S.A ; TIPLER, P. A.; MOSCA, G.

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1 Rotação Nota Alguns sldes, fguras e exercícos pertencem às seguntes referêncas: HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos da Físca. V 1. 4a.Edção. Ed. Lvro Técnco Centífco S.A. 00; TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Físca. Volume 1, 5a Ed, Ro de Janero: LTC - Lvros Técncos e Centífcos, 006; da Slva, E. Z, et al., Curso de Físca Geral F-18 ; 1

2 O que fo vsto até agora? Cnemátca do ponto; Les de Newton 1 a le (referencas); a le (F r =ma); 3 a le (forças de ação e reação); Sstemas de mutas partículas; Conservação do momentum lnear. Movmento de translação E a rotação??

3 Corpo rígdo x Rotação O corpo rígdo é aquele no qual a dstânca entre duas partículas quasquer é fxa; exo de rotação Estamos nteressados em estudar a rotação de um corpo rígdo em torno de um exo fxo qualquer; O exo de rotação não precsa ser um dos exos de smetra do corpo. 3

4 Corpo rígdo x Rotação A lnha de referênca é perpendcular ao exo de rotação e fxa ao corpo. O seu deslocamento defne o ângulo de rotação do corpo rígdo. exo de rotação O sentdo da rotação é dado pela regra da mão dreta. O ângulo aumenta em uma rotação no sentdo ant-horáro e vce-versa. Obs: Normalmente, escolhe-se o exo z, como exo de rotação, e o exo x como a posção ncal da lnha de referênca. 4

5 Cnemátca da rotação Cada ponto (ou partícula) do corpo rígdo executa movmento crcular. Consdere o movmento da -ésma partícula P da superfíce de um dsco. A dstânca percorrda pela partícula quando o dsco gra de um ângulo dθ, será ds r d ( em radanos) Tanto a dstânca percorrda, ds, quanto a dstânca em relação ao exo de rotação, r, varam de uma partícula para outra. Porém, o deslocamento angular, dθ, é o mesmo para qualquer partícula do dsco. 5

6 Cnemátca da rotação Se o dsco der uma volta completa em torno de seu exo de rotação, a partícula P terá percorrdo a dstânca s r Assm, o deslocamento angular θ, será r r rad 360 o 1rev 6

7 Como dθ é o mesmo para todas as partículas do corpo rígdo, sua taxa de varação temporal, chamada de velocdade angular, ω, também será. Assm, defnmos a velocdade angular do dsco como Rotação sentdo ant-horáro: Cnemátca da rotação d dt θ aumenta ω > 0 Rotação sentdo horáro: θ dmnu ω < 0 A undade de ω é radanos por segundo, porém, como radano é admensonal, a dmensão da velocdade angular é o nverso do tempo [T] -1. 7

8 Cnemátca da rotação A taxa de varação temporal da velocdade angular é conhecda como aceleração angular, α, e é dada por ω crescente ω > 0 ou ω < 0 α > 0 α < 0 d dt d dt ω decrescente ω > 0 α < 0 ou ω < 0 α > 0 A undade de α é radanos por segundo ao quadrado, porém, como radano é admensonal, a dmensão da aceleração angular é o nverso do tempo ao quadrado [T] -. 8

9 Movmento crcular unformemente acelerado ) (0 (0) 0 e t t e t Faremos MCUA constante Comparando com o movmento lnear ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( t a t e t v t t x t Rotação 9 ) ( 0 0 t dt t t ) ( ' ') ( ' ') ( ) ( t t dt t dt t t t t (1) () Colocando t em evdênca em (1) e substtundo em (), teremos etc...

10 Exemplo Exercíco 11.6P, Cap.11, Hallday, 4ª. Ed. t 0 0 ( t) ( t') dt' 4 3 ( t) 0 at bt 10

11 Exemplo ( t) ( t) (c) Se a = 0 rad/s 5 e b = 7 rad/s 4, quantas voltas a roda terá dado após 4s? Consdere ω 0 = rad 581x( ) rad 5 4 A roda gra 581 voltas em 4s. 0 t 0 0 t t 0 ( t') dt' 4 ( t) 0 0 at' bt' 0 3 dt' 5 4 t t a b

12 Relação com as varáves lneares Velocdade lnear da -ésma partícula v t, ds dt onde v t, é tangente à curva de movmento da partícula. v t, v t vesus w v t, ds dt r d dt r d dt v t, r 1

