Notas de Aula de Física

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1 Versão prelmnar 7 de setembro de Notas de Aula de Físca 7. TRABAO E ENERGIA CINÉTICA... MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO COM FORÇA CONSTANTE... TRABAO EXECUTADO POR UMA FORÇA VARIÁVE... Análse undmensonal... 3 Análse trdmensonal... 4 TRABAO REAIZADO POR UMA MOA... 4 UMA PARTÍCUA EM QUEDA IVRE... 6 ENERGIA CINÉTICA... 7 TEOREMA DO TRABAO - ENERGIA CINÉTICA... 7 POTÊNCIA... 7 Potênca méda... 7 Potênca nstantânea... 8 SOUÇÃO DE AGUNS PROBEMAS

2 Pro. Romero Tavares da Slva 7. Trabalho e energa cnétca Podemos denr trabalho como a capacdade de produzr energa. Se uma orça executou um trabalho sobre um corpo ele aumentou a energa desse corpo de. Esse denção, algumas vezes parece não estar de acordo com o nosso entendmento cotdano de trabalho. No da-a-da consderamos trabalho tudo aqulo que nos provoca cansaço. Na Físca se usa um conceto mas especíco. Movmento em uma dmensão com orça constante F F θ d F d d Fd cosθ F d O trabalho realzado por uma orça constante é dendo como o produto do deslocamento sordo pelo corpo, vezes a componente da orça na dreção desse deslocamento. Se você carrega uma plha de lvros ao longo de uma camnho horzontal, a orça que você exerce sobre os lvros é perpendcular ao deslocamento, de modo que nenhum trabalho é realzado sobre os lvros por essa orça. Esse resultado é contradtóro com as nossas denções cotdanas sobre orça, trabalho e cansaço Trabalho executado por uma orça varável Para uma análse ncal, vamos consderar o gráco do trabalho versus deslocamento para uma orça constante que atua na dreção do deslocamento. Como o dendo anterormente F d que é a área debaxo da curva, ou seja o retângulo compreenddo entre as posções ncal e nal vezes o valor da orça aplcada. Ou seja: 4. (3,8 - ) 7Joules Cap 7

3 Pro. Romero Tavares da Slva Análse undmensonal Quando está atuando sobre um corpo uma orça varável que atua na dreção do deslocamento, o gráco da ntensdade da orça versus o deslocamento tem uma orma como a da gura ao lado. O trabalho executado por essa orça é gual a área abaxo dessa curva. Mas como calcular essa área se a curva tem uma orma genérca, em prncípo? Uma prmera aproxmação para o cálculo dessa área sera dvdr a área a ser calculada em pequenos retângulos, como esses pontlhados da gura ao lado. A área abaxo da curva contínua sera aproxmada pelo retângulo dendo pela reta pontlhada. Se chamarmos o trabalho entre as posções e,6 de δ, teremos como aproxmação para esse trabalho o produto da orça F(x ),7 vezes o deslocamento δx,6 -,,6. Ou seja: δ F(x )δx O trabalho total, ao longo de todo o percurso consderado será a soma dos trabalhos de cada pequeno percurso: δ F(x )δx A aproxmação da curva pelos retângulos va car tanto mas próxma do real quanto mas subdvsões consderarmos. E no lmte em que δx or muto pequeno a aproxmação será uma gualdade. Ou seja: m x F( x )δx A equação anteror é a própra denção de ntegral, e desse modo o trabalho executado por uma orça varável entre uma posção ncal e uma posção nal será: F( x) dx Cap 7 3

4 Pro. Romero Tavares da Slva Análse trdmensonal Vamos consderar uma orça F (r ) que atua em um corpo de massa m, ao longo de uma trajetóra que va do ponto ncal até o ponto nal, ao longo de uma curva C C F( r ) dr onde a ntegração é consderada ao longo da trajetóra usada pelo corpo. F (r ) d r e De modo geral a orça é consderada como: F( r ) ˆ F ( x, y, z) jˆ F ( x, y, z) kˆ F ( x, y, z) x y dr ˆ dx jˆ dy kˆ dz z [ F ( x, y, z) dx F ( x, y, z) dy F ( x, y, z dz] x y Z ) onde a ntegração é eta ao longo da curva C que dene a trajetóra do corpo. Trabalho realzado por uma mola Vamos analsar o movmento de um sstema composto por um bloco de massa m que está sobre uma superíce horzontal sem atrto, e tem preso a s uma mola. A outra extremdade da mola está xa. Quando a mola está num estado relaxado ela não está dstendda ou comprmda. Nessa stuação ela não exerce orça alguma no bloco. Mola relaxada x Quando o bloco se desloca da posção relaxada ou de equlíbro a mola exerce sobre ele uma orça restauradora que para que ele retorne à posção de equlíbro orgnal. Quando o deslocamento é na parte postva do exo x a orça restauradora aponta para o sentdo negatvo desse exo, e quando o deslocamento se dá na parte negatva do exo x a orça restauradora aponta para o sentdo postvo desse exo. Cap 7 4

