Cristina Caldeira 97. Tem-se assim uma decomposição da região Q em mkq paralelipípedos rectangulares

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1 Crstna Caldera 97 (c) T {(x, y) R : y a x } (a R + ) e ρ(x, y) é a dstânca de (x, y) ao ponto (, ); (d) T [, 3] [, ] e ρ(x, y) xy..4 Integral trplo.4.1 efnção e propredades Seja Q um paralelpípedo rectangular fechado de R 3, sto é, Q [a, b] [c, d] [s, t] { (x, y, z) R 3 : a x b, c y d e s z t }, com a < b, c < d e s < t. Consderem-se uma partção do ntervalo [a, b], P 1 {x, x 1,..., x m }, com a x < x 1 < < x m 1 < x m b, uma partção do ntervalo [c, d], P {y, y 1,..., y k }, com c y < y 1 < < y k 1 < y k d e uma partção do ntervalo [s, t], P 3 {z, z 1,..., z q }, com s z < z 1 < < z q 1 < z q t. Tem-se assm uma decomposção da regão Q em mkq paralelpípedos rectangulares W j l [x 1, x ] [y j 1, y j ] [z l 1, z l ], 1,,..., m, j 1,,..., k, l 1,,..., q, onde os paralelpípedos W j l se ntersectam a quando muto nas respectvas fronteras. sta decomposção de Q num número fnto de paralelpípedos rectangulares dz-se uma partção de Q. Representemos por P esta partção de Q. A norma (ou dâmetro) de P é a maor das meddas dos comprmentos das dagonas de todos os paralelpípedos W j l, 1,,..., m, j 1,,..., k, l 1,,..., q e será representada por P ou δ P. Para evtar o uso de três índces chamaremos Q 1, Q,..., Q n (com n mkq) aos mkq paralelpípedos W j l, 1,,..., m, j 1,,..., k, l 1,,..., q.

2 98 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Seja Fg..4.1 f : Q R (x, y, z) f(x, y, z) uma função real defnda no paralelpípedo rectangular Q. Seja P {Q 1, Q,..., Q n } uma partção de Q em paralelpípedos rectangulares. Para 1,,..., n representem-se por x, y e z as meddas dos lados de Q. O volume de Q é V ( x )( y )( z ). Uma soma de Remann da função f relatvamente à partção P é uma soma do tpo n f(u, v, w ) V, 1 onde (u, v, w ) é um ponto arbtráro de Q, para 1,,..., n. z-se que f é ntegrável sobre Q se exste um número real I para o qual é váldo o segunte: para todo o ε > exste δ > tal que, para toda a partção, P {Q }, de Q num número fnto de paralelpípedos rectangulares com P < δ, se tem f(u, v, w ) V I < ε, para qualquer escolha de (u, v, w ) Q. (.9) Prova-se que se exste um número real I verfcando (.9) então ele é únco. Chama-se- -lhe ntegral trplo de f sobre Q e representa-se por f(x, y, z) dv ou f(x, y, z) dxdydz. Q Prova-se anda que se f é contínua num paralelpípedo rectangular fechado Q então f é ntegrável em Q e o teorema segunte dz-nos como calcular o valor do ntegral usando os chamados ntegras terados. Q

3 Crstna Caldera 99 Teorema.4.1 (Teorema de Fubn) Seja f uma função real de três varáves reas contínua no paralelpípedo Q [a, b] [c, d] [s, t]. ntão b d t f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dz dy dx Q a c s d b t c a s b t d a s c d t b c s a t b d s a c t d b s c a f(x, y, z) dz dx dy f(x, y, z) dy dz dx f(x, y, z) dx dz dy f(x, y, z) dy dx dz f(x, y, z) dx dy dz. e modo análogo ao feto para o ntegral duplo, para o caso de regões de ntegração que não são rectângulos, vamos defnr a noção de ntegral trplo de uma função sobre regões que não são necessaramente paralelpípedos rectangulares. Isso passa por garantr a ntegrabldade, sobre um paralelpípedo rectangular fechado, de determnado tpo de funções, não necessaramente contínuas. Consdere-se uma função f : R 3 R (x, y, z) f(x, y, z), onde é um subconjunto fechado e lmtado de R 3 cuja frontera é uma unão fnta de conjuntos defndos por equações da forma x ϕ(y, z) ou y ψ(x, z) ou z θ(x, y), com ϕ, ψ e θ funções contínuas em regões de R fechadas e lmtadas. Suponha-se anda que f é contínua em. Seja Q [a, b] [c, d] [s, t] um paralelpípedo rectangular fechado de R 3 (a < b, c < d e s < t), que contém. efna-se uma função em todo o paralelpípedo Q por g : Q R 3 R { f(x, y, z) se (x, y, z) (x, y, z) se (x, y, z). Pode provar-se que esta nova função, apesar de não ser contínua em Q, é ntegrável sobre Q. z-se então que f é ntegrável sobre e defne-se f(x, y, z) dxdydz g(x, y, z) dxdydz. Vamos agora consderar três tpos especas de regões de R 3, que são do tpo da regão referda anterormente. Uma regão de R 3 fechada e lmtada dz-se de tpo 1 se é da forma Q { (x, y, z) R 3 : (x, y) R e g(x, y) z h(x, y) }, (.1)

