Física I para Oceanografia FEP111 ( ) Aula 10 Rolamento e momento angular

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1 Físca para Oceanograa FEP (4300) º Semestre de 0 nsttuto de Físca- Unversdade de São Paulo Aula 0 olamento e momento angular Proessor: Valdr Gumarães E-mal: valdr.gumaraes@usp.br Fone:

2 olamento e momento angular olamento descreve o movmento de carros, bccletas e outros... Momento angular é um conceto útl para se entender a ísca das rotações.

3 olamento sem deslzamento olamento é a mstura do movmento de translação do centro de massa mas o movmento de rotação. No olamento sem deslzamento cada ponto toca apenas uma vez no chão e a translação acompanha a rotação. ds d r Condção para que não haja deslzamento v CM r Velocdade de translação S r Velocdade de rotação

4 Velocdades no movmento de rolamento otação pura translação pura rolamento

5 Dnâmca do rolamento Sem atrto = deslzamento Com atrto = rolamento Portanto o atrto é a orça responsável pelo movmento de rolamento. Equação para rotação. ext F Fext ma atrto r Equação para translação. Com a r Quando temos atrto estátco (sem deslzamento no ponto de contato) se consdera que não há perda de energa no sstema, ou seja, que o sstema é conservatvo. sto é aproxmadamente correto.

6 olamento sem deslzamento Exemplo: Uma bola de bolche, com de rao e 7, kg, rola sem deslzar a,0 m/s. Ela contnua a rolar sem deslzar, ao subr uma rampa até a altura h, quando atnge o repouso. Determne h. Atrto estátco Não há perda de energa Sstema conservatvo. Não exstem orças externas e nem orças nternas dsspatvas. W ext E mec W nc 0 E 0 mec m 5 Energa Mecânca se conserva. U K U K mgh 0 0 mv 7v h 0g 9

7 olamento sem deslzamento Uma bola macça, de rao e massa m, desce rolando um plano nclnado com ângulo θ, sem deslzar. Determne a orça de atrto e a aceleração do centro de massa. Vamos aplcar a Segunda e de Newton à bola (rotação e translação). otação: Translação: ext Fat ext F a plano nclnado ext ma F at F F ext res Com v a mgsn mgsn a F at ma ma a g sn m

8 olando de um plano nclnado, quem chegara prmero? esera clndro anel genercame nte k 0.5 para anel Mk 0.66 para clndro 0.7 para esera esera clndro anel a 5 M M g sn m M g sn k Portanto esera chega prmero!!!

9 Qual sera o maor ângulo para que não houvesse deslzamento? ext Fat a F at a r Usando que: Mk a g sn k F at a Por outro lado: Mgsen ( k k Mk F ) at gsen k ( ) N e Mg cos e Mgsen ( Mg cos e tg k k ) ( k k ) e

10 T Qual a velocdade e energa cnétca no nal da rampa? V V h Ssen V as gsen h k ( ) sen Energa cnétca no nal da rampa. MV gh k ( ) V? Mk V V 0 k Usando que: T ) MV ( Força de atrto não realza trabalho porque no ponto de contato não há deslocamento. Força de atrto apenas converte parte a energa de translação em rotação. Substtundo o valor da velocdade. T gh k M ( k ( ) ) Mgh Energa cnétca nal = Energa potencal Mas e a energa dsspada pelo atrto?

11 Bola de Snuca Um taco atnge uma bola de blhar em um ponto a uma dstânca b aa do centro da bola. Determne o valor de d para que a bola role, sem deslzar. _ ncal b b = parametro de mpacto F P t Para rolamento sem deslzamento otação: Translação: mpulso ncal do taco: Ft MV t ext Fext v F Com a ext ma ncal Ft P MV MV Taco dá uma velocdade ncal de translação e rotação.

