Eventos coletivamente exaustivos: A união dos eventos é o espaço amostral.

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1 DEFINIÇÕES ADICIONAIS: PROBABILIDADE Espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os possíves resultados de um expermento. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Evento combnado: Possu duas ou mas característcas Dos eventos são mutuamente excludentes se não tverem elementos comuns, sto é, se não puderem ocorrer smultaneamente. Eventos coletvamente exaustvos: A unão dos eventos é o espaço amostral. Dos ou mas eventos dzem-se ndependentes se o conhecmento prévo da ocorrênca ou não ocorrênca de um dos eventos não auxlar a predzer a ocorrênca dos demas. Dos ou mas eventos são dependentes se o conhecmento prévo da ocorrênca ou não ocorrênca de um dos eventos auxlar a predzer a ocorrênca dos outros. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Varável Aleatóra Dscreta: É uma função, defnda sobre o espaço amostral Ω e que assume valores num conjunto enumerável de pontos, com certa probabldade. Função de Probabldade ou Dstrbução de Probabldade para uma varável aleatóra dscreta: É uma lsta mutuamente excludente de todos os possíves valores assumdos por aquela varável aleatóra, de modo que uma determnada probabldade de ocorrênca esteja assocada a cada um destes valores. Função de Dstrbução ou Função Acumulada de Probabldade de uma varável aleatóra dscreta é defnda, para qualquer número real x pela expressão: F(x) = P( x). Dada a varável aleatóra, assumndo os valores 1,,..., n, chamamos de valor médo ou Esperança de ao valor: µ = x P( ) n = 1 x Varânca (σ ) de uma varável aleatóra dscreta é a méda ponderada das dferenças ao quadrado entre cada resultado possível e a sua méda artmétca, sendo os pesos as probabldades de cada um dos resultados. n σ = V ( ) = [ E( )] P( ) = E[ E( )] = E( ) [ E( )] Onde E ( ) = 1 = P( ) Desvo Padrão (σ) de uma varável aleatóra é a raz quadrada postva de sua varânca. Propredades da esperança: Introdução à Teora das Probabldades Defnções adconas Profª Raquel Cymrot 1

2 Se a é uma constante então E(a) = a E(a) = a E() Se a e b são constantes então: E(a+b) = E(a) + E(b) = ae() + b Se h() é uma função de, então: E [ h( ) = h( ) P( ) Propredades da varânca: Se a é uma constante então V(a) = 0 V(a) = a V() Se a e b são constantes então: V(a+b) = a V() Varáves Aleatóras Bdmensonas: Mutas vezes, ao descrever os resultados de um expermento aleatóro, atrbuímos a um mesmo ponto amostral os valores de duas varáves aleatóras. Queremos conhecer as probabldades assocadas a cada par de varáves aleatóras. Dstrbução Conjunta de Probabldades: É a função de probabldade que atrbu probabldades a cada par das varáves aleatóras. P(x,y) = P( = x ; Y = y) denota a probabldade do evento { = x e Y = y} Note que a dstrbução conjunta é uma dstrbução de probabldades, pos: P( = x ; Y = y) 0 para qualquer x e qualquer y e P( = x, Y = y) = 1 As varáves aleatóras e Y são ndependentes se para todo para de valores (x,y j ) de e y tem-se: P( = x, Y = y j ) = P( = x )P(Y = y j ) Dstrbuções Margnas: São obtdas faclmente da tabela de dstrbução conjunta de probabldades. Propredades das varáves aleatóras bdmensonas: Se e Y são duas varáves aleatóras então E(+Y) = E() + E(Y) Generalzando: E( n ) = E( 1 ) + E( ) E( n ) Se e Y são duas varáves aleatóras ndependentes então E(Y) = E()E(Y) Generalzando: Se 1,,..., n são varáves aleatóras ndependentes então: E( 1... n ) = E( 1 )E( )...E( n ) Se e Y são duas varáves aleatóras ndependentes então V( + Y) = V() + V(Y) Generalzando: Se 1,,..., n são varáves aleatóras ndependentes então: V( n ) = V( 1 ) + V( ) V( n ) x y Introdução à Teora das Probabldades Defnções adconas Profª Raquel Cymrot

