capítulo 4 Teoremas energétcos que permte determnar a ncógnta R. Esta relação é uma equação de compatbldade dos deslocamentos. x M (x) B x R (a) δ δ (b) B δ x d x x x σ (c) Fgura 4.7 Exemplo de aplcação. 4.5 Teorema de Clapeyron Na secção 4.4 verfcou-se que, quando um determnado corpo é sueto a um conunto de forças exterores, a varação de trabalho externo e de trabalho nterno realzados durante uma deformação vrtual mposta ao corpo obtêm-se por ntermédo das expressões (4.59) e (4.8). Constatou-se anda que, no caso das forças exterores se reduzrem a um conunto de n forças aplcadas em pontos (acções e reacções), a varação de trabalho externo obtém-se por meo da expressão (4.79). Sem perda de generalzada, mas apenas por motvo de smplfcação da exposção, consdere-se que um determnado corpo está submetdo a um conunto de forças aplcadas em pontos do seu contorno. dmtndo-se que não há assentamentos nos apoos da estrutura, o trabalho realzado pelas forças de reacção é nulo. tendendo ao prncípo dos trabalhos vrtuas (mas propramente, ao prncípo dos deslocamentos vrtuas), sabe-se que o trabalho externo é gual ao trabalho nterno realzados durante a deformação vrtual aplcada ao corpo, sto é (ver Fgura 4.8), n u ε δu ( σδε + σ δε + σ δε + τ δγ + τ δγ + τ δγ ) d (4.) Joaqum Barros 4.

31 Capítulo 4 Teoremas energétcos σ σ u u ε ε δu δε (a) (b) Fgura 4.8 Trabalho externo (a) e nterno (b) quando as acções aumentam desde o valor nulo até ao seu valor fnal. Representação a uma dmensão. Consderando a le de hooke estabelecda em termos de grandezas vrtuas (ver secção.8, expressões (.47)), δσ δσ + δσ δε υ + α δt E E δσ δσ + δσ δε υ + α δt E E δσ δσ + δσ δε υ + α δ E E δτ δγ G δτ δγ G δτ δγ G (4.) em que δ t é a varação de temperatura. Substtundo (4.) em (4.) e ntegrando ao longo do campo de deformações obtém-se (ver nexo 4.) n υ u ( ) d ( ) d E σ + σ + σ E σ σ + σ σ + σ σ + ( τ + τ + τ) d + ( σ + σ + σ ) αt d G (4.) em que ( ) σ+ σ + σ αtd Wt, (4.) Joaqum Barros 4.

32 Capítulo 4 Teoremas energétcos é o trabalho por deformação térmca. ssm, em (4.) o trabalho nterno denomna-se de trabalho de deformação termo-elástca. Se em vez de se consderar que as forças exterores aumentam lenta e gradualmente desde zero até ao seu valor fnal, se se admtr que as forças exterores são aplcadas com o seu valor fnal (ver Fgura 4.9), e aplcando o príncpo dos trabalhos vrtuas ao equlíbro fnal do corpo, tomando como deformação vrtual a deformação real obtém-se: n u ( σε + σε + σε + τγ + τγ + τγ) d. (4.4) σ σ We u W σ ε u u ε ε Fgura 4.9 Trabalho externo (a) e nterno (b) quando as acções são aplcadas como seu valor fnal. Representação a uma dmensão. Substtundo (.47) em (4.4) e tendo em conta a extensão por varação de temperatura, t, obtém-se n ( σ + σ + σ) ( σσ+ σσ+ σσ) u υ d E E d + ( ) d ( ) t d G τ + τ + τ + σ + σ + σ α. (4.5) Comparando (4.) com (4.5) verfca-se que esta últma é o dobro da prmera, pelo que, n u n u. (4.6) Pode-se assm enuncar o teorema de Clapeyron: se um corpo, ncalmente descarregado é solctado por acções exterores (forças de volume, forças de superfíce, temperatura, assentamentos de apoo) que aumentam gradual e lentamente desde zero até ao seu valor fnal, o trabalho produzdo na deformação elástca do corpo, se esta se realza em regme de elastcdade perfeta, é ndependente da ordem de aplcação das forças e da sua le de varação, e tem metade do valor que tera se as acções exterores fossem logo aplcadas com o seu valor fnal. Joaqum Barros 4.

