Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza

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1 9/04/06 Escolha do Consumdor sob condções de Rsco e de Incerteza (Capítulo 7 Snyder/Ncholson e Capítulo Varan) Turma do Prof. Déco Kadota Dstnção entre Rsco e Incerteza Na lteratura econômca, a prmera e mas mportante dstnção entre stuações de rsco e de ncerteza fo feta por Frank Knght em 9: Rsco: stuação na qual é possível à pror conhecer todos as possbldades de resultados do fenômeno ncerto, bem como assocar as probabldades de ocorrênca de cada um deles. Incerteza: stuação na qual, por alguma razão, não se consegue dar uma abordagem estatístca ao fenômeno.

2 9/04/06 Contudo, a partr da metade do século passado a dstnção entre Rsco e Incerteza passou a ser muto mas restrta, consttundo-se em sub-classes de fenômenos que são passíves de tratamento estatístco através da probabldade: Rsco: stuação na qual as probabldades de ocorrênca dos resultados possíves podem ser meddas de forma objetva, ou seja, que dferentes ndvíduos concordam com as meddas das mesmas. Incerteza: stuação na qual as probabldades de ocorrênca dos resultados possíves são subjetvamente determnadas por cada ndvíduo que defronta o fenômeno. Base da análse de Rsco e Incerteza Consdera que todas as stuações que envolvem fenômenos aleatóros, portanto que mplcam em rscos ou ncertezas, podem ser descrtos por um conjunto fnto de Estados da Natureza; Cada Estado da Natureza consttu numa detalhada descrção da stuação resultante da ocorrênca de cada um dos resultados possíves de um ou mas dos fenômenos aleatóros envolvdos; O objeto de escolha de qualquer ndvíduo nessas stuações são tratadas genercamente como sendo Loteras;

3 9/04/06 Uma lotera é defnda como L onde P e T ( =,,..., S) representam a probabldade do estado da natureza ocorrer e o respectvo prêmo a ser o obtdo nesse caso; P : T ;P : T ;...;P : T S S Os prêmos podem ser objetos ou cosas de qualquer natureza, desde que desejados pelo ndvíduo que está escolhendo as loteras (por exemplo, valores monetáros, cestas com quantdades de bens; etc); Questão: como escolher entre duas loteras? Consdere o caso smples de stuações com apenas dos estados da natureza, com as seguntes loteras: Lotera : L = {0%: R$ 5; 80%: R$ 00} Lotera : L = {0%: R$ 0; 80%: R$ 300} É fácl decdr que L é preferível a L Lotera 3: L 3 = {40%: R$ 00; 60%: R$ 00} Lotera 4: L 4 = {0%: R$ 00; 90%: R$ 00} Também é fácl decdr que L 4 é preferível a L 3 Contudo, a escolha entre L e L 3 não é mas tão fácl decdr 3

4 9/04/06 O crtéro Maor Prêmo Esperado resolve? Calculando-se o valor esperado do prêmo das 4 loteras, tem-se: Lotera : L = {0%: R$ 5; 80%: R$ 00} ET R$ 6 L Lotera : L = {0%: R$ 0; 80%: R$ 300} ET R$ 4 L Lotera 3: L 3 = {0%: R$ 00; 90%: R$ 00} ET R$ 60 L 3 Lotera 4: L 4 = {50%: R$ 00; 50%: R$ 00} ET R$ 90 L 4 Em prncípo, o crtéro do maor valor esperado do prêmo da lotera parece funconar: Ele explcta porque fo fácl escolher L contra L e L 4 contra L 3 E também porque não fo fácl escolher entre L e L 3 Em casos como esse últmo, ele propca um crtéro smples para comparações de loteras com dferentes perfs de prêmos e respectvas probabldades. Mesmo para casos mas complcados de loteras com dferentes números de estados da natureza. 4

5 9/04/06 Problema: O Paradoxo de São Petersburgo Consdere que alguém proponha a você a escolha entre as seguntes duas loteras? Lotera Um blhete de lotera com um prêmo de R$ ,00, com 50% de probabldade de ganhar esse prêmo e 50% de não ganhar nada; Lotera Um jogo em que você deve lançar repetdas vezes uma moeda perfeta, até que obtenha pela prmera vez a face Cara, onde o jogo termna. O seu prêmo então será de R$ k, onde k representa o número total de vezes que você necesstou lançar a moeda para encontrar a face Cara. A resposta mas comum é a lotera. Qual você escolhera? Lotera : Lotera : Prêmo R$ R$ 0 Probabldade 50% 50% E(T) 0, , L Nº Lançamentos 3 4. k.. Prêmo 3 4. k.. Probabldade 3 4. k k 3 4 k E(T). L ou E(T) L 5

