Estatística e Probabilidade

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1 Estatístca e Probabldade

2 Professor conteudsta: Rcardo Vda

3 Sumáro Estatístca e Probabldade Undade I 1 CONCEITOS BÁSICOS Concetos fundamentas Processos estatístcos de abordagem Dados estatístcos Dados brutos Rol...4 ORGANIZAÇÃO DE DADOS SÉRIES ESTATÍSTICAS Apresentação dos dados estatístcos...5. Varável dscreta Construção de uma varável dscreta Varável contínua Construção de uma varável contínua REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS SÉRIES ESTATÍSTICAS MEDIDAS CENTRAIS Somatóro Médas Medana (m d ) Moda MEDIDAS E DISPERSÃO Ampltude total Desvo médo smples Varânca e Desvo Padrão Undade II 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Teora dos conjuntos, espaço amostral e eventos Conceto de Probabldade em espaços amostras equprováves Propredades da Probabldade Probabldade Condconada Eventos Independentes DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DISTRIBUIÇÃO DE POISSON CORRELAÇÃO LINEAR E REGRESSÃO LINEAR Correlação Lnear Regressão Lnear... 61

4 10 ESTIMATIVA DE PARÂMETROS Defnções Teorema do Lmte Central Estmação Pontual Estmatva por Intervalos Intervalo de Confança para Médas (amostras grandes, n>30) Tabela Normal Intervalos de Confança para Médas (amostras pequenas, n<30) Tabela t-student Intervalo de Confança para Varânca e Desvo Padrão Tabela da dstrbução qu-quadrado TESTE DE HIPÓTESE Concetos Defnções Nível de Sgnfcânca Teste de Hpótese para Méda de População Grandes Amostras (n>30)...75

5 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 5 Undade I 1 CONCEITOS BÁSICOS O termo estatístca é orundo da palavra Estado, pos era usado na determnação dos dados colhdos com a fnaldade de orentar as decsões quanto ao recolhmento de mpostos cobrados dos cdadãos, bem como uma nova estratéga em caso de guerra. Era precso saber o contngente dsponível, a quantdade de almentos para os soldados, assm como a de armas, ou seja, tudo o que necessáro para o empreendmento. Era regstrado também o número de habtantes a partr de anotações dos nascmentos, óbtos, casamentos etc., de modo que surgram as prmeras análses sstemátcas e as prmeras tabelas e os números relatvos. O conceto de estatístca teve um desenvolvmento acelerado a partr do século XVII com os estudos de Bernoull, Fermat, Pascal, Laplace, Gauss e outros. A forma centífca se formou com Achenwall, quando surgram tabelas mas complexas, as prmeras representações gráfcas e o cálculo de probabldades, de forma que dexou de ser uma smples tabulação de dados numércos para se tornar um estudo dreconado a conclusões sobre um todo partndo da observação de apenas uma parte desse todo, sto é, uma amostra. A estatístca é, portanto, uma parte aplcada da matemátca que tem como objetvo o estudo de fenômenos coletvos, a qual fornece métodos para a coleta, a organzação, a descrção, a análse e a nterpretação de dados de forma a utlzá-los para a tomada de decsões. 1

6 Undade I Faz parte da Estatístca Descrtva a coleta, a organzação e a descrção dos dados, enquanto que a análse, a nterpretação dos dados, assocada a uma margem de ncerteza, compõem a Estatístca Indutva, a qual fundamenta a Teora da Probabldade. 1.1 Concetos fundamentas População: conjunto de todos os tens (pessoas ou cosas) que possuem característcas a serem observadas que sejam de nteresse ao estudo de um fenômeno coletvo; Amostra: qualquer subconjunto não vazo de uma população; Parâmetro: característca numérca adotada para toda a população. Exemplo: verfcar a estatura méda dos alunos do segundo grau de uma cdade (população) consderando-se duas escolas (amostra) de forma que se consdere a predomnação da estatura de 1,70 m (parâmetro). 1. Processos estatístcos de abordagem Quando é solctado o estudo de um fenômeno coletvo podemos optar entre dos processos estatístcos: 1. Censo: avalação dreta de um parâmetro utlzando a coleta de dados de toda a população; Propredades: Erro processual zero e 100% de confabldade; Dspendoso; Lento; Com a demora no processo, ao termnar se torna desatualzado; Em cada caso é necessáro avalar sua vabldade.