13 Relação com as varáves lneares Aceleração tangencal da -ésma partícula a t, dv dt t, r d dt Aceleração centrípeta da -ésma partícula a c, a t, v t, r r r r a t, a c, a t, a c, r 13

14 Exemplo f P N e, máx F c en Ma c Mg e M Rw max w eg max R 14

15 Exemplo Determne a aceleração tangencal da moeda (e do dsco) até o nstante antes da moeda escorregar. Consdere que o dsco estava ncalmente em repouso e que realzou 10 revoluções completas até atngr a velocdade angular w max, em um MCUA. w f w f wmax eg 10 40R a t R a t R eg 40R eg 40 15

16 Energa Cnétca de Rotação Energa cnétca da -ésma partícula K 1 m v 1 m ( r ) Energa cnétca de um sstema de partículas será a soma da energa cnétca das partículas do sstema. Ou seja, K 1 m ( r 1 ) mr A quantdade entre parênteses, no termo à dreta, é conhecdo como momento de nérca I do sstema, em torno do exo de rotação. Esta quantdade é o equvalente à massa na rotação. I m r K 1 I 16

17 NOTA Rotação Cálculo do Momento de Inérca I m r Momento de nérca de um sstema dscreto de partículas No caso de um corpo rígdo, devemos consderar que o corpo é composto por partículas de massa nfntesmal, m dm de forma que a somatóra acma torna-se a ntegral I r dm dm dl em 1D da em D dv em 3D Para corpos cujas massas são dstrbuídas unformemente: m L m A m V constante constante constante 17

18 Exemplos Calcular o momento de nérca de 4 partículas de massa m nas extremdades de um retângulo formado por hastes de massa desprezível, conforme fgura abaxo. 1o. Caso: exo passando pelo ponto médo das hastes de comprmento a I m r 4ma b a o. Caso: exo passando por duas massas ao longo do lado de comprmento b I m m r ( 0) m(0) m(a) m(a) 8ma 18

19 Anel unforme de massa M, em torno do exo perpendcular passando pelo seu centro I ou I M R R dm M dm R d R M R d MR 0 M M dm r dr R R I r dm R Dsco unforme, de massa centro dm R 0 r R M R r dr Exemplos M R dmmr 4 r 4 R 0 1 MR d R dr R dl R d M, em torno do exo perpendcular passando pelo seu r da r dr 19

20 Exemplos Clndro sóldo unforme, de massa M, em torno de seu exo central. Podemos aprovetar o resultado obtdo para um dsco unforme. Vamos consderar que o clndro é consttuído por város dscos emplhados, de massa dm. Assm o momento de nérca, di, de cada dsco será ½dmR. Somando o momento de nérca de todos os dsco, teremos dm I di 1 dmr 1 R dm 1 I MR 0

21 Tabela de momentos de nérca 1

22 O teorema dos exos paralelos No capítulo anteror, vmos que a energa cnétca de um sstema de partículas pode ser escrto da forma K 1 Mv cm K rel onde K rel é a energa cnétca das partículas em relação ao centro de massa. Consdere que um corpo rígdo gre com uma velocdade angular, ω, em torno de um exo qualquer, a uma dstânca h de um exo paralelo que passe pelo CM. Quando o corpo gra de um ângulo dθ, em relação ao exo de rotação, ele também grará de dθ em relação a qualquer outro exo paralelo (ver próxmo slde).

23 Rotação de 90º em torno do exo O θ,o = 0 o θ,cm = - α θ f,o = 90 o θ f,cm = 90 o - α θ o = θ cm = 90 o O cm P θ = 0 o 3

24 Rotação de 60º em torno do exo O θ,o = 0 o θ,cm = - α θ f,o = 60 o θ f,cm = 60 o - α cm P θ o = θ cm = 60 o cm O P 4

25 5

26 O teorema dos exos paralelos O movmento do corpo, em relação ao centro de massa, será então uma rotação com velocdade angular ω. Desta forma, a energa cnétca relatva ao CM será Krel I cm onde I cm é o momento de nérca do corpo em relação ao CM. 1 Mv cm 1 M A energa cnétca do corpo será 1 cm rel 1 1 Por sua vez, a velocdade tangencal do CM relatva ao exo de rotação é v cm = hω. Assm, a energa cnétca do CM será K Mv como K K 1 I Mh 1 ( h) M h 1 I I cm Mh 1 ( Mh Icm) I cm I 6