5 Pro. Romero Tavares da Slva Quando o deslocamento do bloco é muto pequeno em comparação à dmensão da mola podemos consderar o que é chamado de pequenas osclações, e neste caso podemos dzer que a orça restauradora é proporconal ao deslocamento do bloco em relação à sua posção de equlíbro. essa aproxmação é também conhecda como e de ooke, e pode ser expressa do segunte modo: F k r onde chamamos k de constante elástca da mola. Mola dstendda x Se o bloco se deslocou na parte postva do exo x, temos que a orça aponta para o sentdo negatvo do exo: F k x ˆ r ˆ x e portanto Mola comprmda x e por- Se o bloco se deslocou na parte negatva do exo x, temos que tanto a orça aponta para o sentdo postvo do exo: F k x ˆ. r ˆ x O trabalho realzado pela mola para levar o corpo de uma posção ncal até uma posção nal será: F dr ( kr ) dr Cap 7 5

6 Pro. Romero Tavares da Slva Como o deslocamento se dá no exo x, temos que: r x ˆ r dr dr dx ˆ x dx logo, o trabalho realzado pela mola será k x dx x k x x k ( x x ) Uma partícula em queda lvre Quando uma partícula se movmenta sob a ação da gravdade, esta é a únca orça que nela atua. Quando a partícula estver subndo, o deslocamento elementar d r e a orça peso têm sentdos contráros, logo o trabalho executado pela orça peso entre as posções ncal e nal será: ( mg jˆ ) ( jˆ dy ) mg - mg ( y - y ) Quando a partícula estver descendo, o deslocamento elementar d r e a orça peso têm mesmo sentdo, logo o trabalho executado pela orça peso entre as posções ncal e nal será: ( mg jˆ ) ( jˆ dy ) mg dy dy Partícula subndo y nal d r m g níco Partícula descendo y níco d r m g mg ( y - y ) Quando a partícula está subndo a orça peso executa uma trabalho negatvo, e como conseqüênca dmnu a energa cnétca da partícula. Por outro lado, quando a partícula está descendo a orça peso executa uma trabalho postvo, e como conseqüênca aumenta a energa cnétca da partícula. nal Cap 7 6

7 Pro. Romero Tavares da Slva Energa cnétca Dene-se a energa cnétca de uma partícula de massa m que vaja com velocdade v, como: K mv Mostraremos adante que o trabalho realzado pela resultante de orças que atua em uma corpo é gual à varação da sua energa cnétca, ou seja: K K - K Teorema do trabalho - energa cnétca Consdere uma partícula de massa m que se move sob a ação de uma resultante de orças F. O trabalho realzado por esta orça dobre a partícula será: mas, por outro lado F( x) dx ( ma) dx ou seja: Consderando que temos Potênca dv dt dv dx dt dt dx dv dt dt ( ma ) dx m dx m dt m dt ( mv )( dv) mvdv mv K K Cap 7 7 mv K mv K mv A potênca mede a capacdade de um sstema produzr (ou absorver) energa. Ela é a razão entre a energa produzda (ou absorvda) e o ntervalo de tempo necessáro para essa produção (ou absorção). Dependendo do nosso nteresse ou dos nossos nstrumentos podemos desejar medr a potênca méda ou potênca nstantânea. Potênca méda Nos dá a medda da energa produzda (ou absorvda) num certo ntervalo de tempo t. P t

8 Pro. Romero Tavares da Slva Potênca nstantânea Nos dá a medda da energa produzda (ou absorvda) num ntervalo de tempo muto pequeno, daí nstantânea. É útl quando queremos acompanhar a produção (ou absorção) de energa de manera precsa. d F dr P m t t dr P F dt d dt P F v Cap 7 8

