ESTATÍSTICA PARA TCU PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Estatístca Descrtva A Estatístca, ramo da Matemátca Aplcada, teve orgem na hstóra do homem. Desde a Antgudade, város povos regstravam o número de habtantes, de nascmentos, de óbtos, dstrbuíam equtatvamente terras ao povo. Na Idade Méda colham-se nformações, geralmente com fnaldades trbutáras ou bélcas. No níco do século XVIII o estudo de tas fatos fo adqurndo feção verdaderamente centífca. A palavra fo proposta pela prmera vez no século XVII, em latm, por Schmetzel na Unversdade de Lena e adotada pelo acadêmco alemão Godofredo Achenwall. As tabelas tornaram-se mas completas, surgram as representações gráfcas e o cálculo das probabldades, e a Estatístca dexou de ser uma smples catalogação de dados numércos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partndo da observação de partes do todo (amostras). Podemos dzer, então, que a Estatístca é uma parte da Matemátca Aplcada que fornece métodos para a coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões. A coleta, organzação e a descrção dos dados estão a cargo da Estatístca Descrtva. A análse e a nterpretação dos dados fcam a cargo da Estatístca Inferencal. O aspecto essencal da Estatístca é o de proporconar métodos nferencas, que permtam obter conclusões que transcendam os dados obtdos ncalmente. Vamos à prmera fase de um processo estatístco. Imagne que você fo o encarregado para fazer uma pesqusa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são mutos alunos, você decdu realzar uma pesqusa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a segunte tabela de valores: Obvamente, quando você começa a sua pesqusa, os seus dados não estão organzados. A esses dados desorganzados denomnamos dados brutos. Prof. Gulherme Neves 1

2 A esse tpo de tabela, cujos elementos não foram numercamente organzados, denomnamos tabela prmtva. O próxmo passo, após realzar a coleta dos dados, é organzar esses dados em ordem crescente ou decrescente. Denomnamos os dados dspostos em ordem crescente ou decrescente de rol. Em suma, um rol é um arranjo de dados numércos brutos em ordem crescente ou decrescente. Colocar os dados brutos em rol é uma das fases da Estatístca Descrtva. À dferença entre o maor e o menor número do rol chama-se ampltude total dos dados. Então vamos lá... Coloquemos os dados em ordem crescente! Um pouco melhor ou não? Agora, podemos saber, com relatva facldade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maor (173 cm); que a ampltude total de varação fo de = 3 cm. 01. (Economsta - Insttuto de Prevdênca do Estado de Santa Catarna FEPESE) Verfque os conjuntos A, B, C e D abaxo, no formato de rol e assnale a alternatva correta. a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,8. b) Não é possível calcular a ampltude total do conjunto D, pos estamos dante de um rol decrescente. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 7. d) A ampltude total do conjunto A é,1. e) A ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A. Resolução Prof. Gulherme Neves

3 O prmero passo é organzar os conjuntos A, B, C e D em formato de rol. Tanto faz organzar em ordem crescente ou decrescente. Por questão de costume, organzare em ordem crescente. A 0,05 0, ,1 B 0,5 0, ,35 C 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 D A ampltude total de um conjunto é a dferença entre o maor elemento e o menor elemento. Assm: a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,07 0,01 = 0,06. A letra A é, portanto, falsa. b) A ampltude total do conjunto D é 5 1 = 4. A letra B é, portanto, falsa. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 10,35 0,01 =10,34. A letra C é, portanto, falsa. d) A ampltude total do conjunto A é gual a 5,1 0,05 = 5,05. A letra D é, portanto, falsa. e) A ampltude total do conjunto B é gual a 10,35 0,5 = 10,1. Portanto a ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A e a alternatva E é verdadera. Letra E 0. (Audtor Interno do Poder Executvo- Secretaras de Estado da Fazenda e da Admnstração FEPESE) Os pesos de 80 pacentes nternados em um hosptal estão relaconados na tabela abaxo. Com referênca a essa tabela, determne a ampltude total. Assnale a únca alternatva correta. a) 49 b) 53 Prof. Gulherme Neves 3

4 c) 79 d) 80 e) 97 Resolução A ampltude total de um conjunto é a dferença entre o maor elemento e o menor elemento. O maor elemento desse conjunto é 99 (4ª coluna e 6ª lnha) e o menor elemento é 50 (9ª coluna e 7ª lnha). Assm a ampltude total é = 49. Letra A Vamos começar um estudo pormenorzado das dstrbuções de frequêncas, seus elementos e propredades. Voltemos ao exemplo ncal de nossa aula para entendermos as próxmas explcações. Imagne que você fo o encarregado de fazer uma pesqusa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são mutos alunos, você decdu realzar uma pesqusa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a segunte tabela de valores: Denomnamos os dados dspostos em ordem crescente ou decrescente de rol Denomnamos frequênca o número de alunos que fca relaconado a um determnado valor da varável. Obtemos, assm, uma tabela que recebe o nome de dstrbução de frequênca. Por exemplo, temos 4 alunos com 161 cm de altura. Portanto 4 é a frequênca do dado 161 cm. Vamos relaconar cada dado com a sua frequênca correspondente. Prof. Gulherme Neves 4

5 Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq Total 40 O processo dado é anda nconvenente, já que exge muto espaço, mesmo quando o número de valores da varável é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mas acetável, pela própra natureza da varável contínua, é o agrupamento em város ntervalos. Assm, se um dos ntervalos for, por exemplo, (154 x< 158), em vez de dzermos que a estatura de 1 aluno é 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, dremos que 9 alunos têm estaturas entre 154, nclusve, e 158 cm, exclusve. Deste modo, estaremos agrupando os valores da varável em ntervalos, sendo que, em Estatístca, prefermos chamar os ntervalos de classes. O símbolo será muto utlzado e sgnfca que ncluímos o lmte nferor do ntervalo e excluímos o lmte superor do ntervalo. Chamando de frequênca de uma classe o número de valores da varável pertencentes à classe, os dados da tabela acma podem ser dspostos como na próxma tabela, denomnada dstrbução de frequênca com ntervalos de classe: Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 Ao agruparmos os valores da varável em classes, ganhamos em smplcdade, mas perdemos em pormenores. Não sabemos mas qual a altura exata de cada um dos alunos. Prof. Gulherme Neves 5

6 O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de essencal nos dados e, também tornar possível o uso de técncas analítcas para sua total descrção, até porque a Estatístca tem por fnaldade específca analsar o conjunto de valores, desnteressando-se por casos solados. Analsemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma dstrbução de frequêncas. Classe Elementos de uma dstrbução de frequênca Estaturas de 40 alunos Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 É cada um dos grupos ou ntervalos obtdos a partr do agrupamento ou conjunto de dados. Por exemplo, a tercera classe é Lmtes de classe Denomnamos lmtes de classe os extremos de cada classe. O menor número é o lmte nferor da classe ( l nf ) e o maor número, o lmte superor da classe ( l sup ). Na segunda classe, por exemplo, temos: l nf = 154 e l sup = 158 Ampltude de um ntervalo de classe Ampltude de um ntervalo de classe ou, smplesmente, ntervalo de classe é a medda do ntervalo que defne a classe. É obtda pela dferença entre os lmtes superor e nferor dessa classe e desgnamos por h. Assm, h= l l sup nf Prof. Gulherme Neves 6

7 Por exemplo, na tercera classe da tabela acma, temos: h = = 4 Ampltude total da Dstrbução Ampltude total da dstrbução (AT) é a dferença entre o lmte superor da últma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera classe (lmte nferor mínmo). AT = l l máx Em nosso exemplo, temos: AT = = 4 AT = 4cm É evdente que, se as classes possuem o mesmo ntervalo, verfcamos a rela AT = K h. Essa expressão é de fácl compreensão, vsto que são 6 classes e que a ampltude de cada classe é gual a 4. Assm, a ampltude total é gual a 6 x 4 = 4. Ponto médo de uma classe Ponto médo de uma classe ( x ) é, como o própro nome ndca, o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas. Para obtermos o ponto médo de uma classe, calculamos a méda artmétca dos lmtes da classe. lmnf + lm sup x = Assm, o ponto médo da quarta classe, em nosso exemplo é: lmnf + lm 4 sup x4 = x4 = = 164 x4 = 164cm O ponto médo de uma classe é o valor que a representa. Se as ampltudes dos ntervalos de classes forem constantes (como aconteceu no nosso exemplo), podemos calcular os pontos médos das classes da segunte manera: ) Calculamos o prmero ponto médo. ) Para calcular os próxmos pontos médos, basta adconar a ampltude de cada classe ao ponto médo da classe anteror. Dessa forma, como o prmero ponto médo é 15 cm, o próxmo ponto médo é = 156. O tercero ponto médo é = 160 cm. Prof. Gulherme Neves 7 mín Estaturas X (cm)

8 Tpos de frequêncas Frequêncas smples ou absolutas ( f ) São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüêncas smples é gual ao número total dos dados. O símbolo então k = 1 f = n sgnfca somatóro. Nesse caso, como k = 6 (número de classes),!!!! f!!!!! f! sgnfca que o índce vara de 1 a 6. = f! + f! + f! + f! + f! + f! = = 40 Frequêncas relatvas ( fr ) São os valores das razões entre as frequêncas smples e a frequênca total, normalmente expressas em porcentagem. fr = n Lembre-se que para transformar qualquer fração para a forma percentual devemos multplcá-la por 100%. No nosso exemplo, a freqüênca relatva da tercera classe é: f3 11 fr3 = = 100% = 7,5% fr3 = 7,5% Evdentemente o somatóro das frequêncas relatvas é gual a 1 (100%). O propósto das frequêncas relatvas é o de permtr a análse ou facltar as comparações de cada classe com o total de observações. f Prof. Gulherme Neves 8

9 Frequênca absoluta acumulada crescente abaxo de ( fac ) É o total das frequêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. fac = f1+ f f O procedmento para o cálculo desta frequênca é o segunte: ) Repete-se a frequênca absoluta da prmera classe. ) Para calcular a próxma frequênca acumulada, devemos somar a frequênca acumulada anteror com a frequênca absoluta da classe correspondente. Estaturas f fac (cm) Total 40 O que sgnfca exstrem 4 alunos com estatura abaxo de 16 cm (lmte superor da tercera classe). Frequênca absoluta acumulada decrescente ( fad ) É o total das frequêncas de todos os valores superores ao lmte nferor do ntervalo de uma dada classe. fad = f + f fk O procedmento para o cálculo desta frequênca é o segunte: ) Repete-se a frequênca absoluta da últma classe. ) Para calcular a próxma frequênca acumulada (de baxo para cma), devemos somar a frequênca acumulada anteror com a frequênca absoluta da classe correspondente. Estaturas f fad (cm) Total 40 O que sgnfca exstrem 7 alunos com estatura gual ou superor a 158 cm (lmte nferor da tercera classe). Prof. Gulherme Neves 9

10 Podemos representar essas frequêncas acumuladas na forma percentual (frequênca relatva acumulada) dvdndo pelo total de observações (n) e multplcando por 100%. Meddas de Posção Nos tens anterores, vmos como resumr um conjunto de dados em tabelas de frequênca e também como representá-los grafcamente. Agora, a partr dos valores assumdos por uma varável quanttatva, vamos estabelecer meddas correspondentes a um resumo da dstrbução de tas valores. Estabeleceremos um valor médo ou central e um valor ndcatvo do grau de varabldade ou dspersão em torno do valor central. Como valores centras vamos estudar a méda, a medana (e outras meddas separatrzes (quants) como o decl, quartl, percentl, etc) e a moda. Médas Uma dea bastante mportante é a de méda. Estudaremos apenas a méda artmétca. Vejamos um exemplo. Sabendo-se que a produção letera dára de uma vaca, durante uma semana, fo de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 ltros, temos para produção méda da semana: x = = = Logo, x = 14 ltros. Ou seja, para calcular a méda artmétca de uma lsta de números, devemos somar os valores e dvdr pela quantdade de dados. x1+ x + x xn x = n Em suma, méda artmétca para o rol é o quocente da dvsão da soma dos valores da varável pelo número deles: x x = n Dados agrupados Sem ntervalos de classe Consderamos a dstrbução relatva a 34 famílas de quatro flhos, tomando para varável o número de flhos do sexo masculno. Nº de f mennos Prof. Gulherme Neves 10