27 Exemplo Clndro sóldo unforme, de massa M, em torno do exo que passa pela geratrz. Rotação 7

28 Exemplo Clndro sóldo unforme, de massa M, em torno do exo que passa pela geratrz. Como o centro de massa do clndro está sobre seu exo central, o momento de nérca do corpo em relação ao CM será I cm 1 MR Assm, o momento de nérca que em torno de exo passando pela geratrz será I Mh Icm MR 1 MR I 3 MR 8

29 ª Le de Newton para a Rotação A rotação de um corpo depende de como as forças são aplcadas. Forças aplcadas na dreção tangencal (dametralmente opostas): o dsco gra! Forças aplcadas na dreção radal: o dsco não gra! 9

30 ª Le de Newton para a Rotação Consdere uma partícula, presa a uma barra sem massa, grando em torno de um exo, conforme fgura ao lado. Aplcando a ª Le de Newton para a componente tangencal da força, teremos Ft ma t Fazendo a t = rα e multplcando-se ambos os lados por r (dstânca entre a partícula e o exo de rotação), teremos. rf t ( mr ) I Onde I é o momento de nérca da partícula. O produto à esquerda, rf t, é conhecdo como torque, τ, e é o equvalente à força na rotação. Ou seja, F t r I 30

31 ª Le de Newton para a Rotação Para um corpo rígdo, podemos escrever o torque resultante (assocado à força resultante) aplcado à -ésma partícula com massa dm, como d r dm, res Para todo o corpo rígdo, devemos somar o torque devdo à todas as partículas nfntesmas. Assm, d, res r dm r dm I Da mesma forma que a força resultante sobre um sstema é devdo à soma das forças externas atuando sobre ele, o torque resultante também será. Ou seja I res, ext ª Le de Newton para a Rotação 31

32 Cálculo do torque ou F t Fsen F r Frsen t rsen Frsen F onde o braço (ou alavanca) l é a dstânca perpendcular entre O e a lnha de ação. F t no mesmo sentdo do movmento: τ >0 F t no sentdo contráro ao movmento: τ < 0 3

33 Exemplo: Torque devdo à Gravdade Força gravtaconal sobre a -ésma partícula com massa dm: df g, dmg As forças gravtaconas sobre cada partícula exerce um torque em torno do exo de rotação (ver próxmo slde). O torque gravtaconal resultante no corpo é a soma de todos estes torques nfntesmas. Podemos calcular o torque gravtaconal, consderando que todo o peso esteja concentrado em um únco ponto: o centro de gravdade. 33

34 Torque gravtaconal34

35 torque máxmo torque máxmo torque mínmo (=0) F r t F 35

36 CG torque máxmo torque máxmo torque mínmo (=0) F r t F 36

37 Pergunta 1: O movmento abaxo é possível? O movmento dependerá da localzação do centro de gravdade. Se o centro de gravdade estver à dreta do exo de rotação, o movmento será horáro. Caso contráro, o movmento será anthoráro. No exemplo abaxo, o centro de gravdade está a esquerda do exo de rotação, ocasonando um movmento ant-horáro. Pergunta : Qual é o movmento do corpo se o centro de gravdade estver sobre a lnha vertcal que passa pelo exo de rotação? O corpo não se moverá! 37

38 Exemplo: Torque devdo à Gravdade O torque sobre a -ésma partícula com massa dm, devdo à gravdade será: d r df g, t F g dmgx onde x é o braço (ou alavanca) da força gravtaconal sobre a -ésma partícula. Para um corpo rígdo, podemos escrever o torque gravtaconal como sendo a soma de todos os torques nfntesmas sobre as partículas do corpo. Ou seja, d grav x gdm 38

39 Exemplo: Torque devdo à Gravdade Próxmo à superfíce, podemos consderar a gravdade constante (campo gravtaconal unforme), de forma que teremos grav x dm g Mx g cm Mgx grav cm O torque pode ser calculado como se todo o peso estvesse concentrado no centro de massa. Ou seja, em um campo gravtaconal unforme, o centro de gravdade e o centro de massa de um corpo concdem. 39

40 Exemplo Máquna de Atwood com uma pola com massa Consdere uma máquna de Atwood, onde a pola possua uma massa M e possa ser consderada um dsco unforme, conforme fgura abaxo. Qual a aceleração dos blocos? Despreze o atrto sobre o sstema. 40

