Topologia, geometria e curvas no plano

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1 Topologa, geometra e curvas no plano Roberto Imbuzero Olvera 23 de Março de Abertos, fechados e compactos Defnção 1 Um subconjunto F C é dto fechado se qualquer sequênca convergente em F tem lmte em F. A C é dto aberto se para todo x A exste R > 0 com B(z, R) A. Exercíco 1 Prove que o complementar de um aberto é sempre fechado, e vce-versa. Defnção 2 Um subconjunto K C é dto compacto (e escrevemos K C) se para toda sequênca {z n } n N exste uma subsequênca {z nk } k N com z nk z K. Exercíco 2 (Hene-Borel) Prove que K C é compacto se e somente se fechado e lmtado. Exercíco 3 Sejam K 1, K 2,... compactos não vazos com K 1 K 2 K Mostre que K. Exercíco 4 Sejam K C, A K e φ : A R contínua. Mostre que exste z K com: φ(z ) = nf z K φ(z). Exercíco 5 Seja C C não-vazo. Defna: e escreva C {z C : d(z, C) = 0}. d(z, C) nf{ z w : w C}. IMPA, Ro de Janero, RJ, Brazl,

2 1. Mostre que d(z, C) d(w, C) z w. Deduza que z d(z, C) é contínua. 2. Mostre que esta mesma função é convexa, sto é, para todos 0 λ 1 e z, w C, d(λ z + (1 λ) w, C) λ d(z, C) + (1 λ) d(w, C). 3. Mostre que C chamado o fecho de C é fechado, contem C e está contdo em qualquer outro fechado F C. 4. Deduza que C = C se e somente se C é fechado. Exercíco 6 Mostre que se K C é aberto e F C é fechado com K F =, então: d(k, F ) nf d(z, w) > 0. z K,w F Em forma contrapostva, mostre que dados K C e U K aberto, exste um r > 0 tal que K r B(z, r) U. z K Defnção 3 Dados pontos a 1, a 2,..., a k C, a envoltóra convexa destes pontos é o conjunto: Co{a } k =1 { k =1 λ a : (λ 1,..., λ k ) [0, 1] k com λ = 1}. Prove que a envoltóra convexa de um conjunto fnto de pontos é sempre compacta. 2 Curvas no plano Defnção 4 Seja U C aberto. Uma curva parametrzada (ou smplesmente curva) em U é uma aplcação contínua : [a, b] U onde a < b são reas. Exercíco 7 Prove que é unformemente contínua: sto é, para todo ε > 0 exste δ > 0 tal que t, s [a, b], t s < δ (t) (s) < ε. 2

3 Observação 1 Chamaremos esta função de dferencável, C r, etc se suas partes real e magnára têm estas propredades. Estas propredades também podem ser expressas através de lmtes. Defnção 5 Uma aproxmação polgonal de uma curva : [a, b] C é uma curva da forma: (t) = (t 1 ) + t t 1 t t 1 ((t ) (t 1 )), 1 n onde t 0 = a < t 1 < t 2 < < t n = b. Defnção 6 O comprmento L() de uma curva : [a, b] C é o supremo sobre a = t 0 t 1 t n = b da quantdade: (t ) (t 1 ). =1 Este supremo pode ser nfnto. Se ele é fnto, dzemos que é retfcável. Exercíco 8 Mostre que uma aproxmação polgonal é sempre retfcável e que o comprmento de é o sup dos comprmentos de tas aproxmações. Exercíco 9 Mostre que se {t }m =1 {t } n =1, então: (t ) (t 1) =1 (t ) (t 1 ). =1 Teorema 1 Para como acma, defna, para cada k N, uma sequênca {t (k) } Então: =0 com: lm sup t (k) t (k) 1 = 0. k N 1 Prova: Claramente L() = lm sup k + lm k + =1 =1 (t (k) ) (t (k) 1 ). (t (k) ) (t (k) 1 ) L(), 3

4 pos cada termo no lmte é menor ou gual a L(). Provaremos, portanto, que para todo ε > 0: lm nf k + =1 Para sto tome a = s 0 < s 1 < < s m = b tas que: (t (k) ) (t (k) 1 ) L() ε. (1) m (s ) (s 1 ) > L() ε/2. =1 Escolha δ > 0 pequeno o sufcente de modo que s s 1 > δ para todo 1 m e anda: t, s [a, b] : t s δ (s) (t) < ε/4k. (Esta segunda propredade é possível porque é unformemente contínua.) Por fm, suponha que k N é grande o sufcente, de modo que: 1, t (k) t (k) 1 < δ. Agora vamos mudar os pontos s de lugar. Para cada 1 m, seja s (k) o menor ponto da forma t (k) j com t (k) j s. Note que s s (k) < δ, dado que os pontos t (k) como s s j > δ para 1 < j m, temos s (k) escolha de {s } m =1 e δ mplca ( s (k) têm espaços menores do que δ entre s. Em partcular, s (k) j para tas, j.. A m =1 2 ( s (k) ) ( s (k) m =0 (s ) ( s (k) ) s < δ (s ) ( s (k) ) < ε Por outro lado, como { s (k) m =1 } m =0 {t(k) 1 ) m =1 4k ) > m } ( s (k) ) ( s (k) 1 ) 4 =1 L() ε. =0, temos: =1 ( s (k) ) ( s (k) 1 ) ( s (k) ) ( s (k) 1 ) ε 2 (t (k) ) (t (k) 1 ).