4 1 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 onde R é uma regão do plano XOY horzontal ou vertcalmente smples e g e h são funções contínuas em R, dstntas e verfcando g(x, y) h(x, y), para todo o (x, y) R. é uma regão de tpo 1 Fg..4. Se f é uma função real contínua na regão dada por (.1) então f é ntegrável sobre e ( ) h(x,y) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dz dxdy. R g(x,y) Uma regão de R 3 fechada e lmtada dz-se de tpo se é da forma { (x, y, z) R 3 : (y, z) R e g(y, z) x h(y, z) }, (.11) onde R é uma regão do plano Y OZ horzontal ou vertcalmente smples e g e h são funções contínuas em R, dstntas e verfcando g(y, z) h(y, z), para todo o (y, z) R. é uma regão de tpo Fg..4.3

5 Crstna Caldera 11 Se f é uma função real contínua na regão dada por (.11) então f é ntegrável sobre e ( ) h(y,z) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dx dydz. R g(y,z) Uma regão de R 3 fechada e lmtada dz-se de tpo 3 se é da forma { (x, y, z) R 3 : (x, z) R e g(x, z) y h(x, z) }, (.1) onde R é uma regão do plano XOZ horzontal ou vertcalmente smples e g e h são funções contínuas em R, dstntas e verfcando g(x, z) h(x, z), para todo o (x, z) R. é uma regão de tpo 3 Fg..4.4 Se f é uma função real contínua na regão dada por (.1) então f é ntegrável sobre e ( ) h(x,z) f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dy dxdz. xemplo.4.1 Calculemos R g(x,z) xy dxdydz, sendo { (x, y, z) R 3 : z x y e x + y z }. A equação z x y é a equação de um parabolóde com vértce em (,, ) e a abertura voltada para baxo. x + y z é a equação de uma superfíce cónca com vértce na orgem e exo concdente com o exo dos ZZ. Calculemos a ntersecção das duas superfíces stuada acma do plano XOY. z x y x + y z z x + y z x + y z z x + y z z + z z Assm, a regão é a regão representada na fgura segunte. { x + y 1 z 1.

6 1 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 é uma regão de tpo 1. onde Fg..4.5 {(x, y, z) R 3 : (x, y) R e } x + y z x y, R { (x, y) R : x + y 1 }. ntão, usando coordenadas polares para o cálculo do ntegral duplo, x y xy dxdydz xy dz dxdy R x +y ( x y ) x + y xy dxdy R π 1 π π π 15. ( r r)r 3 sn θ cos θ dr dθ [ r 4 sn θ cos θ [ ] π 1 sn θ π r6 6 r5 5 Na proposção segunte são enuncadas algumas propredades do ntegral trplo. Teorema.4. Consdere-se uma regão,, de R 3 que é unão de um número fnto de regões de R 3 que são, cada uma delas, de um dos tpos 1, ou 3 e que se ntersectam a quando muto nas respectvas fronteras. Sejam f e g funções reas ntegráves em. ntão 1. f + g é ntegrável em e [f(x, y, z) + g(x, y, z)] dxdydz ] 1 dθ f(x, y, z) dxdydz+ g(x, y, z) dxdydz ;

