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1 Objetvos da aula Essa aula objetva fornecer algumas ferramentas descrtvas útes para escolha de uma forma funconal adequada. Por exemplo, qual sera a forma funconal adequada para estudar a relação entre salaro-hora e tempo de escolardade? Além dsso, após a adoção da forma funconal, esse grupo de sldes objetva auxlar o letor na nterpretação correta das estmatvas dos parâmetros do modelo proposto. Aqu, cabe ressaltar que não exstem regras rígdas e rápdas que funconem para todas as stuações.

2 Análse de Regressão Lnear Smples II Aula 02 Gujarat e Porter Seções 6.4 a 6.8 Wooldrdge, 20 Seção 2.4

3 Introdução Como dto na prmera aula da dscplna, as relações lneares não são, em geral, sufcentes para todas as aplcações em Admnstração e Economa. Assm sendo, nessa aula estudaremos maneras de ncorporar algumas nãolneardades na análse de regressão smples. Para tanto, será muto mportante sabermos defnr apropradamente as varáves dependente e ndependente. Anda, após tas transformações buscaremos fazer as nterpretações dos parâmetros em termos do problema de nteresse. 3

4 Exemplo O senhor Nusdeo tem nteresse em modelar a relação entre a quantdade demandada de um bem (varável resposta, y) e o seu preço untáro (varável explcatva, x). Anda, em posse de tal modelo, e com base numa amostra coletada ao acaso, o senhor Nusdeo gostara de encontrar uma estmatva para a elastcdade preço da demanda por tal bem. 4

5 Quantdade Demandada (em centenas de undades) Exemplo Va construção de um dagrama de dspersão, o senhor Nusdeo observa o segunte comportamento entre as varáves de nteresse: 30,00 25,00 20,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 20,00 25,00 30,00 Preço Untáro (em reas) 5

6 Modelo Log-Log O modelo de regressão y lnx ln 0 é conhecdo na prátca como modelo log-log. 6

7 Observação Nas fguras a segur são apresentados alguns possíves comportamentos entre as varáves y e x, dado por um modelo conhecdo como log-log y 0 lnx y lnx ln ln 0

8 ln(quantdade) Voltando ao Exemplo Após aplcar a transformação ln( ) em ambas as varáves de nteresse, o senhor Nusdeo observou, va dagrama de dspersão, a segunte relação entre as varáves de nteresse: 3,40 3,20 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,25 2,75 3,25 3,75 ln(preço) 8

9 Voltando ao Exemplo Com base na amostra coletada, o senhor Nusdeo obteve os seguntes resultados:

10 Voltando ao Exemplo Com base no quadro anteror, a equação estmada fca dada por ln quantdade 6,6,25ln( preço) Fnalmente, qual nterpretação deve ser dada para a estmatva do parâmetro assocado ao regressor, em termos do problema?

11 Alguns Resultados Útes a) Varação absoluta: x x x 0 b) Varação relatva: x x 0 c) Varação relatva percentual: % x x 00 x0 d) Para pequenas varações em x, x 00 ln % x e) Para x 0, ln( x) x

12 Modelo Log-Log Usando os resultados do slde anteror, não é dfícl ver que, para o modelo y lnx ln 0 a nterpretação assocada ao parâmetro pode ser expressa como % E y % x x (elastcdade) 2

13 Voltando ao Exemplo Voltando à equação estmada ln quantdade 6,6,25ln( preço) não é dfícl observar, após utlzar os resultados do slde anteror, que a estmatva assocada ao parâmetro reflete a elastcdade preço da demanda.

14 Elastcdade O coefcente de elastcdade,, da varável y em relação à varável x, que mede a varação percentual de y correspondente a uma dada varação percentual em x, pode ser calculado pela segunte expressão: η dy dx x y Exercíco: Prove que o parâmetro, no modelo log-log, é a elastcdade da varável y em relação à varável x. 4

15 Exemplo 2 Na prmera aula da dscplna tratamos de um exemplo lgado à modelagem do efeto do tempo de escolardade no saláro-hora dos norteamercanos. Para tanto, uma amostra aleatóra de 27 ndvíduos fo nvestgada e o dagrama de dspersão encontra-se ao lado:

16 Após uma análse descrtva bastante detalhada, chegamos à segunte equação estmada: Exemplo 2 ln( salaro),78 0, 09educ Pergunta: é estmado que cada ano a mas de escolardade aumente quanto, em méda, o saláro-hora dos norte-amercanos?

