Física I para Engenharia. Aula 5 Trabalho Energia Potencial

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1 ísca I para Engenhara º Semestre de 4 Insttuto de ísca- Unversdade de São Paulo Aula 5 Trabalho Energa Potencal Proessor: Valdr Gumarães E-mal: valdrg@.usp.br

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4 Trabalho realzado por uma orça constante Derentemente do conceto ntutvo, o trabalho está assocado com a transerênca de energa devdo a uma orça. Trabalho é uma grandeza escalar (postva ou negatva. Trabalho é realzado sobre um corpo por uma orça, quando o ponto de aplcação da orça se desloca. O trabalho realzado sobre um corpo é postvo se energa é transerda para esse corpo. é o Trabalho realzado cos

5 Trabalho realzado por dversas orças O trabalho total sobre um sstema é a soma do trabalho realzado por cada orça. 3 3 Se o trabalho é realzado sobre uma partícula, então todos os deslocamentos são dêntcos. ( 3 res Se a aceleração é nula (velocdade constante, então No SI, a undade para o Trabalho é o Joule (J J = N.m

6 O teorema do Trabalho-Energa Cnétca Quando orças realzam trabalho sobre uma partícula, o resultado é uma varação da energa cnétca da partícula. Se a orça resultante é constante, a aceleração é constante. res ma res m v ( v v v a a ( v v res mv mv Denmos a energa cnétca como sendo: Teorema do Trabalho-Energa Cnétca: K total mv K No SI, a undade para a Energa Cnétca é o Joule (J

7 O teorema do Trabalho-Energa Cnétca Suponha que voce tenha que puar um trenó de massa 8 kg, com uma orça de 8 N a 4 em relação à horzontal. (a Qual o trabalho que voce rá realzar? (b Qual a rapdez do trenó após se deslocar 5, m, tendo partdo do repouso? (a total voce orçaresul tante cos 689 J voce_ realza (b total total total K K voce_ realza mv mv mv mv v v total m 4,m / s

8 O Trabalho realzado por orça constante Para orça constante, temos Área sob a curva versus

9 O Trabalho realzado por orça varável requentemente as orças têm ntensdade ou dreção de aplcação varável. Se a orça vara com, podemos dvdr o movmento em pequenas seções. Área sob a curva versus lm d Integral

10 Dervada e Integral de polnômos n Ct t v ( ( ( n n Ct dt t v t n Ct n Cnt dt d Integral dervada ( ( ( t t dt t v t t Integras dendas at t v ( ( ( ( ( at t at at at dt at t t t t t t suponha

11 O Trabalho realzado por uma mola (Le de Hooke Consdere um bloco sob a ação de uma mola. A orça eercda pela mola é dada pela Le de Hooke k

12 Note que a orça não é constante e vara com. ( k k k k d k d k d

13 O Produto Escalar Movmento trdmensonal O trabalho depende da componente da orça na dreção do movmento. d dl // cosdl Esta combnação de dos vetores com o cosseno do ângulo entre suas orentações é chamada de Produto Escalar dos vetores. Produto escalar A B AB cos

14 O Produto Escalar Ou alternatvamente, AB cos B A ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( k B j B B A k j A A B A z y z y Mas, como: ˆ ˆ ˆ ˆ j z z y y B A B A A B B A

15 a Determne o ângulo entre os vetores A ( 3,ˆ, ˆj m a Determne a componente de A na dreção de B. A B A B A B 6,m y y A B AB cos A B cos AB cos,333 7 A B Acos A A B B A B B B ( 4,ˆ 3, ˆj m A Ay 3, m B By 5, m Acos, m

16 O Trabalho em notação de Produto Escalar Consderando-se deslocamentos nntesmas (dl d d dl dl // cosdl Para um deslocamento de uma posção para uma posção, o trabalho realzado é P dl P Esta ntegral é conhecda como Integral de Lnha.