7 Crstna Caldera 13. Para todo o c R, a função c f é ntegrável em e cf(x, y, z) dxdydz c f(x, y, z) dxdydz ; 3. Se f(x, y, z) g(x, y, z), para todo o (x, y, z), f(x, y, z) dxdydz g(x, y, z) dxdydz ; 4. Se 1 onde 1 e são duas regões de R 3 que se ntersectam, quando muto, nas suas fronteras e cada uma delas é unão de um número fnto de regões dos tpos 1, ou 3 (que se ntersectam, duas a duas, quando muto nas suas fronteras), então f(x, y, z) dxdydz f(x, y, z) dxdydz + f(x, y, z) dxdydz. 1 Observação.4.1 efnmos a noção de ntegral trplo consderando subdvsões da regão de ntegração em paralelpípedos rectangulares. Também se podem consderar outros tpos de subdvsões. Seja uma regão de R 3 que é unão de um número fnto de regões cada uma das quas é de um dos tpos 1, ou 3. Chamaremos decomposção de a uma famíla fnta de regões de R 3, 1,,..., n, cada uma das quas é unão de um número fnto de regões de tpo 1, ou 3 que se ntersectam, duas a duas, quando muto nas suas fronteras, e que verfca: 1. 1 n ;. para j, e j ntersectam-se quando muto nas suas fronteras. Chamamos dâmetro desta decomposção à maor das dstâncas entre pontos de que pertençam a um mesmo. Pelo vsto anterormente, para cada, a função constante gual a 1 é ntegrável em. efna-se volume de 1 dxdydz. Veremos posterormente que esta noção de volume concde com a noção ntutva que temos de volume de uma regão do espaço. Seja f uma função real de três varáves reas defnda em. Prova-se que f é ntegrável em e que f(x, y, z) dydydz I se e só se para todo o ε > exste δ > tal que, para toda a decomposção de, { }, do tpo vsto e cujo dâmetro seja estrtamente nferor a δ, se tem f(u, v, w ) volume de I < ε, para qualquer escolha de (u, v, w ).

8 14 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.4. xercícos 1. Calcule os seguntes ntegras trplos: 1 (a) dv com (x + y + z + 1) 3 (b) { (x, y, z) R 3 : x + y + z 1 x y z } ; y dxdydz onde é lmtado pelas superfíces de equações y x + z e y x z ; (c) (x + y) dv onde {(x, y, z) R 3 : 4z x + y x + y + z 1} ; (d) z dv onde {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9 x + y + z 6z}.. m cada um dos seguntes exercícos dentfque o domíno de ntegração, escreva, se possível, os ntegras dados por uma ordem de ntegração dferente e calcule-os. (a) (b) (c) (d) x (xy + xyz) dz dx dy; 4x y 1 1 x +x +y 1 4 x 6 z 1 3x x dz dy dx; dy dz dx. dz dy dx;.4.3 Mudança de varável no ntegral trplo-caso geral Tal como aconteca no ntegral duplo o cálculo de um ntegral trplo pode, por vezes, ser consderavelmente smplfcado se se efectuar uma mudança de varáves. Consdere-se fxado um referencal ortonormado OXY Z em R 3. Seja uma regão de R 3 que é unão de um número fnto de regões cada uma das quas é de um dos tpos 1, ou 3 e que se ntersectam duas a duas, quando muto nas suas fronteras. Seja anda f : R (x, y, z) f(x, y, z) uma função contínua. Consdere-se a mudança de varáves defnda por x ϕ 1 (u, v, w) y ϕ (u, v, w) z ϕ 3 (u, v, w).

9 Crstna Caldera 15 Seja { (u, v, w) R 3 : (ϕ 1 (u, v, w), ϕ (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) } e suponha-se que função vectoral (u, v, w) (ϕ 1 (u, v, w), ϕ (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) é de classe C 1 num aberto de R 3 contendo. Suponha-se anda que a mudança de varáves é bjectva, ou seja, que a função é bjectva. ϕ : (u, v, w) (ϕ 1 (u, v, w), ϕ (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) Teorema.4.3 Nas condções anterores, se det(j ϕ (u, v, w)) para todo o (u, v, w), então f(x, y, z) dxdydz f (ϕ 1 (u, v, w), ϕ (u, v, w), ϕ 3 (u, v, w)) det(j ϕ (u, v, w)) dudvdw. xemplo.4. Calculemos onde 4(x y)z dxdydz, { (x, y, z) R 3 : x y + z 1, 3x y + z 5 e z 3 }. A regão encontra-se representada na fgura segunte. Fg..4.6 Consdere-se a mudança de varáves defnda por x y + z u 3x y + z v z w (.13)