11 Neste caso, como as frequêncas são números ndcadores da ntensdade de cada valor da varável, elas funconam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a méda artmétca ponderada, dada pela fórmula: x f x = n O modo mas prátco de obtenção da méda ponderada é abrr, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xf. x f Prof. Gulherme Neves 11 xf xf = è A prmera lnha nos dz que exstem famílas com nenhum flho homem, totalzando 0 flhos. è A segunda lnha nos dz que exstem 6 famílas com 1 flho homem, totalzando 6 flhos homens. è A tercera lnha nos dz que exstem 10 famílas com flhos homens, totalzando 0 flhos homens. E assm sucessvamente. No total, essas 34 famílas, possuem juntas 78 flhos homens. Temos, então: xf 78 x = = =,3 n 34 Isto é, x =,3 mennos Observação: Sendo x uma varável dscreta, como nterpretar o resultado obtdo, mennos e 3 décmos de menno? O valor médo,3 mennos sugere, neste caso, que o maor número de famílas tem mennos e mennas, sendo, porém, a tendênca geral de uma leve superordade numérca em relação ao número de mennos. Com ntervalos de classe Neste caso, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo, e determnamos a méda artmétca ponderada por meo da fórmula xf x = n Onde x é o ponto médo da classe. Ora, quando temos dados dstrbuídos em classes perdemos nformações. Não temos mas as alturas exatas de cada um dos alunos. Olhe, por exemplo, para a segunda classe da tabela segunte. Temos 9 alunos com a altura entre

12 (nclusve) e 158 cm. Não sabemos a altura de cada um dos 9 alunos. Convenconamos que os 9 alunos possuem 156 cm (ponto médo da classe). Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 Vamos, ncalmente, abrr uma coluna para os pontos médos e outra para os produtos xf. Estaturas f x xf (cm) Total 40 xf = 6440 Neste caso, Prof. Gulherme Neves 1 xf 6440 x = = = 161 cm n 40 Vamos agora conhecer algumas propredades mportantíssmas sobre méda artmétca para que possamos garantr alguma eventual questão teórca sobre este assunto e aprovetar para aprendermos um método mas fácl para calcular méda artmétca em dstrbuções de frequêncas. Propredades da méda artmétca ) A méda artmétca sempre exste e é únca. ) Somando-se (ou subtrando-se) uma constante c de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. ) Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante c, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. v) A soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula. v) A soma dos quadrados dos desvos tomados em relação à méda artmétca é um valor mínmo.

13 Vamos verfcar essas propredades através de exemplos. Consderemos a sequênca de dados (,4,6,8,10,10,1,1), calculemos sua méda e verfquemos as propredades acma: x = 8 x = 8 Consderemos uma constante c=. Adconando essa constante a todos os valores da sequênca acma, temos a sequênca (4,6,8,10,1,1,14,14). E a nova méda será: x' = 8 x' = 10 Observe que x' = x+. Multplquemos agora a constante c= e obtemos a sequênca (4,8,1,16,0,0,4,4) cuja méda é: x '' = 8 x'' = 16 Observe que x'' = x. Anda trabalhando na sequênca (,4,6,8,10,10,1,1). Sabemos que a méda artmétca desse conjunto de dados é x = 8. Denomnamos desvo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. Para o exemplo dado, temos: d = x x= 6 d = x x= d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= d4 = x4 x= 0 d8 = x8 x= 4 Faclmente verfcamos que a soma dos desvos em relação à méda é gual a zero. De fato, d = = 0 Fnalmente, verfquemos a 5ª propredade. Calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação à méda artmétca: d = ( 6) + ( 4) + ( ) d = 96 A propredade nos dz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínmo. Isso porque, se construrmos um conjunto dos desvos d ' formado pela dferença entre os elementos x do conjunto e uma constante que não seja a méda, ou seja, um conjunto dos desvos em torno de um valor qualquer Prof. Gulherme Neves 13

14 dferente da méda e, feto sso, acharmos o conjunto ( d ') e em seguda calcularmos o seu somatóro ( d '), este últmo valor será maor do que 96. Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação ao número 5 (dferente da méda artmétca 8). ( d ') = ( 3) + ( 1) Assm, ( d ') > ( d ) ( d ') = 168 De posse dessas propredades, vamos aprender um método smplfcado (através de uma questão resolvda) para o cálculo da méda artmétca em dstrbuções de frequêncas. Esse método só é váldo nos casos em que as ampltudes das classes são constantes! Cálculo breve da Méda Artmétca 03. (PETROBRAS Admnstrador Júnor CESGRANRIO) A tabela abaxo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectvas frequêncas. Não há observações concdentes com os extremos das classes. Classes (em Frequêncas kgf) O peso médo do conjunto de pessoas, em kgf, é (A) 60 (B) 65 (C) 67 (D) 70 (E) 75 Resolução I Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. O ponto médo é a méda artmétca dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médo da prmera classe é = = 45. Prof. Gulherme Neves 14

15 Classes (em Frequêncas x x.f kgf) Basta-nos agora somar os valores da coluna xf e dvdr pela quantdade de observações. Letra C Resolução II xf x= = = = 67kgf n Baseado nas propredades da méda artmétca que descrev na anterormente, podemos agora resolver essa questão usando um artfíco: calcular a méda com o auxílo da varável transformada. Este método que re descrever só poderá ser utlzado se as ampltudes de TODAS classes forem guas. No nosso exemplo, as ampltudes de todas as classes são guas a 10 kgf (50 40 = =... = = 10). Méda artmétca ) Somando-se (ou subtrando-se) uma constante qualquer de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. ) Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante qualquer, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. A mudança de varável será feta da segunte forma: subtraremos certa constante a todos os valores da varável. Assm, a méda artmétca também será subtraída. Em seguda, dvdremos por outra constante todos os valores obtdos. Assm, a méda artmétca será dvdda por essa constante. A constante que remos subtrar será qualquer um dos pontos médos. A constante que remos dvdr será a ampltude das classes. Daremos orgem a uma varável Y defnda por Y X X h =, onde X é o ponto médo de uma classe qualquer e h é ampltude das classes. Prof. Gulherme Neves 15

16 Daremos preferênca ao ponto médo da prmera classe! Dessa forma, a varável transformada será Assm, Y Y 1 4 Y X = = = 0 Y = = 1 Y = = 3 Y5 = = = = 10 Não fo concdênca!! Se fzermos essa mudança de varável (subtrar o ponto médo da prmera classe e dvdr pela ampltude das classes), a varável transformada sempre assumrá os valores 0,1,,3,4,... Construímos a segunte tabela: y Frequêncas Calcularemos a méda artmétca da varável transformada Y. Para sso, multplcaremos os valores obtdos pelas suas respectvas frequêncas: y Frequêncas y.f A méda será y yf = = = =, kgf n Se Essa é a méda da varável transformada Y! X 45 Y =, então concluímos que X = 10 Y Agora aplcamos as propredades da méda artmétca. A méda de X será a méda de Y multplcada por 10 e adconada 45 undades. Se X = ay + b, então X = ay+ b X = 10, + 45 = 67kgf. Letra C Prof. Gulherme Neves 16

17 Dexe-me resumr o método (admtndo que escolheremos o prmero ponto médo para a mudança de varável e que as ampltudes de todas as classes são guas): ) Construa a coluna da varável transformada Y, consttuída pelos números naturas 0,1,,3,4,5... (Você não precsa fazer o cálculo para descobrr os valores da varável Y. Eles sempre assumrão esses valores.) ) Multplque os valores da varável transformada pelas respectvas frequêncas, some os valores e dvda por n (n é o somatóro das frequêncas). Assm, calculamos a méda da varável transformada. ) Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. Vamos resolver novamente a questão utlzando o dspostvo prátco. Classes (em Frequêncas kgf) Abrmos a coluna da varável transformada e multplcamos pelas respectvas frequêncas. Classes (em Frequêncas y y.f kgf) x0= x1= x= x3= x4=1 yf y = = = =, kgf n Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos (10) e adconamos o ponto médo da prmera classe (45). X = 10, + 45 = 67kgf Vamos calcular novamente a méda artmétca das estaturas dos 40 alunos do Ponto dos Concursos. Prof. Gulherme Neves 17

18 Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 Já que as ampltudes são constantes ( =... = = 4 ), podemos aplcar o dspostvo prátco com o auxílo da varável transformada. Abrmos a coluna da varável transformada e multplcamos pelas respectvas frequêncas. Estaturas f y y f (cm) x 0 = x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5 =15 Total 40 y f = 90 Prof. Gulherme Neves 18 yf 90 y = = =,5 n 40 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos (4) e adconamos o ponto médo da prmera classe ( 15 X = 4, = 161cm. = ). 04. (Audtor IBGE CESGRANRIO 010) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de frequêncas das dades de um grupo de cranças. Classes (em anos) f

19 A méda das dades dessas cranças, em anos, é (A) 5,0 (B) 5, (C) 5,4 (D) 5,6 (E) 5,8 Resolução Já que as ampltudes são constantes ( 0 = 4 =... = 10 8 = ), podemos calcular a méda artmétca com o auxílo da varável transformada. ) Construa a coluna da varável transformada Y, consttuída pelos números naturas 0,1,,3,4,5... ) Multplque os valores da varável transformada pelas respectvas frequêncas, some os valores e dvda por n (n é o somatóro das frequêncas). Assm, calculamos a méda da varável transformada. ) Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. y f y f Total 0 44 yf 44 y = = =, n 0 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos () e 0 + adconamos o ponto médo da prmera classe ( = 1 ). X =, + 1= 5,4. Letra C 05. (Estatístco Pref. Manaus CESGRANRIO) Analse as afrmatvas a segur, a respeto da méda artmétca. I - a soma dos resíduos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero; II - é em relação à méda artmétca que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma; Prof. Gulherme Neves 19

20 III - é em relação à méda artmétca que a soma dos quadrados dos resíduos é mínma. Está(ão) correta(s) a(s) afrmatva(s): (A) II, somente. (B) I e II somente. (C) I e III somente. (D) II e III somente. (E) I, II e III. Resolução Questão puramente teórca! Uma dgna aula sobre méda artmétca. Vamos analsar cada um dos tens: I. A soma dos resíduos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero. (VERDADEIRO) Já justfque essa propredade com um exemplo. E-lo novamente. Consderemos a sequênca de dados (,4,6,8,10,10,1,1). A méda artmétca é dada por x = 8 x = 8 Sabemos que a méda artmétca desse conjunto de dados é x = 8. Denomnamos desvo ou resíduo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. Para o exemplo dado, temos: d = x x= 6 d = x x= d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= d = x x= 0 d = x x= Faclmente verfcamos que a soma dos desvos em relação à méda é gual a zero. De fato, d = = 0. Obvamente essa não fo uma demonstração matemátca. Apenas lustre a propredade através de um exemplo. De fato, qualquer que seja a dstrbução de dados, a soma dos desvos em relação à méda sempre é gual a zero! II - é em relação à méda artmétca que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma. (FALSO) A proposção é falsa, pos é em relação à medana (estudaremos anda nesta aula) que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma. III - é em relação à méda artmétca que a soma dos quadrados dos resíduos é mínma. (VERDADEIRO) Prof. Gulherme Neves 0