12 _ ncal b b = parametro de mpacto Fbt bft t M 5 M 5 Usando que: Fb M Ft 5 MV Sentdo horáro torque negatvo bmv M 5 5 bv Para que a bola V 5 role sem deslzar b Velocdade angular no sentdo horáro b 5

13 A natureza vetoral da rotação Agora, vamos consderar os casos em que o exo de rotação pode alterar a sua dreção. sto explcta a natureza vetoral da rotação. Denmos a dreção do vetor velocdade angular como perpendcular ao plano de rotação e o sentdo dado pela regra da mão dreta.

14 A natureza vetoral do Torque A denção mas completa do torque é dada em termos do produto vetoral r F Torque é um vetor perpendcular ao plano ormado pelos vetores r e F r Fsen

15 Momento Angular O momento angular desempenha o mesmo papel na rotação que o momento lnear desempenha na translação. Na translação temos: p mv F res dp dt d( mv) dt dv m dt ma Por analoga à quantdade de movmento lnear podemos também escrever denção de Newton para a sua segunda le. r F r Denmos a Quantdade de Movmento Angular (ou Momento Angular) em relação à orgem, como sendo segunda le de Newton na rotação. dp dt d( r p) dt r p d dt

16 Momento Angular A gura ao lado, mostra uma partícula de massa m, na posção r, se movendo com uma velocdade v. Ela possu uma quantdade de movmento lnear p mv Denmos o Momento Angular em relação à orgem, como sendo r p

17 Momento Angular r Por analoga à quantdade de movmento lnear p mv podemos também escrever p Porém, se mudarmos a orgem do sstema de coordenadas, em relação ao plano da órbta, obtemos um novo valor de que não é paralelo a ω. sto ndca que a últma denção não é unversal. r p

18 Momento Angular r p No entanto, se tvéssemos duas massas smétrcas em relação ao exo z, sera paralelo a ω. sto mostra que a últma denção é válda apenas quando temos smetra em relação ao exo de rotação.

19 Mas analogas A segunda le de Newton para a translação pode ser escrta como: F ext dp dt A segunda le de Newton para a rotação pode ser escrta em termos do torque e momento angular como: ext dt ss d ss Para corpos pequenos e partículas é mas prátco usarmos: r p r mv Para corpos extensos grando usamos:

20 momento de nérca () de uma partícula m r Energa Cnétca otaconal K Um corpo consste de 4 partículas pontuas, com massas m, lgadas por hastes sem massa, como na gura ao lado. O sstema gra com velocdade angular ω em torno do centro do corpo. (a) Determne o momento de nérca do corpo. (b) Determne a energa cnétca do corpo. m r 4ma Energa Cnétca otaconal K K ma

21 Uma pola sem atrto nos mancas, tem dos blocos, de massas m > m, lgadas por um o de massa desprezível. A pola é dsco de massa M e rao. Determne a aceleração dos blocos. Vamos xar o sstema de coordenadas no exo da pola, com o exo z paralelo ao exo da pola. total p P P Como os vetores torque, velocdade angular e momento angular são paralelos ao exo z, podemos tratar este problema, como undmensonal e trabalhar escalarmente. r p r psen mv z p z m v m v

22 ext n g P P ext ext m g d dt m g z m v m v d ext ( m m ) a dt P P Usando que: a a M a m g m g M ( m m) a m m m m M g /

23 Conservação do Momento Angular Quando o torque externo resultante sobre um sstema é nulo, temos: ext d dt 0 ss cte Assm para sstemas solados e sem torque externo temos a Conservação do Momento Angular do sstema. O peso não gera torque em relação ao exo que passa pelo centro de massa.