33 Capítulo 4 Teoremas energétcos 4.6 Teorema de Bett Consdere-se que a vga representada na Fgura 4. tem comportamento lnear e elástco quando submetda a qualquer sstema de forças exterores. essa vga va-se aplcar dos sstemas de forças exterores, ndependentes e em equlíbro, e. Sob o prmero sstema de forças,, a vga deforma-se desenvolvendo-se deslocamentos u sob os pontos de aplcação das forças e segundo a drecção dessas forças (ver Fgura 4.a). plcando o sstema de forças, a vga deforma-se, e os pontos de aplcação das forças deslocam-se de u na drecção dessas forças (ver Fgura 4.b). 4 u u u u 4 Sstema de forças u u (a) u u u u u u 4 Sstema de forças (b) Fgura 4. Deformação de vga sob um sstema de forças (a) e (b). plcando o teorema dos trabalhos vrtuas a cada um dos sstemas de forças em equlíbro, tomando como deformação vrtual a deformação produzda pelo outro sstema de forças pode-se verfcar que o trabalho produzdo pelo sstema de forças na deformação nduzda pelo sstema de forças, n k u k σ + d (4.7) k ( ε + σ ε + σ ε + τγ + τ γ τ γ ) é gual ao trabalho produzdo pelo sstema de forças na deformação vrtual nduzda pelo sstema de forças. m u + d (4.8) em que por n componentes), é consttuído por m componentes), ( σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ τ γ ) k é componente k do sstema de forças (admte-se que este sstema é consttuído é componente do sstema de forças (admte-se que este sstema u k é o deslocamento do ponto de aplcação da Joaqum Barros 4.

34 Capítulo 4 Teoremas energétcos componente k do sstema de forças, k, devdo à actuação do sstema de forças, e u é o deslocamento do ponto de aplcação da componente do sstema de forças,, devdo à actuação do sstema de forças. Por sua vez, σ, σ, σ, τ, τ τ e, ε, ε, ε, γ, γ, γ são as componentes de tensão e extensão devdas à actuação do sstema de forças, enquanto σ, σ, σ, τ, τ, τ e ε, ε, ε, γ, γ, γ são as componentes de tensão e extensão devdas à actuação do sstema de forças. Se se consderar os sstemas de forças e e os deslocamentos produzdos por estes sstemas de forças, representados na Fgura 4., obtém-se, e n k u u + u + + k k 4 4 m u u + u u u (4.9). (4.) Se as componentes de extensão em (4.7) e (4.8) forem substtuídas pelas relações estabelecdas segundo a le de Hooke (.47), verfca-se que a expressão do trabalho nterno é gual nas duas relações, pelo que, n u m k k k u. (4.) podendo-se enuncar o teorema de Bett da segunte forma: se um corpo, sento de varações de temperatura e de assentamento de apoos, está em equlíbro elástco sob a acção de dos sstemas ndependentes de forças exterores, o trabalho vrtual do prmero sstema de forças na deformação produzda pelo segundo sstema de forças, é gual ao trabalho vrtual produzdo pelo segundo sstema de forças na deformação devda ao prmero sstema de forças. relação estabelecda em (4.) pode também ser obtda por ntermédo do procedmento que se passa a descrever. Consdere-se que determnada estrutura, por exemplo a vga com comportamento lnear-elástco representada na Fgura 4., é sueta a um sstema de forças que aumentam lenta e gradualmente desde zero até ao seu valor fnal. Este sstema de forças provoca uma deformação na vga, pelo que os pontos de aplcação das forças deslocam-se u na drecção das referdas forças. Durante esta deformação o trabalho externo (gual ao nterno segundo o prncípo dos trabalhos vrtuas) obtém-se a partr da segunte relação, n We, u f k k. (4.) k em que u k representa o deslocamento do ponto de aplcação da componente k do sstema de forças. uando k Joaqum Barros 4.4

35 Capítulo 4 Teoremas energétcos u k f, (4.) que representa a flexbldade da vga para o deslocamento consderado. u u u (a) d u u u (b) Fgura 4. Deformação de vga sob um sstema de forças (a) e representação do trabalho produzdo por uma componente de força do sstema (b). No caso da fgura 4. (4.) reduz-se a, ( u + u u ). (4.4) W e, + plcando em seguda, à mesma vga, o sstema de forças que aumentam lenta e gradualmente desde zero até ao seu valor fnal, o trabalho produzdo é o segunte (ver Fgura 4.), W e, n k k u k + m u (4.5a) ou We, f + f (4.5b) que no caso da Fgura 4. se reduz a (ver também Fgura 4.) ( u u ). (4.6) W e, u + u + u + + Joaqum Barros 4.5