10 16 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Resolvendo (.13) em ordem a x, y e z obtém-se x 1 5 u + v 5 y 3u + 1v + w 5 5 z w Consdere-se a aplcação lnear defnda por ψ : R 3 R 3 (u, v, w) ( 1 5 u + 5 v, 3 5 u v + w, w). A matrz de ψ em relação à base canónca de R 3 é a matrz 1/5 /5 A 3/5 1/ Uma vez que det(a) 1 conclu-se que A é nvertível e portanto ψ é bjectva. Por 5 outro lado ψ é uma função vectoral cujas componentes são funções polnomas logo ψ é de classe C 1. Consdere-se o conjunto { (u, v, w) R 3 : u 1, v 5 e w 3 }. Consderando as novas coordenadas u, v e w, é um paralelpípedo rectangular. Verfca-se faclmente que é a magem por ψ do conjunto. Assm a função defnda por ϕ : (u, v, w) ( 1u + v, 3u + 1 v + w, w) é bjectva. Além dsso, para todo o (u, v, w), 1/5 /5 det (J ϕ (u, v, w)) 3/5 1/ ntão 4(x y)z dxdydz ( 5 u + 1 ) 5 v w w dudvdw ( 5 uw + 1 ) vw w dw dv du 5 ] 3 [ 1 5 uw vw 1 3 w3 ( 9 5 u + 9 ) 1 v 9 dv du dv du

11 Crstna Caldera [ uv + 9 ] 5 v 9v du 4 1 (9u ) 5 45 du 4 [ 9 5 u 3 45 ] 1 u du Integral trplo em coordenadas cllíndrcas e esfércas Veremos segudamente duas mudanças de varáves que são partcularmente mportantes no cálculo de determnados tpos de ntegras trplos. Prmero veremos a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas clíndrcas. Suponha-se fxado em R 3 um referencal ortonormado OXY Z. Consdere-se P R 3 de coordenadas cartesanas (x, y, z) nesse referencal. As coordenadas clíndrcas de P são (r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projecção de P sobre o plano XOY, consderando para pólo a orgem O e para exo polar o sem-exo ȮX. Fg..4.7 { x r cos θ Tem-se assm que, r e θ ] π, π]. Atendendo a que todos os pontos y r sn θ do plano XOY, excepto a orgem, têm uma e uma só representação em coordenadas polares conclu-se que todos os pontos do espaço, excepto os do exo dos ZZ, têm uma e uma só representação em coordenadas clíndrcas. Uma regão do espaço da forma { (x, y, z) R 3 : (x, y) R e s z t } (.14) onde R é um rectângulo polar do plano XOY e s < t dz-se uma regão clíndrca elementar. Começaremos por obter a gualdade que traduz a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas clíndrcas, a partr da defnção de ntegral trplo, no caso partcular da regão de ntegração ser uma regão clíndrca elementar.

12 18 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Suponha-se que f é uma função contínua na regão clíndrca elementar dada por (.14) onde R é o rectângulo polar R {(r, θ) : a r b e α θ β}, com a < b e π < α < β π. Sendo f contínua é ntegrável sobre. fectuando partções dos ntervalos [a, b], [α, β] e [s, t], a r < r 1 < < r m b α θ < θ 1 < < θ p β s z < z 1 < < z q t, obtém-se uma partção P 1 do paralelpípedo rectangular [a, b] [α, β] [s, t] em mpq paralelpípedos rectangulares [r j 1, r j ] [θ k 1, θ k ] [z l 1, z l ], j 1,..., m, k 1,..., p, l 1,..., q. esgnem-se estes n mpq paralelpípedos por 1,,..., n. Para 1,,..., n seja (r, θ, z ) o ponto médo de. ntão, para 1,,..., n, é da forma [ r r, r + r ] [ θ θ, θ + θ ] [ z z, z + z ]. O volume de cada é r θ z, a norma de P 1 é a medda da maor das dagonas de todos os e portanto P 1, quando ( r, θ, z ) (,, ), 1,,..., n. As partções efectuadas em [a, b], [α, β] e [s, t] determnam também uma decomposção P da regão clíndrca elementar em n regões clíndrcas elementares 1,... n onde, em coordenadas clíndrcas, { (r, θ, z) : r r r r + r, θ θ θ θ + θ e z z z z + z }, para 1,,..., n. Fg..4.8

