Capítulo 1. O plano complexo Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2

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1 Capítulo O plano compleo Introdução Os números compleos começaram por ser ntrodudos para dar sentdo à resolução de equações polnomas do tpo Como os quadrados de números reas são sempre maores ou guas a ero, esta equação não tem soluções reas solvêla corresponde a ntrodur números que sejam raíes quadradas de números reas negatvos A prmera referênca a esta possbldade parece ser de H Cardano, em 545 Fo seguda, em 57, pela eposção das propredades algébrcas destes números por R Bombell, que também ntroduu o símbolo Em 748, L Euler 3 desgnou este símbolo, a que se chamou undade magnára, por Fo também Euler que ntroduu em 747 a epressão e cos sn, da qual obteve como caso partcular a espantosa relação e que relacona numa mesma epressão os números, e,,, que apareceram em contetos muto dferentes A consderação de números compleos não só se revelou necessára para resolver certas equações polnomas de segunda ordem como forneceu todas as possíves soluções de equações polnomas de qualquer ordem, tanto de coefcentes reas como compleos Este facto, conhecdo por teorema fundamental da álgebra, fo estabelecdo pela prmera ve por CF Gauss 4, em 86, na sequênca de tentatvas de város matemátcos precedentes Deve-se também a Gauss a desgnação número compleo e a concepção da relação bunívoca entre números compleos e pontos de um plano, o que permtu uma defnção concreta destes números e abru camnho ao desenvolvmento do estudo dos Heronmo Cardano (5-576) Raffael Bombell (56-57) 3 Leonhard Euler (77-783) 4 Carl Fredrch Gauss ( )

2 O plano compleo números compleos e das funções compleas Esta relação parece estar mplícta na tese de doutoramento de Gauss, acma menconada, e aparece claramente numa carta que envou a FW Bessel 5 em 8 Entretanto, a representação geométrca dos números compleos num plano apareceu também nos trabalhos de C Wessel 6, em 799, e de J Argand 7, em 86, embora tenha passado despercebda aos matemátcos do tempo e não tenha sdo eplorada para prossegur o estudo dos números compleos Fnalmente, Gauss comuncou publcamente a dentfcação dos números compleos com pontos de um plano num seu artgo de 83, onde propôs defnr os números compleos como pares ordenados de números reas com certas propredades específcas e eplorou esta defnção e a sua dentfcação com pontos de um plano A notação ( a, b) para números compleos fo usada pela prmera ve por WR Hamlton 8, em 837 Estrutura algébrca do plano compleo Os números compleos são pares ordenados de números reas uma adção e uma multplcação defndas por ( y (, RR com, y ) (, y ) (, y ),, y )(, y ) ( y y, y ) ( y Estas operações são comutatvas, assocatvas e têm elementos neutros (respectvamente, ero (,) e undade (,) ) Cada número compleo (, tem um smétrco (, e, quando dferente de ero, tem um recíproco ( /( y ), y /( y )) A multplcação é dstrbutva em relação à adção Portanto, os números compleos com a adção e a multplcação consderadas são um corpo Além da estrutura de corpo, os números compleos, com as operações consderadas, também têm a estrutura de espaço lnear compleo Desgna-se este espaço por C Uma ve que (,) ( y,) ( y,) e (,)( y,) ( y,), é usual dentfcar cada número real com o número compleo (,) e, desta forma, consderar C como uma etensão de R, e R como um subconjunto de C Também se defne a undade magnára (, ) (note-se que (,)(,) (,) ) e se dentfca cada número compleo (, com a epressão y Chama-se a parte real de e a y parte magnára de, e escreve-se e Aos números compleos da forma (, y, com y R, chama-se magnáros puros Observe-se que, 3,,, 4 4 4, e assm sucessvamente, pelo que,, 4 4, 3, para Z Em partcular, / Dado que os números compleos são pares ordenados de números reas, podem ser representados num plano (Fgura ) O eo das abcssas é o conjunto {(,) C} que se desgna por eo real O eo das ordenadas é o conjunto {(, C} 5 Frederch Wlhelm Bessel ( ) 6 Caspar Wessel (745-88) 7 Jean Robert Argand (768-8) 8 Wllam Roan Hamlton (85-865)