21 Voltemos ao nosso exemplo: a sequênca (,4,6,8,10,10,1,1). Os desvos em relação à meda já foram calculados. Para calcular a soma dos quadrados, devemos elevar cada resíduo ao quadrado e depos somar. d = ( 6) + ( 4) + ( ) d = 96 A propredade nos dz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínmo. Isso porque, se construrmos um conjunto dos desvos d ' formado pela dferença entre os elementos x do conjunto e uma constante que não seja a méda, ou seja, um conjunto dos desvos em torno de um valor qualquer dferente da méda e, feto sso, acharmos o conjunto ( d ') e em seguda calcularmos o seu somatóro ( d '), este últmo valor será maor do que 96. Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação ao número 5 (dferente da méda artmétca 8). Assm, Letra C ( d ') = ( 3) + ( 1) ( d') > ( d). ( d ') = (MPE-RO CESGRANRIO) A tabela apresenta uma dstrbução de frequênca dos saláros dos 00 empregados de certa empresa. Saláro (R$) Frequênca O saláro médo, aproxmadamente, vale: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1430,00 Nessa questão as ampltudes não são constantes!! Portanto, não poderemos calcular a méda artmétca com o auxílo da varável transformada. Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Prof. Gulherme Neves 1

22 Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. Lembre-se que para calcular o ponto médo das classes, basta calcular a méda artmétca dos extremos das classes, por exemplo, o prmero ponto médo é = 390. xf x = = = = 890,50 n Letra C Medana (Md) A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. Dados não-agrupados Saláro (R$) x f x.f Dada uma sére de valores, como, por exemplo: 5,10,13,1,7,8,4,3,9. De acordo com a defnção de medana, o prmero passo a ser dado é o da ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores. 3,4,5,7,8,9,10,1,13. Em seguda, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à dreta e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8, já que, nessa sére, há 4 elementos acma dele e quatro abaxo. Temos então, Md=8. Se, porém a sére dada tver um número par de termos, a medana será, por defnção, qualquer dos números compreenddos entre os dos valores centras da sére. Convenconou-se utlzar o ponto médo. Prof. Gulherme Neves

23 Assm, a sére de valores,6,7,10,1,13,18,1 tem para medana a méda artmétca entre 10 e 1. Logo, Md = = 11 Md = 11 Verfcamos que, estando ordenados os valores de uma sére e sendo n o número de elementos da sére, o valor medano será: n o termo de ordem, se n for ímpar. n n - a méda artmétca dos termos de ordem e + 1, se n for par. Observações: ) O valor da medana pode concdr ou não com um elemento da sére. Quando o número de elementos da sére é ímpar, há concdênca. O mesmo não acontece, porém, quando esse número é par. ) A medana depende da posção e não dos valores dos elementos na sére ordenada. Essa é uma das dferenças marcantes entre a medana e a méda (que se dexa nfluencar, e muto, pelos valores extremos). ) A medana é também desgnada por valor medano. Dados Agrupados Sem ntervalos de classe Neste caso, é o bastante dentfcar a frequênca acumulada medatamente superor à metade da soma das freqüêncas. A medana será aquele valor da varável que corresponde a tal frequênca acumulada. X f fac Verfcamos faclmente que o número de elementos da dstrbução é ímpar. Desta forma, temos apenas uma posção central. Posção central: = 0 Temos então que a medana será o termo da 0ª posção. Através da frequênca acumulada temos que Md=8. X f fac Prof. Gulherme Neves 3

24 Neste segundo exemplo, o número de elementos da dstrbução é par, e, como vmos, teremos duas posções centras: 40 =0 e = 1 Novamente, através da frequênca acumulada verfcamos que as duas posções centras são guas a Assm, Md = = 8. E como últmo exemplo: X f fac Como o número de elementos é par, teremos duas posções centras. 36 =18 e = 19. O termo de posção 18 é gual a 6 e o termo de posção 19 é gual a 8. Temos então que a medana será 6+ 8 Md = = 7. E quanto ao cálculo da medana em dstrbuções de frequêncas? Vejamos através das próxmas questões resolvdas. 07. (PETROBRAS Admnstrador Júnor CESGRANRIO) A tabela abaxo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectvas frequêncas. Não há observações concdentes com os extremos das classes. Classes (em Frequêncas kgf) O valor aproxmado, em kgf, do peso medano do conjunto de pessoas é (A) 67 (B) 68 (C) 69 (D) 70 (E) 71 Prof. Gulherme Neves 4

25 Resolução A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. No cálculo da medana em uma dstrbução de frequênca não teremos a preocupação de determnarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja maor ou gual ao valor de n. n 5 No nosso caso, n= =5. Assm, = = 1,5. Devemos construr a coluna de frequênca absoluta acumulada crescente. E como se constró essa coluna? Para a prmera classe devemos smplesmente repetr a frequênca absoluta. Para as outras, devemos somar a frequênca absoluta da classe com a frequênca acumulada anteror. Dexe-me mostrar no exemplo: Ou seja, Classes (em Frequêncas Fac kgf) = = = =5 Classes (em Frequêncas Fac kgf) Prof. Gulherme Neves 5

26 Classe medana (14 Para > 1,5) determnar a classe medana, devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 1,5. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 1,5 teremos determnado a classe medana. Classes (em Frequêncas Fac kgf) Estamos prontos para aplcarmos a fórmula da medana. n facant Md l = nf + h f Precsaremos dos seguntes valores: à Lmte nferor da classe medana ( l nf = 60 ). n à = 1,5 àfrequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 7). à Frequênca absoluta da classe medana ( f = 7) à Ampltude da classe medana ( h = = 10 ) A medana é dada por: n facant 1,5 7 Md = lnf + h = ,85 68cm f 7 Letra B 08. (Audtor IBGE CESGRANRIO 010) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de frequêncas das dades de um grupo de cranças. Classes (em anos) f A medana da dstrbução de frequêncas apresentada é Prof. Gulherme Neves 6

27 Classe medana (11 > 10) ESTATÍSTICA PARA TCU (A) 5,5 (B) 5,6 (C) 5,7 (D) 5,8 (E) 5,9 Resolução Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja n n 0 maor ou gual ao valor de. No nosso caso, n = 0. Logo, = = 10. Devemos construr a coluna de frequênca absoluta acumulada crescente. Classes (em anos) f Fac Vamos procurar a classe medana. Basta olhar para a coluna de frequêncas n acumuladas e comparar com o valor = 10. A prmera frequênca acumulada que for maor ou gual a 10 caracterzará a classe medana. Verfcamos faclmente que 11>10. Classes (em anos) f Fac Coloque em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: à Lmte nferor da classe medana ( l nf = 4). n à = 10 àfrequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 7). à Frequênca absoluta da classe medana ( f = 4) à Ampltude da classe medana ( h = 6 4= ) Prof. Gulherme Neves 7

28 Classe medana (150 > 100) ESTATÍSTICA PARA TCU A medana é dada por: n facant 10 7 Md = lnf + h = 4+ = 5,5 f 4 Letra A (MPE-RO CESGRANRIO) O enuncado a segur refere-se às questões de números 09 e 10. A tabela apresenta uma dstrbução de frequênca dos saláros dos 00 empregados de certa empresa. Saláro (R$) Frequênca O saláro medano vale, aproxmadamente: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1 430,00 Resolução Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para descobrr a classe medana devemos calcular n. Como n = 00, temos n que = 100. E o que fazer agora? Construr a coluna das frequêncas acumuladas. Saláro (R$) Frequênca fac Novamente em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: à Lmte nferor da classe medana ( l nf = 50). Prof. Gulherme Neves 8

29 n à = 100 àfrequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 50). à Frequênca absoluta da classe medana ( f = 100) à Ampltude da classe medana ( h = = 50 ). Observe que nessa questão as ampltudes não são constantes. Para o cálculo da medana deveremos utlzar a ampltude da classe medana!! Cudado... A medana é dada por: n facant Md = lnf + h = = 780 f 100 Letra B 10. O tercero quartl, aproxmadamente, vale: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1 430,00 Resolução O método para calcular o tercero quartl (e as outras meddas separatrzes como decs, percents e os outros quarts) é muto parecdo com o da medana. Em tempo: os decs dvdem a dstrbução em 10 partes de mesma frequênca. Os percents dvdem a dstrbução em 100 partes de mesma frequênca. Os quarts dvdem a dstrbução em 4 partes de mesma frequênca. A medana dvde a dstrbução em partes de mesma frequênca. n 3n Dferença: ao nvés de calcularmos o valor calcularemos. O denomnador 4 é gual a 4 porque trata-se de um quartl (dvdmos a dstrbução em quatros partes). O numerador é 3n porque estamos calculando o tercero quartl. Então, a únca cosa que va mudar na fórmula, é que ao nvés de utlzarmos n 3n utlzaremos. E para calcular a classe do tercero quartl deveremos 4 procurar a frequênca acumulada que é maor ou gual a 3 n. A fórmula do 4 tercero quartl fcará 3n facant Q 4 3 = lnf + h f Prof. Gulherme Neves 9

30 Classe do tercero quartl (150=150) ESTATÍSTICA PARA TCU Já que n = 00, então 3 n 3 = 00 = E o que fazer agora? Construr a coluna das frequêncas acumuladas. Saláro (R$) Frequênca fac Novamente em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: à Lmte nferor da classe medana ( l nf = 50). à 3 n = àfrequênca acumulada da classe anteror à classe do tercero quartl ( fac = 50 ). ANT à Frequênca absoluta da classe do tercero quartl ( f = 100) à Ampltude da classe do tercero quartl ( h = = 50 ). Observe que nessa questão as ampltudes não são constantes. Para o cálculo do tercero quartl deveremos utlzar a ampltude da classe do tercero quartl!! Cudado... O tercero quartl é dado por: 3n facant Q3 = lnf + h= = 1040 f 100 Letra D Moda Fo Karl Pearson quem ntroduzu em Estatístca pela prmera vez,no século XIX, o conceto de moda, talvez baseado no própro sgnfcado da palavra. A moda é defnda como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maor frequênca em um rol. Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode apresentar mas de uma moda. Neste caso dzemos ser plurmodal, caso contráro, será unmodal, ou anda, amodal (quando todos os valores das varáves em estudo apresentarem uma mesma frequênca). ) Para dados não agrupados em classe Para a dentfcação da moda em um conjunto ordenado de valores não agrupados em classe, basta verfcar, no conjunto, aquele valore que aparece com maor frequênca. Prof. Gulherme Neves 30

31 Exemplos: X 1 ={1,,3,4,5,6} (Conjunto amodal) X ={10,10,1,13,18} M o =10 (Conjunto Unmodal) X 3 ={100,100,00,00,300,600} M o =100 e M o =00 (Conjunto bmodal) ) Para dados agrupados não agrupados em classe Quando os dados estverem dspostos em uma Tabela de Frequênca, não agrupados em classe, a localzação da moda é medata, bastando para sso, verfcar na tabela, qual o valor predomnante. Estatura Freq. (m) 1,60 3 1,6 8 1,64 1 1,70 0 1, ,80 7 1,83 3 1,88 1 Na tabela o valor modal é 1,70m, sto porque é o resultado que apresenta o maor número de alunos (0). ) Dados agrupados em classe Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebda tão faclmente como nos casos anterores. Para tal, utlzamos dversos processos na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o prmero passo é dentfcar a classe que contém a maor frequênca. A esta classe denomnamos classe-modal. Aprenderemos a determnar a moda da dstrbução de frequêncas pelo método da moda bruta, pelo Método de Czuber e pelo Método de Kng. Se a questão não especfcar qual das fórmulas a ser empregada, pedndo apenas que se calcule a moda, usaremos a fórmula de Czuber. Consequentemente, só empregaremos a fórmula de Kng quando assm for solctado expressamente. Moda Bruta De todos os processos, este é o mas elementar, bastando, para sso, tomar o ponto médo da classe modal (aquela que contém a maor frequênca). Na próxma tabela, verfcamos, de medato, que a dstrbução possu apenas uma Moda e, que ela está contda na classe 4 6 chamada Classe Modal. Logo, o ponto médo da classe modal o caso, Nota 5, é conhecda como Moda Bruta. Prof. Gulherme Neves 31