36 Capítulo 4 Teoremas energétcos d d u u u u u Fgura 4. O sstema de forças ntroduz um acréscmo de deformação na vga á sueta ao sstema de forças. (a) u u (b) u u Fgura 4. Trabalho produzdo pelo sstema de forças durante a deformação devda ao sstema de forças (a). Trabalho produzdo pelo sstema de forças durante a deformação devda a este sstema de forças (b). Em (4.5b) f é o deslocamento do ponto de aplcação de, na sua drecção, devdo à actuação de. Por sua vez, f é o deslocamento do ponto de aplcação de, na sua drecção, devdo à actuação de. ssm, o trabalho exteror devdo à aplcação do sstema de forças segudo do sstema de forças é o segunte We We, + We, f + f + f. (4.7) Consdere-se agora o caso em que prmero se aplca o sstema de forças, segudo do sstema de forças. Esta stuação está representada nas Fguras 4.4 a 4.6. Desenvolvendo procedmento semelhante ao acabado de descrever obtém-se m ' We, u. (4.8a) ou ' We, f. (4.8b) e Joaqum Barros 4.6

37 Capítulo 4 Teoremas energétcos m n W ' u + u e, k k (4.9a) k ou ' We, f + f (4.9b) pelo que ' ' ' We We, + We, f + f + f. (4.) Como ' W e W e obtém-se f f. (4.) u u (a) d u u u (b) Fgura 4.4 Deformação de vga sob um sstema de forças (a) e representação do trabalho produzdo por uma componente de força do sstema (b). d d u u u u u Fgura 4.5 O sstema de forças ntroduz um acréscmo de deformação na vga á sueta ao sstema de forças. Joaqum Barros 4.7

38 Capítulo 4 Teoremas energétcos u u u u u u (a) (b) Fgura 4.6 Trabalho produzdo pelo sstema de forças durante a deformação devda ao sstema de forças (a). Trabalho produzdo pelo sstema de forças durante a deformação devda a este sstema de forças (b). Pode-se faclmente provar que o teorema de Bett resulta drectamente do teorema dos trabalhos vrtuas. Para tal consdere-se anda a vga representada na 4.. uando a vga é sueta a um sstema de forças exterores desenvolvem-se deslocamentos u, esforços e correspondentes deformações. No caso desta vga desenvolvem-se esforços axas, N, esforços de corte segundo o exo,, e momentos flectores segundo o exo, M. Um elemento de comprmento nfntesmal d submetdo a estes esforços sofre deformações axas, de corte e de flexão que se obtêm por ntermédo das seguntes expressões, N d d M E ; * G, EI d. (4.) Por sua vez, quando a vga é submetda a um sstema de forças desenvolve deslocamentos u, esforços N, e M, e deformações determnadas pelas expressões, N d d M E ; * G, EI d. (4.) Segundo o teorema dos trabalhos vrtuas, o trabalho externo produzdo pelo sstema de forças exterores nos deslocamentos devdos à actuação do sstema de forças exterores (u ) é gual ao trabalho nterno realzado pelos esforços nduzdos pelo sstema de forças ( N,, M ) nas deformações nternas provocadas pelo sstema de forças (( Nd ) * ( d ) G, ( M d ) EI ), sto é, n u k k N d + d * M d k E + G EI E, N M. (4.4) Por outro lado sabe-se anda que, pela aplcação do teorema dos trabalhos vrtuas, o trabalho externo produzdo pelo sstema de forças exterores nos deslocamentos devdos à actuação do sstema de forças exterores (u ) é gual ao trabalho nterno realzado pelos esforços nduzdos pelo sstema de forças ( N,, M ) nas deformações nternas provocadas * Nd E, ( d ) G M d EI ), sto é, pelo sstema de forças ( ( ), ( ) Joaqum Barros 4.8

39 Capítulo 4 Teoremas energétcos N M. (4.5) m u N d + d * + M d E G EI Como os termos da dreta das relações (4.4) e (4.5) são guas, resulta a gualdade (4.). 4.7 Teorema de Maxwell ou teorema da recprocdade dos deslocamentos elástcos O teorema de Maxwell, também desgnado por teorema da recprocdade dos deslocamentos elástcos é um coroláro do teorema de Bett. Consdere-se um corpo submetdo a duas confgurações de equlíbro ndependentes. prmera confguração (ver Fgura 4.7a) é consttuída por uma carga untára no ponto,. segunda confguração (ver Fgura 4.7b) é constuída por uma carga untára no ponto,. u f u f u f u f (a) (b) Fgura 4.7 Confguração de equlíbro (a) e (b). Sob a aplcação da confguração o ponto de aplcação desta força desloca-se de u f segundo a drecção de, enquanto o ponto desloca-se de u f segundo a drecção de, que nesta confguração tem valor nulo. Sob a aplcação da confguração o ponto de aplcação desta força desloca-se de u f segundo a drecção de, enquanto o ponto desloca-se de u f segundo a drecção de, que nesta confguração tem valor nulo. Como em qualquer das confgurações as reacções não produzem trabalho, dado não haver assentamentos de apoos, a aplcação do teorema de Bett resulta na segunte relação, f + f f + f (4.6) pelo que f f (4.7) podendo-se enuncar o teorema de Maxwell ou teorema da recprocdade dos deslocamentos elástcos da segunte forma: se um corpo, sento de varações de temperatura e de Joaqum Barros 4.9