17 O Trabalho em notação de Produto Escalar Uma partícula sore um deslocamento l com uma orça constante atuando sobre a partícula. Determne (a o trabalho realzado pela orça e (b a componente da orça na dreção do deslocamento. ( 3, 4, ˆj N l (, 5, ˆj m d dl P dl P Como a orça é constante P ( 3, 4, ˆ j (, 5, ˆ j 4, J P dl l l l l l // l // 5 //, 6N 9

18 O Trabalho e Energa Cnétca Dos esquadores partem de um mesmo ponto em uma colna e chegam na base da colna, através de camnhos derentes. Um camnho é mas curto e íngreme do que o outro. Qual esquador terá maor velocdade no ponto de chegada? Os esquadores podem ser tomados como partículas, portanto vale o Teorema do Trabalho-Energa Cnétca. total K mv mv Temos a orça peso e a orça normal. total n g

19 total n g d n n n dl dg g dl l mgj ˆ( ˆ g g g mgy mgh yj ˆ total g K mv mv para v í v gh O mesmo para os dos esquadores.

20 Potênca A taa, ou seja, a varação temporal do trabalho que uma orça realza é chamada de Potênca (P. Em outras palavras, a Potênca é a taa de transerênca de Energa, através da realzação de um Trabalho. d dl vdt Potênca d dt v Dos motores que elevam uma certa carga até uma dada altura gastam a mesma quantdade de energa, mas a potênca é maor para a orça que realza o trabalho no menor tempo. P No SI, a undade para a Potênca é o att ( = J/s As companhas de energa elétrca usam o k.h (Energa=P.t como undade de energa. Esta é a energa transerda em hora a uma taa constante de k. k.h = ( 3 (36s = 3,6 6.s = 3,6 MJ

21 A potenca de um motor é a taa com a qual o motor pode realzar trabalho. P d dt O trabalho está relaconado com a varação da energa cnétca. d d K dk Pdt K dk K dk Pdt dk K t Pt mv Pdt Pt P t dt Pt v Pt m /

22 Dstânca em unção da velocdade e potenca. t vdt D v Pt m / D t vdt t Pt ( m / dt P ( m / t t / dt D P m 3 / ( t 3/ t 3 ( D /3 m ( P /3

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24 Energa Potencal O trabalho está assocado a transerênca de energa devdo a uma orça. Trabalho realzado sobre uma partícula, transere energa cnétca. Para um sstema de corpos, parte da energa transerda pode ser armazenada na orma de energa potencal.

25 Consdere o sstema ormado pela Terra e o haltere. Consdere que a pessoa é eterna ao sstema. As orças eternas que atuam no sstema são produzdas pela pessoa: orça de contato das mãos sobre o haltere, orça de contato dos pés com a Terra e a orça gravtaconal. Destas orças, apenas a de contato sobre o haltere pode produzr deslocamentos e realzar trabalho. Como esta orça é gual a mg (m= massa do haltere, o trabalho é =mgh. A energa transerda para o sstema é armazenada na orma de energa potencal gravtaconal.

26 Energa Potencal O trabalho está assocado com a transerênca de energa devdo a uma orça. Trabalho realzado sobre uma partícula, transere energa cnétca à partícula. Parte da energa transerda pode ser armazenada na orma de energa potencal. Outro sstema que armazena energa assocada à sua conguração é uma mola. Se a mola é comprmda, com orças guas e opostas, e, não este varação da energa cnétca. Portanto, o trabalho realzado é armazenado na orma de energa potencal elástca. Como o deslocamento é no mesmo sentdo da orça, o trabalho realzado pela orça é postvo. P dl P

27 orças conservatvas Quando voce é transportado por um elevador até o topo de um edíco de altura h, o trabalho realzado pela orça peso é peso mgh Ao retornar ao solo o trabalho realzado pela orça peso é peso mgh Se este movmento de subda e descda osse eto através de uma escada rolante, o trabalho da orça peso sera o mesmo. Ele ndepende do camnho segudo, dependendo apenas das posções ncal e nal.

