Fluido Perfeito/Ideal

Transcrição

1 ν ref ref e L R scosdade do fludo é nula, ν0 - Número de Renolds é nfnto Admtndo que a conductbldade térmca é 0 s s s t s s t s Ds Admtndo que a conductbldade térmca é sufcentemente pequena para que se possa desprear a quantdade de calor que o escomento troca com o eteror: Escoamento adabátco A entropa por undade de massa de qualquer partícula mantém-se constante ao longo do tempo 0 t Equação da contnudade (conservação da massa) Equações que regem o escoamento D D Fludo ncompressível, constante

2 Equações que regem o escoamento Equações de Euler (balanço de quantdade de movmento) ( ) F p D 1 ( ) F p t F p t F p t F p t Equações de Euler (balanço de quantdade de movmento) Força gravítca Equações que regem o escoamento Identdade vectoral ( ) ( ) ( ) k j g gk F rot com.

3 Equações que regem o escoamento Equações de Euler (balanço de quantdade de movmento) t D 1 p ( g) 1 rot p g 0 Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull (balanço de energa) aração de uma propredade p ao longo do do deslocamento, dr p p p dp d d d p dr

4 Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Produto nterno do vector dr pela equação de balanço de quantdade de movmento ao longo de uma lnha de corrente, dr 1 ( rot ) dr p dr g 0 dr dp d g 0 Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Escoamento sentrópco, ds0 dp dp dh Tds ds 0 dh d g h 0 - Ao longo de uma lnha de corrente g h constante

5 Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Escoamento ncompressível, constante p dh d p d g 0 - Ao longo de uma lnha de corrente p g constante Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Escoamento a entropa constante, s 0 1 h p g h rot

6 Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Escoamento ncompressível, constante p h p g rot Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Para rot 0 g h constante Em escoamento ncompressível, constante p g constante

7 Equações que regem o escoamento Equações de Bernoull em regme permanente (balanço de energa em regme estaconáro) Casos em que rot , Hdrostátca. rot, Escoamento de Beltram 3. rot 0, Escoamento rrotaconas ou potencas ortcdade, Ω Ω rot d B O d ortcdade e Crculação θb dt A θ A dt j k Escoamento no plano, OA e OB lnhas elementares elocdade do sstema de eos é dêntca à do ponto O

8 d ortcdade, Ω Ω rot B O d ortcdade e Crculação θb dt A θ A dt Análse do movmento de rotação de OA e OB elocdade nos pontos A e B A d d Ao fm de dt, OA rodou θ A e OB rodou θ B dθ A ddt dθ B B ddt d ortcdade, Ω Ω rot B O d ortcdade e Crculação θb dt A θ A dt elocdade angular méda 1 θ A B θ 1 k dt dt Ω k Ω representa o dobro da velocdade angular méda do elemento de fludo se rodasse como um corpo rígdo

9 ortcdade e Crculação Lnhas, Superfíces e Tubos de órtces - Lnha de vórtce é a lnha que em todos os pontos é tangente ao vector vortcdade, Ω Ω ds 0 d Ω - Superfíce de vórtce é a superfíce consttuda por todas as lnhas de vórtce que passam por uma curva arbtrára num determnado nstante d Ω d Ω ortcdade e Crculação Lnhas, Superfíces e Tubos de órtces - Se uma superfíce de vórtce estver assente numa curva fechada temos um tudo de vórtce - Fluo de vortcdade através de uma superfíce S que lmta um volume R Ω nds. Ωd 0 S R. Ω. rot. ( ) ( ) 0

10 ortcdade e Crculação Crculação da velocdade ao longo de um contorno fechado, Γ Γ r δ δ sgnfca dferencação no espaço num determnado nstante de tempo ortcdade e Crculação aração de Γ com t para um crcuto formado por partículas de fludo DΓ D D Dδr δr δr Dδr Dr δ δ δ δ

11 ortcdade e Crculação aração de Γ com t para um crcuto formado por partículas de fludo Dδr DΓ δ 0 D δr ortcdade e Crculação Conservação de Crculação, Γ, no espaço nds Ωd Ω S S S R 1 w 0 Para um tubo de vórtce na regão R lmtada por quasquer duas superfíces S 1 e S que cortam o tubo e a parede lateral S w

12 Conservação de Crculação, Γ, no espaço - Em S w, Ω n 0,donde Ω nds Ω nds 0 S1 S - n é a normal eteror a R. Consderando com snas dêntcos Ω n1ds Ω nds S1 S Ω nds constante ds Γ Γ C S n e 1 n - é a crculação de velocdade ao longo de qualquer curva C que envolve o tubo de vórtce e que esteja stuada sobre a superfíce C C Conservação de Crculação, Γ, no espaço Ω nds constante ds Γ S ortcdade e Crculação - m tubo de vórtces não pode termnar no seo do fludo - A ntensdade de um tubo de vórtces só pode varar entre duas secções se flamentos de convenente ntensdade se unrem ou dearem o tubo C C

