Física I. Aula 5 Energia Potencial e Conservação de energia

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1 ísca I º Semestre de 3 Insttuto de ísca- Unversdade de São Paulo Aula 5 Energa Potencal e Conservação de energa Proessor: Valdr Gumarães E-mal: valdrg@.usp.br one: 39.74

2 Energa Potencal O trabalho está assocado a transerênca de energa devdo a uma orça. Trabalho realzado sobre uma partícula, transere energa cnétca. Para um sstema de corpos, parte da energa transerda pode ser armazenada na orma de energa potencal. As orças externas que atuam no sstema são produzdas pela pessoa: orça de contato das mãos sobre o haltere, orça de contato dos pés com a Terra e a orça gravtaconal. Destas orças, apenas a de contato sobre o haltere pode produzr deslocamentos e realzar trabalho. Como esta orça é gual a P=mg (m= massa do haltere), o trabalho é mgh. A energa transerda para o sstema é armazenada na orma de energa potencal gravtaconal.

3 Energa Potencal O trabalho está assocado a transerênca de energa devdo a uma orça. Trabalho realzado sobre uma partícula, transere energa cnétca. Para um sstema de corpos, parte da energa transerda pode ser armazenada na orma de energa potencal. Outro sstema que armazena energa é uma mola. P dl P Se a mola é comprmda por uma orça, a mola resste com uma orça oposta. Se = não exste varação da energa cnétca. O trabalho realzado pela orça é armazenado na orma de energa potencal elástca. Como o deslocamento é no mesmo sentdo da orça, o trabalho realzado pela orça é postvo.

4 O Trabalho da orça peso Dos esquadores partem de um mesmo ponto em uma colna e chegam na base da colna, através de camnhos derentes. d n n n dl Os esquadores podem ser tomados como partículas, portanto vale o Teorema Trabalho-Energa Cnétca. total Temos a orça peso e a orça normal. total n g dg g dl l mgj ˆ( xˆ yj ˆ) g g g Não depende do camnho. Apenas da altura h. g mgy mg( y mg( h) mgh y )

5 orças conservatvas Quando voce é transportado por um elevador até o topo de um edíco de altura h, o trabalho realzado pela orça peso é P =-mgh. Ao retornar ao solo o trabalho realzado pela orça peso é P =+mgh. Se este movmento de subda e descda osse eto através de uma escada rolante, o trabalho da orça peso sera o mesmo. Ele ndepende do camnho segudo, dependendo apenas das posções ncal e nal.

6 orças que realzam trabalho que não dependem do camnho são chamadas de orças Conservatvas. O trabalho realzado por uma orça conservatva sobre uma partícula é ndependente do camnho percorrdo pela partícula de um ponto ao outro. Uma orça é conservatva se o trabalho que ela realza sobre uma partícula é zero quando a partícula percorre qualquer camnho echado, retornando à posção ncal. Trabalho P dl P Integral em um Camnho echado dl C

7 Integral em um Camnho echado Calcule o trabalho realzado sobre o camnho echado de uma orça =ax. P P dl C C C C C dl dl dl dl dl d d C Ad xdx A dx Ax dl ˆ ˆ 4 4 ˆ ˆ C h C dl dyj Ax dl 3 ˆ ˆ 3 d d C Ad xdx A dx Ax dl C dl Este é o caso da orça elástca d h Ax ˆ

8 unções Energa Potencal O trabalho realzado por uma orça conservatva não depende do camnho, mas apenas dos pontos extremos do camnho. Esta propredade pode ser usada para denr a unção Energa Potencal U para uma orça conservatva. Quando voce desce do topo de um edíco, o trabalho realzado pela gravdade dmnu a energa potencal do sstema. Portanto, denmos a unção Energa Potencal U de orma que o trabalho realzado pela orça conservatva é gual à redução da unção Energa Potencal. U P dl P Ou U U U P dl P Para um deslocamento nntesmal du dl

9 Para a orça gravtaconal, temos: Energa Potencal Gravtaconal mgj ˆ Para um deslocamento nntesmal du dl du ( mgj ˆ) ( dxˆ dyj ˆ dzkˆ ) mgdy Integrando, temos Genercamente U =mgy U U U du U =U U é uma constante arbtrára, a ser denda convenentemente. y y mgdy U mgy mgy Energa Potencal Gravtaconal próxmo da superíce da Terra. U U mgy

10 Energa Potencal Elástca Se voce aplca uma orça sobre o bloco ao lado e o desloca da posção x= até a posção x, O trabalho realzado pela mola é negatvo. Se voce permte que o bloco volte a posção ncal, o trabalho da orça da mola é postvo. O trabalho total realzado pelas orças na mola é nulo. orça mola =-kx Podemos denr a energa potencal elástca: du dl Integrando, temos com U U U du du U ( kxˆ) ( dxˆ ) x x kxdx kx kx kx kxdx x U x U x U U kx U é uma constante arbtrára, a ser denda convenentemente. Podemos escolher U = (para elongação nula da mola).

