8 - Medidas Descritivas

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1 8 - Meddas Descrtvas 8. Introdução Ao descrevemos um conjunto de dados por meo de tabelas e gráfcos temos muto mas nformações sobre o comportamento de uma varável do que a própra sére orgnal de dados. Contudo, mutas vezes, queremos resumr anda mas esses dados utlzando as meddas adequadas. Neste capítulo estas serão chamadas de meddas descrtvas ou meddas resumo. As meddas descrtvas podem focar város aspectos no conjunto de dados; tendênca central, dspersão, ordenação ou smetra na dstrbução dos valores. Meddas de tendênca central: servem para dar uma déa acerca dos valores médos da varável em estudo. São utlzados para sntetzar em um únco número o conjunto de dados observados. São meddas de tendênca central: méda artmétca, medana e moda. Além destas, outras meddas são utlzadas com fns específcos tas como: méda geométrca e méda harmônca. Meddas de dspersão: servem para dar uma déa acerca da maor ou menor concentração dos valores da varável em estudo. São meddas de dspersão: ampltude, varânca, desvopadrão e outras Separatrzes: quarts, decs e cents. 8. Meddas de Tendênca Central Imagne que um aluno fez cnco provas em estatístca e obteve as notas apresentadas abaxo. Prova Nota ª prova 7,0 ª prova 3,0 3ª prova 5,5 4ª prova 6,5 5ª prova 8,0 O conjunto de valores apresentados na tabela pode ser resumdo em um só valor - a méda artmétca. Esse valor é apenas parte da nformação dada pelas cnco notas, mas, no caso, consttu nformação sufcente para estabelecer se o aluno fo ou não aprovado. De manera geral, exste nteresse em apresentar um resumo das nformações dsponíves. A manera mas smples de resumr a nformação contda em um conjunto de dados é estabelecer o valor de um ponto central em torno do qual os dados se dstrbuem. Estatístca II... 5

2 8.3 Méda Artmétca A medda de tendênca central mas comumente usada para descrever resumdamente um conjunto de dados, tabelados ou não, é a méda artmétca smples, ou smplesmente méda e representa-se por x Determnação da Méda Artmétca para Dados Brutos Para obter a méda artmétca basta somar os valores de todos os dados e dvdr o total pelo número deles. A méda artmétca das notas apresentados acma é: 7,0 3,0 5,5 6,5 8,0 X 6,0 5 A varável em estudo será ndcada pela letra maúscula X e os valores observados dessa varável serão ndcados pela letra mnúscula x. Para dstngur um valor do outro, serão usados índces. Então o -ésmo valor observado de X será ndcado por x. A méda artmétca é representada por: x = n x n Exemplo : Uma amostra de 0 operáros de uma companha apresentou os seguntes saláros recebdos durante certa semana: Calcular a méda para este grupo de saláros. Exemplo : Em um hosptal foram regstrados os pesos, em kg, de 0 recém-nascdos em um determnado da. Calcular o peso médo: 3, 3,,8,,9 3, 3, 3,0 3,5 4,0 Exemplo 3: Um levantamento amostral coletou a renda mensal de 8 trabalhadores da construção cvl. Obter x Estatístca II... 53

3 8.3. Determnação da Méda Artmétca para Tabelas de Dstrbução de Freqüêncas Dada uma dstrbução de freqüêncas, chama-se de méda artmétca desta dstrbução, e representa-se por x, a soma de todos os valores da varável, dvdda pela freqüênca total (número total de observações). Por exemplo, consderando-se os dados da Tabela 8., tem-se: Tabela 8.- Funconáros de uma empresa com hpertensão, segundo a dade em anos completos Idade em anos completos Número de ndvíduos (freqüênca f ) 3 5 x. f Idade em anos completos Número de ndvíduos (freqüênca f ) 3 3 x. f Total x = 878/40 = 46,95 anos = 46 anos e meses, ou seja, a dade méda dos funconáros hpertensos desta empresa é gual a 46 anos completos. De manera geral, ao se ter a segunte dstrbução de freqüêncas: Valores x da varável X Freqüênca (f ) Produto ( x. f ) x x... x k f f... f k x. f x. f... x k. f k Total k k f x. f Estatístca II... 54