32 Processo de Czuber ESTATÍSTICA PARA TCU Notas f Classe f = 110 O processo utlzado por Czuber leva em consderação as frequêncas anteror e posteror à Classe Modal. M oc = Moda (Processos de Czuber) Δ = f f 1 máx ant Δ = f f máx post h = ampltude do ntervalo de classe l = Lmte nferor da classe modal Assm, a moda de Czuber é dada por Δ 1 MoC = l + h Δ+Δ 1 Observação: A demonstração desta fórmula fo colocada por mm no ste do Ponto dos Concursos no lnk g=4 No nosso exemplo, Δ = = 18 1 Δ = = 17 h = l = 4 Logo, 18 MoC = 4 + 5, = + Mo = 5, 085 C Processo de Kng No processo proposto por Kng, é consderada a nfluênca sobre a classe modal das freqüêncas das classes anteror e posteror. A nconvenênca deste processo é justamente não levar em consderação a frequênca da classe modal. Prof. Gulherme Neves 3

33 No nosso exemplo, f = 17 post fant = 16 h = l = 4 Logo, 17 MoK = 4 + 5, = + MoK = 5, 0303 Propredades da Moda f post MoK = l + h fant + fpost Somando-se (ou subtrando-se) uma constante c de todos os valores de uma varável, a moda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante c, a moda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. 11. (AFRFB 009 ESAF) Consdere a segunte amostra aleatóra das dades em anos completos dos alunos em um curso preparatóro. Com relação a essa amostra, marque a únca opção correta: 9, 7, 5, 39, 9, 7, 41, 31, 5, 33, 7, 5, 5, 3, 7, 7, 3, 6, 4, 36, 3, 6, 8, 4, 8, 7, 4, 6, 30, 6, 35, 6, 8, 34, 9, 3, 8. a) A méda e a medana das dades são guas a 7. b) A moda e a méda das dades são guas a 7. c) A medana das dades é 7 e a méda é 6,08. d) A méda das dades é 7 e o desvo-padrão é 1,074. e) A moda e a medana das dades são guas a 7. Resolução Méda artmétca: x x = n 105 x = 8,43 37 Rol: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 30, 31, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 39, 41. A medana será o termo de ordem = 19º. Logo, a medana é 7. A moda é defnda como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maor frequênca em um rol. Prof. Gulherme Neves 33

34 A moda é 7. Letra E Meddas de dspersão ou varabldade Dscutmos dversas maneras de obter um valor que fosse representatvo para os demas em um dado conjunto. Mutas vezes apenas os cálculos ou apresentações de um valor específco para um conjunto qualquer não são sufcentes para caracterzar uma dstrbução ou um conjunto de valores. O grau ao qual os dados numércos tendem a dspersar-se (afastar-se) em torno de um valor chama-se varação ou dspersão dos dados. Dspõe-se de váras meddas de dspersão. Estudaremos as mas mportantes. Desvo Absoluto Médo (Dm) Aprendemos que a soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula. Assm, não nos mportara crar uma medda de dspersão que utlze a soma algébrca dos desvos, pos essa, como sabemos, é sempre zero. Temos duas alternatvas a tomar: trocar o snal dos desvos negatvos (calcular o módulo dos desvos) ou elevar os desvos negatvos ao quadrado (pos todo número elevado ao quadrado não é negatvo). Ao tomar a prmera posção, damos orgem ao desvo absoluto médo e ao tomar a segunda posção damos orgem à varânca. O desvo absoluto médo também é chamado apenas de desvo médo ou desvo absoluto. Desvo médo é a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos da dstrbução, em relação a uma medda de tendênca central: méda ou medana. Na presente aula lmtar-nos-emos apenas em relação à méda artmétca. Dm = n = 1 n Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: Dm = n = 1 X X X X f n Denomnamos desvo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. (,4,6,8,10,10,1,1) Prof. Gulherme Neves 34

35 A méda artmétca dessa lsta de números é gual a 8. Por exemplo, o desvo em relação à méda do prmero número é 8 = - 6. d = x x= 6 d = x x= d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= d = x x= 0 d = x x= Para calcular o desvo absoluto médo, devemos consderar o valor absoluto (módulo) dos valores acma obtdos. d d d d = 6 d = 1 5 = 4 d = 6 = d = = 0 d = Dam = n Onde d é a dferença entre cada valor e a méda artmétca. d Dam = 8 Dam = 3 Vejamos um exemplo do cálculo do desvo absoluto médo em uma dstrbução de frequêncas. O prmero passo é calcular a méda artmétca da dstrbução (se possível utlzando o método smplfcado). Em seguda, devemos calcular cada desvo em relação à méda, tomar seus valores absolutos, multplcar cada resultado pela frequênca da classe, somar todos os valores e dvdr por n. Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: Dam = n = 1 X X f n Prof. Gulherme Neves 35

36 Desvo padrão e Varânca De todas as meddas de dspersão apresentadas até aqu, o Desvo Padrão é o mas utlzado, e cuja defnção nada mas é do que a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. O conceto de desvo padrão está ntmamente lgado ao estudo da varânca. Essas duas meddas de dspersão apresentam uma peculardade: teremos que prestar atenção se questão será com amostras ou com a população. Suponhamos que desejamos conhecer alguma cosa sobre determnada população por exemplo, a méda salaral, o desvo padrão das alturas, o percentual de ntenções de voto para um determnado canddato - e essa população é composta de mlhares (talvez mlhões) de elementos, de tal modo que sera muto dfícl pesqusar o valor correto, pos sera nvável pesqusar todos os elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em uma amostra!! Seja qual for o caso, o fato é que, em mutas stuações, precsamos obter as nformações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populaconal, é desconhecdo. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá uma dea do valor correto (populaconal) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estmador do parâmetro populaconal. Por exemplo, queremos saber a méda de dade dos estudantes do Ponto dos Concursos. Como há mutos estudantes, recorremos a uma amostra de, dgamos 150 alunos. A méda da amostra encontrada fo de 4 anos. Essa é a nossa estmatva! Mas a méda de dade dos estudantes do Ponto dos Concursos é realmente 4 anos? Não dá para saber, a não ser que todos os estudantes do Ponto fossem pesqusados. Portanto, são cosas dferentes o parâmetro populaconal e o estmador e, portanto, devem ser representados de maneras dferentes, por exemplo: X = méda amostral ( estmador) µ = méda populaconal ( parâmetro populaconal) E não é só uma dferença de valores!! O parâmetro populaconal é, em geral, um valor fxo. O estmador depende da amostra. A prncpal propredade desejável de um estmador é a de que esse estmador, na méda, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetr a experênca Prof. Gulherme Neves 36

37 nfntas vezes, o valor médo das estmatvas encontradas em cada expermento sera o valor correto do parâmetro populaconal. A esperança (trataremos a esperança com detalhes neste curso) do estmador deve ser o parâmetro populaconal. Se sso ocorre, dzemos que o estmador é não vesado (não vcado). Se, entretanto, o estmador erra, em méda, dzemos que ele é vesado (vcado). Pos bem, o desvo padrão é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. No caso do rol (população), aplcaremos a segunte fórmula: σ = X! X! Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: σ = Prof. Gulherme Neves 37 n X! X! f! n São fórmulas muto parecdas com a do desvo absoluto médo. A dferença é que no lugar de tomar os valores absolutos dos desvos, devemos elevar os desvos ao quadrado. E do resultado fnal, extrar a raz quadrada. E se estvermos trabalhando com amostras. A únca dferença é que o denomnador da fórmula não será n! Será n-1!! s =!!!!!!!!!! é um estmador não vcado (não vesado) da varânca. Utlzaremos a segunte notação: se estvermos trabalhando com população, a letra ndcadora do desvo padrão será a letra grega sgma σ. O desvo padrão amostral será desgnado pela letra latna s. Lembrando mas uma vez: se estvermos trabalhando com amostras, na fórmula do desvo padrão (e também da varânca que veremos adante) o denomnador deverá ser trocado por n-1. E quanto às fórmulas da varânca?? Se você sabe como calcular o desvo padrão, automatcamente já sabe calcular a varânca. Basta não extrar a raz quadrada. Varânca populaconal σ! = X! X! f! n Varânca Amostral s! = X! X! f! n 1

38 Em suma, a varânca é o quadrado do desvo padrão e o desvo padrão é a raz quadrada da varânca!!! Vejamos alguns exemplos. 1. (ATRFB 01/ESAF) A varânca da amostra formada pelos valores, 3, 1, 4, 5 e 3 é gual a a) 3. b). c) 1. d) 4. e) 5. Resolução A questão é bem explícta ao dzer que estamos querendo calcular uma varânca AMOSTRAL. O prmero passo é calcular a méda artmétca. x = Devemos agora calcular os desvos de cada uma desses números em relação à méda artmétca, elevar esses desvos ao quadrado, somá-los e dvdr tudo por n 1. = 3 s! = 3! + 3 3! + 1 3! + 4 3! + 5 3! + 3 3! 6 1 Letra B s! = 1! + 0! +! + 1! +! + 0! 5 = 10 5 = 13. (Audtor IBGE - CESGRANRIO 010) No últmo mês, Alípo fez apenas 8 lgações de seu telefone celular cujas durações, em mnutos, estão apresentadas no rol abaxo O valor aproxmado do desvo padrão desse conjunto de tempos, em mnutos, é (A) 3,1 (B),8 (C),5 Prof. Gulherme Neves 38

39 (D), (E),0 Resolução Nesse caso, não estamos trabalhando com uma amostra. Pos Alípo fez apenas 8 lgações de seu telefone celular. Então, na fórmula do desvo-padrão o denomnador será o própro n (o número de elementos da população). Estamos trabalhando com um parâmetro populaconal. ( x ) x σ = n Devemos, portanto, calcular a méda artmétca dos elementos da população e fnalmente aplcarmos a fórmula do desvo-padrão populaconal. E o desvo-padrão será µ = = 6 8 x x x ( x x) = -1 (-1) = 1 6 = -4 (-4) = = 5 5 = = = = -3 (-3) = = = = 1 1 = = - (-) = σ = = = Podemos calcular o valor aproxmado da 8 utlzando o método de Newton- Raphson. Para aprender com detalhes o método de Newton-Raphson basta acessar o segunte vídeo que poste no youtube: Em resumo, o método de Newton-Raphson dz que toda raz quadrada pode ser aproxmada por uma fração em que o numerador é formado por uma soma de dos números: o própro número e o quadrado perfeto mas próxmo. Já no denomnador, você va multplcar a raz quadrada do quadrado perfeto por. No nosso caso, o quadrado perfeto mas próxmo de 8 é 9 (3 ). Então o numerador será 8+9. E no denomnador sempre devemos multplcar a raz quadrada do quadrado perfeto por. Prof. Gulherme Neves 39

40 σ = 8 =, Letra B 14. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) Do total de funconáros de uma empresa, fo retrada uma amostra de ses ndvíduos. A tabela abaxo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos, por cada um deles. X 1 X X 3 X 4 X 5 X A varânca dessa amostra é (A) 3,7 (B) 4,0 (C) 4,4 (D) 5,0 (E) 5,5 Resolução ( x ) x s = n 1 é um estmador não vcado (não vesado) da varânca. Lembre-se que quando trabalhamos com amostras (desvo padrão e varânca) o denomnador das fórmulas serão sempre n-1. Voltemos agora à nossa questão. X 1 X X 3 X 4 X 5 X Queremos calcular a varânca dessa amostra. Prmeramente calculemos a méda dessa amostra x = = 3 6 Calculemos agora os quadrados dos desvos dos valores da amostra em relação à méda. Assm, a varânca amostral é dada por: x x x ( x x) = 0 0 = = 4 4 = 16-3 = -1 (-1) = 1-3 = -1 (-1) = = 0 0 = = - (-) = 4 Prof. Gulherme Neves 40