7 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE. Estmação: avalação ndreta de um parâmetro com base em um estmador deduzdo por meo do cálculo de probabldades. Propredades: Erro processual postvo e confabldade nferor a 100%; Baxo custo; Rápda; Dados atualzados ao térmno do processo em razão de sua rapdez; É sempre vável. 1.3 Dados estatístcos A Estatístca descrtva na função da descrção dos dados tem as seguntes atrbuções: Obtenção ou coleta de dados: realzada em uma fase operaconal a partr de questonáros, observação dreta ou de amostra com um objetvo determnado; Organzação dos dados obtdos: consste na ordenação dos valores observados e sua crítca quanto à correção dos valores, das falhas humanas, de omssões e dados duvdosos; Redução dos dados: necessára para a compreensão de grande quantdade de dados por meo de smples letura de valores ndvduas. A Estatístca Descrtva apresenta duas formas báscas de redução do volume de dados: varável dscreta e varável contínua. Representação dos dados: os dados estatístcos podem ser faclmente compreenddos quando apresentados por meo de gráfcos que permtem a 3

8 Undade I vsualzação nstantânea e que se tornam mportantes ferramentas de trabalho. 1.4 Dados brutos Quando fazemos observações dretas de um fenômeno coletvo ou coletamos as respostas de um questonáro, obtemos uma sequênca de valores numércos. No prmero momento em que são coletados, estes dados estão completamente desordenados de forma que podemos defnr os dados brutos como uma sequênca de valores numércos não organzados, obtdos dretamente da observação de um fenômeno coletvo Rol Depos de coletar os dados que estão totalmente desordenados e ao ordená-los na forma crescente ou decrescente, esses dados passam a se chamar Rol. Portanto podemos defnr o Rol como uma sequênca ordenada dos dados brutos. Observação: após os dados brutos serem organzados em um Rol é que serão tabelados na forma de varável dscreta ou contínua. Exemplo: Foram meddos város troncos de árvores em um parque e obtdos os seguntes valores em metros: X: 4,3; 3,8; 3,; 3,9; 4,5; 5,4 (dados brutos) ou X: 3,; 3,8; 3,9; 4,3; 4,5; 5,4 (Rol) 4

9 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE ORGANIZAÇÃO DE DADOS SÉRIES ESTATÍSTICAS.1 Apresentação dos dados estatístcos Quando trabalhamos com dados estatístcos, ldamos com uma grande quantdade de dados. Embora um dos objetvos da estatístca descrtva seja reduzr sgnfcatvamente a quantdade dos dados coletados, para fns ddátcos trabalharemos com quantdades reduzdas para facltar o entendmento. Tomemos como exemplo as notas de uma avalação em um grupo de 0 alunos. Os dados brutos são: X: 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 7,0; 6,5; 8,0; 3,5; 6,5; 8,0 9,0; 4,5; 5,5; 6,5; 7,0; 8,0; 8,0; 4,5; 6,5; 5,0 (dados brutos) ou X: 3,5; 3,5; 4,0; 4,5; 4,5; 4,5; 5,0; 5,0; 5,5; 6,5; 6,5; 6,5; 6,5; 7,0; 7,0; 8,0; 8,0; 8,0; 8,0; 9,0 (Rol) Observe que há poucos valores dferentes apresentados na lsta. Desta forma poderemos contar o número de vezes que os números se repetem na lsta, fenômeno este chamado frequênca smples. Quando há poucos valores dferentes na lsta podemos agrupá-los no que chamamos de varável dscreta.. Varável dscreta É uma representação tabular de um conjunto de valores dos quas são poucos os valores dstntos, sto é, são poucos a representar. 5