4 a méda artmétca será: x k k x. f x. f n f = k Se os dados da Tabela 8. estvessem agrupados em classes, como mostra a Tabela 8., sera precso, antes de calcular x, determnar os pontos médos das classes. Tabela 8. - Funconáros de uma empresa com hpertensão, segundo a dade em anos completos Classes Ponto Médo (x ) Número de funconáros (f ) Produto (x. f ) Total x 47,5 anos = 47 anos e 6 meses ou 47 anos (completos). 40 Observações: Observa que a dade méda calculada a partr dos dados da Tabela 8. não concde com a dade méda verdadera dos 40 hpertensos, calculada a partr dos dados da Tabela 8.. Isso se deve ao fato de ter sdo suposto, para o cálculo da méda artmétca com os dados da Tabela 8. que todos os ndvíduos com dades de uma determnada classe tnham a dade dada pelo ponto médo da classe, o que, em geral, não corresponde à realdade. De fato, os dos ndvíduos com dades na classe 0 30 anos, por exemplo, passaram a ter dade de 5 anos, quando, na verdade, pela tabela 8., sua dades eram de e 7 anos. Para agrupar os dados não fo utlzado o procedmento adotado em sala de aula. Estatístca II... 55

5 Exemplo : Os dados abaxo representam os saláros dos 36 empregados de um escrtóro. Calcule a méda artmétca. Classe de saláros a méda artmétca será: Número de empregados (f ) x x f x.f 404 x =, n 36 Exemplo : Os dados abaxo representam as vendas semanas, em classes de saláros mínmos, de vendedores de gêneros almentícos. Calcule a méda artmétca. Vendas semanas Número de vendedores (f ) x x f Estatístca II... 56

6 8.4 Medana (MD) É o valor que ocupa a posção central de um conjunto de dados ordenados (crescente ou decrescente) de tal forma que pelo menos a metade ou cnqüenta por cento dos valores sejam guas ou maores do que ela, e que haja pelo menos outra metade de valores menores do que ela. O número que ndca a ordem ou posção em que se encontra o valor correspondente à medana é denomnado elemento medano (E Md ) Determnação da Medana de Valores não Tabulados Para determnar a medana é precso ordenar os dados; em seguda aplque um dos processos a segur: A varável em estudo é dscreta e n é ímpar. Neste caso a medana será o valor da varável que ocupa a posção: E Md n Exemplo: Em 5 das, uma empresa de consultora atendeu clentes. Determne a medana Ordenados estes valores por ordem crescente, tem-se: O elemento medano será: E Md 5 8, ou seja, a medana se encontra na otava posção da lsta ordenada de valores. A medana neste caso vale: Md = 5 fregueses Estatístca II... 57

7 A varável é dscreta e n é par. Toda vez que houver um número par de observações a lsta apresentará dos valores centras. O problema é resolvdo por uma convenção que consste em tomar como medana a méda artmétca dos valores que ocupam as posções: E Md n e n Exemplo: Em 007, 0 vendedores de carros usados venderam, respectvamente, a medana será: 58 6 = 60 carros, 0 0 ou seja, a méda artmétca dos valores que ocupam os postos E Md 5 e 6. Exemplo: Qual a medana dos seguntes valores? a b No cálculo da méda, todos os valores da amostra são levados em conta, ao passo que no caso da medana sto não acontece. Por esta razão, valores muto grandes ou muto pequenos, comparados aos demas valores da amostra, causam grandes varações na méda, o que em geral não ocorre com a medana. Estatístca II... 58

8 8.4. Determnação da Medana de Valores Tabulados não Agrupados em Classes. Verfcar se o número de observações é ímpar ou par;. Calcular as freqüêncas acumuladas abaxo de; 3. Procurar um valor F gual ou maor que o elemento medano. Exemplo : Valores x f F Exemplo : Valores x f F Exemplo 3: Valores x f F Estatístca II... 59

9 8.4.3 Determnação da Medana de Valores Tabulados Agrupados em Classes Quando os valores da varável estverem agrupados em classes, admte-se que os valores da varável na dstrbução de freqüêncas dstrbuam-se contnuamente. A medana será, neste caso, o valor da varável, para o qual 50% da freqüênca total (n/) fca stuada abaxo e outra metade acma dele. O elemento medano para dados agrupados em classes será n/ (não mporta se é par ou ímpar). Exemplo: Determnar a medana: Classes f F Resolução por fórmula Para aplcação da fórmula, precsamos dos seguntes dados: E Md n Classe medana: 40 50, uma vez que, até 50, temos 05 observações, e até 40 apenas 65. Conforme a fórmula abaxo, devemos ter: Md l c E Md f Md F ant Md ,5 40 Estatístca II... 60