6 9/04/06 Função Utldade Esperada de Von Neumann e Morgenstern (FUVNM) Para todo ndvíduo raconal, exste uma função utldade U ( ) defnda sobre os valores dos prêmos de loteras, tal que esse ndvíduo consdera uma lotera L {M : p,...m : p } no mínmo tão boa quanto uma outra I I lotera L {N : q,...n : q } se e somente se J J I EU (L ) p.u (M ) J EU (L ) q.u (N ) j j j EU (L ) EU (L ), onde OBS.: Se EU (L ) EU (L ), então dz que o ndvíduo k prefere estrtamente a lotera L à lotera L. Attude dos Indvíduos em relação ao Rsco Suponha uma stuação em que alguém lhe apresenta a segunte lotera: L = Prêmo R$ 500 R$ 00 Probabldade 50% 50% cujo valor do prêmo esperado é de: EP 0, , e que lhe peça para escolher se você prefere receber a lotera L ou receber, com certeza, o valor equvalente ao prêmo esperado da mesma (R$ 300), ou seja, receber a lotera L = {300:}. 6

7 9/04/06 Se você possu uma FUEVNM, a sua resposta dependerá da relação entre os seguntes valores: e EU (L ) 0,5.U (500) 0,5.U (00) EU (L ).U (300) As relações possíves são: EU (L ) EU (L ) - nesse caso, você preferra receber, com certeza, o valor do prêmo esperado de R$ 300 (L ), do que arrscar a receber R$ 500 ou R$ 00 guas probabldades de 50% (L ). Isso sgnfca que você sera um ndvíduo que não gosta de acetar rscos e é do tpo que se denomna de Avesso ao Rsco; EU (L ) EU (L ) - nesse caso você sera ndferente entre as loteras L e L, ou seja, você sera do tpo que se denomna de Neutro ao Rsco. EU (L ) EU (L ) - nesse caso você sera um ndvíduo que gosta do rsco, ou seja de arrscar a ter o prêmo maor de R$ 500, mesmo ao custo da possbldade de termnar com apenas R$ 00), do que receber com certeza o valor ntermedáro do prêmo esperado de R$ 300. Você então é do tpo que se denomna de Amante do Rsco. 7

8 9/04/06 Em resumo, tem-se então que, dada uma lotera qualquer L = (T :p, T :p,.., T N :p N ), smples ou composta, com prêmo esperado representado por EP L, um ndvíduo qualquer é tpfcado por sua attude em relação ao rsco, da segunte forma: Avesso ao Rsco se EU (L) U (EP L) Neutro ao Rsco se EU (L) U (EP ) Amante do Rsco se EU (L) U (EP ) L L Pode-se verfcar que a classfcação da attude de qualquer ndvíduo em relação ao rsco va depender uncamente da característca da sua função U (T) que está envolvda na defnção da sua função utldade esperada k EU (L). Se Se Se U (T) é côncava (utldade margnal do prêmo é decrescente), então o ndvíduo é Avesso a Rsco; U (T) é lnear (utldade margnal do prêmo é constante), então o ndvíduo é Neutro ao Rsco; U (T) é convexo (utldade margnal do prêmo é crescente), então o ndvíduo é Amante do Rsco. 8

9 9/04/06 Indvíduo Avesso a Rsco U(x ) U(EX) U(x) EU(L) pu(x ) ( p)u(x ) U(x ) x EX = px + (-p)x x Indvíduo Neutro ao Rsco U (T) U (T ) EU (L) pu (T ) ( p)u (T ) U (ET) U (T ) T ET = pt + (-p)t T 9

10 9/04/06 Indvíduo Amante do Rsco U (T) U (T ) EU (L) pu (T ) ( p)u (T ) U (ET) U (T ) T ET = pt + (-p)t T Natureza cardnal da UEVNM Consderando-se que a attude do ndvíduo em relação ao rsco depende crucalmente da especfcação matemátca da função utldade U(T), a abordagem da Utldade Esperada proposta por Von Neumann e Morgenstern tem a mesma natureza da abordagem orgnal da Teora da Utldade Cardnal. De fato, pode ser mostrado que a únca modfcação matemátca que pode ser realzada na função UEVNM sem alterar as escolhas do ndvíduo que a mesma representa é a chamada Transformação Affne, ou seja, V(T) = a + b.u(t), ou seja, mudar a orgem e a escala da medda de utldade. 0

