Probabilidade e Estatística I Antonio Roque Aula 4. Resumos Numéricos de Distribuições

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1 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula Resumos umércos de Dstrbuções As representações tabulares e grácas de dados são muto útes, mas mutas vezes é desejável termos meddas numércas quanttatvas para caracterzar dstrbuções. Tas meddas numércas ornecem uma manera compacta de se resumr as propredades de uma dstrbução. Em estatístca, consderam-se dos tpos de meddas numércas para caracterzar uma dstrbução: meddas de localzação (também chamadas de meddas de tendênca central) e meddas de dspersão. As meddas de localzação nos dzem em torno de que valor a maor parte dos dados se encontra. As prncpas meddas desse tpo são a méda, a medana e a moda. As meddas de dspersão nos dzem como os dados se espalham, ou quão varáves eles são. As prncpas meddas desse tpo são a ampltude total de varação, o desvo padrão e a varânca. as prómas aulas, vamos estudar essas meddas numércas e suas propredades. Antes dsso, porém, vamos apresentar uma notação matemátca que será muto útl para acltar as manpulações algébrcas a serem etas. A otação do Somatóro Um dos símbolos mas usados em estatístca é a letra grega Σ (lê-se sgma maúsculo), usada para desgnar a soma de város termos, chamada de somatóra. Em geral, a operação de somatóra é epressa da segunte manera:......, onde Σ mplca somatóra, é a varável a ser somada, é o índce da somatóra e e desgnam a abrangênca da soma. Eemplos: Sejam,,, e.

2 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula a) b) 9 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ote, de c) e d), que. e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g) ( ) h) ( ) y y

3 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula o caso especal em que todos os são guas, dgamos guas a c, temos: c c c c c c. c. Portanto, pode-se escrever ( ). Meddas de Localzação ou de Tendênca Central Agora que já vmos a notação do somatóro, vamos utlzá-la para denr as meddas numércas que serão usadas caracterzar dstrbuções. Vamos começar com as meddas de localzação ou tendênca central. A Méda Artmétca A méda artmétca, ou smplesmente méda, de uma amostra de elementos é denda por:. Para o eemplo do tem anteror temos: ( ). A méda é um eemplo de medda de tendênca central porque os valores de uma dstrbução estão espalhados por um certo ntervalo e a méda é uma representante da regão central em torno da qual eles estão espalhados.

4 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula Por eemplo, se pessoas levarem em seus bolsos, num dado nstante, as seguntes quantas em dnhero: R$,; R$ 7,; R$ 7,; R$,; R$,; R$,; R$ 9,; R$,; R$ 6, e R$,, elas levam, em méda, R$,8. ote que nenhuma delas leva, de ato, R$,8 no bolso, mas este valor representa um ponto em torno do qual os derentes valores estão dstrbuídos. Quando o número de elementos na amostra é pequeno, a méda torna-se muto sensível a grandes valores dos elementos. Por eemplo, se a décma pessoa do eemplo acma levasse R$, no bolso ao nvés de R$,, a méda do dnhero das pessoas passara a ser de R$,. Se ela levasse R$., a méda pulara para R$,7. Uma outra manera de se epressar a méda de uma coleção de números é através das reqüêncas de ocorrênca desses números. Se os números,,,..., ocorrerem,,,..., vezes, respectvamente, a méda dos números pode ser escrta como: Eemplo: Uma pesqusa sobre o número de lhos por amíla tendo por base uma amostra de 7 amílas resultou na tabela de reqüêncas abao. úmero de Flhos () Freqüênca () 8 8 Poderíamos calcular o número médo de lhos por amíla usando a aplcação dreta da órmula de denção da méda: ( 7 ),8.

5 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula otem que esta manera de calcular é muto trabalhosa. Porém, ela pode ser resumda como: ( 8 8 ) 7 7 (..... ),8. A Medana A medana de uma dstrbução de dados dvde a dstrbução em duas partes guas, de manera que % dos dados quem acma dela e % quem abao. Por eemplo, sejam os dados:,, 6,,,, 7, 9,. Para se obter a medana, prmeramente deve-se organzar os dados em ordem crescente:,,, 6, 7,,, 9,. Como o número de dados é ímpar (9), a medana será smplesmente o dado do meo: 7. Abao do 7 estem quatro números e acma dele também. Se o dado osse substtuído por, ou mesmo.., a medana não mudara, contnuando a ser 7. Como a medana só depende do número de elementos em uma amostra e não dos seus valores ndvduas, ela é nsensível a altos valores dos dados. Para uma amostra com um número par de dados a medana será a méda dos dos valores do meo. Por eemplo:, 6, 7,,,. Arranjando em ordem crescente:,, 6,,, 7. O número de dados é par (6), portanto não há um dado central que dvda a amostra em duas partes guas. este caso, tomam-se os dos valores centras e calcula-se a sua méda, que será a medana.

6 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula Medana (6 )/ 8. ote que o número 8 não az parte do conjunto dos dados, mas mesmo assm é a sua medana. A medana é outra medda de tendênca central, dando um valor em torno do qual os derentes dados estão dstrbuídos. Ela caracterza o centro da dstrbução: metade dos dados está acma dela e metade abao. A Moda A moda de uma dstrbução de elementos é o elemento que ocorre o maor número de vezes (o mas reqüente). o caso em que mas de um valor da amostra ocorre com a reqüênca máma, a dstrbução é chamada de multmodal. Por eemplo, para os dados:,,,,,,, a moda é o número. Já para os dados: 7,,,,, 8, 9,, 6,, há duas modas, os números e. este últmo caso a dstrbução é dta bmodal. Unmodas Multmodas (bmodas) Quando uma dstrbução de dados é unmodal, sto é tem um únco valor mas reqüente, a moda também é usada como medda de tendênca central para o conjunto de valores. Os valores estão dstrbuídos em torno do pco da dstrbução de reqüêncas. A decsão sobre o uso da méda, da medana ou da moda para descrever a tendênca central de uma amostra depende da orma da dstrbução de reqüêncas e do uso que se ará dela. 6

7 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula Para a descrção de dstrbuções assmétrcas a medana é bastante útl, já que não sente o peso dos grandes valores dos dados. A méda, neste caso, sore esta nluênca e acaba ornecendo uma descrção errônea dos dados. Os grácos abao lustram os dos prncpas tpos de dstrbução assmétrca: a dstrbução assmétrca com uma cauda longa à dreta (dta de assmetra postva) e a dstrbução assmétrca com uma cauda longa à esquerda (dta de assmetra negatva). Para dstrbuções smétrcas não há grandes derenças entre o uso da méda, da medana, ou da moda. Se uma dstrbução or unmodal e peretamente smétrca a sua méda, a sua medana e a sua moda serão guas (veja a lustração a segur). 7

8 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula Para uma dstrbução multmodal, os valores das váras modas ornecem uma melhor descrção da dstrbução do que a sua méda ou medana. Eemplo: Dstrbução do tempo gasto por alunos para a conclusão de um curso de graduação de uma unversdade. Anos Total o de 8 7 alunos Hstograma reqüênca Anos A méda desta dstrbução é: ( ) 6/ 6, anos. 8

9 Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula A medana é anos (tanto o o estudante como o o estudante levaram anos para se ormar). A moda também é anos. Olhando para o hstograma, vemos que ele é assmétrco. Isto eplca porque a méda é bem derente da medana e da moda. A derença se deve ao ato de que alguns estudantes levaram mutos anos para se ormar. Embora % dos estudantes tenham levado até anos para se ormar, os restantes % levaram 6 anos ou mas (até ), azendo com que a méda tenha um valor alto. 9