17 Modelo Log-Nível O modelo de regressão ln y 0 x é conhecdo na prátca como modelo log-nível.

18 Observação Na fgura a segur são apresentados dos possíves comportamentos entre as varáves y e x, dada pelo modelo log-nível, dependendo do snal do parâmetro. ln y 0 x 8

19 Voltando aos Resultados Útes a) Varação absoluta: x x x 0 b) Varação relatva: x x 0 c) Varação relatva percentual: % x x 00 x0 d) Para pequenas varações em x, x 00 ln % x e) Para x 0, ln( x) x

20 Modelo Log-Nível Usando os resultados do slde anteror, não é dfícl ver que, para o modelo ln y 0 x a nterpretação assocada ao parâmetro pode ser expressa como % E y x x 00 (sem-elastcdade) 20

21 Observação Caso seja um parâmetro assocado a uma varável explcatva numérca no nível, num modelo em que a varável resposta se encontra no ln( ), é nteressante se fazer uma correção para se ter uma nterpretação mas adequada dos resultados, caso as mudanças em ln(y) sejam grandes demas, já que a aproxmação % y 00 ln(y) pode se mostrar muto mprecsa. 2

22 Observação (cont.) O uso de algumas propredades algébrcas das funções exponencas e logarítmcas produzem resultados mas adequados para a porcentagem de mudança no valor de y, que é dado por exp x. 00 (lembre-se que o mas usual é adotar x = ) Nota: Tal ajuste não é tão crucal para pequenas mudanças percentuas. 22

23 Após uma análse descrtva bastante detalhada, chegamos ao segunte modelo estmado: Voltando ao Exemplo 2 ln( salaro),78 0, 09educ Pergunta: é estmado que cada ano a mas de escolardade aumente quanto, em méda, o saláro-hora dos norte-amercanos?

24 Exemplo 3 Rose Jole, médca de um grande hosptal unverstáro tem nteresse em estmar o valor médo da varação absoluta no peso dos recém-nascdos dada uma varação percentual na renda mensal famlar. Para responder a esse objetvo, a médca construu uma base de dados (bwght.wf) contendo nformações como, por exemplo, pesonasc peso do recém-nascdo, em gramas; cgs número de cgarros fumados, ao da, pela mãe, durante a gravdez; rendafam renda famlar mensal, em mlhares de reas; para uma amostra aleatóra de 388 famílas.

25 Dentre os modelos, Exemplo 3 (cont.) pesonasc 0 rendafam pesonasc lnrendafam ln 0 ln rendafam pesonasc 0 pesonasc 0 ln rendafam qual sera o mas ndcado para fornecer dretamente a estmatva de nteresse para a médca? Anda, baseando-se no modelo escolhdo, quanto vale a estmatva de nteresse?

26 Modelo Nível-Log O modelo nível-log, assm como o modelo log-nível, também é conhecdo na lteratura como modelo semlogarítmco. Anda, usando os resultados apresentados no slde 9, não é dfícl ver que, para o modelo y 0 ln x a nterpretação assocada ao parâmetro pode ser expressa como E y x % x 00 26

27 Observação Na fgura a segur são apresentados dos possíves comportamentos entre as varáves y e x, dada pelo modelo nível-log, dependendo do snal do parâmetro. y 0 ln x

28 Adotando o modelo Voltando ao Exemplo 3 pesonasc 0 ln rendafam quanto vale a estmatva de nteresse da médca?

29 Formas Funconas Mas Usuas Tpo de Relação Modelo Estatístco Interpretação de Nvel-Nível Log-Log (potênca) Log-Nível (exponencal) Nível-Log (sem-log) ln(y ) 0 ln(x ) ln(y ) x ε y y 0 x 0 0 ln(x ) ε ΔE y x Δx % Ey x % x % E y x x E y % x 00 x 00 29