3 Estrutura algébrca do plano compleo 3 = { y : y R} que se desgna por eo magnáro Como se lustra na Fgura, a utlação de coordenadas polares leva à representação polar (ou representação trgonométrca) de números compleos, na forma, (, r(cos,sn ) ou y r(cos sn ) A r y chama-se módulo 9 ou valor absoluto de e a chama-se argumento de Assm, o argumento de fca defndo a menos da adção de múltplos nteros de Chama-se argumento prncpal de ao seu argumento que pertence ao ntervalo ], ] O argumento prncpal de números compleos fca, assm, defndo unvocamente para todos os compleos e desgna-se por Arg Pode-se escrever em termos da função real arco tangente cujo contradomíno é o ntervalo /, /, na forma (ver Fgura ): arctan, se /, se, () Arg arctan, se, /, se, arctan, se, y =(,=+y =r(cos, sn) =Arg Fgura : presentação cartesana e polar de números compleos A adção de números compleos concde com a adção dos pares ordenados de números reas no espaço lnear real R (Fgura ) Geometrcamente é dada pela usual regra do paralelogramo para a soma de vectores A multplcação de números reas por números compleos concde com a multplcação por escalares reas no espaço lnear real R Geometrcamente, corresponde à epansão ou contracção da dstânca à orgem, conforme o número real tem módulo maor ou menor do que, com manutenção ou nversão de sentdo conforme o número real é postvo ou negatvo (Fgura ) 9 A notação para o módulo, tanto de números reas como compleos, fo ntroduda por K Weerstrass nos seus Cadernos de Munque de 84, publcados apenas em 894, e usada numa sua comuncação à Academa de Cêncas de Berlm em 859 Karl Weerstrass (85-897)

4 4 O plano compleo + - -/3 Fgura : Adção de compleos e multplcação de reas por compleos O que destngue o espaço lnear compleo C do espaço lnear real R, ou seja o que destngue o plano compleo C do plano R, é a multplcação de números compleos (não reas) Por eemplo, a multplcação de números compleos (, pela undade magnára dá (,)(, ( y, ), o que corresponde a uma rotação de / no sentdo contráro ao dos ponteros do relógo Mas geralmente, a multplcação por números compleos pode envolver epansões/contracções e rotações, ou seja pode ser decomposta numa homoteta seguda de uma rotação, ambas centradas na orgem (Fgura 3) Na verdade, a multplcação de dos números compleos r (cos,sn ) e r (cos,sn ) dá r r ( cos ( ),sn( )) =- 4= 3=- Fgura 3: Multplcação de números compleos Convém ntrodur já a notação eponencal para a representação polar de números compleos, defnndo a eponencal de magnáros puros por e (cos,sn ), para R É claro que são satsfetas as seguntes propredades báscas de eponencas: ( ) n n e, e e e, / e e, ( e ) e Além dsso, a representação polar de um número compleo pode-se escrever e, onde R é um argumento de, e o ( ) produto de compleos e e e pode-se escrever e Dado um número compleo (, y defne-se o seu conjugado por (, y Geometrcamente é a refleão de em relação ao eo real (Fgura 5) Verfca-se,, para, C tem-se, e, quando, / / Além dsso, ( ) / e ( ) /() Também e e para R

5 Estrutura algébrca do plano compleo 5 Para a dvsão de números compleos (, r (cos,sn ) e e, r (cos,sn ) e, com, obtêm-se as fórmulas / /, ( / ( y y, y /( / ( r / r ) cos( ),sn( ) ( ) / ( / ) e As potêncas de epoente ntero postvo, N, de um número compleo r(cos,sn ) satsfaem r (cos,sn ) Atendendo a que o argumento de um número compleo é defndo a menos da adção de um múltplo ntero de, obtém-se para raíes de ordem N de os números compleos j r cos ( / j / ),sn ( / j / ), para j,,,,, ou, de forma equvalente, / j / j e, para,,,, j, Conclu-se que todo o número compleo tem eactamente N raíes de ordem dstntas, e que no plano compleo estas raíes estão gualmente espaçadas sobre a crcunferênca de rao (Fgura 4) = e /3 e ( + )/3 /3e /3 /3 /3e ( +4 )/3 Fgura 4: Raíes nteras postvas de números compleos (raíes cúbcas de ) Como é natural, recuperam-se os factos seguntes conhecdos para raíes reas: ) as raíes de ordem par de números reas postvos são sempre duas e smétrcas uma da outra, ) não há raíes de ordem par de números reas negatvos, ) as raíes reas de ordem ímpar de números reas não nulos são uma e só uma para cada ordem e a ra tem o mesmo snal do número consderado Observa-se que a stuação relatva à estênca de raíes nteras reas, que tem uma descrção um pouco complcada, fca clarfcada e smplfcada no âmbto dos números compleos É um prmero eemplo de dversas stuações que vamos encontrar que fcam smultaneamente clarfcadas e smplfcadas quando se passa de números reas para números compleos Um caso partcular de nteresse são as raíes da undade É claro que, qualquer que seja a ordem N das raíes, uma das raíes da undade é a própra undade As outras raíes compleas da undade são os números compleos que correspondem a dvdr a crcunferênca de rao no plano compleo em arcos de comprmentos guas,