41 Máquna de Atwood com uma pola com massa Massa 1 Massa Pola 1 MR Exemplo a R F y m 1 g T 1 m 1 a F y T m g m a T R T R I 1 1 MRa T 1 T 1 Ma Dsco unforme Então a=rα a m 1 m1 m 1 m M g 41

42 Representação vetoral do torque O produto vetoral entre dos vetores A e B, é defndo como sendo um tercero vetor C, cujo módulo é dado pela multplcação dos módulos dos vetores A e B com o seno do ângulo entre eles. A dreção e sentdo do vetor C pode ser obtdo pela regra da mão dreta. Assm, teremos que C A B ABsen nˆ onde n é o vetor untáro, perpendcular a A e B, que representa a orentação de C. O torque é o produto vetoral entre os vetores r e F. r F rfsen nˆ O torque é defndo relatvamente a um ponto no espaço. 4

43 Condção de não-escorregamento Consdere uma corda sendo desenrolada de uma roda grando, conforme fgura abaxo. v t R Se não houver escorregamento, a corda deverá se mover com a mesma velocdade tangencal da roda na posção onde a corda se encontra. Consderando que a corda esteja enrolada no perímetro externo da roda, sua velocdade de desenrolamento será então Condção de não-escorregamento dferencando a t R Obs: além da velocdade tangencal, uma corda sendo desenrolada também poderá ter uma velocdade transversal, esta últma é perpendcular à prmera e ocorre quando, além de ser desenrolada, a corda anda oscle (balance) de uma lado para o outro. 43

44 Exemplo Exercíco 71 Cap. 9, Tpler, 5ª Ed. Rotação Um carro de 100 kg está sendo descarregado por um gundaste. Para o momento mostrado na fgura ao lado, o mecansmo do gundaste retra o freo e o carro desce a partr do repouso*. Durante a descda do carro não exste escorregamento entre a corda (de massa desprezível), a roldana e o tambor do guncho. O momento de nérca do tambor do guncho é de 30 kg.m, e da roldana é 4 kg.m. O rao do tambor é de 0,80 m e o da roldana é de 0,30 m. Encontre a velocdade do carro quando ele bate na água. * Trecho modfcado, pos no lvro está errado! 44

45 Exemplo Exercíco 71 Cap. 9, Tpler, 5ª Ed. Sstema: tambor + roldana + carro + Terra W ext = 0 E térm = E quím = E outros = 0 Conservação da energa mecânca do sstema! Fazendo U g = 0 na superfíce da água, teremos Neste caso, a energa potencal armazenada no sstema, será transformada em energa cnétca de translação do carro e de rotação do tambor e da roldana. onde Pela condção de não-escorregamento, podemos escrever: e 45

46 Potênca O trabalho, dw, realzado por uma força F atuando sobre um corpo qualquer, quando este se desloca de ds, é dado por dw Fds Se o corpo estver em rotação, então, no ponto de aplcação da força teremos que ds = rdθ, de forma que dw Frd Mas, sabemos que τ = rf é o torque exercdo pela força F. Assm, dw d Potênca é a taxa com a qual o torque realza trabalho, ou seja P dw dt d dt P 46

47 Corpos que Rolam Pedalar é possível graças à capacdade de rolamento dos corpos Rolamento = translação + rotação 47

48 Rolamento sem escorregamento Quando um corpo está em movmento de rolamento sem escorregamento, a todo nstante, os pontos que estverem em contato com a superfíce estarão nstantaneamente em repouso. Neste nstante, todo o corpo estará grando em torno do exo que passa pelo ponto de contato. v P v cm r R R Camnho do ponto de contato Exo nstantâneo de rotação: perpendcular ao plano no ponto de contato Ponto de contato 48

49 Rolamento sem escorregamento O ponto P se move com velocdade: v r Para o centro de massa: v cm R dervando a cm R No topo da roda, r = R, de forma que este ponto move-se com o dobro da velocdade do centro de massa. 49

50 Rolamento sem escorregamento Decomposção do rolamento em rotação + translação vcm vcm v CM translação rotação rolamento + = v CM v CM v 0 50