10 onde: l = lmte nferor da classe medana = 40; c = ampltude do ntervalo de classe = 0 f = freqüênca smples da classe medana = 40 Md F = freqüênca acumulada até a classe anteror à classe medana = 65 ant 8.5 Moda (Mo) Outra medda por vezes utlzada para descrever o meo ou centro de um conjunto de dados é a moda, defnda smplesmente como o valor que ocorre com maor freqüênca e mas de uma vez. Quando dos valores ocorre com a mesma freqüênca máxma, cada um deles é a moda, e o conjunto se dz bmodal. Se mas de dos valores ocorrem com a mesma freqüênca máxma, cada um deles é uma moda, e o conjunto é multmodal. Quando nenhum valor é repetdo, o conjunto não tem moda (amodal). A moda pode ser obtda mesmo que a varável seja qualtatva Determnação da Moda de Valores não Tabulados Consderando um conjunto de valores, a moda será o valor predomnante, o valor mas freqüente desse conjunto. Exstem conjuntos de dados que não apresentam moda, porque nenhum valor se repete maor número de vezes, e exstem conjuntos de dados com duas ou mas modas. Exemplo : O conjunto de números,, 3, 4 e 5 não tem moda (Amodal) Exemplo : o conjunto de números,,, 3, 4, 4 e 5 tem duas modas (Bmodal), e 4. Exemplo: Oto vendedores venderam as seguntes quantdades de undades de ar condconado: A moda para este grupo de valores é o valor com maor freqüênca, ou seja, a moda é. Estatístca II... 6

11 8.5. Determnação da Moda de Valores Tabulados Os valores da varável dspostos em uma tabela de freqüêncas podem apresentar-se ndvdualmente ou agrupados em classes. No prmero caso, a determnação da moda é medata, bastando, para sso, consultar a tabela, localzando o valor que apresenta a maor freqüênca. Esse valor será a moda. Assm, para a dstrbução, X f A moda será 48. Tratando-se de uma tabela de freqüêncas com valores tabulados e agrupados em classes, o procedmento não é medato, sendo dsponíves alguns métodos. Qualquer que seja o método adotado, o prmero passo para determnar a moda é localzar a classe que apresenta a maor freqüênca, ou seja, a classe modal. Moda Bruta O método mas rudmentar de cálculo da moda em tabelas de freqüêncas com valores agrupados em classes consste em tomar o ponto médo da classe modal. Esse valor recebe o nome de moda bruta. O método a segur é mas elaborado e baseam-se não apenas na freqüênca da classe modal, mas também nas freqüêncas das classes adjacentes. Método de Czuber O método de Czuber, para o cálculo da moda elaborada, leva em consderação não apenas as freqüêncas das classes adjacentes, mas também a freqüênca da classe modal. Mo l c f mod f ant f mod (f ant f post ) Estatístca II... 6

12 Exemplo: Determnar para os dados abaxo a moda bruta e a moda pelo método de Czuber. Classes f Estatístca II... 63

13 Exercícos. Calcular a méda artmétca, a moda e a medana para os dados agrupados em classes apresentados na Tabela 7. (capítulo 7 da apostla).. Os dados abaxo representam as taxas de juros recebdas por 0 ações durante um certo período foram (meddas em porcentagem). Calcule a méda e a medana.,59,64,60,6,57,55,6,50,63,64 3. A tabela abaxo apresenta a dstrbução das exportações de empresas eletrôncas. Calcular a méda, a moda e a medana. Volume exportado Número de empresas (f ) As cfras abaxo representam o gasto anual em manutenção de equpamentos em 0 escolas muncpas. Determne a méda, a moda e a medana deste conjunto de valores Trnta pessoas foram consultadas sobre sua cor favorta. Es as respostas: Vermelho Azul Azul Roxo Preto Azul Marrom Vermelho Azul Amarelo Verde Branco Preto Amarelo Azul Azul Verde Azul Preto Preto Azul Azul Laranja Vermelho Branco Preto Azul Branco Azul Branco Qual a escolha modal e a freqüênca relatva (porcentagem) desta cor. Estatístca II... 64

