Conservação da Energia

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1 Conservação da Energia Prof. Oscar Rodrigues dos Santos Conservação da Energia 1

2 Energia Potencial (U) Energia = Propriedade de um sistema que lhe permite realizar trabalho... Potencial = Virtual, possível. Energia Potencial (U) é a energia armazenada que poderá ser convertida em energia cinética e portanto realizar trabalho. É a energia que um corpo possui em virtude de sua posição. Conservação da Energia

3 Energia Potencial Gravitacional Em qual das situações ao lado o haltere entra em movimento após ser solto? A Energia Potencial Gravitacional proporciona ao corpo a capacidade de entrar em movimento, que depende de sua altura h, distancia entre dois objetos que se atraem (Terra e haltere). Energia U mgh Potencial Gravitacinal Conservação da Energia 3

4 Energia Potencial e Trabalho Quando o corpo sobe de uma altura y1 para y, o trabalho da força da gravidade é dado por: W g Fd mg( y 1 y W mgh Tanto na subida quanto na descida, a variação da energia potencial gravitacional é definida como sendo igual a menos o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o tomate. U W ) Conservação da Energia 4

5 Exercício Energia Potencial e Trabalho 1. Uma preguiça de,0 kg está pendurada a 5,0 m acima do solo. Qual é a energia potencial U do sistema preguiça-terra se tomarmos o ponto de referência y = 0 com sendo (1) no nível do solo, () no nível da varanda que está à 3 metros acima do solo, (3) no galho e (4), 1,0 m acima do galho? Considere a energia potencial nula em y = 0. Conservação da Energia 5

6 Energia Potencial e Trabalho. Uma pessoa, situada no alto de um prédio cuja altura é de 8,0m deixa cair um vaso de concreto de 10,0 kg. Sendo A o ponto no alto do edifício, h A = 8,0m e o ponto B um ponto a uma altura h B =,0m, qual o trabalho realizado pela força peso do corpo no deslocamento de A para B? (Resp.: 588J) 3. Um carro de montanha-russa de massa m=85 kg atinge o topo da primeira elevação com uma velocidade v o = 17m/s a uma altura h = 4,0m. O atrito é desprezível. Qual o trabalho realizado sobre o carro pela força gravitacional desse ponto para o (a) ponto A, (b) ponto B e (c) ponto C? Se a energia potencial gravitacional do sistema carro- Terra for tomada como nula em C, qual será seu valor quando o carro estiver em (d) B e (e) A? Se a massa do carro fosse dobrada, a variação da energia potencial do sistema ente os pontos A e B aumentaria? Conservação da Energia 6

7 Energia Potencial Elástica Sistema massa-mola W 1 1 kx i kx f U 1 1 kx f kx i Se x i = 0 e x f = x 1 W kx U U Conservação da Energia 7 1 kx

8 Energia Potencial Elástica 5. Qual a constante elástica da mola que armazena 5 J de energia potencial quando comprimida 7,5 cm a partir de seu comprimento relaxado? 6. Suponha que para comprimir 30cm a mola da figura fosse necessário exercer sobre ela uma F=15 N. (a) Qual a constante da mola? (b) Considere x A =0cm e x B =10cm. Quais os valores da energia potencial elástica do corpo em A e em B? (c) Qual o trabalho que a mola realizou ao empurras o corpo de A para B? (Resp.: 50 N/m; 1J e 0,5J; 0,75J) Conservação da Energia 8

9 Conservação da Energia Mecânica Sistema Terra-partícula desconsiderando (a) (b) (c) v forças dissipativas 0 (d) (e) (f) v 0 v v 0 v 0 v v 0 v f De (a) à (c) a energia cinética é transferida da bola para o sistema bola-terra onde é armazenada como energia potencial (h cresce e v diminui). De (c) a (e) a energia potencial diminui e se transforma em energia cinética (h diminui e v cresce) U K mgh 1 mv Conservação da Energia 9

10 Conservação da Energia Mecânica Se não houver forças dissipativas a bola desceria e subiria eternamente. Temos que em qualquer estágio a soma da energia potencial U e da energia cinética K é constante. Esta constante é denominada energia mecânica E mec. E mec K U Temos que pelo teorema do trabalho-energia cinética: Temos também que: U W K U 0 K W K i U i K f U f Conservação da energia mecânica Conservação da Energia 10

11 Conservação da Energia Mecânica Se não houver forças dissipativas a energia mecânica se conserva e temos: A soma de K e U para qualquer estado de um sistema = A soma de K e U para qualquer outro estado de um sistema Em um dado sistema isolado onde apenas forças conservativas causam variações da energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas sua soma, a energia mecânica, E mec do sistema, não pode variar. 1 mv mgh Sistema Terra-partícula E mec Conservação da Energia 11