51 Rolamento sem escorregamento Consderando que o centro de massa permaneça sempre sobre o ponto de contato, então, o ponto de contato e o centro de massa se deslocaram de um mesmo valor s=r. vcm s s vcm R s R A energa cnétca de um corpo ou sstema pode ser escrto da forma, K K 1 1 Mv cm K rel No rolamento, a energa cnétca será a energa cnétca de translação do centro de massa, ½Mv cm, mas a energa cnétca de rotação em torno do centro de massa, ½I cm ω, ou seja 1 Mv cm I cm 51

52 Rolamento sem escorregamento Rolamento em um plano nclnado: CM acelerado Teorema: Se os torques são calculados em relação a um sstema de referênca que se move com o centro de massa, então a ª Le de Newton para a rotação pode ser aplcada sempre que o centro de massa sofrer aceleração, e o torque será consderado em relação a um sstema de referênca preso ao centro de massa. Isto é τ res,cm = I cm α Observe que o teorema acma é váldo mesmo sendo o referencal do CM não-nercal! 5

53 Exemplo 9-15 Cap. 9, Tpler, 5ª Ed. Exemplo Uma bola sólda de massa m e rao R rola sem deslzar descendo um plano nclnado que forma um ângulo acma da horzontal. Encontre a aceleração do centro de massa e a força de atrto entre o plano e a bola. y x v CM P R f F n 53

54 Exemplo 9-15 Cap. 9, Tpler, 5ª Ed. y Exemplo Pergunta 1: O atrto é cnétco ou estátco? v CM P R Para um rolamento sem escorregamento, o atrto deve ser estátco. Pergunta : A velocdade angular pode ser constante? x f F n O não escorregamento requer que a velocdade angular aumente enquanto a bola role para baxo. Pergunta 3: Se há aumento da velocdade angular, há torque? O aumento da velocdade angular sgnfca exstênca de aceleração angular e consequentemente de torque. Pergunta 4: Quas forças podem produzr torque? A únca força que possu componente tangencal à rotação é a força de atrto. 54

55 Exemplo 9-15 Cap. 9, Tpler, 5ª Ed. y Exemplo Na dreção y: F M acm N Mg cos 0 (1) x v CM P R f F n Na dreção x: Mgsen Torque relatvo ao CM: Condção de rolamento sem escorregamento: Substtundo (4) em (3) e este em (), teremos: a cm gsen Icm 1 MR f f a cm R R I Macm CM () (3) (4) (5) 55

56 Substtundo (5) em (), teremos: Exemplo Mgsen MR 1 f Momento de nérca de uma esfera sólda em relação ao CM: I CM MR 5 I cm (6) (7) Substtundo (7) em (5) e (6), teremos: e 5 a cm 7 gsen f Mgsen 7 56

57 Rolamento sem escorregamento: plano nclnado O resultado obtdo em (5) e (6), aplca-se a qualquer corpo em rolamento sem escorregamento, cujo centro de massa esteja no centro geométrco do corpo. Para estes corpos teremos: I CM MR onde será /5 para a esfera, 1/ para um clndro sóldo, 1 para uma argola, etc. Desta forma, as equações (5) e (6) podem ser generalzadas como a cm f gsen 1 Mgsen 1 1 Quanto maor for o, maor será a força de atrto e menor a aceleração Consderando que os três corpos foram abandonados do repouso, a esfera alcançará a base em prmero lugar, depos o clndro sóldo e por últmo, a argola. 57

58 Rolamento sem escorregamento: plano nclnado h K Como o atrto é estátco, não há dsspação de energa e, por sto, podemos utlzar a conservação da energa mecânca para o sstema corpo+terra, de forma que: U 0 1 Mv cm 1 I cm mgh Substtundo I cm = MR e ω = v cm /R (condção de não escorregamento), teremos gh v cm 1 58

59 Rolamento sem escorregamento: plano nclnado gh v cm 1 Para uma partícula descendo um plano nclnado sem atrto, sabemos que v gh v cm gh 1 que é sempre maor que v cm, ndependente do valor de. Observe também que v cm não depende nem da massa nem do rao do corpo. A força de atrto estátca deve ser sempre gual ou menor do que o atrto estátco máxmo e N = e mgcos (ver exemplo anteror). Assm, teremos f Mgsen mg cos 1 e 1 1 tg (1 ) e Isto sgnfca que se tg for maor que (1+ -1 ) e, o corpo rá escorregar ao se mover para baxo pelo plano nclnado. 59

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