14 6. A ampltude total de um conjunto de números é 500. Se a dstrbução de freqüêncas apresenta 0 classes, qual deverá ser o lmte nferor e o ponto médo da 5ª classe, se o lmte superor da ª classe é gual a 35? 7. O Departamento pessoal de uma certa frma fez um levantamento dos saláros dos 0 funconáros do setor admnstratvo, obtendo os resultados abaxo. Calcule a méda. Faxa salaral (saláro mínmo) Freqüênca relatva 0 0,5 4 0, , ,5 8. Em um estudo sobre a quantdade de cursos de extensão realzados por professores do setor de exatas durante anos em 50 unversdades. Agrupar os dados em classes e calcular a méda, a moda (bruta e Czuber) e a medana. Os dados estão apresentados abaxo: As cfras abaxo representam os lucros de 0 bancas de jornas em um da: a) Agrupar os dados em classes e calcular a méda artmétca, a moda (bruta, e Czuber) e a medana. b) Determne sem agrupar os dados em classes (dados brutos): a méda artmétca, a moda e a medana. Estatístca II... 65

15 0. Um empregado perdeu uma das 0 notas de compras fetas na hora do encerramento. O valor médo de todas as 0 notas era de 7,0 e as nove notas restantes tnham os valores: 4,80 7,0 7,90 9,55 4,45 5,7 7,54 8,34 9,70. É dado o número de faltas não justfcadas por empregado de uma frma no mês. Determne a moda. Número de faltas não justfcadas por empregado durante o mês de abrl de 996 Número de faltas Freqüênca Numa certa seção de uma empresa foram levantadas as dades dos funconáros, chegando-se aos seguntes resultados. Qual a dade modal e a méda das dades dos empregados dessa seção? Idade Número de empregados Abaxo temos a dstrbução do número de acdentes por da, durante 53 das, em certa rodova. Determnar a méda; a medana e a moda. Número de acdentes (x ) Número de das (f ) Calcule para a tabela de freqüêncas abaxo sua respectva méda e medana. x F Estatístca II... 66

16 9 Quarts, Decs e Percents 9. Introdução Dados que produzem hstogramas smétrcos são adequadamente descrtos pela méda e pelo desvo-padrão. Quando os dados são assmétrcos, a medana dentfca mas adequadamente o centro de um conjunto de dados. Para entender bem uma dstrbução, precsamos conhecer valores acma ou abaxo dos quas se encontra uma determnada porcentagem dos dados: as separatrzes. Separatrz de uma sére de n termos colocados em ordem crescente de valor, é o termo da sére que a dvde em duas partes quasquer. As prncpas separatrzes são a medana, os quarts, os decs e os percents (ou cents). Assm como a medana dvde os dados em duas partes guas, os três quarts, denotados por Q, Q e Q 3, dvdem as observações ordenadas em quatro partes guas. O prmero quartl separa os 5% nferores dos 75% superores dos valores ordenados; o segundo quartl é a medana e o tercero quartl separa os 75% nferores dos 5% superores dos dados. Analogamente, há nove decs, denotados por D, D, D 3,..., D 9 que dvdem os dados em 0 grupos com cerca de 0% deles em cada grupo. Há fnalmente, 99 percents, que dvdem os dados em 00 grupos com cerca de % em cada grupo. Exemplo: O nível de albumna no sangue, um ndcador do estado nutrconal, fo meddo em um grupo de 60 funconáros de uma bbloteca, obtendo-se os resultados (g/dl) apresentados na Tabela 9. em forma ordenada. Obtenha o prmero quartl e o percentl de ordem 80. Tabela 9.: Nível de albumna no sangue 4,44 4,47 4,48 4,5 4,54 4,54 4,6 4,64 4,66 4,68 4,68 4,69 4,7 4,73 4,76 4,76 4,76 4,8 4,86 4,86 4,87 4,88 4,90 4,90 4,95 4,95 4,96 4,97 4,98 4,98 4,99 5,00 5,0 5,0 5,0 5,0 5,04 5,05 5,08 5,09 5,09 5,0 5, 5, 5,6 5,7 5,8 5,8 5,9 5,4 5,4 5,6 5,7 5,7 5,9 5,3 5,35 5,46 5,50 5,85 O prmero quartl dexa pelo menos 5% dos dados abaxo e pelo menos 75% dos dados acma dele. Como 5% de 60 é gual a 5, Q tem pelo menos 5 valores abaxo de s e pelo menos 45 acma. Contando-se 5 valores do menor para o maor, teremos o funconáro com valor de albumna gual a 4,76 g/dl. Começando do maor para o menor e contando 45 valores, encontramos também 4,76 g/dl. Assm, a dosagem 4,76 g/dl é o valor do prmero quartl. Podemos dzer que pelo menos 5% dos funconáros da amostra apresentam nível de albumna nferor ou gual a 4,76 g/dl. O percentl de ordem 80 dexa pelo menos 80%, ou seja 48 valores abaxo de s e pelo menos acma. Contando 48 valores a partr, chegamos ao valor de 5,8 g/dl. E contando valores do maor para o menor obtemos 5,9 g/dl. Por convenção, usa-se a méda destes dos valores, ou seja, o valor 5,85 g/dl. Estatístca II... 67