10 Undade I Monta-se uma tabela em que se aponta cada um dos dferentes valores e assocado a ele a quantdade de vezes que se repete. Tomando como exemplo esta dstrbução, teremos: x 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,5 7,0 8,0 9,0 f Neste caso, x é o valor obtdo e f é a quantdade de vezes em que ele aparece. Importante Devemos optar por uma dstrbução na forma de varável dscreta quando o número de elementos dstntos da sére for pequeno...1 Construção de uma varável dscreta É bastante smples. Após construr o Rol da dstrbução, coloque em uma coluna os elementos dstntos que denomnamos x e, em outra coluna, assocado ao valor, a quantdade de vezes que esses valores aparecem na sequênca o que denomnamos f. Exemplo: Consdere o número de peças defetuosas produzdas na lnha de montagem de uma ndústra metalúrgca durante 0 das de trabalho, representadas na sére a segur. X: 0,,0,1,1,3,0,0,0,0,1,0,1,,0,3,,1,,0 ou X: 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,,,,,3,3 6

11 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Temos nove vezes o valor 0, cnco vezes o valor 1, quatro vezes o valor e duas vezes o valor 3. x f Observação: verfque que dmnuímos a quantdade de valores com que trabalharemos, de 0 para 8..3 Varável contínua É uma representação tabular de um conjunto de valores dentre os quas há mutos valores dstntos, de modo que fcará dfícl a redução dos valores a representar. Assm, monta-se uma tabela em que são apontados cada um dos dferentes valores dentro de uma faxa consderada, assocando-se a quantdade compreendda nessa faxa. Exemplo: Classe Intervalo de classe f Σ = Construção de uma varável contínua Realzar a construção da varável contínua requer o conhecmento de alguns concetos. Vejamos: 7

12 Undade I Classe: são os ntervalos de varação da varável. São numeradas seqüencalmente por números nteros; Lmtes da classe: são os extremos de classe. O menor número é o lmte nferor e o maor é o lmte superor. O símbolo ---- representa um ntervalo fechado à esquerda e um aberto à dreta. Ampltude: é a ampltude do ntervalo da classe. É obtda subtrando-se o lmte superor do lmte nferor. Importante saber que na dstrbução da frequênca a ampltude é gual para todas as classes. Temos que consderar também a ampltude total da dstrbução, que é a dferença entre o lmte superor da últma classe e o lmte nferor da prmera. A ampltude total da amostra (Rol) é a dferença entre o valor máxmo e o mínmo da amostra. Ponto médo da classe: é o valor que dvde a classe em duas partes guas. Obtém-se calculando a méda artmétca entre os extremos de cada classe. Importante Devemos optar por uma dstrbução na forma de varável contínua quando for grande o número de elementos dstntos da sére. Para montar uma tabela de uma dstrbução com varável contínua devemos segur alguns passos ou crtéros. 1. Determnar o número de classes O número de classes a ser utlzado depende muto do pesqusador e também das questões que pretende responder. 8

13 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Para responder essa questão em nossos exemplos utlzaremos o método da raz. Sendo n o número de elementos e k o número de classes que será utlzado, o crtéro da raz temos: k = n Entretanto, o valor obtdo para k não será necessaramente um número ntero. Por sso devemos tomar o valor ntero obtdo e também o seu antecessor e sucessor. Exemplo: Se tvermos n=30, teremos k = 30 = 5, 477. Consderaremos para k os valores 4, 5 e 6. O valor escolhdo dependerá de outra análse quando, para sso, consderarmos o ntervalo para a ampltude total da dstrbução.. Determnar a ampltude da classe Depos de determnarmos k, que é a quantdade de classes, devemos determnar h, que é a ampltude da classe a qual será defnda por At h = k em que A t é a ampltude total da dstrbução, valor que é dferente da ampltude total da amostra. Exemplo: se tvermos uma dstrbução cuja A t = 8, 8 para k = 4, h = = 4 8 para k = 5, h = = 5 16, 8 para k = 6, h = = 1333,