13 Crstna Caldera 19 m cada consdere-se o ponto de coordenadas clíndrcas (r, θ, z ). As coordenadas cartesanas deste ponto são (x, y, z ), onde { x r cos θ y r sn θ. Represente-se por V o volume de. Recorrendo ao uso de ntegras duplos verfcase faclmente que V é gual ao produto da área da base de pela altura, z. A área da base de é gual à área da projeção de sobre o plano XOY, que é um rectângulo polar. Por outro lado, (r, θ, ) são as coordenadas clíndrcas do ponto médo da projeção de sobre o plano XOY e, de acordo com o que fo vsto quando se estudou a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares no ntegral duplo, a área desse rectângulo polar é r ( r )( θ ). ntão V r ( r )( θ )( z ). O dâmetro de P, P, é a medda do comprmento da maor das dagonas das regões clíndrcas elementares 1,,..., n e P, quando ( r, θ, z ) (,, ), 1,,..., n. Consdere-se a soma de Remann para f, assocada à decomposção P, que se obtém escolhendo o ponto de coordenadas cartesanas (x, y, z ) em cada regão clíndrca elementar, Seja n f(x, y, z ) V 1 e (.15) obtém-se que n f(r cos θ, r sn θ, z ) r ( r ) ( θ ) ( z ). (.15) 1 g : [a, b] [α, β] [s, t] R (r, θ, z) rf(r cos θ, r sn θ, z). n f(x, y, z ) V 1 n g(r, θ, z ) ( r ) ( θ ) ( z ) (.16) 1 e o segundo membro desta equação é uma soma de Remann da função g relatvamente à partção P 1 de [a, b] [α, β] [s, t] nos n paralelpípedos rectangulares 1,..., n e onde em cada paralelpípedo se escolheu o ponto médo. A função g é contínua em [a, b] [α, β] [s, t] e portanto é ntegrável. esgnem-se por I o ntegral trplo de g sobre [a, b] [α, β] [s, t] e por I o ntegral trplo de f sobre. Vamos provar que I I. Seja ε > qualquer. fectuando partções de [a, b], [α, β] e [s, t] em sub-ntervalos de ampltudes sufcentemente pequenas, sto é, consderando todos os r, θ e z sufcentemente pequenos, as normas de P 1 e P são sufcentemente pequenas para que (observação.4.1 e defnção de ntegral trplo num paralelpípedo rectangular) f(x, y, z ) V I < ε/

14 11 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e g(r, θ, z ) ( r ) ( θ ) ( z ) I < ε/. ntão de (.16) obtém-se ( ) ( I I g(r, θ, z ) ( r ) ( θ ) ( z ) I + f(x, y, z ) V + I) g(r, θ, z ) ( r ) ( θ ) ( z ) I + f(x, y, z ) V I < ε. Uma vez que sto é váldo para todo o ε > conclu-se que I I, sto é, que f(x, y, z) dxdydz g(r, θ, z) drdθdz [a,b] [α,β] [s,t] b β t a α s r f(r cos θ, sn θ, z) dz dθ dr. A gualdade anteror traduz a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas clíndrcas no caso da regão de ntegração ser uma regão clíndrca elementar. Vamos agora obter a gualdade que traduz essa mesma mudança de coordenadas para o caso de outros tpos de regões de ntegração, a partr do teorema.4.3. Seja uma regão de R 3 que não contém pontos do exo dos ZZ e é unão de um número fnto de regões cada uma das quas de um dos tpos 1, ou 3 e que se ntersectam duas a duas, quando muto nas suas fronteras. Seja anda f : R (x, y, z) f(x, y, z) uma função contínua. Consdere-se a mudança de varáves de coordenadas cartesanas para coordenadas clíndrcas, sto é, a mudança de varáves defnda por Seja x ϕ 1 (r, θ, z) r cos θ y ϕ (r, θ, z) r sn θ z ϕ 3 (r, θ, z) z { (r, θ, z) R 3 : r, θ ] π, π] e (r cos θ, r sn θ, z) }. Verfca-se faclmente que a função vectoral é de classe C 1 em R 3. (r, θ, z) (r cos θ, r sn θ, z).