41 ( x ) x s = = = = 4, 4 n Letra C Está lembrado da nossa pesqusa com uma amostra de 40 alunos do Ponto, em que pesqusamos a estatura deles? Vamos calcular o desvo padrão e a varânca dessa amostra. Estaturas de 40 alunos do Ponto Estaturas f x (cm) Total 40 Já tvemos a oportundade de calcular a méda artmétca x = 161 cm. Para calcular o desvo padrão e a varânca, devemos calcular o quadrado dos desvos em relação a méda. Por exemplo: o prmero ponto médo é gual a 15, portanto seu desvo é gual a = - 9. Devemos calcular (-9) = 81. Em seguda devemos multplcar esses valores pelas suas respectvas frequêncas. Obtemos a segunte tabela: f x ( x X) ( ) x X f = 140 Lembrando que no cálculo dessas duas meddas de dspersão, ao trabalhar com amostras, devemos colocar n-1 no denomnador. n ( ) X X f = S = = = 31,79 n S = 31,79 = 5,638 (Tente calcular um valor aproxmado do desvo padrão utlzando o método de Newton-Raphson). Prof. Gulherme Neves 41

42 15. (Mnstéro da Integração Naconal 01/ESAF) A dstrbução de frequêncas em classes do saláro mensal x, meddo em número de saláros mínmos, de uma amostra aleatóra de 50 funconáros de uma empresa, é apresentado a segur. x f Mas de 0 a 10 Mas de 10 a 0 13 Mas de 0 a Mas de 30 a 40 3 Mas de 40 a 50 Usando o ponto médo como representatvo da classe, determne o valor mas próxmo da méda amostral do saláro mensal. a) 14,5 b) 15,0 c) 15,8 d) 16,1 e) 16,5 Resolução Como as ampltudes dos ntervalos são todas guas, podemos utlzar o artfíco da varável transformada. x f y y f Mas de 0 a Mas de 10 a Mas de 0 a Mas de 30 a Mas de 40 a Vamos calcular a méda da varável transformada; y = = 1 Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda encontrada pela ampltude dos ntervalos e somar o ponto médo da prmera classe. A ampltude dos ntervalos é gual a 10 e o prmero ponto médo é gual a 5. Letra B x = = 15 Prof. Gulherme Neves 4

43 16. (Mnstéro da Integração Naconal 01/ESAF) Usando os dados da Questão 15, obtenha o valor mas próxmo da varânca amostral do saláro mensal. a) 11,5 b) 14 c) 16,5 d) 19 e) 131,5 Resolução x f Mas de 0 a 10 Mas de 10 a 0 13 Mas de 0 a Mas de 30 a 40 3 Mas de 40 a 50 Já sabemos que a méda é 15. Vamos calcular cada um dos pontos médos para, em seguda, calcular os desvos de cada ponto médo em relação à méda encontrada. Depos devemos elevar esses desvos ao quadrado e multplcar os resultados pelas respectvas frequêncas. x f x! x! x! x! x! f! Mas de 0 a ! = =.00 Mas de 10 a ! = = 0 Mas de 0 a ! = = Mas de 30 a ! = = 1.00 Mas de 40 a ! = = Vamos agora aplcar a fórmula da varânca amostral. Letra C s² = x! x! f! n 1 = , (Mnstéro da Integração Naconal 01/ESAF) Determne o valor mas próxmo da medana do saláro mensal da dstrbução de frequêncas apresentada na Questão 15, nterpolando lnearmente dentro das classes, se necessáro. a) 15 b) 14,3 c) 13,7 d) 1,3 e) 7,3 Resolução Prof. Gulherme Neves 43

44 Para calcular a medana, devemos construr a coluna das frequêncas acumuladas. x f fac Mas de 0 a 10 Mas de 10 a =35 Mas de 0 a =45 Mas de 30 a =48 Mas de 40 a =50 Agora devemos calcular o valor n/ = 50/ = 5. Devemos procurar a prmera frequênca acumulada que seja maor ou gual a 5. Como 35 > 5, a classe medana é a segunda. O lmte nferor da classe medana é 10. Sua ampltude é gual a 10 e a frequênca acumulada da classe anteror é gual a. Letra D Md = l! + n fac!"# 5 h = ,31 f! 13 Propredades da Varânca ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca fcará multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa constante. Por exemplo, se os valores trplcam, a varânca é multplcada por 9 (3 ). Se os valores são quadruplcados, a varânca é multplcada por 16 (4 ). Em relação à adção e à subtração, tem-se que a varânca não é nfluencada. Isso porque a varânca é uma medda de dspersão se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles contnuarão dspersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posção. É válda, portanto, a segunte relação: var( ax + b) = a var( X ) Temos propredades muto parecdas o desvo padrão. Prof. Gulherme Neves 44

45 Propredades do Desvo-padrão ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvo padrão não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvo padrão fcará multplcado ou dvddo por essa constante. Isso porque o desvo-padrão, da mesma forma que a varânca, é uma medda de dspersão. Por exemplo, magne que a méda artmétca das dades de 100 pessoas é gual a 0 anos. Daqu a 5 anos, todas as pessoas fcarão 5 anos mas velhas. Ou seja, nós adconamos 5 às dades de todas as 100 pessoas. Dessa forma, a méda artmétca que hoje é gual a 0 anos, daqu a 5 anos será 0+5=5 anos. Da mesma manera, se trplcarmos as dades de todas as 100 pessoas, ou seja, se multplcamos todas as dades por 3, a méda artmétca também será multplcada por 3. A méda que orgnalmente era gual a 0 anos será gual a 0x3=60 anos. Nesse exemplo das 100 pessoas, daqu a 5 anos as dades estarão gualmente espalhadas. Por exemplo, se seu rmão é 4 anos mas velho do que você, ele sempre será 4 anos mas velho do que você. Suas dades estarão sempre com o mesmo grau de afastamento. Assm, a adção e a subtração não alteram o desvo-padrão e a varânca. É válda, portanto, a segunte relação: ) dp( ax + b) = a dp( X ) 18. (PETROBRAS 006 Admnstrador Pleno CESGRANRIO) Se Y = X+1 e a varânca de X vale, a varânca de Y é gual a: (A) (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9 Resolução É mportantíssmo conhecermos algumas propredades da varânca: ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca não se altera. Prof. Gulherme Neves 45

46 ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca fcará multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa constante. Por exemplo, se os valores trplcam, a varânca é multplcada por 9 (3 ). Se os valores são quadruplcados, a varânca é multplcada por 16 (4 ). Em relação à adção e à subtração, tem-se que a varânca não é nfluencada. Isso porque a varânca é uma medda de dspersão se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles contnuarão dspersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posção. É válda, portanto, a segunte relação: var( ax + b) = a var( X ) var( X 1) var( X) = = =. Assm, Poderíamos racocnar da segunte manera: Como chegamos à varável Y a partr da varável X? Multplcamos os valores de X por e em seguda adconamos 1 ao resultado encontrado. Assm, a varânca (que é gual a ) multplcada por 4 é gual a 8. Letra D Método smplfcado para o desvo padrão e varânca Há casos em que é muto trabalhoso calcular a méda artmétca, em seguda calcular os desvos em relação à méda, elevar esses valores ao quadrado, etc. Ufa! Cansou só de ler... Por sso, exste um método smplfcado para o cálculos dessas meddas de dspersão. Esse método dspensa o cálculo dos desvos!! O método é descrto a partr das seguntes fórmulas: Prof. Gulherme Neves 46

47 Fórmula Desenvolvda do desvo padrão para dstrbução de freqüêncas No caso de estarmos trabalhando com os elementos uma população: σ = 1 n X!! f! X! f!! n No caso de estarmos trabalhando com os elementos de uma amostra: ( X ) f 1 S = X f n 1 n Smplfcado????? Este método está parecendo muto complcado!!!! Calma... Se não fosse smplfcado eu nem falara nele... J Para começar: qual a dferença entre X!! f! e X! f!!? X!! f! à Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. X! f!! à Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Como é que vamos utlzar essas fórmulas? No lugar de trabalhar com a varável orgnal, trabalharemos com a varável transformada. Sm, aquela mesma da méda artmétca, que é formada pela sucessão dos números naturas. Então, na fórmula, no lugar de trabalhar com a varável X, trabalharemos com a varável transformada Y (0,1,,3,4...). Calculamos o desvo padrão e a varânca da varável transformada. Na méda artmétca, para fazer o camnho da volta, nós multplcávamos a méda da varável transformada pela ampltude da classe e depos adconávamos o prmero ponto médo. Aqu é bem mas fácl!! O camnho da volta: è Desvo padrão: basta multplcar pela ampltude. è Varânca: basta multplcar pelo quadrado da ampltude. Vamos calcular novamente o desvo padrão e a varânca dos 40 alunos do ponto com o método smplfcado. Utlzaremos a fórmula desenvolvda juntamente com a varável transformada: Prof. Gulherme Neves 47

48 1 S = X f n 1 ( X ) f No lugar da varável X, utlzaremos a varável Y formada pela sucessão dos números naturas. Estaturas de 40 alunos do Ponto Estaturas f x (cm) Total 40 n f x y y f y y f = 90 = 80 Qual o sgnfcado de cada uma das colunas desta tabela? Dê uma olhada na fórmula: ( X ) f 1 S = X f n 1 n X!! f! à Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores.! X! f! à Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Já que estamos trabalhando com a varável transformada: Y!! f! à Você deve elevar Y ao quadrado (coluna 5), multplcar pela frequênca (coluna 6) e em seguda somar os valores (coluna 6 últma lnha). Prof. Gulherme Neves 48

49 Y! f!! à Você deve multplcar Y pela frequênca (coluna 4), somar esses valores (coluna 4 últma lnha) e elevar o resultado ao quadrado. Cálculo da Varânca da Varável Transformada y 1 Sy = y f n 1 [ ] ( y ) f 1 S y = 80 0,5 = 1, O valor 0,5 fo obtdo elevando 90 ao quadrado e dvdndo o resultado por 40. O camnho da volta: è Varânca: basta multplcar pelo quadrado da ampltude. è Assm, S = 1, = 31, 79 E o desvo padrão é a raz quadrada da varânca. S = 31,79 = 5,638 n 19. (Audtor do Governo do Estado do Amapá FGV/ 010) Os dados a segur são as quantdades de empregados de cnco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A varânca da quantdade de empregados dessas cnco empresas é gual a: (A) 0,8. (B) 1,. (C) 1,6. (D),0. (E),4. Resolução Podemos calcular a varânca dessa população pelo método tradconal ou pelo método smplfcado. Método Smplfcado σ! = 1! n X!! X! f! f! n X!! f! à Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. X! f!! à Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Nesse caso, as frequêncas são todas guas a 1. Logo, a fórmula fca assm: Prof. Gulherme Neves 49

50 σ! = 1! n X!! X! n! X! à Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, em seguda somar os valores. X!! à Você deve somar os valores e elevar o resultado ao quadrado. X!! = 6! + 5! + 8! + 5! + 6! = 186 Assm, X!! = ! = 900 σ! = = = 1, Letra B 0. (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) Em uma amostra de cnco resdêncas de uma determnada rua, regstram-se os seguntes números de moradores em cada uma: A varânca amostral é (A) 5,8 (B) 5,5 (C) 5,1 (D) 4,8 (E) 4,4 Resolução X 1 X X 3 X 4 X Queremos calcular a varânca dessa amostra. Prmeramente calculemos a méda dessa amostra. x = = 4 5 Calculemos agora os quadrados dos desvos dos valores da amostra em relação à méda. Prof. Gulherme Neves 50