14 Undade I Portanto, o valor mas ndcado para k é o valor 4, que determnará a ampltude da classe h gual a. Exemplo: Consderaremos uma dstrbução em que são tomadas as meddas, em centímetros, da altura de 8 alunos de uma escola. Os valores obtdos são: ou (dados brutos) (Rol) No prmero passo fzemos a ordenação dos dados obtdos crando o Rol dos valores. Entretanto sto não é necessáro no prmero momento. Basta localzar o menor e o maor valor da sére para determnarmos a ampltude da amostra. 10

15 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Sendo n = 8, pos temos setenta meddas, o passo segunte é determnar a ampltude de cada classe. Prmeramente necesstamos determnar a quantdade k de classes. n = 8 k 8 = 5, 9 Isso nos leva às seguntes possbldades: k = 4 k = 5 k = 6 Isto é, podemos ter 4, 5 ou 6 classes. Precsamos determnar a melhor opção. A ampltude da amostra é: Menor valor x 1 =63 Maor valor x 8 =10 A=x 8 x 1 =10 63=39 A ampltude da classe fca: h = A k Portanto, poderemos ter: 39 h = = 4 39 h = = 5 39 h = = 6 9, 75 7, 8 6, 5 11

16 Undade I Como nenhum dos valores apresenta como quocente um valor ntero, são necessáros alguns acertos. Importante Podemos acertar a ampltude total da dstrbução para um ntervalo, sempre maor que a ampltude da amostra, e nunca menor. A letura dos valores tem como valor menor 63 e o maor 10. A dferença entre eles é de 10 63=39, que não propca um resultado exato quando dvddo pelas três possbldades do valor adotado para k. Neste momento temos que acertar o lmte do ntervalo da dstrbução atrbundo novos valores para os extremos e respetando os valores obtdos. Em suma, devemos consderar para a ampltude da dstrbução um valor nferor a 61 e superor a 103, de modo que nenhum dos valores meddos em campo fque fora dos cálculos posterores. Fazendo uma análse artmétca verfcamos que, ao adotarmos o valor nferor da dstrbução para x 1 =61 e superor para x 8 =103, teremos: A t =103 61=4 e as possbldades para a ampltude da classe: 4 h = = 10, h = = 5 4 h = = 6 8, 4 7 1

17 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Como a classe deve ser um número ntero, a melhor possbldade é que tenhamos h =7, porque teremos 6 classes dstntas no ntervalo. É mportante rever os valores obtdos e consderados. Na apresentação dos valores temos que o menor é 63 e o maor, 10, com 8 leturas. Isto nos leva à ampltude da amostra A=103 61=4, que não propcará uma dvsão exata quando dvdda pelas possbldades da quantdade de classes, que são 4, 5 e 6. Para acertarmos os ntervalos provocamos uma alteração na ampltude total da amostra (Rol), no ntuto de obtermos valores nteros. Colocando o valor menor da dstrbução em x 1 =61 e x 8 =103, a ampltude total será: At=x 8 x 1 =103 61=4 para n=6 teremos: 4 h = = 6 7 Assm, teremos 6 classes com ntervalo h =7. É mportante ressaltar que o símbolo ndca que temos um ntervalo fechado à esquerda e aberto à dreta. Trocando em múdos, na segunda classe ncluímos o valor 68 e não o 75 que pertence à classe segunte. Então, organzando o Rol com os valores desses ntervalos, temos: 13

