HOMOTETIAS, COMPOSIÇÃO DE HOMOTETIAS E O PROBLEMA 6 DA IMO 2008 Carlos Yuzo Shine Nível Avançado

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1 HMTETIS, MPSIÇÃ DE HMTETIS E PREM 6 D IM 008 arlos Yuzo Shne Nível vançado ntes de começar a dscussão, vamos enuncar o problema 6 da IM 008, que é a motvação prncpal desse artgo. Problema 6, IM 008. Seja D um quadrlátero convexo cujos lados e têm comprmentos dferentes. Sejam e as crcunferêncas nscrtas nos trângulos e D, respectvamente. Suponhamos que exste uma crcunferênca tangente à reta de forma que está entre e o ponto de tangênca, tangente à reta de forma que está entre e o ponto de tangênca, e que também seja tangente às retas D e D. Prove que as tangentes comuns exterores a e se ntersectam sobre. É claro que um problema de geometra não pode fcar sem um bom desenho. É razoavelmente dfícl desenhar a fgura do problema e sugermos que o letor tente fazê-lo por conta própra (dca: comece com o círculo ). Não se perca: queremos provar que o ponto Z está sobre a crcunferênca. Z D Quem já estudou homoteta já deve ter enxergado dversas homotetas entre as crcunferêncas, mas mutos dos mas poderosos olímpcos do mundo foram derrotados por esse problema. De fato, dos 55 estudantes que partcparam da IM 008, somente resolveram (um deles fez 6 pontos) e 5 conseguram pelo menos um ponto. Isto quer dzer que mas de 90% dos estudantes zeraram o problema! Isso é snal de que esse problema deve ter algo novo para ser explorado. De fato, uma transformação geométrca que esteve em voga nos anos 80 e desapareceu nos anos 90 fo a homoteta. E ela voltou, dscretamente em 007 e com tudo em 008! Vamos defnr homoteta, ver algumas de suas propredades e expandr as adéas envolvdas nessa transformação.. Homoteta: defnção Você va ver que homoteta nada mas é do que fazer sombrnha. parecem mutos paralelsmos, mas o mas nteressante são as colneardades que rão aparecer. No níco parece mágca; mas um bom matemátco sempre revela seus truques! Vamos começar com a defnção de homoteta com razão postva ou homoteta dreta:

2 Defnção.. Homoteta de uma fgura F com centro e razão k, um número real postvo, é uma transformação geométrca que assoca a cada ponto P de F o ponto P sobre a sem-reta P, de orgem, tal que P = k P. F F Talvez com vetores seja mas nteressante: sendo o centro da homoteta, o ponto P é transformado no ponto P de modo que P = k P. Note que a homoteta é uma função σ que leva pontos do plano (ou do espaço, se você estver trabalhando em dmensões maores) a pontos do plano (espaço). De fato, podemos fazer P = σ ( P), tal que σ ( P) = k ( P ) σ ( P) = + k ( P ). om sso, podemos defnr homotetas para k negatvo também, obtendo as chamadas homotetas de razão negatva ou homotetas nversas: Defnção.. Homoteta de uma fgura F com centro e razão k, sendo k um número real negatvo, é uma transformação geométrca que assoca a cada ponto P de F o ponto P sobre a reta P, de orgem, tal que P = k P.. Propredades da homoteta s prncpas propredades de homotetas têm a ver com colneardade e concorrênca. lgumas têm a ver com paralelsmo... olneardade centro de homoteta, o ponto e seu transformado são colneares. Em outras palavras, P, e P = σ ( P) são colneares. Isso decorre dretamente da defnção, mas homotetas não vêm de graça! Normalmente as encontramos nos problemas e, com essa propredade, obtemos pontos colneares.

