Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 3-3º semestre de 2012 Profa Gisele A.A. Sanchez

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1 Engenhara Cvl/Mecânca Cálclo - º semestre de 01 Proa Gsele A.A. Sanchez 4ª ala: Dervadas Dreconas e Gradente Gradentes e dervadas dreconas de nções com das varáves As dervadas parcas de ma nção nos dão a taa de varação de nas dreções paralelas aos eos coordenados: dá a taa de varação de na dreção do eo ( é tratado como constante) dá a taa de varação de na dreção do eo ( é tratado como constante) Como calclar a taa de varação de nma dreção qalqer? Eemplcando: A gra segnte mostra o dagrama de nível da temperatra, em 0 C, no ponto (,. Qal é a taa de varação méda da temperatra qando vamos do ponto A ao ponto B? O ponto A está perto da crva de nível C = 4 0 C, enqanto o ponto B está em C= 0 0 C. O vetor deslocamento de A para B tem componente- apromadamente gal a -0 e componente- apromadamente gal a j, de modo qe o se comprmento é ( 0) (). Assm a temperatra sobe 0 C qando movemos metros, sto é, a varação méda da temperatra nessa dreção é de cerca de 0, 0 0 C/m A taa de varação de ma nção nma dreção arbtrára é dada pela dervada dreconal. Representando a dervada dreconal de no ponto (a, e na dreção do vetor por, temos: Se é ma nção derencável de das varáves e = 1 j m vetor ntáro, então a dervada dreconal de é dado por: (, (, 1 (, A dervada dreconal (, no ponto P(a, é dado por: 1

2 Eemplos: 1) Seja (, = 4 e o vetor = pede-se: a) Determnar a dervada dreconal de em relação ao vetor Determnar a dervada dreconal de no ponto P = (1, -) na dreção do vetor ) Seja (, =. Ache a dervada dreconal de no ponto P(-1,) na dreção do vetor v = 4 j. P(-1,) v= 4 + j O vetor v com ponto ncal P(-1,) está representado na gra acma. Qeremos determnar (-1,) para o vetor ntáro qe tem a dreção de v = v = v 4 j 4 j Como (, = e 4 (, ), temos qe: (, ( ) ( ) 4 Logo em P(-1,), ( 1,) ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 ) Determne a dervada dreconal de (, = 4 na dreção do vetor se é o vetor ntáro dado pelo ânglo = 6 no ponto P( 1,) 1 R: Obs: se o vetor ntáro az m ânglo com o eo postvo, então podemos escrever (, (, cos (, sen 4) Determne a dervada dreconal de (, = em P(,8) na dreção de Q(,4) R: / Gradente Podemos epressar a dervada dreconal como m prodto escalar de dos vetores: (, (, 1 (, = [ (, (, j ]. [ j ) 1 ]

3 O vetor dentro do 1º par de colchetes, cjos componentes são as dervadas parcas prmeras de é de grande mportânca e é chamado gradente de. Indcamos o gradente de como grad o (, Logo, o gradente de é ma nção vetoral dada por: (, = (, (, j Assm podemos reescrever a dervada dreconal em nção do gradente: (,. O seja, a dervada dreconal é o prodto escalar entre o gradente e o vetor. Eemplo: Dados: (, = + 7 ; P(1,) a. Determne o gradente de b. Calcle o gradente no ponto P O vetor gradente Sponha qe tenhamos ma nção de das o três varáves e consdere todas as possíves dervadas dreconas de em m ponto dado. Isto nos dará a taa de varação da nção em todas as dreções possíves no ponto consderado. Em qal dessas dreções vara mas rapdamente e qal é a taa de varação? Vmos qe a dervada dreconal de ma nção na dreção de m vetor ntáro pode ser escrta como =., sto é, a dervada dreconal de na dreção de é prodto escalar dos vetores e. Sendo assm, de acordo com a nterpretação geométrca de prodto escalar de dos vetores temos: =.. cos ( é o ânglo entre os vetores e ). Imagne qe está o e qe pode grar ( veja a gra abao) ( Fgra da pág 71 do lvro; Cálclo de váras varáves_: Mc Callm) O valor mámo de cos =1 e o valor mínmo de cos = -1. Assm, o valor mámo da dervada dreconal acontece qando = 0 ( aponta na dreção de ) e o mínmo qando = ( aponta na dreção oposta de )