18 Undade I Classes 1ª ª ª ª ª ª Temos, então, elementos na prmera classe, 4 na segunda, 9 na tercera e, segundo assm, teremos 3 na otava. Colocando em uma tabela, teremos: classe Intervalo de classe Resumndo: com a análse desta tabela, notamos que na prmera classe, onde o ntervalo é entre 61 e 68, temos apenas dos elementos. Na segunda classe, onde o ntervalo é entre 68 e 75, temos 5 elementos. Na sexta classe, onde há o ntervalo de 93 a 103, temos 5 elementos. A quantdade de elemento por classe é a frequênca absoluta. 3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS SÉRIES ESTATÍSTICAS Grafcamente podemos representar uma sére estatístca de varas maneras. Dentre elas podemos ctar o gráfco de lnhas, de colunas, de setores etc. f 14

19 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE x f A partr de uma dstrbução como esta, podemos gerar: um gráfco de colunas; x f um gráfco de barras; x f 15

20 Undade I um gráfco de setores; x No gráfco de setores podemos também ndcar o percentual da frequênca de cada valor obtdo em relação a toda a amostragem. x Além desses gráfcos, que são os mas comuns, também podemos utlzar váras outras maneras dferentes de representar séres estatístcas. como gráfcos de lnhas, bolhas e város outros, cada um adequado para cada questão. 16

21 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 4 MEDIDAS CENTRAIS Quando um conjunto de dados é agrupado defnem-se meddas que, através de um só número, apresentam suas característcas. Algumas descrevem a tendênca central, sto é, a tendênca que esses dados têm de se agrupar em torno de certos valores. É uma medda que estabelece um número ou valor em torno do qual a sére se concentra. Dvde a sére em duas partes guas. 4.1 Somatóro Quando somamos varas parcelas que têm a mesma característca, representa-se esta soma de n valores de uma sére, codfcando-as conforme a expressão: x + x + x x = x 1 3 n n = 1 Nesta expressão, x representa uma parcela genérca (termo que consta de todas as parcelas) e é o índce. Lê-se: somatóro dos valores de x, para varando de 1 até n. Exemplo: x1 + x + x3 + x4 + x5 = x x + x + x + x = x 4 = 1 5 = ( x 4) + ( x 4) + ( x 4) = ( x 4) = 1 17

22 Undade I Propredades: n 1. ( x ± y) = x ± y = 1 = 1 = 1 n n. k. x = k. x = 1 n = 1 n x n n x x 3. = 1 = = 1 k k k = 1 = 1 n Obs.: podemos também encontrar a notação: x = x 4. Médas n =1 É a medda ou valor que se obtém segundo uma regra estabelecda e é equdstante dos valores extremos de uma sére estatístca. Temos também as médas proporconal e quadrátca, mas veremos apenas as que estão a segur. Méda artmétca smples É dada pelo quocente entre a soma dos elementos da sére pela quantdade de elementos que compõem esta sére. É dada pela fórmula: n x x = = 1 n para dados brutos ou rol. 18

23 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Exemplo: Dados os valores 3, 0, 4, 6, 8, 9,1, 7: 8 x = 1 0 x = = = = Méda artmétca ponderada 6, 13 É uma méda em que a sequênca numérca depende dos pesos ou da frequênca de cada valor na sére. É dada pela fórmula: x n = = 1 n = 1 x. f f Observe que a fórmula é a mesma já vsta. Ocorre que, quando termos város valores que se repetem, a frequênca corresponde ao número de vezes que esta repete. Assm, ao multplcarmos um valor pela sua frequênca, estamos fazendo nada mas do que somá-lo pelo número de vezes que se repete. Também o somatóro das frequêncas nada mas é do que a quantdade de elementos da sére. Usa-se tanto para dstrbuções na forma de varável dscreta quanto contínua. 19