11 9/04/06 Outra forma de Interpretar a aversão ao rsco Consdere o conceto de Aposta Justa: uma aposta na qual a probabldade de ganhar ou perder o valor apostado (h) é a mesma, ou seja, a lotera h:50%; h:50%. Consdere então um ndvíduo com qualquer valor de rqueza W. Se ele é avesso ao rsco, então ele sempre rejeta uma aposta justa, qualquer que seja o valor da aposta h. E se por alguma razão ele for forçado a acetar a aposta, quanto maor for o valor da aposta, maor a parcela p da sua rqueza que ele está dsposto a abrr mão para se lvrar da stuação. Indvíduo Avesso a Rsco U U(W) U(W) EU(L) = U(W-p) EU(L`) p W-h` W-h W-p W W+h W+h` L ' W h ' :50%;W h ' :50% L W h :50%;W h :50%

12 9/04/06 Exemplo das Loteras do Paradoxo de São Petersburgo Vamos supor que se trata de um ndvíduo Avesso a Rsco, cuja FUEVNM é tal que U(M) M. Nesse caso tem-se que: Lotera : UE(L ) 0, , Lotera : UE(L ) onde essa soma de uma PG nfnta, com razão gual a é a S ou: r UE(L ),4 Exemplo: Demanda por Seguro Suponha uma stuação com um ndvíduo, com as seguntes condções: Ele possu um rqueza no valor de $ ; Ele tem a possbldade de perder $ devdo a um snstro, que tem probabldade de ocorrênca de λ = %; Exste uma empresa de seguros que está dsposta a oferecer um seguro que cobre até o valor total da possível perda, cobrando um valor de prêmo de seguro de μ% por cada undade de valor segurado, preço esse que é atuaralmente justo; Esse ndvíduo possu uma função FUEVNM e é avesso a rsco (ou seja, U(.) é tal que U (.)>0 e U (.)<0)

13 9/04/06 Prêmo de Seguro Atuaralmente Justo: Dz-se que um contrato de seguro tem um valor de prêmo P atuaralmente justo se o mesmo mplca num lucro econômco nulo para a Ca de seguros. Para smplfcar a análse, vamos supor que o custo untáro de produção de uma apólce de seguro é de valor desprezível em relação aos valores envolvdos na mesma, ou smplesmente que o mesmo é nulo. Portanto, o lucro esperado de uma apólce com valor segurado K é gual a: L = Valor do Prêmo P valor esperado da ndenzação Ou L = μ.k λk = 0. Portanto, μ = % Problema desse consumdor: Escolher se rá fazer um contrato de seguro e de qual valor K a ser segurado. Ou, escolher um dos nfntos contratos de seguro (K; μk) com uma das seguntes nfntas loteras: 0 K Ou L 99% : ,0K ;% : K 0,0K com 0 K

14 9/04/06 Problema do Consumdor: K Solução - Condção de ª ordem: Maxmzar EU 0,99.U ,0K 0,0.U ,99K deu 0,99.U ,0K. 0,0 0,0.U ,99K. 0,99 0 dk Que mplca em U ,0K U ,99K Como a função U(.) é estrtamente côncava, essas duas dervadas só podem ser guas se forem calculadas no mesmo ponto. Ou seja, se ,0K ,99K ou se K Portanto ele escolhe (K=0.000; P=00) Conclusão: Obtêm-se o conhecdo resultado Se um ndvíduo avesso a rsco tem possbldade de comprar qualquer apólce de seguro, pagando um prêmo atuaralmente justo, então ele sempre escolhe a apólce com seguro total Ou seja, ele sempre rá procurar fugr da stuação de rsco, repassando-a à Ca de Seguros, fcando com a stuação (ou lotera) sem nenhum rsco: * L 99%: ;%:

15 9/04/06 Medda de Platt do Grau de Aversão ao Rsco r(w) '' U (W) ' U (W) d U(W) dw du(w) dw Interpretação: coefcente que mede o grau de aversão ao rsco do ndvíduo, meddo pelo grau de curvatura da função de utldade U(W) do mesmo. Quanto mas curvada for a função utldade, maor a parcela da rqueza que o ndvíduo está dsposto a abrr mão para se lvrar da stuação de rsco ou ncerteza. Fm 5

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