4 Teorema: Sponha qe seja ma nção derencável de das o três varáves. O valor mámo da dervada dreconal ocorre qando tem a mesma dreção qe o vetor gradente e o valor mámo de é gal ao módlo do vetor gradente, pos se =.. cos, então = porqe cos =1 e = 1 ( é vetor ntáro) Portanto: O vetor gradente aponta na dreção da maor taa de varação nm ponto e se módlo é essa taa máma Eemplo: 1) Se (, = e 1, determne a taa de varação de no ponto P(,0) na dreção de P a Q(,). Em qe dreção tem a máma taa de varação? Qal é a máma taa de varação? ) Sponha qe em ma certa regão do espaço o potencal elétrco V seja dado por V(,,z) = - + z. a) Determne a taa de varação do potencal elétrco em P(,4,) na dreção do vetor v = +j k. Em qe dreção V vara mas rapdamente em P? Encontre a taa máma de varação em P. Gradentes e dervadas dreconas de nções com varáves Calclamos as dervadas dreconas de ma nção de três varáves do mesmo modo qe para ma nção de das varáves. Se a nção é derencável no ponto (a, e ntáro, então a taa de varação de (,,z) na dreção de no ponto P(a, é: 1 z 1 j k é m vetor Da mesma orma, o vetor gradente de ma nção de três varáves é dendo como o gradente de ma nção de das varáves: grad (a, = ( a, j z ( a, k Eemplos: 1) Determnar a dervada dreconal da nção (,,z) = + - z, em P(1,,) na dreção do vetor v j k R : - ) Encontre o vetor gradente da nção (,,z) = ( + ) z R: 4 4 j zk Eercícos: 1) Calcle a dervada dreconal de (, = + em (1,0) na dreção do vetor v j R: ) Determne a dervada dreconal da nção (, = 4 no ponto P(,-1) na dreção do vetor v = + j R: 9 9 ) Determne a dervada dreconal de (, = e no ponto P(0,4) e na dreção ndcada pelo ânglo R: +

5 4) Determne a dervada dreconal da nção no ponto dado na dreção do vetor v : a. (, = 1 + ; P(,4) ; v = 4 j R: b. (, = 4 ; P (,1); v = + j R: - c. (, =e ; P(0,1); v = + j R: e 8 d. (,= +; P(-1,); v = + j R: e. (,,z)= + + z; P(,0,-1) ; v = +j-k R: z 0. (,,z)= e e ze ; P(0,0,0) ; v = +j-k R: 1 9 g. (,,z)= ( ++z) ; P(1,1,) ; v = j- k R: ) Ache o vetor gradente de (, = + e no ponto P( 1,1) R: e j 6) Dados: (, = -4 a. Determne o gradente de b. Calcle o gradente no ponto P 1, P(1,) e = j, 1 1 c. Determne a taa de varação de em P na dreção do vetor v 6 7) Idem para (, =e z ; P( 1,,1) ; = j k ) Se (,,z) = sen(z): a. Determne o gradente de b. Determne a dervada dreconal de no ponto P(1,,0) na dreção de v = + j k R: a) sen(z)+ z cos (z)j + cos(z) k - 9) Determne a taa de varação máma de no ponto dado e a dreção em qe sso ocorre: a) (, = ; (,4) (, = sen( ; (1,0) (,,z)= z ; (,6,-) Fontes: Cálclo de Váras Varáves- Mccallm e otros;edtora Edgard Blücher Ltda Cálclo-Volme - James Stewart- Cengage Learnng Cálclo B- Gonçalves e otros- Pearson Cálclo com Geometra Analítca- Vol - Swokowsk

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