15 Crstna Caldera 111 a defnção de resulta que se pode consderar a função ϕ : (r, θ, z) (r cos θ, r sn θ, z) e que esta função é bjectva. A sobrejectvdade resulta do facto de todo o ponto do espaço admtr uma representação em coordenadas clíndrcas e da defnção de e a njectvdade resulta dessa representação ser únca para qualquer ponto do espaço não pertencente ao exo dos ZZ. Por outo lado, para todo o (r, θ, z), det(j ϕ (r, θ, z)) cos θ r sn θ sn θ r cos θ 1 r >, uma vez que não contém pontos cuja projecção sobre o plano XOY seja a orgem. Usando o teorema.4.3 obtém-se f(x, y, z) dxdydz f (r cos θ, r sn θ, z) r drdθdz. (.17) O facto de termos excluído a possbldade de a regão de ntegração conter pontos do exo dos ZZ na obtenção de (.17) não restrnge a utlzação desta gualdade a regões desse tpo. e facto, o que se passa num subconjunto da regão de ntegração com volume nulo não afecta o valor do ntegral trplo e portanto podemos efectuar a mudança para coordenadas clíndrcas mesmo se a regão de ntegração contver pontos do exo dos ZZ. xemplo.4.3 Vamos calcular onde (x + z) dxdydz, { (x, y, z) R 3 : z } x + y 1. A equação z x + y é a equação da parte da superfíce cónca de equação x +y z stuada acma do plano XOY. Assm é o sóldo representado na fgura segunte. Fg..4.9

16 11 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 m coordenadas clíndrcas a regão é {(r, θ, z) : r 1, π < θ π, e z r}. ntão (x + z) dxdydz 1 π r π 1 π π 1 π 1 1 [ r 4 π 4 π 4. π (r cos θ + z)r dz dθ dr ] r [zr cos θ + z r dθ dr ) (r 3 cos θ + r3 dθ dr [r 3 sn θ + r3 θ πr 3 dr ] 1 ] π π dr Como faclmente se compreende a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas clíndrcas é partcularmente útl quando a projecção da regão de ntegração sobre o plano XOY se exprme de modo smples em coordenadas polares. Veremos de seguda outra mudança de coordenadas no ntegral trplo que será partcularmente útl no caso de a regão de ntegração ser smétrca em relação à orgem: a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas esfércas. Suponha-se fxado em R 3 um referencal ortonormado OXY Z. Consdere-se P R 3 de coordenadas cartesanas (x, y, z) (,, ) nesse referencal. Sejam P a projecção ortogonal de P sobre o plano XOY, sto é, P (x, y, ); ρ a dstânca de P à orgem O do referencal; θ a medda do ângulo que o sem-exo φ a medda do ângulo que o sem-exo ȮX faz com OP (θ ] π, π]); ȮZ faz com OP (φ [, π]).

17 Crstna Caldera 113 Fg..4.1 As coordenadas esfércas de P O são (ρ, θ, φ). Todos os pontos do espaço excepto a orgem têm uma e uma só representação em coordenadas esfércas. Uma vez que OP ρ sn φ, obtém-se a segunte relação entre as coordenadas cartesanas e as coordenadas esfércas de P : x ρ sn φ cos θ y ρ sn φ sn θ. z ρ cos φ Vamos agora obter a gualdade que traduz a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas esfércas no ntegral trplo, a partr do teorema.4.3. Seja uma regão de R 3 que não contém pontos do exo dos ZZ e é unão de um número fnto de regões cada uma das quas de um dos tpos 1, ou 3 e que se ntersectam duas a duas, quando muto nas suas fronteras. Seja anda f : R (x, y, z) f(x, y, z) uma função contínua. Consdere-se a mudança de varáves defnda por x ϕ 1 (ρ, θ, φ) ρ sn φ cos θ y ϕ (ρ, θ, φ) ρ sn φ sn θ z ϕ 3 (ρ, θ, φ) ρ cos φ. Seja { (ρ, θ, φ) R 3 : ρ, θ ] π, π], φ [, π] e (ρ sn φ cos θ, ρ sn φ sn θ, ρ cos φ) }. Verfca-se faclmente que a função vectoral (ρ, θ, φ) (ρ sn φ cos θ, ρ sn φ sn θ, ρ cos φ) é de classe C 1 em R 3.