17 A segur veremos o cálculo das separatrzes para dados agrupados que pode ser feto aplcando-se a defnção ou podem ser obtdos de forma aproxmada a partr de projeções da ogva. 9. Quarts Prmero Quartl (Q ) Dado um conjunto ordenado (ordem crescente) de valores, o prmero quartl, Q, é o valor que dvde o conjunto em duas partes tas que /4 ou 5% sejam menores do que ele e 3/4 ou 75% sejam maores. O elemento que ndca a ordem ou posção do prmero quartl é determnado, para dados agrupados em classes, pela segunte expressão: EQ = n 4, onde n é o número de valores do conjunto, ou número de observações. Segundo Quartl (Q ) Dado um conjunto ordenado de valores, o segundo quartl ou medana é o valor que dvde em duas partes guas quanto ao número de elementos, sto é, 50% ou /4 dos valores do conjunto são menores, e os /4 restantes são maores. O elemento que ndca a ordem ou posção do Q é: EQ = EM d = n n 4 Tercero Quartl (Q 3 ) Dado um conjunto ordenado de valores, o tercero quartl é o valor que dvde o conjunto ordenado de valores em partes tas que 3/4 ou 75% sejam menores do que ele e /4 ou 5% sejam maores. O elemento que ndca a ordem ou posção do Q 3 é: EQ 3 = 3 n 4 Genercamente, para determnar a ordem ou posção do quartl a ser calculado, usaremos a segunte expressão: EQ = n 4 onde: = número do quartl a ser calculado n = número de observações. Estatístca II... 68

18 9.3 Decs Prmero Decl (D ) O prmero decl (D ) de um conjunto ordenado de valores é o valor que dvde o conjunto ordenado de valores em partes tas que /0 ou 0% sejam menores e 9/0 ou 90% sejam maores do que ele. O elemento que ndca a ordem ou posção do D é: Segundo Decl (D ) ED = n 0 Trata-se do valor que dvde o conjunto ordenado de valores em partes tas que /0 ou 0% sejam menores do que ele e 8/0 ou 80% sejam maores do que ele. O elemento que ndca a ordem ou posção do D é: n ED = 0 Qunto Decl (D 5 ) É o valor que dvde o conjunto ordenado de valores em partes tas que 5/0 ou 50% sejam menores do que ele e 5/0 ou 50% sejam maores do que ele. O elemento que ndca a ordem ou posção do D 5 é: ED 5 = 5 n n n 0 4 Podemos, então, afrmar que M d = D 5 = Q De uma forma geral, para calcular os decs: ED = n 0 onde: = número que dentfca o decl a ser calculado n = número de observações. Estatístca II... 69

19 9.4 Cents ou Percents O elemento que defnrá a ordem ou posção do percentl, em uma dstrbução de freqüêncas de valores agrupados em classes, será encontrado pelo emprego da expressão: n EP = 00 onde: = número que dentfca o percentl a ser calculado n = número de observações Décmo Percentl (P 0 ) É o valor que dvde o conjunto ordenado de valores em partes tas que 0/00 ou 0% sejam menores do que ele e 90/00 ou 90% sejam maores do que ele. O elemento que ndca a ordem ou posção do P 0 é: EP 0 = ED = 0 n n Cálculo das Separatrzes Sep l P c F ant f onde: Sep = separatrz desejada (quartl, decl ou percentl); l = lmte nferor da classe que contém a separatrz; c = ampltude do ntervalo de classe; P = posção da separatrz; f = freqüênca smples da classe que contém a separatrz; F = freqüênca acumulada até a classe anteror à classe que contém a separatrz. ant Estatístca II... 70

20 Exercícos. Para os dados abaxo (capítulo 7 da apostla). Determne os quarts. Classes f F Determnar o quarto decl, o prmero quartl e o septuagésmo segundo percentl da segunte dstrbução: Classes f F Dada a dstrbução, determnar os quarts. Classes f Estatístca II... 7

21 4. Achar o º quartl, o 7º decl e o 73º percentl da dstrbução abaxo: Classes f Estatístca II... 7