Trabalho e Energia. Curso de Física Básica - Mecânica J.R. Kaschny (2005)

Transcrição

1 Trabalho e Energa Curso de Físca Básca - Mecânca J.R. Kaschny (5)

2 Lembrando nosso epermento de queda lvre... z z 1 v t 1 z = z - v t - gt ( ) z- z v = g = t Contudo, se consderarmos obtemos: v z z 1 t z z 1 = z - v t - 1 = z - v t - gt g 1 t z z z = z - z n n v = v + gt 1 1 v = v + gt

3 A partr dos dados epermentas obtdos, é ácl vercar que: 1 mv + mgz = 1 mv + mg z = 1 mv + mgz 1 1 z,v onde m é a massa da esera. Uma conclusão smlar é obtda a partr da equação: de onde podemos deduzr que: ( ) v = v + g z - z 1 1 mv + mgz = mv + mgz Sendo assm, podemos conclur que a grandeza 1 E = mv + mgz é uma constante de movmento, ou seja, é uma grandeza conservada. z z,v 1 1 z,v

4 Consderando anda a queda lvre de um corpo de massa m, tal que: m z t = z = z e v = t = t z = e v = v obtemos, ao calcularmos E = 1 mv + mgz, os resultados: (a) t = E = mgz que dependerá eclusvamente da posção z (b) t = t E = 1 mv' que dependerá eclusvamente da velocdade v Isto nos ornece um ndcatvo de que cada termo da soma, que compõe a grandeza E, na realdade traduzem cosas derentes.

5 Trabalho Consderemos um bloco de massa m, que graças a ação de uma orça constante, F, desloca-se uma dstanca L, tal como lustrado na gura: Dene-se o trabalho realzado sobre o bloco como: W = F L cos θ que em termos vetoras ornece W = F L cuja undade SI é o newton-metro (N.m), sendo denomnado joule (J) em homenagem a James Prescott Joule Portanto: O trabalho realzado por um agente, que eerce uma orça constante sobre um objeto, é gual ao produto do modulo da dstanca percorrda pelo modulo da orça aplcada na dreção do respectvo deslocamento. Em termos vetoras sto é o produto escalar entre os vetores orça e deslocamento. Assm, o trabalho realzado por uma orça perpendcular ao deslocamento é nula. NOTA: A noção de trabalho esta relaconada com a déa de esorço útl para produzr um determnado deslocamento!

6 Consderando por smplcdade um sstema undmensonal, teremos, no caso de uma orça varável, que o trabalho total, W, será o somatóro de contrbuções W n tal que: W W n = F() n n n No lmte ao numero de subntervalos tender ao nnto, ou seja, ao, obtemos: W = F () d lembrando que sto representa a área sub a curva F.

7 Em termos mas geras, onde o vetor orça vara ao longo de uma trajetóra curvlínea no espaço (3D), calculamos o trabalho va um somatóro do tpo: W W = F(L) L n n n n P F L F L P No lmte ao numero de subntervalos tender ao nnto, ou seja, ao L, obtemos a ntegral de lnha ao longo da trajetóra: P W = F dl P O trabalho realzado por um agente, que eerce uma orça sobre um objeto, é gual à ntegral de lnha da orça ao longo da trajetóra percorrda no espaço por tal objeto.

8 Energa Cnétca A energa cnétca, K, de uma partícula de massa m que se move com velocdade v é dada por: 1 onde v = vv K = m v [K] = Joule Lembrando de nossa dscussão préva, sobre queda lvre, sto corresponde ao prmero termo do somatóro que compõem a grandeza E que epermentalmente constatamos que é conservada. Obvamente a energa cnétca de uma partícula em repouso será nula (v = ). Portanto K representa algo devdo uncamente ao estado de movmento de um corpo de massa m. A quantdade K = mv, era chamada por Lebntz (sec.17) como orça vva e era por ele encarada como a verdadera medda de uma orça. Ao contraro, Descartes pensava que tal medda sera dada pelo produto m v, gerando uma enorme controvérsa na época. Vemos que ambas estas grandezas são mportantes, contudo traduzem cosas derentes que não são eatamente a medda de uma orça. É mportante compreendermos que, na ísca de hoje, não temos nenhum conhecmento do que seja energa. Rchard Feynman ( )

9 O Teorema Trabalho-Energa Consderemos novamente o caso undmensonal de um bloco de massa m, que graças a ação de uma orça constante, F, desloca-se uma dstanca L, partndo de até com velocdades v e v, respectvamente. Assm temos: como Portanto: F = F cos θ a = F / m 1 1 v = v + a ( - ) v - v = a ( - ) 1 1 W = F( - ) = m a ( - ) = m v - v 1 1 W = m v - m v = K - K = K Teorema Trabalho-Energa: O trabalho realzado pela orça resultante sobre um objeto é gual á varação da energa cnétca do objeto.