6 6 O plano compleo a partr da undade (Fgura 5) Por eemplo, as raíes quadradas da undade são, as raíes cúbcas da undade são, ( 3 / ) (/ ), as raíes de ordem quatro da undade são,, etc Com cos( / ) sn( / ), temos que as raíes da undade são,,,, É fácl ver que e Além dsso, se desgna uma qualquer das raíes de ordem de um compleo, então todas as raíes de ordem de podem ser escrtas na forma j, com j,,, /3 /4 / / = /3 = /4 3 4 /4 4 = = =3 =4 4 /3 3 6 /4 4 /5 3 6 /5 /5 /6 4 /7 4 /6 /5 /6 /7 5= 3 6 /6 6= 7= 4 8 /5 =5 /7 3 6 /7 =6 4 8 /7 =7 4 8 /6 5 /6 5 /7 6 /7 Fgura 5: Raíes nteras postvas da undade de ordens,,3,4,5,6, 7 As potêncas nteras negatvas de números compleos defnem-se, como no caso real, por /, para N Para, defne-se As potêncas raconas p q /, com p Z e q N, defnem-se como sendo as raíes de ordem q do número p compleo 3 Estrutura métrca do plano compleo O valor absoluto (, y de um número compleo (,, defne uma norma no espaço lnear C, tal como a mesma relação defne uma norma no espaço lnear real R Em partcular, para números compleos,, tem-se a desgualdade trangular, com a gualdade a verfcar-se se e só se, são múltplos postvos um do outro ou um deles é ero Também e, para, / / A dstânca entre dos números compleos, é defnda por d(, ) Assm, as noções de norma e dstânca no espaço lnear compleo C concdem com as correspondentes noções no espaço lnear real R Portanto, as noções métrcas em C e em R são concdentes Por eemplo, um conjunto do plano é lmtado em C se e só se é um conjunto lmtado em R

7 4 Estrutura topológca do plano compleo 7 4 Estrutura topológca do plano compleo A estrutura métrca de C defne uma estrutura topológca cuja base são os círculos abertos B r ( ) { : r} de raos r e centros em pontos C Como as estruturas métrcas de C e R concdem, também concdem as suas estruturas topológcas Em partcular, um conjunto do plano é aberto, fechado, coneo, smplesmente coneo ou compacto em C se e só se o é em R Verfca-se a concdênca análoga das noções de ponto nteror, eteror, frontero, de acumulação ou solado de um conjunto em C e em R O mesmo se passa com as noções de conjuntos nteror, eteror, frontera, fecho (ou aderênca) de um conjunto em C e em R Chama-se regão em C a um subconjunto de C não-vao, aberto e coneo Eercícos Indque as representações cartesanas e trgonométrcas do número compleo: 3 a) ( ) b) ( 3) /(3 4) 5 6 c) Determne o conjunto dos números, y R tas que: a) y y b) y ( c) y 3 Calcule as raíes quadradas de: a) b) c) 4 Mostre que quasquer três números compleos cuja soma seja ero, todos com módulos guas a, são vértces de um trângulo equlátero nscrto na crcunferênca de rao com centro na orgem 5 Prove que,, vc são vértces de um trângulo equlátero se e só se v v v 6 Prove que para, C se verfca: a) ( )( ) b), com, se e só se / 7 Determne em que condções a equação em C a b c defne uma recta 8 Prove que para a, c R, com a, e b R, a equação a b b c defne uma crcunferênca no plano compleo 9 Prove que todas as crcunferêncas que passam pelos pontos a e / a compleos, com a, ntersectam a crcunferênca ortogonalmente a) Prove que a b / ab se a ou b b) Que ecepção deve ser feta se a b? c) Prove que a gualdade em a) é uma desgualdade se a e b Descreva geometrcamente a transformação do domíno para o contradomíno defnda pela função complea f ( ) ( ) /( 3) (Sugestão: estude magens de rectas e de crcunferêncas) Determne uma função da forma f ( ) ( a b) /( c d) que transforma a crcunferênca na crcunferênca, o ponto na orgem e a orgem em 3 Determne as transformações da forma f ( ) ( a b) /( c d) que transformam a crcunferênca R em s própra 4 Prove que uma transformação em C que dea a orgem fa e preserva dstâncas é uma rotação ou uma rotação seguda de uma refleão em relação ao eo real 5 Prove a dentdade de Lagrange n n n n para números compleos j j jn 6 Assm como os números reas podem ser representados numa crcunferênca em que um dos pontos representa (recta real estendda R ), também os números compleos podem ser representados numa superfíce esférca com o pólo Norte correspondente a (plano compleo estenddo C ) a) Determne uma representação deste tpo na superfíce esférca 3, estabelecda pela correspondênca bunívoca entre os números compleos representados no plano equatoral 3 (com o eo dos dentfcado com o eo real e o eo dos dentfcado com o eo magnáro) e os pontos da superfíce esférca que pertencem a uma mesma recta que passa pelo pólo Norte, provando que ( ) /( 3) e ( ) /( ), ( ) /( ), ( ) /( ) (Fgura 6) Chama-se superfíce esférca de Remann a esta representação do plano compleo e projecção estereográfca à correspondênca assm defnda de cada ponto do plano compleo para cada ponto da superfíce esférca Lagrange, Joseph-Lous (736-83) A representação do plano compleo estenddo numa superfíce esférca fo proposta por B Remann em 85

