3. Equações de base da mecânica dos fluidos (perfeitos)

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1 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente MCÂNIC D FLUIDO 3. da mecânca dos fludos (perfetos) 4ª aula 3.1 Fundamentos de cnemátca de fludos; Campos de escoamento; Classfcação temporal e espacal dos escoamentos; Concetos: Tubo de fluxo; Volume de controle; Caudal; elocdade méda de escoamento; 3.2 Relações ntegras aplcadas ao olume de controlo quação da contnudade; Teorema de uler; quação de Bernoull; Bblografa: Quntela, Hdráulca. Fundação Calouste Gulbenkan, Lsboa; Whte, F Mecânca dos Fludos. McGraw-Hll, Ro de Janero; Bastos, F Problemas de mecânca de fludos. Gaunabara, Ro de Janero; Olera, L.; Lopes, Mecânca dos fludos. TP, Lsboa, 2º edção 1/26 Relembrar as técncas báscas de análse de escoamento de fludos Volume de controlo, ou análse ntegral (grande escala); Volume de controle é uma regão fnta, com contornos abertos atraés dos quas se permte que massa, quantdade de momento e energa atraessem. É feto um balanço entre o fludo entrado, saído e D as arações resultantes no olume de controle stema nfntesmal, ou análse dferencal (pequena escala): le da conseração acma descrta é feta para um olume nfntesmal, tornando dferencas as equações base do escoamento studo expermental ou análse dmensonal: O problema é soluconado por meo de expermentação 2/26 1

2 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente s três abordagens são aproxmadamente guas em mportânca, mas a análse do olume de controle é uma ferramenta muto alosa para a engenhara dos escoamentos, quando se pretendem soluções prátcas, globas e pouco refnadas. Todas as les da mecânca são defndas para um sstema. Dstnção entre sstema e olume de controlo O sstema é caracterzado por uma massa defnda de matéra, dstnta de todo o restante da mesma; O olume de controlo é uma regão do espaço atraés do qual há escoamento de um fludo. Para cada nstante um dferente sstema ocupa uma regão do tubo analsada. xemplo: o olume de controlo é a regão lmtada pelo tracejado; o sstema é a massa de água que em cada nstante ocupa o olume de controlo. Tudo o que for externo a este sstema é denomnado de znhanças, sendo o sstema separado das suas znhanças pelas fronteras. s les da mecânca estabelecem o que ocorre quando há nteracção entre os sstema e as suas znhanças. 3/ Fundamentos da cnemátca dos fludos / regmes de escoamento cnemátca estuda o escoamento dos fludos sem ndagar as sua causas. O escoamento é a mudança de forma do fludo sob acção do esforço tangencal (força de corte). Campo de elocdades ou de escoamento de um fludo Há dos métodos de estudo na cnemátca de fludos: Método Lagrangeano: estuda-se o momento solado de uma partícula e a aração das suas propredades com o tempo em relação a um sstema de exos. presenta dfculdades na aplcações prátcas da mecânca de fludos. Mas aplcado à Mecânca do sóldo. Método ulerano: defne-se o campo das propredades do fludo, por exemplo elocdade (x,y,z,t), pressão, p(x,y,z,t) e não as arações que uma partícula sofre no tempo. Mas aproprada à mecânca de fludos. nálse do escoamento num olume fxo no espaço. técnca focalza a atenção numa regão fxa do espaço sem dentfcar as partículas. 4/26 2

3 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente 5/26 Para sualzar o campo de escoamento utlzam-se as lnhas de corrente: Lnha de corrente, de fluxo ou de escoamento: lnha magnára à qual o ector elocdade é tangente em todos os pontos e em cada nstante (tpo fotografa do campo de elocdades). stas lnhas nunca se cruzam num lqudo em escoamento. stretamento da secção de escoamento Lnha de corrente lnha de trajectóra Uma lnha de trajectóra corresponde ao camnho real percorrdo por uma determnada partícula de fludo lugar geométrco dos pontos ocupados por uma partícula ao longo do tempo Percurso da partícula ao longo do tempo T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 6/26 3