11 Energa Potencal Consdere o sstema consttudo pelo jogador de basquete (m= kg), o aro e a Terra. Suponha que a energa potencal do sstema seja zero quando o jogador está no solo. Encontre a energa potencal total quando o jogador está dependurado no aro. Suponha que o centro de massa do jogador passou de 8 cm do solo, para 3 cm quando dependurado. A constante elástca do aro é 7, kn/m. U U total total U total U g U el mgy cm ( kg) (9.8m / s 539N. m 8N. m kx ) (.5m) 6N. m 6,x (7 N N. m / m) (.5m)

12 Relação energa potencal e orça U du P dl P dl du dl

13 Conservação da Energa Mecânca Denmos a energa ânca de um sstema como sendo a soma da energa cnétca com a energa potencal do sstema. E K sst U sst A energa ânca de um sstema de partículas é conservada (E =constante) se o trabalho total realzado por todas as orças externas e por todas as orças nternas não-conservatvas or nulo. ext E nc para ext E K U nc

14 Exemplos Próxmo à borda da laje de um prédo de m de altura, uma bola é chutada com uma rapdez ncal de 6 m/s a um ângulo de 6. Desprezando a resstênca do ar, encontre (a) a altura máxma atngda pela bola e (b) sua rapdez ao tocar o solo. Tomamos a bola + Terra, como o sstema. ext E nc Como não exstem orças externas ao sstema, ext =. Como não exstem orças nternas não-conservatvas, nc =. Portanto, a Energa Mecânca do sstema se conserva. E E K sst U sst

15 K laje E U E laje alto laje K alto U alto v laje =6m/s y laje = v alto = v laje cosθ y laje = v laje =6m/s y solo = - m y solo v laje v g mgy laje v ( cos g alto mgy ) laje alto laje alto 9, 8 laje K laje v v gy laje E laje E solo mgy solo U laje laje K solo U solo solo alto mgy m solo vsolo vlaje gysolo m / s

16 Exemplos Um pêndulo consste de bola de massa m presa a um o de comprmento L. A bola é largada do repouso, com o o azendo um ângulo θ. Quando passa pelo ponto neror, (a) qual a rapdez da bola (b) a tensão no o. Despreze a resstênca do ar. P h L cos ) ( ext E nc P U Como não exstem orças externas ao sstema, ext =. A tensão no o é uma orça nterna não-conservatva, mas como esta orça é perpendcular à trajetóro, nc = T =. Portanto, a Energa Mecânca do sstema se conserva. E K sst U sst E E E

17 Rapdez nal E U E K U K Tensão no o mgy y =Lcosθ, v = e y = L mgy T No ponto nal mg ma cp m v L v gl( cos ) T v m( g ) m[ g g( cos )] L v gl( cos ) T mg ( 3cos )

18 Exemplos Um bloco de massa kg, em uma superíce sem atrto é empurrado 3 cm contra uma mola (K= 5N/m). O bloco é lberado e a mola se descomprme. O bloco deslza e sobe um plano sem atrto, com ângulo de 45. Qual é a altura nal atngda pelo bloco sobre a rampa, ao parar. Sstema: elementos da gura + Terra ext E nc E K sst U sst Como não exstem orças externas ao sstema, ext =. Não exstem orças nternas não-conservatvas, nc =. Portanto, a Energa Mecânca do sstema se conserva. E E E

19 E K sst E E U sst K U p U mgy mola_ kx K U p mgy U mola_ kx v =, y =, v =, e x = kx mgy kx y, 5m mg

20 Exemplos O carrnho em uma montanha russa parte de uma altura H. Quando ele está entrando no loop, ca um saco de area sobre ele, que reduz a velocdade em 5%. Consdere que o loop tem metade da altura ncal e despreze os atrtos. O carrnho consegurá completar o loop? P ext E nc P 3 ext = e nc = e a Energa Mecânca do sstema se conserva. E E mgy mgy mg4r v Rg 8 v,75v,75 8Rg P

21 P P 3 v,75v,75 8Rg E E 3 mgy 3 mgy 3 mgr v,75 8Rg 4Rg, 5Rg 3 3 para completar o loop!!! n v mg m R como n P v topo gr topo v v 3 topo O carrnho não completa o loop!!!

22 Um trenó está deslzando no plano com uma rapdez ncal de 4, m/s. Se o coecente de atrto cnétco or,4, que dstânca o trenó percorrerá? ext = e nc. Portanto, a Energa Mecânca do sstema não se conserva. ext E nc nc c x mgx c K U nc K mgx c v m( v ) mgx c gx c v x v g 5, 8 c m

23 Uma crança com 4 kg desce por um escorregador de 4 m de altura, com nclnação de 3. O seu coecente de atrto cnétco é,35. Partndo do repouso no topo, qual é a sua velocdade ao chegar na base? U mgh U ext = e nc. Portanto, a Energa Mecânca do sstema não se conserva. K U ext E nc K nc U at U K at U U m( v c s mgh v ) h cmg cos sn

24 K U U mgh at K h at cmg cos sn mgh h cmg cos sn v gh( c cos ) sn