24 Undade I Exemplo: (varável dscreta) Dada a dstrbução: 8 I x f x.f Σ = 31 Σ = 01 x. f = x = = = = 6, f = 1 Exemplo: (varável contínua) Quando os dados são apresentados na forma de uma varável contínua, utlzamos a fórmula da méda artmétca ponderada consderando as frequêncas smples das classes. Entretanto, como temos uma faxa de valores, o valor de x é o ponto médo da classe e determnado pela méda artmétca dos extremos de cada classe. L L x = sup + nf 0

25 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Exemplo: Consderando a dstrbução: Temos x Classe = = 1 n Então n ntervalo de classe f x x.f = 1 x. f f 7500 x = = 107, Σ = 70 Σ = 7500 Importante Sempre que tvermos uma tabela na forma de varável contínua, o valor de x deverá ser consderado como o ponto médo do ntervalo da classe. 1

26 Undade I Méda geométrca smples Em uma sequênca numérca smples, a méda geométrca smples é defnda pela fórmula: x n x. x. x... x g = 1 3 Exemplo: n Dados os valores 3, 1, 4, 6, 8, 9,1, 7: x x g = = = 5, 068 Méda geométrca ponderada Em uma sequênca numérca na qual há pesos, consdera-se a frequênca com que ocorrem os valores. A méda geométrca ponderada é dada por: x = x1 1. x... x g f f f n f n De forma análoga, quando um valor se repete, o produto dele por ele mesmo na frequênca que se repete é gual à potênca desse valor elevado à sua frequênca. Exemplo: (varável dscreta) Dada a dstrbução: x f Σf = 18

27 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Temos: x g = = 3, 54 Exemplo: (varável contínua) Dada a dstrbução: classe ntervalo de classe f Σ f = 31 x x g = = 9, Medana (m d ) A medana é um elemento da sére que a dvde em duas partes com a mesma quantdade de elementos. Cálculo da Medana Prmeramente devemos ordenar os elementos da sére e obter o Rol. Em seguda, determnar n, ou seja, o número de elementos da sére. Se n for ímpar, o Rol admte apenas um termo central que ocupa a posção n +1 ( ). O valor do elemento que ocupa essa posção é a medana. 3

28 Undade I Exemplo: X: 3,4,6,7,9,10,1 A sére tem 7 elementos. Portanto o termo que ocupa a posção ( ), sto é, o 4º elemento, é a medana. posção 1ª ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª valor Assm, m d = 7 Se n for par, o Rol admte dos termos na posção central. n Serão os valores que ocuparem as posções ( ) n e ( ) + 1. A medana é, então, por convenção, a méda artmétca (ou o ponto médo) dos valores que ocupam a posção central. Exemplo: Dada a dstrbução: X: 6,13,15,18,,5 Como temos n = 6 elementos, as posções centras são: n 6 n = = 3ª e + 1= 6 + 1= 4ª a 3 = 15 e a 4 = 18 Portanto, m d = = 16, 5 4

29 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 4.4 Moda A Moda é o valor que aparece com maor frequênca no conjunto de dados. Basta dentfcar o elemento que aparece com maor frequênca. Exemplo: X: 3, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8 Nesta dstrbução, o elemento que aparece o maor número de vezes é o 3. Portanto, mo = 3 5 MEDIDAS E DISPERSÃO São meddas que avalam a representatvdade da méda. As meddas de dspersão absoluta são: ampltude total, desvo médo smples, varânca e desvo padrão. 5.1 Ampltude total É a únca medda de dspersão que não tem na méda o seu valor de referênca. É obtda pela dferença entre o maor e menor valor da sequênca. Dados brutos ou Rol Basta dentfcar o maor e o menor valor da sére e calcular a dferença. Exemplo: X: 7, 8, 10, 1, 15 A t = 15 7 = 8 5

30 Undade I Varável dscreta Como os valores já se apresentam de forma ordenada também basta dentfcar o prmero e o últmo valor da sére. Exemplo: Dada a dstrbução: x f Σ= 4 A ampltude total é: A t = x 7 x 1 = 9 0 = 9 Varável contínua Nesta stuação, embora os elementos já se apresentem em forma ordenada, desconhecemos o menor e maor valores porque estão compreenddos entre o ntervalo de cada classe. Consderamos então os pontos médos dos ntervalos de cada classe. 6