3 Se e Y são duas varáves aleatóras ndependentes então V( Y) = V() + V(Y) Sejam e Y são duas varáves aleatóras. A covarânca de e Y é defnda por: COV(,Y) = E(Y) E()E(Y) Quando COV(,Y) = 0 dzemos que e Y são não correlaconadas, sto é, não exste uma relação lnear entre e Y. Se e Y são duas varáves aleatóras ndependentes então COV(,Y) = 0 (a recíproca não é verdadera). Se e Y são duas varáves aleatóras quasquer, então: V( +Y) = V() + V(Y) + COV(,Y) V(a + by) = a V() + b V(Y) + abcov(,y) Coefcente de Correlação: É uma medda da relação lnear entre e Y que não depende das undades destas varáves. O grau de assocação lnear entre e Y vara à medda que ρ x,y vara entre 1 e1. Quanto mas próxmo ρ x,y estver de zero, menor será o grau de assocação lnear entre e Y. Quando ρ x,y = 1 exste uma relação lnear perfeta entre e Y, sto é, Y = a + b. O coefcente de correlação lnear de,y é defndo por: E( Y) E( ) E( Y ) COV (, Y ) ρ, Y = = 1 ρ, Y 1 σ σ σ σ Y Y DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Dstrbução Bnomal: Uma varável aleatóra tem dstrbução Bnomal se: - Há n observações. - Cada observação vem de uma população nfnta com amostragem com ou sem reposção ou de uma população fnta com amostragem com reposção. - Cada observação tem dos possíves resultados (sucesso ou fracasso), onde sucesso é o resultado de nteresse. - As probabldades p de sucesso e (1 p) de fracasso permanecem constantes em todas as observações. - O resultado de uma observação é ndependente do resultado das outras observações. é o número total de sucessos nas n observações e tem dstrbução Bnomal. Notação: ~ B(n,p) Dstrbução Hpergeométrca: A dstrbução hpergeométrca também dz respeto ao número total de sucessos numa amostra com n observações, porém, os elementos da amostra são retrados sem reposção de uma população fnta. A probabldade p de sucesso não é mas constante e é afetada pelos resultados das observações anterores. Consdere um conjunto de N objetos, dos quas k são do tpo I e (N k) são do tpo II. É feto um sorteo de n objetos ( n < N), ao acaso e sem reposção. Seja o número total de objetos do tpo I seleconados. terá uma dstrbução hpergeométrca. Introdução à Teora das Probabldades Defnções adconas Profª Raquel Cymrot 3

4 Dstrbução de Posson: Exste um processo de Posson se pudermos observar eventos dscretos numa área de oportundade (contnuum) de modo que ao encurtarmos tal área sufcentemente: -A probabldade de se observar exatamente um sucesso no ntervalo é estável. -A probabldade de se observar mas de um sucesso no ntervalo é zero. -A ocorrênca de um sucesso em qualquer ntervalo é estatstcamente ndependente da ocorrênca em qualquer outro ntervalo. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Varável Aleatóra Contínua: É uma varável aleatóra, tal que R x, o contra domíno de, seja um ntervalo ou uma coleção de ntervalos. Função Contínua de Probabldade ou Função de Densdade de Probabldade: f(x) é uma função contínua de probabldade ou função de densdade de probabldade se satsfzer duas condções: a)f(x) 0 para todo x (, ) b)a área defnda por f(x) é gual a 1, sto é: f ( x) dx = 1 Função de Dstrbução Acumulada da varável aleatóra contínua : É defnda como: F(x) = P( x) = f ( x) dx x Esperança de uma varável aleatóra contínua : É defnda como E() = xf ( x) dx DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Dstrbução Unforme: Uma varável aleatóra tem dstrbução unforme contínua no ntervalo [a,b], a < b, se sua função de densdade de probabldade for dada por: 1 a x b b a f ( x) = 0 caso contráro Notação: ~U[a,b] Dstrbução Exponencal: Uma varável aleatóra contínua, assumndo valores não negatvos, segue o modelo exponencal com parâmetro λ > 0 se é gual à dstânca entre contagens sucessvas de um processo de Posson, com méda λ >0. A função densdade de probabldade de é f(x) =λe λx para x 0. Notação: ~EP(λ) Introdução à Teora das Probabldades Defnções adconas Profª Raquel Cymrot 4