10 De uma orma mas geral, podemos demonstrar este teorema da segunte manera: como dk d 1 d 1 1 dv dv = m v = m v v = m v + v dt dt dt dt dt a = dv dt dl v = dt dv dv dv dl v + v = v = a v = a dt dt dt dt dk 1 dl dl = m a = m a dk = m a dl = F dl dt dt dt e então, obtemos nalmente: e temos: P W = F dl = dk = K( P ) - K( P) = K - K = K P P P

11 Potênca Potênca, por denção, é a taa nstantânea á qual o trabalho é realzado, ou seja: P = dw dt [P] = J/s = Watt James Watt ( ) Pode-se dar uma epressão alternatva para a potênca em termos da orça que realza o trabalho e da velocdade do objeto. Suponhamos que, em um pequeno ntervalo de tempo t, uma orça F atue sobre um objeto quando este se desloca de L. Como W = F. L, a potênca méda é dada por: F. L L P = = F. t t Tomando o lmte t e observando que L/ t v, obtemos: P = F. v

12 Energa Potencal Voltando a consderar a queda lvre de um corpo de massa m, temos: m z t = z = z e v = t = t z = e v = v onde E = mv / + mgz = constante. Portanto, pelo que já o vsto, em t = t teremos E = m v' / = K' e K =, em t =. Então o trabalho realzado pela orça gravtaconal, que age sobre o corpo, será: W = K = K' - K = K' Como E é conservada, teremos então que: W = K = E(t = t ) = E(t = ) = m g z Enquanto o corpo or mantdo em repouso, a uma altura z, podemos dzer que ele armazena uma certa capacdade que pode ser convertda em energa cnétca, ou seja, o corpo suspenso possu uma energa potencal, U, que neste caso é dada por: U = m g z [U] = Joule

13 Energa Mecânca ou Total De uma manera geral, podemos escrever: E = K + U que é denomnada, energa mecânca (total) do sstema, sendo evdente [E] = Joule. Logo, a energa total de um corpo é a soma de sua energa cnétca com sua energa potencal. No eemplo anteror U representa o potencal gravtaconal, contudo a energa potencal pode assumr qualquer outra orma, dependendo ntmamente do sstema consderado e que encontra-se sob analse. Como por eemplo, no caso de um sstema massa-mola, teríamos: U = 1 k m Em outras palavras, U depende ntmamente das orças presentes e de suas naturezas.

14 Conservação da Energa Dzemos que uma dado sstema é um sstema conservatvo se a energa mecânca or uma grandeza conservada. Isto ocorrerá somente se sobre o sstema agrem orças tas que mantenham a unção energa total (E) constante. Tas orças são denomnadas orças conservatvas. Então, para um sstema conservatvo temos: E = K = - U W = - U Portanto, o negatvo da varação da energa potencal, em um sstema conservatvo, corresponde ao trabalho realzado pela orça resultante (conservatva) que age sobre o corpo. Neste caso teremos anda, consderando um sstema undmensonal, que: W = F() d = -( U() - U( )) = - U Adotando arbtraramente U( ) =, obtemos: Na orma geral F = - U F() = - du() d

15 Ao tratarmos com um sstema conservatvo, aqu consderado por smplcdade undmensonal, podemos observar adconalmente que o trabalho: W = F() d = U( ) - U( ) depende eclusvamente dos pontos ncas e nas da trajetóra, ou seja, o trabalho realzado ao deslocar o sstema de um ponto ncal ( ) ao nal ( ) ndepende da trajetóra partcularmente adotada. Em termos da ntegral de lnha: W = F dl P P dzemos que ela é ndependente do camnho. Neste caso temos anda que o trabalho realzado em um camnho echado será evdentemente nulo. Como não podemos dar uma denção geral de energa, o prncpo da conservação de energa sgnca smplesmente que há alguma cosa que permanece constante. Qualquer que seja a noção do mundo que os epermentos uturos possam nos dar, já sabemos que haverá alguma cosa que permanece constante e que podemos chamar de energa. Henr Poncaré ( )

16 Equlíbro e Establdade U() eq. estável eq. nstável eq. nderente pontos de equlíbro F() = du()/d = F() regões acessíves E U() pos mv / = E - U() pontos de retorno E = U()

17 Forças Não-Conservatvas e Trabalho Interno Forças não-conservatvas Sstemas não-conservatvos Dsspação de energa Na presença de orças não-conservatvas, a energa mecânca total não é uma grandeza conservada. O trabalho realzado por uma orça não-conservatva depende da trajetóra que o sstema percorre entre os pontos ncal ( ) e nal ( ). Neste caso é comum decompormos o trabalho realzado pela orça resultante ( R ) como sendo gual a soma de duas parcelas, uma devda a orças conservatvas ( C ) e outra devda a orças não-conservatvas ( NC ), ou seja: W R = W C + W NC = K -K pos o teorema trabalho-energa permanece valdo, ndependentemente das orças. Como: W C = -(U U ) -(U U ) + W NC = K -K obtemos: E = E + W NC teorema trabalho-energa modcado Dependendo do sstema consderado para estudo, pode haver uma tercera parcela que pode contrbur para o trabalho trabalho nterno que é realzado por orças nternas do sstema.

18 Reerencas Bblográcas Físca, Vol.1, F.J. Keller, W.E. Gettys e M.J. Skove, cap Curso de Físca Básca, Vol.1 Mecânca, H.M. Nussenzveg, cap.6. Fundamentos de Físca, Vol.1 Mecânca, D. Hallday, R. Resnck e J. Walker, cap Físca, Vol.1, P. Tpler, cap. 6. Físca I, Mecânca, SEARS e ZEMANSKY / YOUNG & FREEDMAN, cap. 6-7.