28 O Trabalho da orça peso Dos esquadores partem de um mesmo ponto em uma colna e chegam na base da colna, através de camnhos derentes. y h Os esquadores podem ser tomados como partículas, portanto vale o Teorema Trabalho-Energa Cnétca. total mv mv y mgy mg( y Temos a orça peso e a orça normal. total n dg g dl l mgj ˆ( ˆ yj ˆ g g g y g mgh d n n n dl Não depende do camnho. Apenas da altura h.

29 orças Conservatvas. orças que realzam trabalho que não dependem do camnho são chamadas de orças Conservatvas. O trabalho realzado por uma orça conservatva sobre uma partícula é ndependente do camnho percorrdo pela partícula de um ponto ao outro. Uma orça é conservatva se o trabalho que ela realza sobre uma partícula é zero quando a partícula percorre qualquer camnho echado, retornando à posção ncal.

30 Trabalho realzado sobre o camnho echado, P P dl C C C C C dl dl dl dl dl d d d C Ad A d A A d A d A dl ( ( ˆ ˆ 4 4 ˆ ˆ C h C dl dyj A dl 3 ˆ ˆ 3 d d C Ad d A d A dl C dl Este é o caso da orça elástca d h A ˆ Integral de lnha

31 unções Energa Potencal O trabalho realzado por uma orça conservatva não depende do camnho, mas apenas dos pontos etremos do camnho. Esta propredade pode ser usada para denr a unção Energa Potencal U para uma orça conservatva. Quando voce desce do topo de um edíco, o trabalho realzado pela gravdade dmnu a energa potencal do sstema. Denmos a unção Energa Potencal U de orma que o trabalho realzado pela orça conservatva é gual à redução da unção Energa Potencal. P dl P U Ou Para um deslocamento nntesmal U U du U P dl P dl

32 Energa Potencal Gravtaconal Para a orça gravtaconal, temos: Para um deslocamento nntesmal du du mgj ˆ dl ( mgj ˆ ( dˆ dyj ˆ dzkˆ mgdy Integrando, temos y y U U y y U mgy U U du U é uma constante arbtrára, a ser denda convenentemente. y y mgdy Energa Potencal Gravtaconal prómo da superíce da Terra. U U U mgy mgy U mgy

33 Energa Potencal Elástca Se voce aplca uma orça sobre o bloco ao lado e o desloca da posção = até a posção, O trabalho realzado pela mola é negatvo. mola P P dl k( ( k d k( k d orça mola =-k Se voce permte que o bloco volte a posção ncal, o trabalho da orça da mola é postvo. O trabalho total realzado pelas orças na mola é nulo. Podemos denr a energa potencal elástca: du dl com k

34 du dl com k du ( kˆ ( dˆ kd Integrando, temos U U U U du U U kd k k k orça mola =-k U é uma constante arbtrára, a ser denda convenentemente. Podemos escolher U = (para elongação nula da mola.

35 Energa Potencal Consdere o sstema consttudo pelo jogador de basquete (m= kg, o aro e a Terra. Suponha que a energa potencal do sstema seja zero quando o jogador está no solo. Encontre a energa potencal total quando o jogador está dependurado no aro. Suponha que o centro de massa do jogador passou de 8 cm do solo, para 3 cm quando dependurado. A constante elástca do aro é 7, kn/m. U total U g U el mgy cm k U total 54 N. m 8N. m 6, N. m

36 Relação energa potencal e orça U du P dl P dl du dl

37 Conservação da Energa Mecânca Denmos a energa mecânca de um sstema como sendo a soma da energa cnétca com a energa potencal do sstema. E mec K sst U A energa mecânca de um sstema de partículas é conservada (E mec = constante se o trabalho total realzado por todas as orças eternas e por todas as orças nternas não-conservatvas or nulo. et E mec nc sst para et nc E mec K U

38 Eemplos Prómo à borda da laje de um prédo de m de altura, uma bola é chutada com uma rapdez ncal de 6 m/s a um ângulo de 6. Desprezando a resstênca do ar, encontre (a a altura máma atngda pela bola e (b sua rapdez ao tocar o solo. Tomamos a bola + Terra, como o sstema. et E mec nc Como não estem orças eternas ao sstema, et =. Como não estem orças nternas não-conservatvas, nc =. Portanto, a Energa Mecânca do sstema se conserva. E E K U mec mec sst sst