5 Deduzmos que para todo ε > 0 e todo k N sufcentemente grande: =1 o que mplca (1) e termna a prova. (t (k) ) (t (k) 1 ) L() ε, Exercíco 10 Suponha que como acma é C 2. Prove que é retfcável e que seu comprmento é dado por: L() 3 Integras de lnha b a (t) dt. Aqu U C é um aberto não-vazo. Suporemos que h : U C é contínua e : [a, b] C é curva retfcável em U. Teorema 2 Exste uma função m( ) com lm δ 0 m(δ) = 0 tal que, se e a = t 0 < t 1 < < t n = b b = s 0 < s 1 < < s m = b satsfazem s s 1 δ e t j t j 1 δ, então: ( ) m h (t )((t ) (t 1 )) h (s j )((s j ) (s j 1 )) m(δ). =1 j=1 Antes de provar este teorema, notamos o segunte coroláro, que dexamos como exercíco: Exercíco 11 Deduza que para toda sequênca de partções: a = t (k) t (k) 1 < < t (k) n = b com max 1 nk t (k) t (k) 1 = 0, as somas: h (t (k) )((t (k) ) (t (k) 1 )) =1 0 < convergem para um mesmo lmte quando k +, denomnado de ntegral de lnha de h sobre : h(z) dz h (t (k) )((t (k) ) (t (k) 1 )). lm k + =1 5

6 Prova: [do Teorema] Vamos provar o teorema no caso em que {t } {s j } j. No caso geral, podemos tomar um refnamento comum das duas partções. Defna j 0 = 0, j 1, j 2,..., j n = m de modo que s j = t para cada 1 n. Note que: h (t )((t ) (t 1 )) = =1 enquanto m h (s j )((s ) (s j 1 )) = j=1 j =1 j=j 1 +1 j =1 j=j 1 +1 h (s j ) ((s j ) (s j 1 )), h (s j ) ((s j ) (s j 1 )). Tomando a dferença e usando a desgualdade trangular, temos: dferença j =1 j=j 1 +1 h (s j ) h (s j ) (s j ) (s j 1 ). Note agora que s j s j δ, afnal s j pertence ao ntervalo entre t 1 = s j 1 e t = s j e os ntervalos da partção dos t s tem tamanho menor ou gual a δ. Deste modo, temos: dferença sup h (s) h (t) t s δ sup h (s) h (t) t s δ j =1 j=j 1 +1 (s j ) (s j 1 ) m (s j ) (s j 1 ) j=1 sup h (s) h (t) L(). t s δ Para termnar basta observar que o lado dreto va a 0 quando δ 0, já que h é contínua, logo unformemente contínua sobre [a, b]. Exercíco 12 Mostre para todas h, como acma: h dz h dz sup h (t) L(). t [a,b] Exercíco 13 (Lneardade) Mostre que, com hpóteses adequadas sobre h 1, h 2 e : α C : (h 1 + α h 2 ) dz = h 1 dz + α h 2 dz. 6

7 Exercíco 14 Com as hpóteses acma, mostre que que n h dz h dz se { n } n é uma sequênca de aproxmações polgonas a com tamanho de partção ndo a 0. Exercíco 15 Suponha que é C 1 por partes e fechada. Mostre que b h(z) dz = h((t)) (t) dt. a Use sto para mostrar que se h(z) = f (z) para alguma f : U C holomorfa, f = 0. Exercíco 16 Suponha que : [0, 1] C é rtefcável e φ( ) = (1 ) é de trás para frente. Mostre que h(z) dz = h(z) dz. 4 Homotopas Aqu U C é aberto. Defnção 7 Dadas curvas, φ : [0, 1] U, uma homotopa em U entre e φ é uma função contínua: H : (t, s) [0, 1] 2 H(t, s) U com H(, 0) = ( ) e H(, 1) = φ( ). Se, φ são fechadas, pedremos que H(, s) seja uma curva fechada para todo s [0, 1]. Abaxo falaremos apenas de homotopas de curvas fechadas. Exercíco 17 Mostre que homotopas são funções unformemente contínuas. Exercíco 18 Dadas curvas fechadas, φ em U, escreva U φ se e φ são homotópcas em U. Mostre que U é uma relação de equvalênca sobre as curvas em U. Exercíco 19 Mostre que, dada H homotopa de curvas fechadas, exste M > 0 tal que os pontos: ( M, j ) com 1, j M M são tas que U contem todos os conjuntos da forma: Co{H(( 1)/M, j/m), H(/M, j/m), H(/M, (j 1)/M), H(/M, j/m)}. φ 7

8 Exercíco 20 Prossegundo o exercíco anteror, suponha que f : U C contínua é tal que a ntegral de lnha sobre qualquer quadrado com nteror contdo em U se anula. Para cada 1 M, seja,m a curva polgonal (fechada) que passa pelos pontos H(/M, j/m), 1 j M. Prove que,m f = 1,M f para cad 1 M. Lembrando que 0,M f f e 1,M f φ f quando M +, deduza que a ntegral de lnha de uma f deste tpo sobre uma curva retfcável fechada é nvarante por homotopas da curva. 8