30 Leturas Complementares

31 Letura Complementar I (O Modelo Recíproco) 3

32 Exemplo MUKHERJEE, WHITE e WHYTE (998), coletaram nformações sobre mortaldade nfantl (MI número anual de óbtos de cranças menores de 5 anos por 000 nascdos vvos), PNB per capta (PNB per capta em 980) e algumas outras varáves de 64 países. 32

33 NOTA* O Produto Interno Bruto (PIB) dfere do Produto Naconal Bruto (PNB) bascamente pela Renda Líquda Envada ao Exteror (RLEE). A RLEE é desconsderada no cálculo do PIB e consderada no cálculo do PNB, nclusve porque o PNB é gerado a partr da soma do PIB mas entradas e saídas de captal. A RLEE representa a dferença entre recursos envados ao exteror (pagamento de fatores de produção nternaconas alocados no país) e os recursos recebdos do exteror a partr de fatores de produção que, sendo do país consderado, encontram-se em atvdade em outros países. Assm (e smplfcadamente), caso um país possua empresas atuando em outros países, mas proíba a nstalação de transnaconas no seu terrtóro, terá uma renda líquda envada ao exteror negatva. Anda, o país exemplfcado terá um PNB maor que o PIB. No caso braslero, o PNB é menor que o PIB, uma vez que a RLEE é postva (ou seja, enva-se mas recursos ao exteror do que se recebe). 33

34 Mortaldade Infantl (MI) Voltando ao Exemplo Como parte do estudo, os autores buscaram encontrar alguma relação entre MI e PNB, cujo dagrama de dspersão encontra-se dsponível a segur: PNB per capta 34

35 Voltando ao Exemplo Do gráfco anteror, podemos observar que à medda que o PNB per capta aumenta, a mortaldade nfantl reduz. Tal comportamento já era esperado, uma vez que, mantendo tudo o mas constante, as pessoas podem elevar seus gastos com saúde à medda que o PNB per capta aumenta. Todava, a relação entre as varáves parece ser não lnear. Assm, os autores anterormente ctados resolveram propor um modelo recíproco para analsar o comportamento entre essas duas varáves. 35

36 O Modelo Recíproco O modelo y 2 x é conhecdo na lteratura como modelo recíproco. Este modelo apresenta os seguntes aspectos: quando o valor do regressor aumenta ndefndamente, o termo 2(/x) tende a zero e a varável resposta, portanto, aproxma-se de um valor lmte ou assntótco. 36

37 O Modelo Recíproco Na fgura a segur são apresentados dos possíves comportamentos entre as varáves y e x, dada pelo modelo recíproco, dependendo do snal do parâmetro 2. 37

38 O Modelo Recíproco Para o modelo recíproco, dado por: y 2 x não é dfícl mostrar que: dy dx - 2 x 2 η dy dx x y x x y xy (elastcdade) 38

39 Voltando ao Exemplo Resultados obtdos após a estmação, por MQO: MI 2 PNB 39

40 Voltando ao Exemplo Na medda em que o PNB per capta aumenta ndefndamente, a MI aproxma-se de seu valor assntótco de 82 óbtos anuas de cranças menores de 5 anos por 000 nascdos vvos, em méda. Anda, como a estmatva para o parâmetro 2 deu postva, sso mplca que a taxa de varação da MI em relação ao PNB seja negatva. 40

41 Letura Complementar II (O Modelo Log-Inverso) 4

42 O Modelo Log-Inverso A forma funconal para o modelo log-nverso é dada por: y ln 2 x Anda, não é dfícl verfcar que: dy dx y 2 x 2 dy x η dx 2 y x (elastcdade) 42

43 O Modelo Log-Inverso Observação Apenas para fns lustratvos, a fgura ao lado apresenta o comportamento entre as varáves y e x, dada pelo modelo lognverso, para 2 > 0. 43

44 Resumo dos Resultados 44

45 Quadro Resumo (Alguns Resultados Útes) dy Tpo Modelo Estatístco Elastcdade dx Lnear Recíproco Log-Log y y = a+ x +e x e ln(y ) ln(x ) e - y x 2 x x y - x y Log-Nível ln(y ) x e y x Nível-Log Log-Inverso y ln(x ) e ln(y ) x e x y x 2 y x

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