3 .. oncorrênca centro de homoteta pertence a todas as retas que lgam pontos a seus transformados. Em outras palavras, pertence a toda reta do tpo PP = Pσ ( P). Novamente, uma propredade que decorre dretamente da defnção (na verdade, é a mesma da colneardade!), mas que aparece quando descobrmos alguma homoteta... Paralelsmo reta que lga dos pontos é paralela à reta que lga os seus tranformados. Em outras palavras, PQ e P Q = σ ( P) σ ( Q) são paralelas. demonstração desse fato vem da semelhança entre PQ e P Q (pelo caso ). Dos trângulos com lados respectvamente paralelos são homotétcos. Para provar sso, sendo e DEF os trãgulos com, DE,, DF e, EF respectvamente paralelos, use o teorema de Desargues para provar que esses trângulos são perspectvos. Em partcular, algumas fguras são sempre semelhantes: os círculos! om sso, temos a segunte propredade:.4. írculos Dos círculos são sempre homotétcos. Na maora dos casos, eles admtem duas homotetas, uma dreta e uma nversa. No caso de círculos dsjuntos, os centros de homotetas são fáces de encontrar: são as nterseções das tangentes comuns nternas (nversa) e das tangentes comuns externas (dreta). + om sso, podemos resolver alguns problemas. Homoteta esteve bastante na moda na IM durante o níco dos anos 80, como você va ver nos exemplos e nos exercícos. Exemplo.. Problema 5, IM 98. Três círculos congruentes têm um ponto comum e estão no nteror de um trângulo. ada círculo é tangente a dos lados do trângulo. Prove que o ncentro e o crcuncentro do trângulo e o ponto são colneares. Resolução: nome do ponto dado não é por acaso: sejam, e os centros dos três círculos congruentes e o trângulo cujos lados tangencam esses três círculos. Note que os raos dos círculos congruentes são = =, sto é, é crcuncentro de. lém dsso, das tangêncas dos

4 círculos com os lados temos que, e são as bssetrzes do trângulo e se nterceptam no ncentro I do trângulo. I s dstâncas de e a são guas aos raos dos círculos congruentes a são, portanto, guas. Então e são paralelos. nalogamente, é paralelo a e é paralelo a, de modo que os trângulos e são homotétcos. centro de homoteta é I. Essa homoteta leva ao crcuncentro de. ssm, I, e são colneares. Note que a dfculdade fo achar a homoteta; depos bastou aplcar a propredade de colneardade. Exercícos: 0. (Problema, IM 98) Seja um trângulo escaleno com lados a, a e a ( a é o lado oposto a ). Seja M o ponto médo do lado a e T o ponto onde o ncírculo do trângulo toca o lado a, para =,,. Seja S o smétrco de T em relação à bssetrz nterna do ângulo. Prove que as retas MS, MS e M Ssão concorrentes. 0. (Problema, IM 98) Seja um dos dos pontos de nterseção dos círculos e, de centros e, respectvamente. Uma das tangentes comuns aos círculos toca em P e em P, e a outra toca em Q e em Q. Seja M o ponto médo de PQ e M o ponto médo de P Q. Prove que = M M. 0. (Prova de seleção 008, anco da IM 007) s dagonas do trapézo D cortam-se no ponto P. ponto Q está na regão determnada pelas retas paralelas e D tal que QD = Q e a reta D corta o segmento PQ. Prove que QP = DQ.. Fenômeno Homotétco rcular lgumas aplcações de certos teoremas são tão conhecdos quanto os própros. Para homotetas, é o caso com o fenômeno homotétco crcular, que mostra uma colneardade bastante nteressante envolvendo ncírculo e ex-ncírculo. Fenômeno Homotétco rcular. Seja um trângulo e sejam e os pontos de tangênca do ncírculo e ex-ncírculo relatvo a em. Então, e o ponto dametralmente oposto a no ncírculo são colneares. Demonstração:

5 I I asta traçar a reta paralela a que tangenca o ncírculo de em. e são homotétcos com centro em. Para termnar, o ncículo de é ex-ncírculo de, de modo que os pontos e são correspondentes na homoteta e estão, portanto, alnhados com. Vale a pena lembrar também que, na fgura acma, =. Exercícos: 04 (Problema 4, IM 99) No plano, consdere uma crcunferênca, uma reta tangente à crcunferênca e M um ponto da reta. Encontre o lugar geométrco dos pontos P com a segunte propredade: exstem dos pontos Q, R da reta tas que M é o ponto médo de QR e é a crcunferênca nscrta no trângulo PQR. 4. omposção de Homotetas prncpal novação na IM 008 no problema 6 fo explorar o segunte fato: omposção de Homotetas. Se σ é uma homoteta de centro e σ é uma homoteta de centro então a composção de homotetas σ = σ σ é uma homoteta de centro, e, e estão alnhados. únca exceção é quando a composção σ é uma translação. Demonstração Utlzaremos vetores para provar esse fato Seja P um ponto qualquer e sejam k e k as razões de homoteta de σ e σ, respectvamente. Então σ ( P) = + k ( P ) e, portanto, σ ( P) = σ σ( P) = σ( σ( P)) = + k ( σ( P) ) = + k ( + k ( P ) ) = k( k) + ( k) + kk P (*) Prmero, se σ é uma homoteta, então sua razão é kk (as fguras são multplcadas por k e depos por k ; ou seja, são multplcadas por kk ). ssm, para provarmos que σ é uma homoteta, temos que provar que exste um ponto tal que σ ( P) = + k k ( P ) = ( k k ) + k k P (**)

6 omparando os coefcentes em (*) e (**) concluímos que ( kk ) = k( k) + ( k). k( k) + ( k) Se kk =, σ é uma translação (verfque!). aso contráro, = e, kk como k( k) + ( k) = k kk + k = kk, é uma méda ponderada de e. Em outras palavras, pertence à reta. s partdáros da geometra sntétca devem estar sentndo falta de uma demonstração sntétca. Vamos provar a parte da colneardade sntetcamente. Demonstração sntétca da colneardade onsdere os pontos P e Q e seus transformados P = σ ( P), Q = σ ( Q), P = σ ( P ) = σ( P) e Q = σ ( Q ) = σ ( Q). P P P Q Q Q Note que, das homotetas, PQ PQ e P Q são paralelos. Em termos projetvos, eles são concorrentes em um ponto do nfnto. Isto quer dzer que os trângulos PPP e QQQ são perspectvos e podemos aplcar o teorema de Desargues: as nterseções entre lados correspondentes, PP QQ = { }, PP QQ = { } e PP QQ = { } são colneares. 4. Detalhe técnco Geralmente, trabalhamos com homotetas sntetcamente, e aparecem homotetas dretas e nversas. Homotetas nversas multplcam fguras por fatores negatvos, de modo que a composção de duas homotetas do mesmo tpo é dreta e a composção de duas homotetas de tpos dferentes é nversa. Para facltar, a homoteta nversa faz o papel do snal de menos e a homoteta dreta, do snal de mas. Na composção de homotetas, segumos a regra dos snas da multplcação. gora estamos prontos para resolver o problema 6 da IM 008. Vamos reenuncar o problema e resolvê-lo. Exemplo 4. Problema 6, IM 008. Seja D um quadrlátero convexo cujos lados e têm comprmentos dferentes. Sejam e as crcunferêncas nscrtas nos trângulos e D, respectvamente. Suponhamos que exste um crcunferânca tangente à reta de forma que está entre e o ponto de tangênca, tangente à reta de forma que está entre e o ponto de tangênca, e que também seja tangente às retas D e D. Prove que as tangentes comuns exterores a e se ntersectam sobre. Resolução Vamos começar trabalhando com segmentos tangentes.