39 P E E mec laje E P P E mec alto y U P K laje U laje K alto U alto mv laje mgy laje mv alto mgy alto Mas, v laje =6m/s y laje = v alto = v laje cosθ y v v g v ( cos laje alto laje alto 9, 8 g m

40 E E mecp mec laje EmecP E mecsolo y U P K laje U laje K solo U solo Mas, y laje = v laje =6m/s mv laje mgy laje mv solo mgy solo P y solo =- m v v gy solo laje solo vsolo vlaje gysolo m / s

41 Eemplos Um pêndulo consste de bola de massa m presa a um o de comprmento L. A bola é largada do repouso, com o o azendo um ângulo θ. Quando passa pelo ponto neror, (a qual a rapdez da bola e (b a tensão no o. Despreze a resstênca do ar. Tomamos a pêndulo + Terra, como o sstema. P et E mec nc y U P h L cos ( Como não estem orças eternas ao sstema, et =. A tensão no o é uma orça nterna não-conservatva, mas como esta orça é perpendcular à trajetóro, nc = T =. Portanto, a Energa Mecânca do sstema se conserva. E mec E E

42 mv E E mec K U E mv mecp mecp mgy mgy Mas, y =-Lcosθ, v = e y =- L v v gl( cos E mec E gl( cos E No ponto nal T T P y U v T mg macp m L v m( g m[ g g( cos ] L mg 3cos ( P h L cos (

43 Eemplos Um bloco de massa kg, em uma superíce sem atrto é empurrado 3 cm contra uma mola (K= 5N/m. O bloco é lberado e a mola se descomprme. O bloco deslza e sobe um plano sem atrto, com ângulo de 45. Qual é a altura nal atngda pelo bloco sobre a rampa, ao parar. Tomamos a todos os elementos da gura + Terra, como o sstema. E et mec E K mec sst U Como não estem orças eternas ao sstema, et =. Como não estem orças nternas não-conservatvas, nc =. Portanto, a Energa Mecânca do sstema se conserva. nc sst E E

44 mv E E mgy k mv mgy y U k P Mas, v =, y =, v =, e = P k mgy k y, 5m mg

45 Eemplos O carrnho em uma montanha russa parte de uma altura H. Quando ele está entrando no loop, ca um saco de area sobre ele, que reduz a velocdade em 5%. Consdere que o loop tem metade da altura ncal e despreze os atrtos. O carrnho consegurá completar o loop? et = e nc = e a Energa Mecânca do sstema se conserva. mv mv 4R mv mgy mg E E mgy y et E mec v 8Rg v,75v,75 8Rg U P nc P 3 P

46 mv E E 3 mgy mv 3 mgy mv mv3 mgr v,75 8Rg 4Rg, 5Rg 3 v v O carrnho não completa o loop!!! 3 3 topo y U P P 3 P vtopo cep m R v n mg m R v topo gr topo Lmte para completar o loop n=

47 Eemplos Um trenó está deslzando no plano com uma rapdez ncal de 4, m/s. Se o coecente de atrto cnétco or,4, que dstânca o trenó percorrerá? Tomamos o trenó + Terra, como o sstema. et E mec nc E mec K sst U et = e nc. Portanto, a Energa Mecânca do sstema não se conserva. et E K mec U nc nc sst cmg at K cmg cmg at v m( v g c v mg c v g 5, 8 c m

48 Eemplos Uma crança com 4 kg desce por um escorregador de 4 m de altura, com nclnação de 3. O seu coecente de atrto cnétco é,35. Partndo do repouso no topo, qual é a sua velocdade ao chegar na base? Tomamos os elementos da gura + Terra, como o sstema. et E mec nc E mec K sst U et = e nc. Portanto, a Energa Mecânca do sstema não se conserva. K et U E nc mec K nc U at K sst m( v U mgh v at v mv h cs cmg cos sn cos gh( c sn