12 Conservação da Energia Mecânica Exemplo: Um corpo de massa m é abandonado a partir do repouso de um ponto situado a uma altura h acima do solo horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine a velocidade do corpo ao chegar no solo. Conservação da Energia 1

13 Conservação da Energia Mecânica Exercícios 7. O pêndulo simples da figura é abandoado do A ponto A. O fio é ideal e a resistência do ar é desprezada. São dados: m=0,, kg e L = 0,8m. Determine, para o instante em que a massa pendular estiver passando pelo ponto mais baixo de sua trajetória, ponto B (a) a sua velocidade escalar v e (b) a intensidade T da força que traciona o fio na parte mais baixa da trajetória. (Resp.: 4m/s; 5,96N) B v 8. No exercício 3 ( h=4m, m=85 kg, v 0 =17m/s), qual é a velocidade do carro (a) no ponto A, (b) no ponto B e (c) no ponto C? (d) A que altura chegará à última rampa, que é alta demais para ser ultrapassada? (Resp.: 17m/s; 6,5m/s; 33,4 m/s; 53,7 m) Conservação da Energia 13

14 Conservação da Energia Mecânica 9. Um bloco de massa kg é abandonado, a partir do repouso, no ponto A do trilho cujo perfil é representado na figura ao lado. Despreze os atritos R=7,5m. Determine (a) o valor mínimo da altura H para que o bloco não perca contato com o trilho de apoio. (b) Nas condições do item anterior, determine a intensidade da força que o trilho aplica no corpo quando este estiver passando pelo ponto C. (Res.: 18,75m; 60N) 10. Um bloco de massa 3 kg desliza sem atrito ao longo de um plano horizontal, como mostra a figura, e atinge uma mola de constante elástica k = 300 N/m. comprimindo-a 0cm até parar. Determine a velocidade do corpo no instante que atinge a mola (Res.: m/s). 11. Um bloco de massa 1kg, em repouso, comprime a mola em 0 cm com constante elástica k = 400N/m. A partir de determinado instante o bloco é lançado pela mola e desliza pelo plano horizontal e depois atinge o plano superior de altura h=0,6m. Qual a velocidade do bloco após subir a rampa? (Res.: m/s) Conservação da Energia 14

15 Conservação da Energia Mecânica 1. Uma criança de massa m parte no alto de um toboágua, a uma altura h=8,5m acima da base do brinquedo. Supondo que a presença da água torna o atrito desprezível, encontre a velocidade da criança ao chegar à base do toboágua. 13.Uma montanha-russa tem uma altura máxima de 30m. Considere um carrinho de 00kg colocado inicialmente em repouso no topo da montanha. (a) Qual energia potencial do carrinho, em relação ao solo, no instante inicial? (b) Qual a energia cinética do carrinho no instante em que a altura, em relação ao solo, é 15m? Conservação da Energia 15

16 Forças Conservativas e Não-Conservativas Uma força que é capaz de converter energia cinética em energia potencial e de fazer a conversão inversa denomina-se Força Conservativa. Exemplos: Força gravitacional, força elástica A força é conservativa se o trabalho realizado sobre uma partícula que percorre um circuito fechado é igual a zero, caso contrário é não conservativa. Ex: força gravitacional W total W total W subida W descida mgh mgh 0 Força Conservativa Já a força de atrito é não-conservativa. O trabalho de volta não possui sinal oposto ao de ida. W total W ida W volta 0 Força não-conservativa Conservação da Energia 16

17 Forças Conservativas e Não-Conservativas Um resultado importante deste teste de circuito fechado é que: O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula em movimento entre dois pontos independe de percurso seguido pela partícula. W W ab1 ab Conservação da Energia 17

18 Forças Conservativas e Não-Conservativas Exemplo: A figura mostra um pedaço de,0 kg de queijo que escorrega ao longo de uma superfície curva sem atrito do ponto a para o ponto b. O queijo percorre uma distância total de,0 m ao longo da superfície enquanto a distancia vertical é de 0,8m. Qual o trabalho realizado sobre o queijo pela força gravitacional durante o deslizamento? W h mgd cos 90 W 0 Wh Wv 16J 0 W v mgd cos 0 O trabalho total é igual ao trabalho gravitacional de um corpo no movimento de queda. Conservação da Energia 18