4 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente xemplos de lnhas de corrente Jactos emtdos por um aspersor scoamento em torno de um obstáculo m escoamento permanente as trajectóras e as lnhas de corrente são concdentes 7/26 regmes de escoamento De um modo geral os parâmetros que defnem o estado de um fludo (pressão, massa específca, temperatura e elocdade) não são constantes no tempo e/ou no espaço. stes parâmetros podem arar: de ponto para ponto, de nstante para nstante, ou em smultâneo. Parâmetros Pressão Massa olúmca Velocdade Temperatura cnemátca mostra, atraés de equações, como os parâmetros aram no espaço e no tempo, orgnando determnado regme de escoamento. 8/26 4

5 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente Classfcação temporal/espacal do escoamento Com base na elocdade 1. Varação da elocdade no tempo. Permanente ou estaconáro: elocdade num determnado ponto não ara com o tempo. t 0 Regme Permanente: trajectóra lnha de corrente B. Varáel: elocdade ara no tempo. É o caso mas geral do escoamento t 0 O regme turbulento pode ser permanente se tomarmos a méda ao longo de um período de tempo adequado 9/30 2. Varação da elocdade no espaço. Unforme: elocdade é constante (em módulo e drecção) em qualquer ponto do campo de escoamento s 0 B. Não Unforme: elocdade ara no espaço s 0 s duas classfcações (no tempo e no espaço) não são mutuamente exclusas Permanente unforme Permanente não unforme Não permanente unforme Não permanente não unforme IMP: É necessáro fazer a classfcação do regme de escoamento para se poder escolher e aplcar o conjunto de soluções mas adequado 10/26 5

6 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente Qual o regme de escoamento correspondente a cada uma das seguntes stuações? justfque a) scoamento de água num tubo de dâmetro constante e a elocdade constante; b) scoamento de água numa tubagem cónca com elocdade constante na secção de entrada; c) Tubo de dâmetro constante lgado a uma bomba hdráulca que funcona em regme constante e que depos é deslgada. 11/26 Coerênca com o conceto de permanênca Regme lamnar alores nstantâneos Regme turbulento alores médos Regme turbulento permanente t Regme turbulento não permanente t 12/29 12/26 6

7 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente xemplos h 1 Reseratóros de grandes dmensões unforme permanente Varáel Não unforme Reseratóro de grandes dmensões Reseratóro de pequenas dmensões Reseratóros de grandes dmensões scoamento aráel unforme scoamento permanente Não unforme 13/26 Tubo de corrente ou de fluxo ou ea lquda É um conjunto de lnhas de corrente znhas que passam por um contorno fechado. stá garantda a não ocorrênca de escoamento atraés das fronteras lateras do tubo. O fludo atraessa apenas os seus extremos. Quando toma o alor nfntesmal, d, a porção de tubo de fluxo desgna-se por flamento de corrente. e tomar o alor zero, a porção de tubo de fluxo corresponde a uma lnha de corrente. scoamento elementar 1 lnha de corrente scoamento global tubos de corrente justapostos ecção líquda ou secção recta É o corte de um tubo de fluxo por uma secção perpendcular ao ector elocdade (ex: e ). 14/26 7

8 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente Velocdade méda numa secção recta, n Velocdade méda é a elocdade fctíca, constante para toda a secção, que transporta um olume por undade de tempo (Q) gual ao que transporta o perfl real de elocdades T n n 15/26 Caudal Flamento de corrente => escoamento elementar Volume de fludo que atraessa uma secção do flamento de corrente por undade de tempo: d d ds dq d dt dt B d ds C d = área elementar ou nfntesmal; ds = comprmento elementar e, em ez de um tubo de fluxo elementar, tomarmos todos os tubos de fluxo que compõem o escoamento (por ntegração) => escoamento global Q 0 d Dferentes! é a secção recta (L 2 ) é a elocdade méda de escoamento na secção recta (LT -1 ). Q apresenta as dmensões L 3 T /26 8

9 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente 3.2 quações fundamentas da mecânca dos fludos deas: relações ntegras aplcadas a um olume de controlo Defnem-se com base nas les báscas da físca: (1) Le da conseração da massa; (2) egunda le de Newton; (3) Prmera le da termodnâmca. são: (1) quação da contnudade; (2) quação de uler ou da quantdade de momento lnear; (3) quação da quantdade de momento angular; (4) quação da energa ou de Bernoull. 17/26 quação da contnudade Consderemos o escoamento de um fludo ncompressíel em regme permanente num tubo de fluxo Tubo de fluxo troço do tubo de fluxo lmtado por duas secções transersas conseração da massa: massa de líqudo que entra no troço num determnado nteralo de tempo é gual à que sa, no mesmo nteralo de tempo. Nota: le para a stuação geral (nclundo regme permanente e aráel) dz que: massa de líqudo que entra no troço num determnado nteralo de tempo é gual à que sa, no mesmo nteralo de tempo adconada da aração de massa no seu nteror. 18/26 9