51 x x x ( x x) = 1 ( 1)! = =! = 4 4 = ( )! = = 3 3! = 9 4 = ( )! = 4 Assm, a varânca amostral é dada por: s! = x! x! = = n = 5,5 Letra B Lea a tabela a segur para responder às questões de nos a (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) Consderando-se que uma pessoa será escolhda ao acaso, qual a probabldade de que a sua dade esteja entre 8 e 36 anos, dado que a pessoa escolhda terá 4 anos ou mas? (A) 11/40 (B) 13/3 (C) 19/40 (D) 19/3 (E) 9/40 Resolução O prmero passo é calcular a coluna de frequêncas absolutas. Para sto, repetmos a prmera frequênca acumulada e calculamos as dferenças entre as frequêncas acumuladas consecutvas. Idades (anos) Frequênca Acumulada Frequênca Absoluta = = 6 Prof. Gulherme Neves 51

52 A tabela fcará assm: ESTATÍSTICA PARA TCU = = 10 Idades (anos) Frequênca Absoluta O total de pessoas com dade entre 8 e 36 anos é gual a = 38 (basta somar as frequêncas da tercera e da quarta classe). Como a pessoa escolhda tem 4 anos ou mas, então estamos consderando um unverso de = 80 pessoas. A probabldade de que a sua dade esteja entre 8 e 36 anos, dado que a pessoa escolhda terá 4 anos ou mas é gual a: Letra C = (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) Sejam μ e md, respectvamente, a méda e a medana das dades. O valor de μ md é (A) 0,80 (B) 0,75 (C) 0,70 (D) 0,65 (E) 0,60 Resolução Na questão, construímos a segunte tabela. Idades (anos) Frequênca Absoluta Prof. Gulherme Neves 5

53 Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. O ponto médo é a méda artmétca dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médo da prmera classe é!"!!" =.! Idades (anos) Frequênca x! x! f! Absoluta x = x 6 = x 30 = x 34 = x 38 = 380 Basta-nos agora somar os valores da coluna xf e dvdr pela quantdade de observações (o somatóro das frequêncas absolutas é gual a 100). μ = = 8,40 A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. No cálculo da medana em uma dstrbução de frequênca não teremos a preocupação de determnarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja maor ou gual ao valor de n. Como são 100 pessoas, então n/ = 50. Prof. Gulherme Neves 53

54 Classe medana (5 > 50) Para determnar a classe medana, devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 50. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 50 teremos determnado a classe medana. Estamos prontos para aplcarmos a fórmula da medana. n facant Md l = nf + h f Precsaremos dos seguntes valores: à Lmte nferor da classe medana (l!"# = 4). àn/ = 50 àfrequênca acumulada da classe anteror à classe medana (fac!"# = 0). à Frequênca absoluta da classe medana (f! = 5 0 = 3) à Ampltude da classe medana (h = 8 4 = 4) A medana é dada por: n md = l!"# + fac!"# h f! md = md = = 7,75 Prof. Gulherme Neves 54

55 Desta forma: μ md = 8,40 7,75 = 0,65 Letra D Prof. Gulherme Neves 55

56 Assmetra 1. Noções de assmetra Em vez de defnr assmetra, vamos a alguns exemplos. Consdere a segunte sequênca de dados, que representam as dades de 16 pessoas. ROL:, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 10 Vamos colocar estes dados em uma tabela: Idade Frequênca TOTAL 16 Esta sequênca acma é smétrca. Temos sete valores dferentes (, 4, 5, 6, 7, 8, 10). Por enquanto, vamos esquecer a coluna de frequêncas. Vamos consderar apenas a coluna das dades. O valor do meo é o 6. consderando apenas a coluna de dades, este é o termo do meo Idade Freqüênca TOTAL 16 Analsemos agora os termos vznhos ao ses. Temos o 5 e o 7. Os dos estão gualmente dstantes de =5 6+1=7 Idade Freqüênca TOTAL 16 estão a uma dstânca de1 em relação a 6 Na sequênca, afastando-nos do 6, temos o 4 e o 8. E ambos estão gualmente espaçados em relação a 6. Prof. Gulherme Neves 56

57 6-=4 6+=8 ESTATÍSTICA PARA TCU Na sequênca, afastando-nos anda mas de 6, temos o e o 10. E ambos estão gualmente espaçados em relação a = 6+4=10 Pronto, vmos que, à medda que nos afastamos de 6, os valores estão, aos pares, à mesma dstânca do centro. Analsemos agora as frequêncas. A frequênca que corresponde ao 6 é 4. Idade Freqüênca TOTAL 16 Idade Freqüênca TOTAL 16 Idade Freqüênca TOTAL 16 A partr da frequênca 4, analsemos as demas frequêncas. As frequêncas medatamente vznhas são 3 e 3. Idade Freqüênca TOTAL 16 estão a uma dstânca de em relação a 6 Estão a uma dstânca de 4 em relação a 6 frequenca correspondente ao 6 frequencas guas Afastando-nos mas do 4, as próxmas frequêncas também são guas entre s ( e ). Prof. Gulherme Neves 57

58 Idade Freqüênca TOTAL 16 E, afastando-nos anda mas da frequênca 4, as frequêncas contnuam guas. Idade Freqüênca TOTAL 16 Quando sto acontece, ou seja, quando os valores estão gualmente espaçados em relação ao valor central, e quando as frequêncas gualmente espaçadas em relação à frequênca central são guas entre s, dzemos que a sequênca de dados é smétrca. Quando uma sequênca é smétrca, a méda e a medana são guas ao termo do meo. Neste caso, a méda, a medana (e a moda) são guas a 6. frequencas guas frequencas guas A vsualzação de uma sequênca smétrca é mas fácl por meo de gráfcos. 5 4 Frequenca Idades Observe o gráfco de colunas correspondente à nossa sére de dados. Se você colocar um espelho bem em cma da coluna correspondente à dade 6, as duas partes vão se sobrepor perfetamente. Quando os dados estão em classes, o racocíno é análogo. Vamos crar um outro exemplo, bem parecdo: Prof. Gulherme Neves 58

59 Classes de dade Freqüênca TOTAL 16 Agora, em vez de fazer um gráfco de colunas, vamos fazer um hstograma. Novamente, observe que, se colocássemos um espelho bem no meo da classe central (classe de 5 a 6), a parte esquerda se sobrepora com perfeção à parte dreta. Esta sequênca de dados é smétrca. A vsualzação também fca facltada por meo do polígono de frequênca: Frequencas Idades Nestes casos, a méda e a medana são justamente guas ao ponto médo da classe central. Ou seja, são guas ao ponto médo da classe 5 6. Portanto, a méda e a medana são guas a 5,5. Anda em relação às sequêncas smétrcas, em geral, a moda também concdrá com a méda e a medana. Use a expressão em geral porque sera perfetamente possível a segunte stuação: Prof. Gulherme Neves 59

60 Frequencas Idades Numa stuação assm, a sequênca contnua smétrca. A méda e a medana contnuam sendo guas a 5,5 (o ponto médo da classe central). Mas a moda não é 5,5. Pelo contráro. A classe central é a classe com menor frequênca. As classes modas são as classes extremas. Nesta stuação, talvez nem seja adequado falar em moda, pos os valores com maor frequênca não dão mas ndcação de centro. O autor Glberto de Andrade Martns fala que se trata de um conjunto antmodal. Mas esta stuação, embora possível, não é usual. O mas normal é que, em sequêncas smétrcas, a moda seja gual à méda e à medana. Pos bem, sempre que um conjunto de dados não for smétrco, dzemos que ele é assmétrco. Nesses casos, não será possível construr um gráfco de colunas (ou um hstograma, se tvermos dados em classes) de tal forma que exstam duas partes que se sobreponham com perfeção.. Formas da curva de freqüênca As curvas de frequênca (ou os polígonos de frequênca) podem ter város formatos. Um, em especal, é algumas vezes perguntado em provas. É o que tem formato de sno: As maores frequêncas correspondem aos valores do meo. Um exemplo deste tpo de gráfco podera ser as notas dos alunos em uma dada prova. Prof. Gulherme Neves 60

61 6 5 frequenca Notas A grande maora das notas grou em torno de 7. Algumas poucas pessoas traram notas baxa. E tvemos algumas poucas notas altas. Note que, se colocarmos um espelho sobre o valor 7, as duas partes se sobrepõem com perfeção. A seqüênca é smétrca. A méda é gual à medana que é gual à moda, e todas elas são guas a méda = moda = medana = 7 frequenca Notas A partr deste gráfco smétrco, podemos magnar outras curvas, assmétrcas. A prmera é a que segue: Prof. Gulherme Neves 61

62 6 5 frequenca Notas Este gráfco já representa uma prova mas dfícl, em que não houve mutas notas altas. Observe que há uma cauda mas alongada na parte esquerda do gráfco. Dzemos que a curva é assmétrca negatva, ou desvada à esquerda. 6 5 frequenca cauda Notas Como lembrar desses nomes? Bom, lembre sempre da cauda. A cauda está à esquerda, então a curva é desvada à esquerda. E como a cauda está mas próxma dos números negatvos da reta real, então a curva é assmétrca negatva. Para encontrar a moda não tem erro. A moda corresponde ao termo de maor frequênca que, no caso, é o 7. A méda sempre estará do lado da cauda. E a medana estará entre a méda e a moda. Assm, se tvéssemos que apontar, mas ou menos, onde se encontram cada uma destas meddas, fcara assm: Prof. Gulherme Neves 6

63 6 medana: entre a méda e a moda frequenca Notas moda = 7 méda: está em algum lugar à esquerda do 7 (portanto, do lado da cauda) A moda sera gual a 7. A méda estara a esquerda de 7 (portanto, do lado da cauda). E a medana estara entre a méda e a moda. Agora magne uma outra prova, em que as questões foram bem fáces. A curva de freqüêncas das notas sera: 6 5 frequenca Notas Observe que, agora, as notas são bem altas. Há uma cauda mas alongada do lado dreto. Dzemos que a curva é desvada à dreta ou assmétrca postva. Como lembrar desses nomes? É só lembrar da cauda. Se a cauda está do lado dreto, a curva é assmétrca à dreta. Como a cauda está do lado dos números postvos, a assmetra é postva. Prof. Gulherme Neves 63

64 6 frequenca Notas cauda Vamos localzar as meddas de tendênca central? A moda é fácl. A moda é gual a 7. A méda, novamente, estará do lado da cauda. Será, portanto, um pouco maor que 7. E a medana estará entre a méda e a moda. 6 medana: entre a méda e a moda frequenca moda = Notas EC 1 MPE PE/[FCC] Consdere a tabela a segur: méda: está em algum lugar à dreta do 7 (portanto, do lado da cauda) Prof. Gulherme Neves 64

65 A tabela acma apresenta a dstrbução de frequêncas relatvas do valor do saláro pago aos funconáros da fábrca Y no mês de abrl de 006. A méda e a medana do valor do saláro pago pela fábrca Y no mês de abrl de 006 são, respectvamente, a) R$ 00,00 e R$ 400,00 b) R$900,00 e R$1.000,00 c) R$1.050,00 e R$1.000,00 d) R$800,00 e R$800,00 e) R$900,00 e R$900,00 Resolução: Repare que a dstrbução fornecda é smétrca. Nesse caso, a méda concde com a medana. Portanto, já descartamos as letras A, B e C. Fcamos entre as letras D e E. E para achar a méda (ou a medana), não precsa de muta conta. Smplesmente adotamos o ponto médo da classe central. Gabarto: E Meda = Medana = = 900 EC Prefetura Muncpal de Natal 008 [ESAF] A coleta de dados do muncípo, relatva ao ensno fundamental, apresentou a segunte composção etára: Composção Etára dos Alunos do Ensno Fundamental: Faxa Etára Masc. Fem. Até 06 anos De 07 a 08 anos De 09 a 10 anos De 11 a 1 anos De 1 a 14 anos De 15 a 18 anos Acma de 18 anos Total Com base nos dados acma, temos as seguntes sentenças: I. A Moda está na faxa etára até os 06 anos. II. A Méda de alunos está na faxa etára de 1 a 14 anos. III. A Medana é superor à méda. Apontando nos 3 (três) tens acma como V Verdadero e F Falso, a opção correta é: a) V, V, V b) V, F, V c) F, V, F Prof. Gulherme Neves 65