18 114 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Atendendo à defnção de pode consderar-se a função ϕ : (ρ, θ, φ) (ρ sn φ cos θ, ρ sn φ sn θ, ρ cos φ). sta função é bjectva. A sobrejectvdade resulta do facto de todo o ponto do espaço admtr uma representação em coordenadas esfércas e da defnção de e a njectvdade resulta dessa representação ser únca para qualquer ponto do espaço dstnto da orgem. Por outo lado, para todo o (ρ, θ, φ), det(j ϕ (ρ, θ, φ)) sn φ cos θ ρ sn φ sn θ ρ cos φ cos θ sn φ sn θ ρ sn φ cos θ ρ cos φ sn θ cos φ ρ sn φ ρ sn φ, uma vez que não contém pontos do exo dos ZZ. Usando o teorema.4.3 obtém-se f(x, y, z) dxdydz f (ρ sn φ cos θ, ρ sn φ sn θ, ρ cos φ) ρ sn φ dρdθdφ. Tal como para o caso das coordenadas clíndrcas, podemos efectuar a mudança para coordenadas esfércas mesmo se a regão de ntegração contver pontos do exo dos ZZ. xemplo.4.4 Calcular sendo z e x +y dxdydz, {(x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9, x, y e z }. Na fgura segunte está representada a regão vsta a partr de duas posções dstntas. Fg Sendo P um ponto do espaço com coordenadas cartesanas (x, y, z) (,, ) e coordenadas esfércas (ρ, θ, φ), x +y +z é gual ao quadrado da dstânca de P à orgem do referencal, sto é, x + y + z ρ. Assm, em coordenadas esfércas, a regão é { (ρ, θ, φ) : ρ 3, θ π, φ π }.

19 Crstna Caldera 115 ntão z e x +y dxdydz π 4 π 4 3 π/ π/ ρ π/ [ ρ e ρ sn φ ( ρ e ρ 1 π 4 π [ ] 3 e ρ ρ 8 ρ 3 sn φ cos φ e ρ sn φ(cos θ+sn θ) dθ dφ dρ ρ sn φ cos φ e ρ sn φ dφ dρ ] π/ ) dρ dρ π 8 ( e 9 e 4 5 )..4.5 xercícos 1. Usando uma mudança de varável convenente calcule os seguntes ntegras trplos 1 (a) dv com (1 x y ) 3 (b) (c) (d) (e) 1 (x + y + z ) 3 { (x, y, z) R 3 : x + y z x y } ; dv com { (x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9 } ; x + y + z dxdydz com { (x, y, z) R 3 : x + y + z 1 x + y + (z 1) 1 } ; y dv com {(x, y, z) R 3 : x + y + z 1 z } x + y ; z dv com { (x, y, z) R 3 : x + y z z x y } ; (f) dxdydz onde é a regão de R 3 lmtada pelos clndros hperbólcos de equações xy 1, xy 9, xz 4, xz 36, yz 5 e yz 49;

20 116 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 (g) 1 (x /4 + y + z /9) dxdydz com { (x, y, z) R 3 : 9x + 36y + 4z 36 }.. Consdere o ntegral trplo I escrto na segunte forma I π 1 rcosθ r 1 4r sn θ dz dr dθ. (a) Represente grafcamente o domíno de ntegração; (b) Calcule o valor de I; (c) screva I como um ntegral terado usando coordenadas cartesanas. 3. Seja Q { (x, y, z) R 3 : x + y + z 3, 4 x y + z, x e x z }. etermne por que expressões deve substtur a, b, c, d, e e, por forma que os seguntes ntegras terados representem I dxdydz. Q (a) (b) (c) 1 b a π c π 4 π 4 d 3 4 x z x +z 3 4 r r 3 dy dz dx; r dy dr dθ; ρ sn φ dρ dφ dθ + π 4 π d e ρ sn φ dρ dφ dθ..4.6 Algumas aplcações do ntegral trplo Como prmera aplcação do ntegral trplo remos ver o cálculo de volumes de determnado tpo de regões de R 3. Proposção.4.1 Seja uma regão de R 3 que é unão de um número fnto de regões cada uma das quas de um dos tpos 1, ou 3 e que se ntersectam duas a duas quando muto nas suas fronteras. ntão o volume de é V () dxdydz. emonstração Atendendo ao teorema.4. (parte 4) basta mostrar que o resultado é váldo para regões de tpo 1, ou 3. Suponha-se que é do tpo 1, {(x, y, z) R 3 : (x, y) e g(x, y) z f(x, y)}, onde é uma regão do plano XOY horzontal ou vertcalmente smples e g e f são funções contínuas em, dstntas e verfcando g(x, y) f(x, y), para todo o (x, y). Comecemos por consderar o caso em que g(x, y), para todo o (x, y).

