Matemática A. Previsão 1. Duração do teste: 180 minutos º Ano de Escolaridade. Previsão Exame Nacional de Matemática A 2013

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1 Prevsão Exame Naconal de Matemátca A 01 Prevsão 1 1ª fase Matemátca A Prevsão 1 Duração do teste: 180 mnutos º Ano de Escolardade Resoluções em vídeo em Prevsão de Exame págna1/8

2 GRUPO I Os oto tens deste grupo são de escolha múltpla, em cada um deles, são ndcadas quatro opções, das quas só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada tem e a letra correspondente à opção que selecconar para responder a esse tem. Não apresente cálculos, nem justfcações. Se apresentar mas do que uma opção, a resposta será classfcada com ero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrta for elegível. 1. Numa turma do 1.º ano com vnte e três alunos (1 rapargas e 10 rapaes), seleconam-se para representarem a escola num concurso de televsão. Pretende-se que a escola seja representada por alunos dos dos sexos. De quantas formas dferentes se pode faer esta seleção de modo a serem escolhdas pelo menos rapargas? (A) 0010 (B) 000 () 000 (D) Numa caxa exstem ses tpos de fruta (bananas, laranjas, maças, pêssegos, morangos e meloas). Sabemos que dos tpos de fruta são de orgem naconal e os restantes foram mportados. onsdera a experênca aleatóra que consste em seleconar um dos ses tpos de fruta que estão na caxa, para sso foram escrtos os seus nomes em ses cartões ndstnguíves ao tacto e ntrodudos num saco, posterormente, de forma aleatóra, fo retrado um cartão do saco, seleconando-se assm o tpo de fruta. onsdera agora os seguntes acontecmentos: A : «A fruta escolhda não é banana» B : «A fruta escolhda é de orgem naconal» Qual das expressões seguntes desgna o acontecmento «A fruta escolhda é banana naconal»? (A) A B (B) A B () A B (D) A B Prevsão de Exame págna /8

3 . A soma dos elementos de uma lnha do trângulo de Pascal é 18. Escolhem-se ao acaso dos elementos dessa lnha, qual a probabldade de serem ambos menores que? (A) (B) () (D) Qual das seguntes expressões é, para qualquer número real a > 1, gual a log a ( a ) log ( log ) a (A) (B) a a () (D) log a log a log a a log a. Na fgura 1 está, em referencal o.n. xoy, parte do gráfco da função f. y 1 O 1 fgura 1 x ' Qual das opções abaxo é o resultado de ( 1 ) f, dervada de f à dreta de 1? (A) (B) () 1 (D) 0 Prevsão de Exame págna /8

4 6. Na fgura 1 está parte da representação gráfca de uma função f, de domíno \{ 1} IR. As retas x = 1, y = 0 e y = são as úncas assmptotas do gráfco de f. y O 1 x fgura 1 onsdera as sucessões u, v e w defndas por: n n n n 1 n n 1 u n =, v n = n n e w n =. n n 1 Em qual das opções abaxo está o resultado de ( v ) f ( w ) n n lmf ( u ) lm f lm n? (A) 0 (B) () (D) 7. Em, conjunto dos números complexos, consdera = a a em que a é um número real negatvo. ( desgna a undade magnára) Seja 7 w =. Qual das opções abaxo pode ser o complexo w escrto na sua forma trgonométrca? (A) 4π π 18a cs (B) 18a cs π () 18a cs (D) 4π 18a cs Prevsão de Exame págna 4/8

5 8. Prevsão de Exame págna /8 (A) (B) () (D) Na fgura 1, está representada, no plano complexo, a sombreado, uma regão lmtada pela reta r e por uma lnha de crcunferênca. Sabe-se que: a reta r passa no centro da crcunferênca; os pontos P e Q pertencem à lnha de crcunferênca, sendo [ ] PQ um dâmetro; o segmento [ ] PQ é perpendcular à reta r ; o ponto P tem cordenadas ( ), e o ponto Q tem cordenadas ( ), 6. Qual das opções seguntes pode defnr, em, conjunto dos números complexos, a regão a sombreado? ( ) Re ( ) Im O r fgura 1 P Q