40 Capítulo 4 Teoremas energétcos assentamentos de apoos, é solctado, ndependentemente, por duas forças undade, a actuar em dos pontos do corpo e em drecções dadas, o deslocamento elástco do prmero ponto, na prmera drecção, provocado pela força undade no segundo ponto e na segunda drecção, é gual ao deslocamento elástco do segundo ponto, na segunda drecção, provocado pela acção da força undade no prmero ponto, na prmera drecção. relação (4.7) ndca que o deslocamento de um ponto devdo à actuação de uma força de valor untáro aplcada num ponto, f, de um corpo elástco é gual ao deslocamento de um ponto devdo à actuação de uma força de valor untáro aplcada num ponto, f. O valor das forças aplcadas não têm que ter necessaramente valor untáro. O que têm que ter é o mesmo valor, dado que assm, f f (4.8) em que representa o valor da força aplcada quer no ponto quer no ponto. relação (4.8) degenera na relação (4.7). Os termos f e f são os coefcentes de nfluênca das forças e, respectvamente, á referdos em secções anterores. No sentdo mas geral, a relação (4.) sgnfca que a matrz de flexbldade é smétrca. Exemplo de aplcação Consdere que a vga representada na Fgura 4.8a se comporta em regme lnear-elástco. Sabendo que sob o momento M aplcado na extremdade esquerda da vga, esta sofre um deslocamento vertcal, descendente, a meo vão, de valor M ( 6EI ), determne a rotação nesta extremdade devda à actuação de uma força F, descendente, aplcada a meo vão. ( ) M B f B (a) F B f B (b) Fgura 4.8 ga submetda a momento aplcado na secção (a) e força aplcada na secção B (b). Resolução: Se M, o deslocamento do ponto de aplcação F devdo à actuação de M, u B f B, será 6EI. Pelo teorema da recprocdade dos deslocamentos sabe-se que se F, o gual a ( ) Joaqum Barros 4.4

41 Capítulo 4 Teoremas energétcos deslocamento do ponto de aplcação de M devdo à actuação de F, que f ( 6EI ) B. f B é gual a f B, pelo 4.8 Teorema complementar do teorema de Maxwell ou teorema da recprocdade das forças O teorema complementar de Maxwell, também desgnado por teorema da recprocdade das forças é um coroláro do teorema de Bett. Consdere-se um corpo submetdo a duas confgurações de equlíbro ndependentes. prmera confguração (ver Fgura 4.9a) é consttuída por uma força no ponto, k, que produz um deslocamento untáro u deste ponto segundo a drecção de, e por uma força k no ponto que mpede que este ponto se desloque segundo a drecção de. segunda confguração (ver Fgura 4.9b) é consttuída por uma força no ponto, k, que produz um deslocamento untáro u deste ponto segundo a drecção de, e por uma força k no ponto que mpede que este ponto se desloque segundo a drecção de. K K K K u u u u (a) (b) Fgura 4.9 Confguração de equlíbro u e nulos os restantes deslocamentos (a) e u e nulos os restantes deslocamentos (b). plcando o teorema de Bett às duas confgurações de equlíbro resulta, k + k k + k (4.9) pelo que k k (4.) podendo-se enuncar o teorema complementar de Maxwell ou teorema da recprocdade das forças da segunte forma: se um corpo, sento de varações de temperatura e de assentamentos de apoos, está submetdo a duas deformações elástcas ndependentes, cada uma produzndo o deslocamento undade de um ponto, em certa drecção, a força actuando no prmero ponto e na prmera drecção, capaz de produzr o deslocamento undade no segundo ponto e na segunda drecção, é gual à força que, actuando no segundo ponto e na segunda drecção é capaz de produzr o deslocamento undade do prmero ponto na prmera drecção. Joaqum Barros 4.4