31 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Exemplo: Dada a dstrbução classe ntervalo de classe f Σ = 70 Os pontos médos da prmera e otava classe são: Inferor = = 65 Superor = = 135 Portanto, a ampltude total é At=135+65=70 5. Desvo médo smples Está baseado no conceto matemátco lgado à dstânca, sto é, à dspersão dos dados em relação à méda de uma sequênca. Esta é avalada por meo dos desvos de cada elemento da sequênca, em valor absoluto, em relação ao valor médo da sequênca. O desvo médo smples é defndo como a méda artmétca entre os desvos de cada elemento em relação à méda da sére. DMS = x n x 7

32 Undade I Dados brutos ou Rol Calcula-se a méda artmétca entre os valores da sequênca e em seguda o desvo, em valor absoluto, de cada valor da sequênca em relação ao valor obtdo. O passo segunte é calcular a méda artmétca desses valores. Exemplo: Dada a sequênca X:, 8, 3, 6 ou X:, 3, 6, 8 x = = = 4 4 d 1 = 4, 75 =, 75 4, 75 d = 3 4, 75 = 175, d 3 = 6 4, 75 = 175, d 4 = 8 4, 75 = 3, 5, , + 175, + 3, 5 9 DMS = = =, Varável dscreta Quando temos uma sequênca apresentada na forma de varável dscreta, os dados já vêm ordenados e a frequênca representa o número de vezes que o elemento fgura na sére. Portanto temos valores de desvos que se repetem o que nos levará ao cálculo de uma méda artmétca ponderada. 8

33 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Portanto, calculamos: DMS = x x. f f Exemplo: Dada a dstrbução x f x.f x. f 10 x = = = 5 f 4 Σ = 4 Σ = 10 Obs.: x =x m I x f x.f x x m x - x.f m Σ = 4 Σ = 10 Σ = 54 9

34 Undade I O Desvo médo smples é calculado por: DMS = x x. f f 54 = =, 5 4 Varável contínua Do mesmo modo que a varável dscreta, os dados já vêm ordenados e a forma para calcular o desvo médo smples obedece aos mesmos crtéros. A únca dferença é que na varável contínua temos uma faxa de valores para classe, e não um valor defndo. Para tanto, devemos, em cada classe, determnar o ponto médo. Exemplo: Classe ntervalo de classe f x x.f Σ = 70 Σ = 7500 x. f 7500 x = = = 107, 14 f 70 30

35 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE classe ntervalo de classe f x x.f x - Xm x - x m.f ,14 4, ,14 160, ,14 13, ,14 11, ,14 5, ,86 149, ,86 50, ,86 83,58 Σ = 70 Σ = 7500 Σ=965,7 DMS = x x. f 965, 7 = = 13, 75 f 70 Interpretação: o resultado obtdo sgnfca que cada elemento está, em méda, 13,75 afastado de 107, Varânca e Desvo Padrão Quando calculamos o desvo médo smples, utlzamos o módulo da dferença entre o valor de cada termo e a méda a fm de nterpretarmos a dferença como dstânca. Entretanto, há outra forma de obtermos as dferenças sempre postvas ou nulas, quando consderamos o quadrado dessas dferenças. Isto é, em vez de usarmos a dferença x x usamos ( x x) 31

36 Undade I Assm, se substturmos na fórmula do DMS a expressão ( x x), obteremos uma nova medda que chamaremos de varânca, que fca: σ ( x) = ( x x) n A raz desse valor é o que denomnamos σ( x) = σ ( x) Importante Quando estvermos trabalhando com uma amostra, o valor da varânca será dado por: s ( x) = ( x x) n 1 E o desvo padrão será dado por: s( x) = S ( x) Dados brutos ou Rol Como fo vsto anterormente, se tvermos dados brutos, a prmera cosa a fazer é formarmos o Rol. Obtdo o Rol, passamos a determnar o valor médo dos termos que constam no Rol para, em seguda, calcularmos a varânca e o desvo padrão. 3

