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1 Mestrado Integrado em Engenhara Aeroespacal Mecânca e Ondas 1º Ano -º Semestre 1º Teste 31/03/014 18:00h Duração do teste: 1:30h Lea o enuncado com atenção. Justfque todas as respostas. Identfque e numere todas as folhas da prova. Problema 1 Um berlnde de massa e rao rola sem deslzar no nteror de uma taça semesférca de rao (consdere e o rao desde o centro da taça até ao centro do berlnde, com ndcado na fgura). a) Escreva as expressões da energa cnétca e da energa potencal do berlnde no nteror da taça em função do ângulo ndcado na fgura (o momento de nérca de uma esfera de massa de rao é dado por ) (sugestão: note que quando o berlnde rola de um ângulo, o respectvo centro de massa percorre uma dstânca sobre a crcunferênca de rao defnda pela taça, sendo, por sua vez ). b) Escreva a função de Lagrange do sstema na varável generalzada,, e determne a equação dferencal do movmento nesta varável (desprezando o efeto das forças de atrto). c) Mostre que, se o berlnde partr do repouso de um ponto defndo pelo ângulo ndcado na fgura, a expressão da respectva velocdade angular de rotação (em torno de um exo que passa pelo centro do berlnde), quando este atnge o ponto mas baxo da taça, é dada por: (note que não precsa de resolver a equação do movmento para responder a esta questão). Problema Uma partícula de massa e velocdade ncal de módulo colde com outra partícula de massa dêntca, ncalmente em repouso no referencal do laboratóro. a) Determne a velocdade do centro de massa do sstema (formado pelas duas partículas) no referencal do laboratóro (ndcado na fgura) em função de, no nstante anteror ao choque. b) Após o choque, verfca-se que a partícula ncdente sofre uma deflexão de um ângulo, deslocando-se com uma velocdade de módulo, enquanto a partícula ncalmente em repouso passa a deslocar-se com uma velocdade de módulo segundo uma drecção que faz um ângulo com a drecção ncal de ncdênca no referencal do laboratóro. ) Determne os valores de e em função de (sugestão: utlze um referencal do laboratóro ndcado na fgura em que o exo dos xx concde com a drecção de ncdênca); ) Verfque, a partr dos valores encontrados para e, se se trata de um choque elástco ou nelástco, justfcando claramente a sua resposta. c) A partr dos resultados encontrados na alínea anteror para as componentes de e, determne a velocdade do centro de massa do sstema após o choque, compare com o resultado encontrado na alínea a) e comente.

2 Problema 3 Um brnquedo de um parque nfantl consste numa plataforma gratóra, clíndrca, homogénea, de massa e rao (momento de nérca de um clndro homogéneo relatvo ao respectvo exo de revolução: ). a) Encontrando-se ncalmente o brnquedo em rotação com velocdade angular constante, num dado nstante, duas cranças de massas aproxmadamente dêntcas,, sentam-se smultaneamente (num movmento de drecção radal) em pontos dametralmente opostos da plataforma, fcando os respectvos centros de massa aproxmadamente a uma dstânca de do exo de rotação da plataforma. Determne a velocdade angular de rotação do sstema, após as cranças se terem sentado (consdere a massa de cada uma das cranças concentrada no respectvo centro de massa). b) ) Calcule o valor da energa cnétca de rotação do sstema antes e depos das cranças se sentarem e comente o resultado, justfcando-o; ) num dado nstante, ambas as cranças começam a travar o movmento de rotação fazendo frcção com os pés no chão, consegundo parar ao fm de 10 segundos. Admtndo que as forças de atrto exercdas pelas cranças são constantes e têm o mesmo módulo, determne o respectvo valor (consdere, como aproxmação, que os centros de massa das cranças se mantêm no mesmo ponto antes e durante a travagem).. f T 1 dp F ma P mv T mv F dt W C F dr L d L L T U 0 q dt q L r P I m R F U N r F Mm F G r e r dl dt TROT N L I 1 I

3 Soluções Problema 1 a) b) c) porque o berlnde parte do repouso para o ângulo como vmos na alínea a) Problema a) b) )

4 ) Para verfcar se o choque é elástco ou nelástco determna-se a energa cnétca do sstema antes e depos do choque: c) Confrma-se que o choque é elástco. Problema 3 Verfca-se que a velocdade do centro de massa antes e depos do choque se mantem, como sera de esperar, dada a ausênca de forças exterores aplcadas ao sstema. a) Consderando que quando as cranças se sentam na plataforma, o momento resultante das forças aplcadas é nulo (uma vez que o movmento das cranças tem a drecção radal) verfca-se a conservação do momento angular do sstema: ; ou b) ) ou (alínea anteror) A dferença entre a energa fnal e ncal corresponde à energa de lgação entre as cranças e a plataforma (nteracção nelástca). ) para constante =

5 Verfcação:

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