7 E G Z D H F Temos E = F, F = G, E = H e DG = DH. Então = F F = E G = + E (D + DG) = D + (H DH) = D + D + D = + D. Note que esse fato depende somente de ser tangente aos prolongamentos dos lados do quadrlátero D (guarde esse fato, ele pode ser útl em outros problemas!). Isso mplca + D D + = =. Essa gualdade é smples, mas abre mutas portas para nós! De fato, ela quer dzer que os exncírculos e 4 relatvos a dos trângulos e D tocam em e, respectvamente. Isso nos dá mutas, mas mutas homotetas, e pelo menos duas oportundades de utlzar o fenômeno hometétco crcular! Desenhemos as crcunferêncas: E G Z 4 D F H Vamos compor homotetas para descobrr colneardades, utlzando e 4 como ntermedáros! σ4 σ4 4 e σ. centro da homoteta (dreta) σ 4, o centro da homoteta (dreta) σ 4 e o centro Z da homoteta (dreta) σ estão alnhados. Isso quer dzer que Z pertence à reta. σ σ e σ. σ centro D da homoteta (dreta) σ, o centro da homoteta (dreta) σ e o centro Z da homoteta (dreta) σ estão alnhados. Isso quer dzer que Z pertence à reta D. om sso, concluímos que Z é a nterseção de e D.

8 Note que até agora não envolvemos o círculo nas homotetas. gora é hora, mas vamos provar colneardades de outra forma. Seja W a nterseção de e. Provaremos que W = Z, resolvendo o problema. r s E G Z 4 T D F H Prmero, note que a homoteta dreta σ 4 que leva 4 a tem centro e, portanto, leva a W. Mas anda: como é tangente a 4 em, a reta r paralela a que passa por W é tangente a, pos a reta é levada a r por σ. 4 gora, consdere a homoteta nversa σ que leva a. Essa homoteta tem centro em D, leva W a T e r a s, que é paralela a r e e é tangente a. ssm, D, W e T estão alnhados, ou seja, W pertence à reta DT. Falta anda dentfcar melhor o ponto T. Na verdade, ele é bem conhecdo: como s e são paralelos, T e são dametralmente opostos. Podemos, assm, aplcar o fenômeno homotétco crcular: D, T e são colneares e também pertence à reta DT. Portanto D, e W são colneares, de modo que W pertence a D. omo W pertence, por defnção, à reta, W é a nterseção de e D, e só pode ser gual a Z. bservação: Note que a condção é mportante para que as retas e D não concdam. Exercícos 05. (anco da IM 007) ponto P pertence ao lado do quadrlátero convexo D. Seja o ncírculo do trângulo DPD e I o seu ncentro. Suponha que é tangente aos ncírculos dos trângulos PD e P em e, respectvamente. s retas e D se encontram em E e as retas e se encontram em F. Prove que os pontos E, I e F são colneares. 06. (Romêna) Seja um trâgulo e a, b, ccírculos dentro de tangentes exterormente dos a dos, tas que a é tangente a e, b é tangente a e e c é tangente a e. Sejam D o ponto de tangênca entre b e c, E o ponto de tangênca entre a e c e F o ponto de tangênca entre e. Prove que as retas D, E e F têm um ponto em comum. a b 07. (Irã) Sejam e Ω o ncírculo e o crcuncírculo do trângulo. toca, e em D, E e F respectvamente. s três círculos a, b e c tangencam em D, E e F, respectvamente, e Ω em, e M, respectvamente. (a) Prove que D, E e FM têm um ponto P em comum. (b) Prove que o ortocentro do trângulo DEF pertence à reta P.

9 08. Seja Γ uma crcunferênca e, e pontos em seu nteror. onstrua as seguntes três crcunferêncas: Γ tangente a Γ, e ; Γ tangente a Γ, e ; Γ tangente a Γ, e. Sendo, e os respectvos pontos de tangênca de Γ, Γ, Γcom Γ, prove que, e passam por um mesmo ponto.