37 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Exemplo: Dada a dstrbução X: 3, 4, 5, 7, 8, 9 Temos que: 3 x = = = Calculando ( x x), temos: ( x1 x) = ( 3 6) = 9 ( x x) = ( 4 6) = 4 ( x3 x) = ( 5 6) = 1 ( x4 x) = ( 7 6) = 1 ( x5 x) = ( 8 6) = 4 ( x6 x) = ( 9 6) = 9 Então, a varânca é: σ ( x ) = = = 4,

38 Undade I E o desvo padrão é: σ( x ) = 4, 66 =, 16 Varável dscreta Incalmente temos que os dados já vêm ordenados, mas como há elementos que se repetem, defnmos a varânca como a méda artmétca ponderada dos quadrados dos desvos dos elementos da sére para com a méda. Se a varável dscreta representa uma população, a varânca e o desvo padrão são calculados como: σ ( x x). f ( x) = f e σ( x) = σ ( x) Se for a representação de uma amostra, então teremos: s ( x) = ( x x). f f 1 e s( x) = s ( x) Exemplo: I x f x.f Σ = 4 Σ = x = =

39 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Então: I x f x.f (x x m ) (x x m ).f Σ = 4 Σ = 10 Σ = 176 σ ( x x). f ( x) = f 176 = = 7, 33 4 e σ( x) = σ ( x) = 7, 33 =, 70 Consderando a tabela como a representação de uma amostra, temos: s ( x) = e ( x x). f f = = 7, 65 3 s( x) = σ ( x) = 7, 65 =, 76 Varável contínua Novamente, ao desconhecer um valor partcular para uma faxa de varação da classe em uma varável contínua, a exemplo 35

40 Undade I de stuações anterores, consderamos o valor médo do ntervalo de classe. As fórmulas usadas para o cálculo da varânca e do desvo padrão são as mesmas usadas para a varável dscreta, levando-se em consderação o que fo dto anterormente, sto é, para cada classe tomamos o valor médo do seu ntervalo. Exemplo: Dada a dstrbução: Temos: Classe ntervalo de classe f x x.f Σ = 60 Σ = 848 x. f 848 x = = = 14, 13 f 60 ntervalo classe de classe f x x.f (x x m ) (x x m ).f ,84 54, ,3 6, ,80 58, ,8 4, ,76 9, ,4 8, ,7 71, ,0 188,79 Σ = 60 Σ = 884 Σ = 714,93 36

41 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Então, σ ( x) = f e ( x x). f 714, 93 = = 1191, 60 σ( x) = σ ( x) = 1191, = 3, 45 Se a dstrbução se tratasse de uma amostra, teríamos: σ ( x) = f 1 e ( x x). f 714, 93 = = 1, σ( x) = σ ( x) = 1, 11 = 3, 47 Importante No cálculo da varânca, elevamos ao quadrado a dferença de um valor e a méda da dstrbução. Portanto, a undade de medda também deve ser elevada ao quadrado. O valor da varânca não pode ser comparado dretamente com os dados da sére, sto é, a varânca não tem nterpretação. Para suprr esta defcênca é que se defne o desvo padrão. Interpretação do desvo padrão O desvo padrão é a mas mportante das meddas de dspersão. Quando a curva é perfetamente smétrca, podemos afrmar que 37

42 Undade I o ntervalo x σ, x + σ contém aproxmadamente 68% dos valores da sére. σ σ X σ X X + σ x. σ, x +. σ contém 95% dos valores. σ σ σ σ X σ X X + σ x 3. σ, x + 3. σ contém 99% dos valores. σ σ σ σ σ σ X 3σ X X + 3σ 38