19 Calculo da Força a Partir da Energia Potencial O trabalho W realizado por uma força conservativa unidimensional F(x) que age sobre uma partícula quando a partícula percorre uma distância x é dado por: W F( x) x Neste caso a variação da energia potencial é dada por: U x W F xx F x U x No limite que x tende a zero: F x dux dx F x lim x0 U x Conservação da Energia 19

20 Calculo da Força a Partir da Energia Potencial E mec K x U x F x dux dx Conservação da Energia 0

21 Trabalho realizado por força de atrito Considere um bloco de massa m escorregando num piso horizontal e sujeito a uma força de atrito cinético constante e uma força constante F. F F res,x f ma c x ma Se as forças são constantes a aceleração também é constante. v v ad a v v 1 F c d 0 1 d f m v v0 Fd fcd mv mv0 E K Fd E f c d Conservação da Energia 1

22 Trabalho realizado por força de atrito O produto fd, onde f é a força de atrito cinético, é igual à variação ΔE de energia mecânica do sistema. O que significa f c d? Quando o bloco se move há aumento de temperatura e esta por sua vez está relacionada à energia térmica E t,, associada ao movimento aleatório dos átomos e moléculas do objeto. E t W f c d W E f E t W f =trabalho da força de atrito Conservação da Energia

23 Trabalho realizado por força de atrito Se não existir força externa: E t E K U Enegia Térmica na ausência de força externa Conservação da Energia 3

24 Trabalho realizado por uma força externa sobre o sistema Exemplo: Um operário empurra um engradado de repolhos ( massa total m=14kg) sobre um piso de concreto com uma força horizontal constante F de módulo 40N. Em um deslocamento retilíneo de módulo d = 0,50m, a velocidade do engradado diminui de v 0 = 0,6m/s para v = 0,m/s. a) Qual foi o trabalho realizado pela força F e sobre que sistema esse trabalho foi realizado? b) Qual é o aumento ΔE t da energia térmica do engradado e do piso? Conservação da Energia 4

25 Trabalho realizado por uma força externa sobre o sistema Trabalho é a energia transferida para um sistema ou de um sistema através de uma força externa que age sobre o sistema Quando mais de uma força age sobre o sistema o trabalho total dessas forças é a energia transferida para o sistema ou retirada do sistema. Esta transferência é governada pelo teorema trabalho-energia cinética. K W Conservação da Energia 5

26 Conservação de energia a) Sistemas não isolados W Trabalho K U E W E E feito W 0 t por uma t E E Et Eint 0 Sistema isolado E int int força externa ΔE int é a variação da energia interna do sistema. W<0: O sistema realizou trabalho sobre corpos externos. W>0: Forças externas realizaram trabalho sobre o sistema. b) Sistemas isolados Em um sistema isolado, a energia pode ser transformada de uma forma para outra, mas a energia total do sistema permanece constante. E f E i E E t int Conservação da Energia 6

27 Trabalho realizado por força de atrito f KE = energia cinética PE = energia potencial TME = energia mecânica total W f = trabalho da força de atrito Conservação da Energia 7

28 Conservação de Energia Exemplo: Um pacote de,0kg de pamonha depois de deslizar ao longo do piso com velocidade v i =4m/s, choca-se com uma mola, comprimindoa até ficar momentaneamente em repouso. Até o ponto em que o pacote entra em contato com a mola inicialmente relaxada o piso não possui atrito, mas enquanto o pacote está comprimindo a mola o piso exerce atrito sobre o pacote com uma força de atrito cinético de 15N. Se k=10 000N/m, qual é a variação d do comprimento da mola entre o instante em que começa a ser comprimida e o instante em que o pacote pára? Conservação da Energia 8

29 Conservação de Energia 14. O bloco de massa kg movimenta-se com velocidade de 10m/s e sobe a rampa alcançando o plano horizontal superior a 3,m. Durante a subida da rampa AB, devido ao atrito, 0% da energia mecânica inicial do bloco é dissipada. Qual a velocidade do bloco após atingir o plano superior?(4m/s) 15. Um corpo de massa kg desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade de 10m/s. A partir de determinado instante o corpo penetra numa região onde existe atrito e, após deslizar por mais algum tempo, acaba parando. Determine a quantidade de energia dissipada pelo atrito. (100J) 16. Um bloco desliza ao longo de uma pista indo de um certo nível para um nível mais elevado, atravessando um vale intermediário. A pista possui atrito desprezível até que o bloco atinja o nível mais alto. Daí por diante, uma força de atrito faz com que o bloco pare em uma distancia d. Ache d sabendo que a velocidade inicial do bloco é igual a 6m/s e a diferença de altura é de 1,1m e o coeficiente de atrito 0,6. Conservação da Energia 9

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