9 Pro. Romero Tavares da Slva Solução de alguns problemas Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 4 Um objeto de kg está ncalmente movendo-se em lnha reta com uma velocdade de 53m/s. Se ele sore uma desaceleração de m/s até car móvel: a) Qual a ntensdade da orça utlzada? F P N ma Decompondo as orças segundo exos cartesanos, encontramos: F N v v ogo: F ma N P F ma 4N P d b) Qual a dstânca que o objeto percorreu antes de parar? v v v ad d 7,5m a c) Qual o trabalho realzado pela orça de desaceleração? Podemos calcular o trabalho de duas maneras equvalentes: F d Fd K mv Joules Cap 7 9

10 Pro. Romero Tavares da Slva Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 9 A gura ao lado mostra um conjunto de polas usado para acltar o levantamento de um peso P. Suponha que o atrto seja desprezível e que as duas polas de baxo, às quas está presa a carga, pesem juntas N. Uma carga de 84N deve ser levantada m. a) Qual a orça mínma F necessára para levantar a carga? Ao puxar a corda exercendo a orça N, executaremos um certo trabalho. Ao elevar o peso P, o conjunto de roldanas executará, também, um certo trabalho. Esses dos trabalhos serão guas, pos a energa em questão é aquela que ornecemos ao atuar com a orça F. A orça mínma que o conjunto de roldanas deve azer atuar sobre o corpo para elevá-lo com velocdade constante de uma altura é gual ao peso do corpo, logo: P T P F Para elevar o corpo de uma altura, deveremos puxar a corda ( com F ) de um comprmento, logo: F e como esses trabalhos são guas: P F F P Para descobrr qual a relação entre e deste problema, vamos azer uma analoga com outros tpos de arranjos de roldanas. F P F / F P/ F /3 F P/3 F Cap 7

11 Pro. Romero Tavares da Slva No arranjo mas smples, o da esquerda da gura anteror, temos corda e um trante. No arranjo segunte temos cordas e um trante e no tercero arranjo temos 3 cordas e um trante. No nosso problema temos 4 cordas e um trante, logo: /4 F P/4 ( 84 )/4 5N b) Qual o trabalho executado para levantar a carga até a altura de m? P (84 ).3Joule c) Qual o deslocamento da extremdade lvre da corda? 4 48m d) Qual o trabalho executado pela orça F para realzar esta tarea? F.3Joules Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção Uma arca de 5kg é empurrada por uma dstânca de 6m, com velocdade constante, numa rampa com nclnação de 3 por uma orça horzontal constante. O coecente de atrto cnétco entre a arca e a rampa é,. a) Calcule o trabalho realzado pela orça aplcada. Como a arca se move com velocdade constante, a aceleração é nulo e portanto: F a F P N Decompondo as orças, encontramos: N P cosθ F P senθ F a y N F F a d θ P x Mas F a µ C N, logo F F a - P senθ µ C N P senθ F P ( senθ µ C cosθ ) F F d F d.979,joule Cap 7

12 Pro. Romero Tavares da Slva b) Calcule o trabalho realzado pelo peso da arca. P P d - P d senθ -.47Joules c) Calcule o trabalho realzado pela orça de atrto. F d - Fa d µ C N d µ C P d cosθ -59, a a É ácl perceber que é nulo o trabalho executado pela resultante de orças. Podemos mostrar sso de dversas maneras: R ( F P F ) a N d F P a N O trabalho executado pela normal é nulo pos ela é perpendcular ao vetor deslocamento. R K Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 7 Qual o trabalho realzado por uma orça F x ˆ 3 ˆ j (em Newtons), onde x está em metros, que é exercda sobre uma partícula enquanto ela se move da posção ncal ˆ 3 jˆ (em metros) até a posção nal 4 ˆ 3 ˆj (em metros)? r r (, 3 ) r ( -4, -3 ) Como não o menconada a trajetóra, podemos escolher dversos percursos para a partícula entre os pontos ncal e nal. Vamos calcular o trabalho usando duas trajetóras: a reta que une os dos pontos e uma parábola que passa por eles. Como já o dto anterormente: F dr C [ F ( x, y) dx F ( x, y dy] x y ) a) Vamos consderar ncalmente a trajetóra retlínea y(x) x A mposção da trajetóra no cálculo da ntegral acontece quando usamos na orça e nas derencas a dependênca y(x) denda pela trajetóra. dy F dr Fx ( x, y( x)) dx Fy ( x, y( x)) dx dx Teremos desse modo, todo o ntegrando como unção de x. Cap 7 r