6 GRUPO II Nas respostas aos tens deste grupo, apresente todos os cálculos que tver de efectuar e todas as justfcações necessáras. ATENÇÃO: quando, para um resultado, não é pedda uma aproxmação, apresente sempre o valor exacto 1. Seja o conjunto dos números complexos, desgna a undade magnára. Seja =cs π e k um número ntero negatvo Determna o valor dek, de forma que a expressão puro. (apresenta todos os cálculos) 1 4 k desgne um magnáro 1.. Sabendo que é uma das raíes sextas de um complexo w, determna as restantes 1 raíes sextas de w escrevendo-as na forma trgonométrca. Nota: responde a esta questão sem determnar o complexo w. 1.. onsdera 4 = n com n número natural. Mostra que o valor de, para qualquer n ímpar, é sempre gual a.. A Joana pretende arrumar ogurtes num compartmento própro dentro do frgorífco. Nesse compartmento exstem 1 espaços dsponíves para colocar ogurtes (cada espaço só leva um ogurte). Dos ogurtes que a Joana comprou, três são de banana, dos são de morango e quatro são de baunlha. (os ogurtes de gual sabor são ndstnguíves entre s) De quantas formas dferentes pode a Joana colocar os ogurtes nos 1 espaços dsponíves? As duas respostas seguntes estão corretas. Resposta 1 Resposta 1!!! 4! Numa pequena composção, apresenta o racocíno que condu a cada uma dessas respostas. Prevsão de Exame págna 6/8

7 . Uma empresa pretende faer uma campanha de dvulgação nas duas maores cdades Portuguesas, Lsboa e Porto. Foram dstrbuídas 1000 rfas nestes dos grandes centros para sortear um prémo no valor de 10 ml euros. Sabemos que: 7000 rfas foram dstrbuídas em Lsboa; 00 rfas foram dstrbuídas em Porto; 0 % das rfas dstrbuídas em Lsboa foram oferecdas e as restantes venddas; 1 % das rfas dstrbuídas em Porto foram oferecdas e as restantes venddas. Aleatoramente selecona-se uma das 1000 rfas para entrega do prémo..1. Sabendo que a rfa vencedora fo oferecda, determna a probabldade de ter sdo dstrbuída em Lsboa. Apresenta o resultado com duas casas decmas... onsdera agora que as 1000 rfas estavam numeradas de 1 a Quantas dessas rfas têm números ímpares, maores que 000, menores que e com os algarsmos todos dferentes? 4. onsdera a função f, de domíno IR, defnda por f ( x) x 1 x e 1 = k sen( kx) x e 1 se se se x < 0 x = 0 x > 0 ( k IR) Sabendo que f é contínua determna o valor de k. Avergua se a função se anula no ntervalo ],4[ 0. (consdera k = 1) O gráfco da função f tem duas assntotas horontas, determna as equações dessas assntotas. Prevsão de Exame págna 7/8

8 . Seja f a função de domíno [ 0,π ], defnda por f ( x) 1 cos( x) 4cosx =. Sabe-se que: Os pontos A e B resultam da nterseção do gráfco de f com o exo das abcssas; A ordenada do ponto é o máxmo da função f em [ 0,π ] Recorrendo às capacdades gráfcas da calculadora determna a área do trângulo [ AB ]. Nota: cálculos ntermédos arredondados a duas casas decmas. Deves apresentar o gráfco da função f numa janela adequada e salentar os pontos relevantes do mesmo para justfcares todos os cálculos. 6. onsdera a função f defnda em IR por f ( x) x lnx =. Determna lm f ( x) x 0 Estuda a função f quanto ao sentdo da concavdade do seu gráfco. 7. Na fgura 1 está representado um quarto de círculo de centro e rao 1. Um ponto P desloca-se ao longo do arco AB, nunca concdndo com A nem com B. A x P fgura 1 B Para cada posção do ponto P, seja x a ampltude, em radanos, do ângulo BP e A x a área da regão sombreada na fgura 1. seja ( ) 7.1. Mostra que A( x) sen(x) = π π π x 4, Recorrendo à defnção de dervada num ponto determna π no ponto de abcssa. A, dervada de A ' π nota: não é permtdo utlar as regras de dervação nesta questão, deves recorrer à defnção de dervada num ponto FIM Prevsão de Exame págna 8/8