8 8 O plano compleo b) Prove: As projecções estereográfcas de rectas ou crcunferêncas no plano compleo são crcunferêncas na superfíce esférca de Remann N 3 c c Fgura 6: Superfíce esférca de Remann e projecção estereográfca Eercícos com aplcações a crcutos eléctrcos e a sstemas mecâncos 7 A relação entre tensão e corrente snusodas num crcuto eléctrco 3 com resstêncas, condensadores e bobnas pode ser faclmente epressa em termos de números compleos, dado que qualquer função da forma a sn( t ), com a,, R, a que se chama, respectvamente, ( t ) t t ampltude, frequênca angular e fase, é gual à parte magnára de ae ae e Ae, com A e C, a que se chama ampltude complea 4 a) Consdere um crcuto RLC em sére (Fgura 7) Sabendo que a relação entre a tensão V (t) e a corrente I (t) no nstante t, nos termnas de uma resstênca R, de uma bobna de ndutânca L e de um condensador de capacdade C, é, respectvamente, V( t) R I( t), V( t) L I( t) e V ( t) (/ C) I( t) dt, mostre que se a tensão aplcada nos termnas do crcuto RLC for snusodal com frequênca ângular e ampltude complea V, então a corrente no crcuto é snusodal com frequênca ângular e ampltude complea I, e a relação entre ambas é V ( R ( L /( C)) I b) Chama-se mpedânca de um crcuto eléctrco bpolar (Fgura 8) com tensão e corrente snusodas nos termnas de ampltudes compleas V e I, respectvamente, a Z V / I Determne a mpedânca dos crcutos das Fguras 7 e 9, supondo no últmo caso que Z é a mpedânca de um crcuto bpolar cujos termnas são os nós do correspondente ramo do crcuto A stuação é análoga para sstemas mecâncos lneares de massas e molas com atrto, substtundo tensão eléctrca por força, ntensdade de corrente por velocdade, bobnas de ndutânca L por massas com o valor de L, condensadores de capacdade C por molas com força de resttução proporconal ao deslocamento relatvo ao equlíbro com factor de proporconaldade / C e resstêncas R por amortecedores com forças de atrto proporconas à velocdade com factor de proporconaldade com o valor de R (Fgura 7) Também se consdera, de forma análoga, a noção de mpedânca mecânca I(t) R I(t)=y (t) V(t) L V(t) C Fgura 7: Crcuto em sére RLC e sstema mecânco análogo y(t) R L /C 3 As prmeras les geras da análse de crcutos eléctrcos foram formuladas em 845 pelo matemátco Gustav Robert Krchoff (84-887) na sequênca do matemátco Georg Smon Ohm ( ) ter estabelecdo em 87 que a corrente eléctrca através de um condutor é proporconal à dferença de potencal eléctrco entre os termnas (Le de Ohm) A prmera le de Krchoff afrma que a soma das correntes que entram por ramos lgados a um nó de um crcuto é gual à soma das correntes que saem por ramos lgados ao mesmo nó; a segunda le de Krchoff afrma que a soma das forças electromotres ao longo de uma malha de um crcuto é gual à soma das dferenças de potencal nos ramos da malha 4 A representação complea de snas eléctrcos snusodas e de mpedâncas fo ntroduda em 893 pelo engenhero Charles Stenmet (865-93) e fo fortemente responsável pelo rápdo progresso da engenhara de sstemas eléctrcos de corrente alternada no níco do século XX É usada rotneramente na análse de crcutos e snas e no controlo de sstemas A sólda preparação que Stenmet obteve na Alemanha como estudante unverstáro de matemátca permtu-lhe dspor de conhecmentos de análse complea nvulgares nos engenheros da época

9 4 Estrutura topológca do plano compleo 9 I I Z V Z V Z Z 3 Z 4 Fgura 8: Crcuto bpolar Z 5 Fgura 9: Crcuto

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