66 d) F, F, F e) V, V, F Resolução: Observe que as classes têm ampltudes dferentes. O prmero tem é sobre a moda. Não se pedu o cálculo da moda. Apenas se afrmou que a classe modal era a prmera, o que é falso. A segunda classe (de 7 a 8 anos) tem a maor freqüênca absoluta (19.300) e, o que é realmente mportante, a maor relação f h (densdade de freqüênca). Algumas crítcas à questão. Em prmero lugar, a últma lnha (com os totas) está errada, não representando realmente as somas das colunas. Em segundo lugar, faltaram classes. De acordo com a tabela acma, não há nenhum aluno com 8 anos e tantos meses. Ou com 10 anos e tantos meses. Ou com 14 anos e tantos meses. Embora seja uma stuação possível, é bastante mprovável. Estas classes faltantes dfcultam um pouco a resposta ao tem III, sendo necessáro que o canddato faça algumas suposções. Reescrevendo a tabela, corrgndo a lnha com os totas, temos: Faxa Etára Masc. Fem. Total Até 06 anos De 07 a 08 anos De 09 a 10 anos De 11 a 1 anos De 1 a 14 anos De 15 a 18 anos Acma de 18 anos Total O segundo tem afrma que a méda está na classe 1 a 14 anos. Sem fazer contas, sto é falso. Notem como as quatro prmeras classes têm muto mas alunos que as três últmas. A méda deve ser menor que 1 anos. De todo modo, vamos fazer as contas. Para achar a méda, supomos que todas as dades correspondam ao ponto médo das classes. Só que para a prmera e a últma classes não foram fornecdos os dos lmtes. Na prmera classe só fo fornecdo o lmte superor. Na últma classe só fo fornecdo o lmte nferor. Vamos tentar elevar ao máxmo a méda. Vamos supor que a prmera classe represente um valor únco (represente apenas as cranças com exatamente 6 anos). E vamos supor que o lmte superor da últma classe seja 50 anos (uma dade extremamente alta para o ensno fundamental). A méda, nesta stuação exagerada, fcara: Prof. Gulherme Neves 66

67 Faxa Etára Ponto médo f X f da classe ( X ) 6 anos ,00 De 07 a 08 anos 7, ,00 De 09 a 10 anos 9, ,00 De 11 a 1 anos 11, ,00 De 1 a 14 anos ,00 De 15 a 18 anos 16, ,00 De 18 a 50 anos ,00 Total X = 10, Ou seja, mesmo numa stuação exagerada, a méda não fcou na classe de 1 a 14 anos. Fcou bem longe dsso. O segundo tem está falso. Agora vamos à medana. Creo que a ntenção da questão era que o canddato usasse as propredades de assmetra. Esta curva sera assmétrca à dreta. A méda é maor que a medana, que é maor que a moda. Concluímos que o tercero tem também está falso. E a resposta é a letra D. Gabarto: D Pronto, trenamos o posconamento relatvo de méda, medana e moda para sequêncas assmétrcas. Esse era o meu ntuto quando coloque a questão. Só que tem um porém. Essa questão tem uma falha que atrapalha um pouco as cosas. Esse posconamento relatvo de méda, medana e moda vale quando a curva é mas bem comportada. Não é o caso desses dados acma. Como já dssemos, há váras classes faltantes, o que tornam esta curva atípca. Em stuações assm, não há garantas que méda, medana e moda obedeçam ao posconamento vsto. Para resolver com segurança a questão, teríamos que fazer mas algumas contas. Contudo, vou dexar de faze-lo. Acho que não vale a pena perdermos tempo com trabalho meramente braçal por conta de um enuncado com falhas. E agora vamos entender porque é que as classes faltantes atrapalham as cosas. Este fo o segundo motvo pelo qual coloque esta questão um tanto quanto mal elaborada. Para entender o problema das classes faltantes, é útl fazer uma analoga com a físca. Se magnarmos que o hstograma (se os dados estverem em classes) ou o gráfco de colunas (se os dados estverem agrupados por valor) corresponde a um conjunto de pesnhos (ou de barrnhas ) dspostos ao longo de uma haste nflexível, que equvale à reta real, o ponto de apoo em que o sstema fca em equlíbro corresponde justamente à méda. Como exemplo, consderem o segunte conjunto de dados, representado por um gráfco de colunas. Prof. Gulherme Neves 67

68 A méda desse conjunto é gual a 4, (aproxmadamente). Se consderarmos que cada coluna corresponde a uma barra e que todas elas são fetas de materal homogêneo, então seus pesos são dretamente proporconas às suas alturas. Como todas elas têm a mesma base, as barras com maor altura serão mas pesadas. Caso o exo das abscssas seja uma haste em que se pretendem equlbrar as barras, o ponto de apoo de tal forma que o equlíbro se mantenha é justamente 4,, ndcado, na fgura abaxo, pela seta preta. Não vou colocar a demonstração dsso aqu, mas, para quem tver curosdade, é bascamente a mesma cosa que aprendemos lá no ensno médo, quando estudamos físca. Basta consderar que as forças são proporconas às alturas das barras e fazer a condção de que a soma dos produtos força dstânca é nula. Você encontrará que o ponto de apoo em relação ao qual devem ser calculadas as dstâncas para que sso aconteça é justamente a méda artmétca. Reparem que as barrnhas à dreta da seta são mas leves. A soma de suas alturas é 14. As barrnhas à esquerda da seta são mas pesadas (a soma de suas alturas é 4). Acontece que as barrnhas mas leves estão mas dstantes do ponto de apoo, o que compensa o seu peso menor e faz com que a soma de momentos total seja nula. Em resumo, os torques que atuam no sentdo horáro compensam os que atuam no sentdo ant-horáro e o sstema fca em equlíbro. Prof. Gulherme Neves 68

69 A analoga da méda com os braços de alavanca lá da físca ajuda a entender porque, numa dstrbução postvamente assmétrca, a méda é maor que a medana. Caso o ponto de apoo seja fxado junto à medana, a soma dos pesos das barras à sua dreta sera gual à soma dos pesos das barras à sua esquerda. Contudo, as barras da dreta, mas afastadas do ponto de apoo, ganharam a batalha, fazendo um braço de alavanca maor, fazendo com que a haste (representada pela reta real) tombasse para a dreta. Logo, o ponto de apoo deve estar um pouco à dreta da medana, tendo um efeto duplo: dmnur a dstânca das barras da dreta até o ponto de apoo; dmnur o peso total das barras da dreta. Esses dos efetos permtem o equlíbro do sstema, que ocorrerá justamente quando o apoo for colocado sobre a méda artmétca. É claro que, numa dstrbução negatvamente assmétrca, o racocíno é análogo. E é exatamente por esse racocíno que percebemos os problemas que podem ocorrer quando a dstrbução não é bem comportada e porque é que as classes faltantes podem comprometer o racocíno. A título de exemplo, consdere a segunte seqüênca: É uma seqüênca postvamente assmétrca, com méda 4,. Há uma cauda do lado dreto. As barrnhas menores estão mas afastadas da méda do que as barras grandes. A méda (=4,) é maor que a medana (=4), que é maor que a moda (=3). A partr do gráfco acma, vamos construr um outro conjunto, crando buracos. Serão as mesmas barras, mas, entre elas, haverá alguns espaços vazos: Prof. Gulherme Neves 69

70 Agora a méda é 6,81, a medana é 7 e a moda é 6. O posconamento relatvo de méda, medana e moda já era. Agora a méda está entre a medana e a moda, o que não é característco nem de uma curva assmétrca postva, nem de uma assmétrca negatva. E por que é que sso aconteceu? Porque, para uma das barras mas pesadas, nós cramos uma dstânca grande em relação ao ponto de apoo, o que, antes, só aconteca com as barras leves. Fo por sso que eu dsse que as classes faltantes, lá da questão do ISS Natal, poderam atrapalhar um pouco as cosas. EC 3 Capes 008 [CESGRANRIO] Consdere as asserções a segur. Em dstrbuções assmétrcas à dreta, a medana é sempre maor do que a méda. PORQUE Em dstrbuções com assmetra postva, a méda é afetada por valores extremos. Analsando-se as asserções, conclu-se que (A) as duas asserções são verdaderas, e a segunda é uma justfcatva correta da prmera. (B) as duas asserções são verdaderas, e a segunda não é uma justfcatva correta da prmera. (C) a prmera asserção é verdadera, e a segunda é falsa. (D) a prmera asserção é falsa, e a segunda é verdadera. (E) a prmera e a segunda asserções são falsas. Resolução. Em dstrbuções assmétrcas à dreta, a méda é maor que a medana. A prmera frase está errada. A méda sempre é afetada por valores extremos. A segunda frase está certa. Gabarto: D Prof. Gulherme Neves 70

71 EC 4 INEP 008 [CESGRANRIO] Analse as afrmações a segur. ESTATÍSTICA PARA TCU Numa dstrbução smétrca, a méda e a medana concdem. PORQUE Numa dstrbução smétrca a moda nem sempre exste. Quanto às afrmações acma, pode-se conclur que (A) as duas asserções são verdaderas e a segunda é uma justfcatva correta da prmera. (B) as duas asserções são verdaderas e a segunda não é uma justfcatva correta da prmera. (C) a prmera asserção é uma proposção verdadera e a segunda, uma proposção falsa. (D) a prmera asserção é uma proposção falsa e a segunda, uma proposção verdadera. (E) tanto a prmera como a segunda são proposções falsas. Resolução. A prmera frase está certa. Numa dstrbução smétrca, méda e medana sempre concdem. A segunda frase também está certa. Numa dstrbução smétrca, a moda pode não exstr. Isso ocorre num gráfco em forma de U ou de V. Exemplo: Frequencas Idades A classe central tem a menor freqüênca. Nesta stuação, as classes com maor freqüênca estão nas extremdades. Não sera muto aproprado falar em moda, dado que perde-se a noção de centro. Há autores que classfcam estas seqüêncas como antmodas. E anda tera o caso de um gráfco totalmente horzontal. Nesse caso, a curva sera amodal. Exemplo: 1, 1, 1,,,, 3, 3, 3. A curva correspondente sera horzontal. Méda e medana concdram (seram guas a ). E a moda não exstra, pos todos os valores possuem a mesma freqüênca. Entre as duas assertvas não há qualquer nexo de causaldade. Gabarto: B Prof. Gulherme Neves 71

72 EC 5 PM Manaus 004 [CESGRANRIO] ESTATÍSTICA PARA TCU A tabela apresenta uma dstrbução hpotétca de freqüênca do número de anos trabalhados, em uma amostra de 100 aposentados. Essa dstrbução: (A) tem moda gual à méda. (B) tem moda menor que a méda. (C) é smétrca. (D) é assmétrca à dreta. (E) é assmétrca à esquerda Resolução. Repare que as maores freqüêncas se concentram nas maores classes. Isso faz com que a moda esteja na classe Note que as freqüêncas menores (correspondentes à cauda) são pertencentes às prmeras classes. A cauda fcara do lado esquerdo do gráfco. Sera uma curva assmétrca à esquerda. A méda é menor que a medana, que é menor que a moda. Gabarto: E EC 6 TCE RO [CESGRANRIO] A dstrbução de freqüênca está representada no hstograma a segur. Prof. Gulherme Neves 7