10 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente Consderemos agora um flamento de corrente com uma secção recta de área elementar d e de espessura elementar dl Le da conseração da massa m = m r d r r d dl r d dl dl dl Por undade de tempo: dm dt r d dm dt r r d d dl dt r m fludos ncompressíes, r é constante => d dl dt d d Integrando para nfntos tubos de corrente, que em conjunto ocupem a totaldade da secção recta: 0 d d 0 19/26 Q Q é a elocdade méda na secção de escoamento Num tubo de fluxo mpermeáel e naráel no tempo (regme permanente) os caudas que atraessam duas secções são guas quação da contnudade q. contnudade Q1 Q /26 10

11 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente Teorema de uler ou da quantdade de momento: quação fundamental da mecânca de fludos clássca O teorema de uler é, na mecânca de fludos, o correspondente ao teorema da quantdade de momento da mecânca dos sóldos. Tem larga utlzação na mecânca de fludos: Determnação das forças que líqudos, em momento ou em repouso, exercem sobre as superfíces com as quas contactam. Cotoelo stretamento brusco Todas estas forças são hdrodnâmcas e estão assocadas a uma aração da quantdade de momento do fludo. determnação da magntude, drecção e sentdo destas forças, tem como objecto o dmensonamento de uma estrutura (macço de amarração) 21/26 lguns problemas a resoler pela aplcação do Teorema de uler: Forças de reacção em paredes; feto do peso do fludo quando este actua com a drecção do escoamento; Forças de frcção dedas à scosdade e rugosdade das superfíces; Forças desenoldas em ramfcações e mudanças de drecção de tubagens. 22/26 11

12 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente tuações de aplcação do Teorema de uler; Defnção: do olume de controlo; do sstema de exos y Bocal x Cotoelo Deração em T 23/26 Para um determnado olume de controlo no nteror de um fludo, é nulo em cada nstante (por undade de tempo) o sstema das seguntes forças: Peso do olume de controlo, P Resultante das forças de contacto que as znhanças exercem sobre o olume de controlo atraés das fronteras, p Resultante das forças locas de nérca, In Resultante das quantdades de momento entradas e saídas do olume de controlo na undade de tempo (M 1 -M 2 ) É nula a soma ectoral das forças P p In M1 M2 0 p p x r m regme permanente I n 0 g h endo: h a altura pezométrca (m) e a secção recta (m 2 ) (N) p p R M m x r V Por undade de tempo: M r Q (N) endo : M o momento lnear, r a massa olúmca (kg m -3 ), Q o caudal (m 3 s -1 ) e a elocdade (m s -1 ) 24/26 12

13 UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente UC Mecânca de Fludos / 2º cclo de ng mbente xemplo 1: Impacto de um jacto de fludo sobre uma superfíce sólda plana O jacto horzontal representado na Fgura 1 atnge a superfíce sólda plana e ertcal com um ângulo de 90 º. O jacto apresenta secção transersal = 2 x 10 3 mm e atnge a placa à elocdade de 15 m s -1. Determne a força de reacção da superfíce ao jacto que a mantém na mesma posção. (1) (2) O problema é semelhante mas agora a superfíce sólda e plana é nclnada, q = 60º (Fgura 2). Determne nesta stuação a razão entre a quantdade de fludo que é deflectda para cma e para baxo. [338 N; 3:1] 25/26 xemplo 2: Conduta de água horzontal, com 30 cm de dâmetro, que se bfurca para dos ramos de 0.2 m, também de exo horzontal, cada um deles com possbldade de ser solado por meo de uma álula colocada junto da orgem. altura pezométrca da água na tubagem é de 60 m. Pretende-se dmensonar um macço de amarração que absora as forças horzontas que, em consequênca da sngulardade, a água exerce sobre a conduta, em duas stuações: a) s duas álulas de secconamento estão fechadas; b) scoa um caudal de 50 L s -1 por cada um dos ramos. 45º 45º R' N R N 26/26 13