13 Pro. Romero Tavares da Slva Neste problema: logo F x ˆ 3 ˆ dy j e dx F dr x dx 3dx ( x 3)dx ( x 3) dx x 3x ( 6 4) 3( 4 ) 8 J 6 b) Vamos consderar ncalmente a trajetóra parabólca y - x / 5. Neste problema: F x ˆ 3 jˆ F dr x dx 3 e dy dx x ( x) dx x dx 4 4 x x dx ( 6 4) 6J Não o por acaso que o resultado do trabalho executado entre dos pontos, por essa orça, não dependeu da trajetóra. Exste uma categora de orças - chamadas orças conservatvas - para as quas o trabalho entre dos pontos só depende desses pontos. De modo geral, uma orça F ( r, t) rotaconal é nulo, ou seja: F ( r, t) Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção é conservatva quando o seu 6 Uma orça únca age sobre um corpo que está se movendo em lnha reta. A gura a segur mostra o gráco da velocdade em unção do tempo para esse corpo. Determne o snal (postvo ou negatvo) do trabalho realzado pela orça sobre o corpo nos ntervalos AB, BC, CD e DE AB Neste ntervalo a curva é uma reta, que passa pela orgem, e portanto a velocdade é uma unção crescente do tempo até atngr um certo valor v, e tem a orma: v a t O movmento é undmensonal e a velocdade é crescente, logo a orça atua na dreção do deslocamento e desse modo: - v B C A D t t t t 3 t 4 E AB F d Fd > Cap 7 3

14 Pro. Romero Tavares da Slva BC CD Neste ntervalo a velocdade é constante v, logo a aceleração é nula e portanto a orça resultante também é nula. Consequentemente o trabalho da orça resultante será nulo: BC Neste ntervalo a velocdade é decrescente, ncando o ntervalo com valor v e termnando com velocdade nula. A orma unconal é do tpo: v v - a ( t - t ) onde a >. O movmento é undmensonal e a velocdade é decrescente, logo a orça atua na dreção contrára ao deslocamento e desse modo: CD F d Fd < DE Neste ntervalo o corpo começa a recuar, com a mesma aceleração a do ntervalo anteror. v - a ( t - t 3 ) O módulo da velocdade aumenta e ela assume valores negatvos cada vez maores. Ao contráro do tem anteror, o corpo está sendo acelerado e temos orça e deslocamento no mesmo sentdo. DE F d Fd Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 7 Uma manguera de ncêndo é desenrolada puxando-se horzontalmente uma de suas extremdades ao longo de uma superíce sem atrto com velocdade constante de,3m/s. A massa de m de manguera é,5kg.qual a energa cnétca ornecda para desenrolar m de manguera? A orça F é uma orça varável porque à medda que a manguera é desenrolada uma maor parte dela passa a se movmentar em contato com o solo e atrtando-se com ele. Como o atrto va aumentado a orça externa deve aumentar para que a manguera desenrolada tenha velocdade constante. N P F F a F F N P a F F a µ N µ P C C > N F a F P F Cap 7 4

15 Pro. Romero Tavares da Slva onde P é a parte da manguera que está em movmento. A densdade lnear de massa λ da manguera é passível de ser calculada: M λ,5kg/m Quando a manguera tver um comprmento x desenrolado e em movmento, o peso dessa parte será P(x) onde: P(x) λ g x Então: F(x) µ C λ g x O trabalho será: F( x) dx µ Cλ g x dx µ Cλ g o o Apesar do enuncado ter nduzdo uma solução nessa dreção, não se pode resolver desse modo pos não se conhece o coecente de atrto µ C entre a manguera e o pso. No entanto a solução é muto mas smples E noutra dreção, já que não se pedu o trabalho para vencer o atrto enquanto se desenrola, mas para se vencer a nérca. O trabalho da orça resultante é gual à varação da energa cnétca. Exste uma orça, e não é essa orça F menconada, responsável por trar do repouso, aos poucos - nntesmalmente, cada parte da manguera. Ela atua por um nstante O trabalho que ela produz é aquele necessáro para colocar TODA a manguera em movmento de velocdade constante. λ K Mv ( ) v 7,935Joules Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 3 Um homem que está apostando corrda com o lho, tem a metade da energa cnétca do garoto, que tem a metade da massa do pa. Esse homem aumenta a sua velocdade em m/s e passa a ter a mesma energa cnétca da crança. Quas eram as velocdades orgnas do pa e do lho? Vamos equaconar as váras normações ornecdas:. K K G M V MGVG. M M G M M G. M ( V ) M GVG Usando. e. encontramos: Cap 7 5