73 Essa dstrbução: (A) é smétrca. (B) apresenta assmetra à esquerda. (C) apresenta assmetra à dreta. (D) tem méda gual à medana. (E) tem hstograma de freqüênca em forma de J. ESTATÍSTICA PARA TCU Resolução. A cauda está do lado esquerdo. A assmetra é negatva, ou à esquerda. Gabarto: B EC 7 Capes 008 [CESGRANRIO] A tabela a segur apresenta algumas estatístcas das notas dos alunos de determnada área, que partcparam do ENADE 006. Analsando-se os dados da tabela conclu-se que (A) a dstrbução das notas é assmétrca à esquerda nos dos grupos de estudantes. (B) a dstrbução das notas dos concluntes apresenta-se mas homogênea do que a dos ngressantes. (C) pelo menos metade dos alunos ngressantes não alcançou a méda de 1,9. (D) mas de 90,0% dos alunos dessa área compareceram ao ENADE 006. (E) mas alunos ngressantes do que concluntes dessa área compareceram ao ENADE 006. Resolução. Notem que a méda é maor que a medana, o que ndca que a cauda está do lado dreto da curva. Sera uma dstrbução assmétrca à dreta. A letra A está errada. Prof. Gulherme Neves 73

74 Na letra B, temos uma afrmação sobre qual dstrbução é mas homogênea. Uma dstrbução é dta homogênea quando apresenta baxa dspersão relatva (sto é, seu coefcente de varação é baxo). A alternatva B pretende comparar os ngressantes com os concluntes, segundo a homogenedade da dstrbução. Em resumo, temos que ver qual apresenta menor coefcente de varação. 4,3 8, CV _ ngressantes = =,6; CV _ conclu nt es = =, 7 1,9 3,6 Temos que o menor CV é o dos ngressantes. Portanto, estes apresentam uma dstrbução mas homogênea. A alternatva está errada. Na verdade, os dos coefcentes foram muto altos, e pratcamente guas. Isto ndca que as duas dstrbuções são bastante heterogêneas. O lvro Prncípos de Estatístca de Glberto de Andrade Martns e Dens Donare, apesar de não usar a expressão homogêneo, ndca que: Para efetos prátcos, costuma-se consderar que CV superor a 50% ndca alto grau de dspersão e, consequentemente, pequena representatvdade da méda. Enquanto que para valores nferores a 50%, a méda será tanto mas representatva do fato quanto menor for o valor de seu CV A letra C está correta. Se a medana dos ngressantes é gual a zero é porque metade dos alunos trou nota menor ou gual a zero. Esses mesmos alunos, portanto, não alcançaram a méda de 1,9. Gabarto: C EC 8 Petrobras 005 [CESGRANRIO] A tabela apresenta uma dstrbução hpotétca de frequênca do número de anos trabalhados, em uma amostra de 100 aposentados. A dstrbução: (A) é smétrca. (B) é assmétrca à esquerda. (C) é assmétrca à dreta. (D) tem moda menor que a méda. (E) tem moda gual à méda. Resolução. Prof. Gulherme Neves 74

75 A cauda está do lado esquerdo do gráfco de frequêncas. É uma curva assmétrca à esquerda. Gabarto: B EC 9 PM Manaus 004 [CESGRANRIO] Os quarts de uma dstrbução são Q1 = 4, Q = 6 e Q3 = 10. Essa dstrbução: (A) é smétrca. (B) é assmétrca à dreta. (C) é assmétrca à esquerda. (D) tem moda maor que a méda. (E) tem moda gual à méda Resolução. As dferenças entre os quarts podem nos ndcar a assmetra da curva. Consdere os seguntes conjuntos: A: 1,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5 B: 1,,,,, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 C: 1,, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9 O conjunto A é smétrco. Se você fzer um gráfco de colunas, perceberá sso. Os quarts do conjunto A são: Observe que: Q 1 =,5; Q = 3; Q 3 = 3, 5 Q 3 Q = Q Q1 = Quando o conjunto é smétrco, a dferença entre o tercero e o segundo quartl é gual à dferença entre o segundo e o prmero quartl. Logo: Prof. Gulherme Neves ,5

76 ( 1 Q 3 Q ) ( Q Q ) = 0 Vamos para o conjunto B. Se você fzer seu gráfco de colunas, verá que ele é assmétrco à dreta (postvamente assmétrco). Observe a cauda do lado dreto. Vamos calcular seus quarts. Observe que: Ou anda: Q 1 = ; Q = 3, 5; Q = 5, 3 5 Q 3 Q > Q Q1 ( 1 Q 3 Q ) ( Q Q ) > 0 Por fm, o conjunto C é assmétrco à esquerda. Observe o gráfco. Agora temos: Q 1 = 4,5; Q = 6, 5; Q 3 = 8 Prof. Gulherme Neves 76

77 Observe que: Ou anda: ESTATÍSTICA PARA TCU Q 3 Q < Q Q1 ( 1 Q 3 Q ) ( Q Q ) < 0 Podemos montar o segunte quadro resumo: ( Q3 Q ) ( Q Q1 ) Resultado = 0 ndcatvo de que o conjunto é smétrco < 0 ndcatvo de que o conjunto é negatvamente assmétrco > 0 ndcatvo de que o conjunto é postvamente assmétrco Aplcando esse resultado à questão da Cesgranro, temos: ( Q3 Q1 Q ) ( Q ) = ( 10 6) (6 4) ( Q3 Q1 Q ) ( Q ) = 4 = A dstrbução é postvamente assmétrca (ou assmétrca à dreta). Gabarto: B EC 10 BACEN/006 [FCC] Com relação às meddas de posção e de dspersão, é correto afrmar: a) dobrando todos os valores dos funconáros de uma empresa, tem-se que o saláro médo destes funconáros e a respectva varânca também fcam dobrados. b) a dferença entre a varânca e o desvo padrão de uma sequênca de números é nula somente no caso em que a varânca e o desvo padrão são guas a zero. c) em qualquer dstrbução de valores, a dferença entre a méda e a moda é sempre maor ou gual a zero. d) multplcando todos os valores de uma sequênca de números postvos por um número postvo, tem-se que o respectvo coefcente de varação não se altera e) o coefcente de varação correspondente a uma sére de números postvos é gual à dvsão do quadrado da respectva méda artmétca pela varânca. Resolução: Letra A. Quando dobramos todos os saláros, o saláro médo, de fato, também dobra. Isso porque nós vmos lá na aula passada, em propredades da méda, que a méda sofre exatamente a mesma alteração dos dados. Como todos eles foram dobrados, o mesmo acontece com a méda. Prof. Gulherme Neves 77

78 Já com a varânca as cosas mudam um pouco. Somas e subtrações não nterferem na varânca. Multplcações e dvsões sm. Quando dobramos todos os valores, a varânca sofre a varação ao quadrado. Ou seja, a varânca fca multplcada por 4 (pos 4 é gual a ao quadrado). Item errado. Letra B. Imagne o caso em que o desvo padrão é gual a 1. A varânca é gual ao quadrado do desvo padrão. Portanto, a varânca também será gual a 1. E a dferença entre ambos será gual a zero. Portanto, o tem está errado. Letra C. A alternatva está errada. Nas dstrbuções assmétrcas à esquerda, a méda é menor que a moda. A ctada dferença será menor que zero. Observem o segunte exemplo: 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. A moda é 4. A méda é 3. A dferença entre a méda e a moda é de -1, portanto, menor que zero. Letra D. Como vmos no exercíco EC 10 que multplcações não alteram o coefcente de varação. Alternatva correta. Letra E. Esta não é a fórmula do coefcente de varação. O coefcente de varação é dado pela dvsão do desvo padrão pela méda artmétca. Alternatva errada. Gabarto: D. EC 11 SEFAZ SP 006 [FCC] Consderando as respectvas defnções e propredades relaconadas às meddas de posção e de varabldade, é correto afrmar: a) concedendo um reajuste de 10% em todos os saláros dos empregados de uma empresa, tem-se que a respectva varânca fca multplcada por 1,10. b) defnndo o coefcente de varação (CV) como sendo o quocente da dvsão do desvo padrão pela respectva méda artmétca (dferente de zero) de uma sequênca de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtdo dvdndo a correspondente varânca pelo quadrado da méda artmétca. c) subtrando um valor fxo de cada saláro dos funconáros de uma empresa, tem-se que o respectvo desvo padrão dos novos valores e gual ao valor do desvo padrão dos valores anterores. Prof. Gulherme Neves 78

79 d) dvdndo todos os valores de uma sequênca de números estrtamente postvos por 4, tem-se que o respectvo desvo padrão fca dvddo por. e) em qualquer dstrbução de valores em estudo, a dferença entre a medana e a moda é sempre dferente de zero. Resolução: Letra A. Dar um reajuste de 10% é o mesmo que multplcar todos os saláros por 1,1. Se todos os saláros são multplcados por 1,1, a varânca fca multplcada por 1,1. Alternatva errada. Letra B. O coefcente de varação é gual ao desvo padrão dvddo pela méda. Alternatva errada. Letra C. Somar ou subtrar uma constante em cada um dos dados não nterfere nas meddas de dspersão. Alternatva correta. Letra D. Se dvdrmos todos os dados por 4, o desvo padrão também será dvddo por 4. Alternatva errada. Letra E. Alternatva errada. Basta pensar numa sequênca smétrca. Exemplo: 1,,, 3. A medana, a méda e a moda são guas a. A dferença entre a medana e a moda é gual a zero. Gabarto: C Prof. Gulherme Neves 79

80 Curtose Vamos agora avalar o quanto uma curva de frequêncas é achatada. É para sto que servem as meddas de curtose. A curva acma é chamada de normal. É a curva que usaremos como parâmetro. Não é nem achatada, nem aflada. Ela recebe um nome especal: mesocúrtca. Observe a segunte curva: Agora já temos uma curva achatada. Ela recebe um nome especal: platcúrtca. Lembre-se da palavra prato para assocar à curva achatada. Observe a segunte curva agora: Prof. Gulherme Neves 80

81 Já é uma curva aflada no centro. Ela também tem um nome especal: leptocúrtca. Resumndo: Curva mesocúrtca: normal, nem aflada e nem achatada Curva platcúrtca: curva achatada Curva leptocúrtca: curva aflada, concentrada no meo. Os coefcentes de curtose procuram ndcar o quão achatada ou aflada é uma curva. Dos coefcentes geralmente utlzados para determnar a curtose de uma curva são: à Coefcente momento de curtose ( a 4 ) à Coefcente percentílco de curtose (k) Prof. Gulherme Neves 81

82 O coefcente momento de curtose é dado por: Onde a! = m! S! m 4 é chamado momento de ordem 4 em relação à méda artmétca. Para o coefcente momento de curtose, tem-se a segunte classfcação das curvas: Pessoal, a chance deste assunto car em prova é mínma. Dexe para decorar sso às vésperas da prova, ok? Outro coefcente, o coefcente percentílco de curtose, é dado por: Onde Q 3 é o tercero quartl, Q 1 é o prmero quartl, P 90 é o nonagésmo percentl (ou nono decl) e P 10 é o décmo percentl (ou prmero decl). Para o coefcente percentílco de curtose, tem-se: Mesma cosa, pessoal. A chance dsso car é mínma. Dexe para memorzar se houver tempo e espaço na memóra..rs Prof. Gulherme Neves 8

83 (AFRF 00/ESAF) O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100 obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de frequêncas segunte: Para a dstrbução de frequêncas do atrbuto X sabe-se que: Nessas expressões os X representam os pontos médos das classes e X a méda amostral. Assnale a opção correta. Consdere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populaconal. a) A dstrbução do atrbuto X é leptocúrtca. b) A dstrbução do atrbuto X é platcúrtca. c) A dstrbução do atrbuto X é ndefnda do ponto de vsta da ntensdade da curtose. d) A nformação dada se presta apenas ao cálculo do coefcente de assmetra com base nos momentos centrados de X. e) A dstrbução de X é normal. Resolução Prof. Gulherme Neves 83