5 Esta dstrbução é muto utlzada na teora de flas, para medr o tempo decorrdo entre duas chegadas. λ é o tempo médo de chegadas por undade de tempo. A característca de permtr a translação da orgem no cálculo de probabldades é conhecda como falta de memóra. A dstrbução exponencal é a únca dstrbução contínua com essa característca. Dstrbução Normal: Dzemos que uma varável aleatóra contínua tem dstrbução Normal com parâmetros µ e σ, se sua função densdade for dada por: 1 ( x µ ) σ f ( x) = e para < x < π σ Notação: ~ N(µ, σ ) µ é a méda da dstrbução e σ é o desvo padrão da dstrbução e é gual a dstânca do ponto de nflexão da curva até a méda µ. Teorema do Lmte Central: Se tem qualquer dstrbução com méda µ e varânca σ, então para n grande (n 30) tem-se: σ ~ N µ ; n Se ~ N(µ ; σ σ ), então para qualquer n tem-se: ~ N µ ; n Se 1 ~ N (µ 1 ; σ 1 ) e ~ N (µ ; σ ) sendo 1 e varáves aleatóras ndependentes e se Y = a + b b então: Y ~ N(a + b 1 µ 1 + b µ ; b 1 σ 1 + b σ ) Se 1,,..., n são varáves aleatóras ndependentes com ~ N(µ ; σ ) e S = n, então: S ~ N (nµ ; nσ ) CONFIABILIDADE Bblografa: Probabldade Paul L. Meyer Edtora LTC ª edção Confabldade de um componente (ou sstema) sob esforço t, R(t), é defnda como R(t) = P(T > t) onde T é a duração da vda do componente. R é denomnada função de confabldade. Teorema 1: Se T, a duração até falhar, for uma varável aleatóra contínua, com fdp f e se F(0) = 0, onde F é a fd de T, então f poderá ser expressa em termos da taxa de falhas Z, da segunte manera: ( t) = Z( t) e t f 0 Z ( s) ds Isto é, a taxa de falhas Z determna unvocamente a fdp f. Teorema : Se E(T) for fnta então: 0 E ( T ) = R( t) dt Introdução à Teora das Probabldades Defnções adconas Profª Raquel Cymrot 5

6 Teorema 3: Seja T, a duração até falhar, uma varável aleatóra contínua, que tome todos os valores não negatvos. Então T terá dstrbução exponencal se e somente se, tver uma taxa de falhas constante. A le de falha de Webull: Suponha que a taxa de falhas Z, assocada a T, a duração da vda de uma peça, não seja mas constante e tenha a segunte forma: Z ( t) = ( αβ ) t β 1, onde α e β são constantes postvas. β β 1 α t Temos f ( t) = αβ t e, t > 0 e α e β >0. A varável aleatóra que tem esta fdp tem dstrbução de Webull. Se β = 1 então a dstrbução de Webull é a dstrbução exponencal. A dstrbução de Webull é adequada toda vez que o sstema for composto de város componentes e a falha seja essencalmente devda à mas grave mperfeção ou rregulardade dentre um grande número de mperfeções do sstema. Teorema 4: Se n componentes, que funconem ndependentemente forem montados em sére, e se o -ésmo componente tver confabldade R(t), então a confabldade do sstema completo R(t) será dada por: R(t) =R 1 (t) x R (t) x... x R n (t) Teorema 5: Se dos componentes, que funconem ndependentemente e tenham les de falhas exponencas, com parâmetros α 1 e α forem montados em sére, a le de falhas do sstema resultante também será exponencal, com parâmetro gual a α 1 + α. Teorema 6: Se n componentes, que funconem ndependentemente, estverem operando em paralelo, e se o -ésmo componente tver confabldade R(t), então a confabldade do sstema completo R(t) será dada por: R(t) = 1 [1 R 1 (t)] [1 R (t)]... [1 R n (t)] Se todos os componentes tverem gual confabldade com R(t) = r(t) então: R(t) = 1 [1 r(t)] n Introdução à Teora das Probabldades Defnções adconas Profª Raquel Cymrot 6