16 Usando. e. encontramos: Pro. Romero Tavares da Slva 4 G ( M ) G V MGVG V VG V VG M G G G ( )( V ) M V ( V ) Usando os dos últmos resultados, encontramos: V 4 e nalmente: ( V ) ( V ) V V V,4m/s e V G 4,8m/s Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 37 Um caxote com uma massa de 3kg está pendurado na extremdade de uma corda de m de comprmento. Ele é empurrado com uma orça horzontal varável F, até deslocá-lo de 4m horzontalmente. a) Qual o módulo de F quando o caxote se encontra na posção nal? Vamos consderar que o caxote é deslocado com velocdade constante. Nada o menconado à respeto, então escolheremos a stuação mas smples, pos nesse caso a aceleração será nula. Sendo assm, a segunda e de Newton terá a orma: T F P θ y T F x Decompondo essas orças, encontramos: F T senθ T cosθ P s P Mas T T senθ cosθ F P tanθ F P tanθ s s s tanθ F P r 796,9N s s b) Qual o trabalho total executado sobre o caxote? Como a resultante de orças é nula, o trabalho executado por essa orça é nulo. Cap 7 6

17 Pro. Romero Tavares da Slva c) Qual o trabalho executado pela corda sobre o caxote? O trabalho elementar executado pela orça F é dado por: d F F dr F dr cosα Mas já o mostrado que F P tanα e podemos observar que logo dr dα d F ( P tanα) ( dα) cosα α F F d F P senα dα θ d P senα dα F ( ) P cosα θ P cosθ Se consderarmos como a altura que o caxote o elevado: s d r F α e então Mas como temos - cosθ ( - cosθ ) F P m g s ( cos ) θ s,686m F m g.546,9joules d) Qual o trabalho executado pelo peso do caxote? O trabalho elementar executado pela orça P é dado por: d P P dr F dr cos α 9 ( ) α d P P senα dr θ P dp P P senα dα senα dα P - m g -.546,9Joules F α P d r Cap 7 7

18 Pro. Romero Tavares da Slva Capítulo 7 - allday, Resnck e alker - 4 a. edção 38 Um bloco de 5g é dexado car sobre uma mola vertcal com uma constante de mola k,5n/cm. A compressão máxma da mola produzda pelo bloco é de cm. a) Enquanto a mola está sendo comprmda, qual o trabalho executado pela mola? F M y d r y y m 5g,5kg k,5n/cm 5N/m cm,m O trabalho é dendo como: F dr O elemento de ntegração d r tem comprmento nntesmal e aponta na dreção de ntegração, portanto neste caso teremos dr jˆ dy. Como o dendo anterormente, a orça que a mola exerce no objeto é dada pela e de ooke: F M k y jˆ e o trabalho executado por essa orça será: M ( k y ˆj ) ( ˆj dy) k y dy k d -,8J b) Enquanto a mola está sendo comprmda, qual o trabalho executado pelo peso do bloco? P m g jˆ m g ( j m g) ( ˆj dy ) mg dy mg P d ˆ,94J Cap 7 8

19 Pro. Romero Tavares da Slva Cap 7 9 c) Qual era a velocdade do bloco quando se chocou com a mola? O trabalho executado pela orça resultante é gual a varação da energa cnétca. A orça resultante é: P F F M R e o trabalho executado por essa orça será: ( ) P M M M R R K dr P dr F dr P F dr F m v mv K K K K R R 3,47m/s d) Se a velocdade no momento do mpacto or multplcada por dos, qual será a compressão máxma da mola? Suponha que o atrto é desprezível. Vamos consderar que nessa nova stuação a mola se comprmrá de. Reazendo o racocíno anteror, temos: ( ) mv v m K mg k R 4 k mv k mg mv mg k A únca solução postva dessa equação é:,3m

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