42 Capítulo 4 Teoremas energétcos relação (4.) ndca que a força aplcada num ponto necessára para mpedr o deslocamento desse ponto segundo a força, quando no ponto se mpõe um deslocamento untáro u, k, é gual à força aplcada num ponto necessára para mpedr o deslocamento desse ponto segundo a carga quando no ponto se mpõe um deslocamento untáro u, k. O valor dos deslocamentos mpostos nos pontos e não têm que ter necessaramente valor untáro. O que têm que ter é o mesmo valor, dado que assm, k u k u k k (4.) em que u representa o valor do deslocamento aplcado no ponto e no ponto. k e k são os coefcentes de nfluênca dos deslocamentos u e u, respectvamente, á referdos em secções anterores. No sentdo mas geral, a relação (4.) sgnfca que a matrz de rgdez é smétrca. Exemplo de aplcação Consdere que a vga representada na Fgura 4.a se comporta em regme lnear-elástco. Sabendo que sob o assentamento de apoo de valor na secção desenvolve-se uma reacção em B de valor ( EI ) B, determne a reacção em para um assentamento em B de valor. ( ) E, I B C (a) B C u B KB (b) B ub B C KB (c) Fgura 4. Exemplo de aplcação do teorema da recprocdade das forças. Resolução: Joaqum Barros 4.4

43 Capítulo 4 Teoremas energétcos força em B segundo a drecção de B, k B, devdo à mposção de um deslocamento untáro em na drecção de, u, será B kb EI. Pelo teorema da recprocdade das forças sabe-se que a força a aplcar em, na drecção de quando se mpõe um deslocamento untáro em B, k B, é gual a k B, pelo que k EI B 4.9 Teorema da recprocdade dos deslocamentos/forças Pode-se anda estabelecer um tercero coroláro do teorema de Bett. ssm, consdere-se um corpo submetdo a duas confgurações de equlíbro ndependentes. prmera confguração (ver Fgura 4.a) é consttuída por uma força untára no ponto,, que produz um deslocamento u f deste ponto segundo a drecção de, e por uma força k num ponto que mpede que este ponto se desloque segundo a drecção de. Sobre a varável k coloca-se um traço, k, por forma a dstngu-la de k. k é a força aplcada no ponto devda à actuação de uma força untára em, enquanto, com se vu em anterores secções, k é a força aplcada em devda à actuação de um deslocamento untáro em. segunda confguração de equlíbro (ver Fgura 4.b) é consttuída por uma força no ponto, capaz de produzr um deslocamento untáro neste ponto e na drecção dessa força, k, e por uma força nula no ponto,, tendo neste ponto ocorrdo um deslocamento u f. Coloca-se sobre a varável f um traço ( f ), por forma a dstngu-la de f. f é o deslocamento do ponto de aplcação da força, devdo à actuação de um deslocamento untáro no ponto segundo a drecção de, enquanto que, como se vu em anterores secções, f é o deslocamento do ponto de aplcação de, segundo a sua drecção, devdo à actuação de uma força untára. K K u f u f u f u (a) (b) Fgura 4. Confguração de equlíbro, u f, k e u f (a). Confguração u, k, u f, e (b). plcando o teorema de Bett às duas confgurações de equlíbro resulta, f + k f + k (4.) Joaqum Barros 4.4

44 Capítulo 4 Teoremas energétcos pelo que k (4.) f podendo-se enuncar o teorema da recprocdade das forças/deslocamentos da segunte forma: num corpo, sento de varações de temperatura e de assentamentos de apoos, aplcando num ponto e numa dada drecção uma força untára, a força de fxação noutro ponto e noutra drecção ( k ) é numercamente gual e de snal contráro ao deslocamento do prmero ponto na prmera drecção devdo ao deslocamento untáro do segundo ponto na segunda drecção. relação (4.) ndca que a força aplcada num ponto necessára para mpedr o deslocamento desse ponto segundo a força ( k ), quando no ponto se aplca uma força untára, é gual, mas de snal contráro, ao deslocamento do ponto de aplcação da força, na sua drecção, quando no ponto se mpõe um deslocamento untáro segundo a drecção de. Exemplo de aplcação uando no pórtco plano representado na Fgura actua uma força vertcal descendente aplcada no nó de valor gual a kn, a reacção horzontal no nó é de kn. ual será o deslocamento vertcal do nó quando no nó actua um assentamento de apoo de mm segundo x. x kn (m) 5 4 Fgura 4. plcação do teorema da recprocdade das forças/deslocamentos. x Resolução: Na Fgura 4. representam-se as confgurações de equlíbro e do problema em causa. plcando o teorema de Bett às duas confgurações de equlíbro resulta, pelo que f + ( 4.645) f + k f mm Joaqum Barros 4.44