13 Para um tubo de vórtce de secção elementar - Flamento de vórtce ΓC Ω n ds - Tomando n paralelo a Ω 1 Γ C ΩdS Ω ds - órtce concentrado ds 0 Γ lm Ω nds - Folha de vórtces: Superfíce de vórtces formada por vórtces concentrados ds 0 Ω Teorema de Kelvn ortcdade e Crculação DΓ D δr - Para escoamento a entropa constante D ( h g) DΓ ( h g) δr 0

14 Teorema de Kelvn DΓ D δr - Para fludo ncompressível D p g DΓ p g δr 0 - Crculação de velocdade ao longo de um contorno fechado que se desloca com o fludo mantem-se constante ao longo do tempo Consequêncas do Teorema de Kelvn DΓ D C Ω nds 0 - Fluo de vortcdade através de uma superfíce materal mantem-se constante ao longo do tempo - ortcdade é convectada pelo fludo. Se uma superfíce formada por partículas de fludo concde com uma superfíce de vórtce num dado nstante, então permanecerá uma superfíce de vórtce. m tubo de vórtce é consttuído sempre pelas mesmas partículas de fludo.

15 ortcdade e Crculação Consequêncas do Teorema de Kelvn DΓ C D Ω nds 0 - ortcdade é convectada pelo fludo Se Ω0 num dado nstante, Ω0 sempre. Permanênca do escoamento rrotaconal Escoamentos de fludo perfeto ncados do repouso são rrotaconas Em t 0, 0 Ω 0 Escoamento Irrotaconal e Incompressível Escoamento Irrotaconal Ω rot 0 elocdade obtda a partr do gradente de uma função potencal (escalar) de velocdade φ Equação da contnudade (conservação da massa) 0 φ 0

16 Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Escoamento b-dmensonal, 0 Escoamento ncompressível, constante Equação da contnudade com φ φ 0 - Equação de Laplace - Equação lnear φ - Equação de Laplace Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível φ φ 0 - A combnação lnear de soluções partculares da equação de Laplace também é uma solução da equação de Laplace. - Teora das funções de varável complea permte a obtenção de soluções analítcas

17 Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Função de corrente, ψ - Equação da contnudade 0 j - ψ(,), função de corrente, obedece a ψ, dψ d d ψ Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Função de corrente, ψ ψ ψ - Equação das lnhas de corrente, dψ0 d d 0 d d

18 Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Função de corrente, ψ - Sgnfcado físco de ψ - ψ0 na parede - Caudal escoado entre a parede e a lnha de corrente dψ dq d dq dψ ψ Q d Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Função de corrente, ψ - ψψ 1 ψ o é gual ao caudal escoado entre as lnhas de corrente ψ 1 e ψ o - Estes resultados baseam-se apenas na equação da contnudade pelo que são váldos para qualquer escoamento ncompressível plano

19 Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Função potencal de velocdade, φ - Escoamento rrotaconal, φ(,), função potencal de velocdade, obedece a dφ d d φ φ, Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Função potencal de velocdade, φ φ φ - Equação das lnhas equpotencas, dφ0 d d 0 d d

20 Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível Equação da contnudade aplcada a φ φ φ 0 Condção de rrotaconaldade aplcada a ψ ψ ψ 0 Escoamento B-dmensonal, Irrotaconal e Incompressível A função potencal φ e a função de corrente ψ obedecem à equação de Laplace Lnhas de corrente são perpendculares às equpotencas φ j e ψ φ ψ 0 j

21 Funções Analítcas Potencal Compleo, função de varável complea φ(, ) ψ (, ) θ re com r θ arctg e r cos r sen ( θ ) ( θ ) Potencal Compleo ma função de varável complea é uma função analítca quando ( ) ( ) lm 0 este e o seu valor é ndependente da forma como tende para ero φ ψ No lmte quando 0 φ ψ φ ψ d d d dφ dψ d d d d d

22 Para que o lmte seja ndependente da forma como 0, esta relação tem de ser ndependente de ψ φ ψ φ d d Potencal Compleo Condções de Remann-Cauch ψ φ ψ φ 1 Potencal Compleo Qualquer função () que seja somente função de é uma função analítca erfcação erfcação - Se a função for analítca ψ φ 0 0 φ ψ ψ φ ψ ψ φ φ

23 Potencal Compleo Eemplos de funções compleas Cálculo de 1. Função é analítca Função não é analítca ( ) 0 ( ) Potencal Compleo A função potencal de velocdade e a função de corrente obedecem às equações φ ψ A função potencal compleo φ ψ (, ) φ (, ) ψ (, ) é uma função analítca com a parte real gual à função potencal de velocdade e a parte magnára gual à função de corrente de um escoamento plano ncompressível e rrotaconal.

24 Potencal Compleo Para o potencal compleo (, ) φ (, ) ψ (, ) d d d d O dferencal d pode ser obtdo de d d d d d d d φ ψ φ ψ d d ) d ( ) d ( ( ) d ( ( )( d d) ) d Potencal Compleo Para o potencal compleo (, ) φ (, ) ψ (, ) d ( ) d ( ) d elocdade complea,, compleo conjugado do vector velocdade, θ e e θ d - θ θ