24 Dscos sobrepostos O dsco gra lvremente com velocdade angular ω. Seu momento de nérca é. Ele ca sobre o dsco, com momento de nérca, que está em repouso. Devdo ao atrto cnétco, os dos dscos tendem a ter a mesma velocdade. Determne ω ext d dt Temos a Conservação do Momento Angular do sstema. 0 ( cte )

25 Portanto, a Energa Cnétca não se conservou e nem a energa mecânca. Energa Vamos vercar a conservação da energa cnétca K ) ( Podemos escrever a Energa Cnétca de otação como: K K ) ( ) )( ( K K K ) ( se

26 Um parque possu um pequeno carrossel de 3,0 m de dâmetro e 30 kg.m de momento de nérca. Cnco colegas se colocam próxmo à borda, com o carrossel grando a 0 rpm. Quatro dos colegas se movam rapdamente para o centro do carrossel (r= 30 ). Se a aceleração centrípeta necessára para atrar o qunto colega para ora do carrossel é de 4g, determne se este o arremessado. (a massa de cada colega é 60 kg) Como o torque externo em relação ao exo do carrossel é nulo, há conservação da quantdade de movmento angular 5m carr 805kg. m carr m 87kg. m 0,0rpm.09rad / 4mr 56,rpm 5,88rad / s v a c 5,9 m / s 5g Arremessado! s

27 Uma crança de 5 kg, corre a,5 m/s, tangente à borda de um carrossel de rao,0 m. O carrossel ncalmente em repouso, tem momento de nérca de 500 kg.m. A crança pula sobre o carrossel. Determne a velocdade angular nal do conjunto. Como o torque externo em relação ao exo do carrossel é nulo, há conservação da quantdade de movmento angular mv r c mv mv mv m 0,rad / s carr m carr

28 Uma partícula de massa m se move sem atrto com velocdade v 0 em um círculo de rao r 0. A partícula está presa a um o que passa por um uro na mesa. O o é puxado até que o rao do movmento passe a ser r. (a) Determne a velocdade nal. (b) Determne a tensão no o. (c) Determne o trabalho realzado pela tensão sobre a partícula. Como a tensão é radal, não realza torque sobre a partícula, então há conservação da quantdade de movmento angular da partícula. a) b) r mv r0 mv0 T m v r r mv mrv T 3 r 0 mv 0 mr r v 0 0 v r

29 c) T mr 3 W F dl Tdr W W r r r 0 Tdr m r r0 r 0 mr 3 dr

30 Para pensar! Uma pessoa está sobre uma cadera gratóra, com a roda de bccleta com seu exo na vertcal. Se ela gra a roda, o que acontece com a cadera? A mesma condção anteror, porém com o exo da roda na horzontal. Como azer para colocar o exo na vertcal? O que acontece com a cadera?

31 oda de bccleta Groscópo A roda de bccleta vsta na aula consste em um corpo em rotação chamado de groscópo, com o seu exo lvre para alterar a sua dreção. A quantdade de movmento angular da roda é: Aplcando-se a segunda le de Newton para a rotação, temos: d dt Mas também res módulo r Mg DMg

32 O torque pode mudar tanto a velocdade de rotação, aumentando a ntensdade de, como também pode mudar apenas a dreção do vetor momento angular. Da mesma orma que a orça centrípeda altera apenas a dreção do vetor velocdade. A velocdade de precessão da roda em torno do exo vertcal é dada por: p p d dt res d dt MgD res d dt Movmento de precessão d d d dt d dt

33 Uma barra na de massa M e comprmento d está pendurada em um pvô. Um pedaço de massa de modelar de massa m e velocdade v, atnge a barra a uma dstânca x do pvô e se prende a ela. Determne a razão entre as energas cnétcas antes e depos da colsão. A colsão é nelástca, não há conservação da energa mecânca do sstema. K mv K mx Md 3 r mv mvx

34 Durante a colsão há uma grande orça no pvô, portanto não há conservação da quantdade de movmento lnear. A orça no pvô é radal, não exste torque e temos conservação da quantdade de movmento angular. r mv mvx K K K mv 3 ( mvx) (3mx Md ) K K K K 3 ( mvx) (3mx Md mv Md 3mx )

35 Consdere a stuação ao lado. Ela é semelhante à do problema anteror? A quantdade de movmento se conserva? Como vara ω em unção do rao? Como a tensão não é radal, exste um torque sobre a partícula, então não há conservação da quantdade de movmento angular da partícula.