21 Crstna Caldera 117 Fg..4.1 ntão, conforme se vu ao estudar as aplcações do ntegral duplo, V () [f(x, y) g(x, y)] dxdy f(x,y) g(x,y) dxdydz. dz dxdy Suponha-se agora que g toma valores negatvos em. A regão é fechada e lmtada e g é contínua em. O teorema de Weerstrass garante que g tem um mínmo absoluto em. Seja c < esse mínmo. A função h defnda em por h(x, y) g(x, y) c já só toma valores não negatvos. O sóldo 1 {(x, y, z) R 3 : (x, y) e h(x, y) z f(x, y) c} obtém-se de efectuando uma translação e portanto V () V ( 1 ) dxdydz 1 f(x,y) c dz dxdy g(x,y) c [(f(x, y) c) (g(x, y) c)] dxdy [f(x, y) g(x, y)] dxdy f(x,y) g(x,y) dxdydz. dz dxdy

22 118 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Fnalmente como outra aplcação do ntegral trplo veremos o cálculo da massa, centro de massa e momentos, em relação aos planos coordenados, de um sóldo de R 3. Seja uma regão de R 3 que é unão fnta de regões cada uma das quas de um dos tpos 1, ou 3 e que se ntersectam duas a duas, quando muto nas suas fronteras. Suponhamos dstrbuída na regão uma determnada quantdade de matéra. Seja (x, y, z) um ponto de e seja uma subregão de que contém (x, y, z). esgne-se por V o seu volume e por m a massa da matéra dstrbuída em. Se exstr, o lmte lm dependerá, em V V geral do ponto (x, y, z). Assm, a este lmte, se exstr, chama-se densdade da matéra no ponto (x, y, z). Se para todo o (x, y, z) exstr o referdo lmte, à função ρ : R +, tal que ρ(x, y, z) é a densdade da matéra no ponto (x, y, z) chama-se função densdade da dstrbução de matéra em causa. Seja nas condções anterores e com função densdade ρ(x, y, z) contínua. Analogamente ao que fo vsto para regões planas tem-se: a massa total de é dada por m ρ(x, y, z) dxdydz ; os momentos de em relação aos planos coordenados Y OZ, XOZ e XOY são dados, respectvamente, por M yz M xz M xy x ρ(x, y, z) dxdydz ; y ρ(x, y, z) dxdydz ; z ρ(x, y, z) dxdydz ; m o centro de massa de é o ponto de coordenadas (x, y, z ) dadas por x M yz m, y M xz m e z M xy m..4.7 xercícos 1. Usando ntegras trplos, calcule o volume das regões de R 3 defndas por: (a) x + y + z r, r > ; { x (b) + y 1 1 z 1 ; { x (c) + y (z 1) ; z 1 (d) x + y z x + y ;

23 Crstna Caldera 119 { x (e) + y + z 8 z x + y ; { x (f) + y + z 4 x + y + (z ) 4.. etermne o volume dos seguntes sóldos (a) V {(x, y, z) R 3 : z e x + y z 1}; (b) V {(x, y, z) R 3 : x + y + z z, x + y + z 3 e y x}. 3. Seja Q {(x, y, z) R 3 : 1 + x + y z 1 } x + y. (a) Calcule o volume de Q; (b) Calcule o volume de T (Q), onde T : R 3 R 3 é defnda por T (x, y, z) (x y, y + z, z x). 4. etermne a massa do sóldo Q { (x, y, z) R 3 : 1 x + y + z 4 }, sabendo que a densdade, em cada ponto, é drectamente proporconal ao quadrado da dstânca desse ponto à orgem. 5. Supondo que o sóldo V lmtado pelas superfcíes de equações z x + y e z x +y é homogéneo, determne as coordenadas do centro de massa e o momento em relação ao plano XOY. 6. etermne as coordenadas do centro de massa de Q { (x, y, z) R 3 : 1 z 5 x y e x + y 1 }, sabendo que ρ(x, y, z) k z. 7. Consdere o sóldo S defndo por { S (x, y, z) R 3 : x, y } 3x, z 4(x + y ) e 1 x + y + z 4. etermne a massa total de S, sabendo que a densdade em cada ponto (x, y, z) de S, é dada por 1 ρ(x, y, z) x + y. 8. Seja o sóldo defndo por z 4(x + y ) x + y + (z 6) 17 z. Calcule a massa total de, sabendo que a densdade, em cada ponto (x, y, z) de, é proporconal à dstânca desse ponto ao plano de equação z 6.

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