FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4 Nome Nº Turma: Data: / / Professor 10.º Ano Classfcação Apresente o seu racocíno de forma clara, ndcando todos os cálculos que tver de efetuar e todas as justfcações necessáras. Quando, para um resultado, não é pedda uma aproxmação, pretende-se sempre o valor exato. (10) 1. De um conjunto de cnco números nteros postvos sabe-se que a moda, a medana e a méda são números ímpares consecutvos, tas que, Mo x x. Determne cnco números nessas condções, explcando todos os racocínos efetuados. Para haver moda é necessáro que haja, pelo menos, dos números guas. No entanto, se houver três números guas a moda é necessaramente gual à medana, o que não pode acontecer. Assm, só podemos ter dos números guas que representarão a moda. Como as três meddas são ímpares consecutvos, se x x então Mo x e x x, com x ímpar Sejam x, x, x, x a, x b os cnco números, com a b, pos só pode haver dos números guas. De x x resulta x x x x a x b x 5x a b 4 5x 10 a 14 b 5 Assm, para b 1 (por exemplo) temos a 13. Portanto, possíves soluções são da forma: x, x, x, x 13, x 1 Ora, para x 3 (ímpar) obtemos a solução: 1, 1, 3, 16, 4, sendo Mo 1, x 3 e x 5. Outras soluções: para b 10 temos a 4, gerando soluções da forma: x, x, x, x 4, x 10 Agora, para x 5 obtemos a solução: 3, 3, 5, 9, 15, sendo Mo 3, x 5 e x 7 Outro processo (mas fácl): ver a últma págna Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 1/8 Versão 4

2 . A partr de um estudo sobre a altura dos 160 alunos que frequentam o 10.º ano de uma escola secundára elaborou-se o hstograma das frequêncas relatvas acumuladas, representado ao lado. (5).1. A varável em estudo é qualtatva. quanttatva contínua. quanttatva dscreta. qualtatva contínua. (10).. Indque os valores de f e F, em percentagem, e dga o que representam no contexto deste problema. F 16, 5% sgnfca que 16,5% dos alunos do 10º ano têm altura nferor a 156 centímetros f 16, 5% 3, 75% 1, 5% sgnfca que 1,5% dos alunos do 10.º ano têm altura no ntervalo [148, 156[. (10).3. Indque o valor lógco das afrmações seguntes: F O 1.º quartl está na classe [148, 156[. V 16,5% dos alunos têm altura nferor a 1,56 metros. V 50 alunos têm altura no ntervalo [156, 164[. F V 50% dos alunos têm altura nferor a 160 cm. 84 alunos têm altura superor ou gual a 1,64 metros. (10).4. Construa, sobre o hstograma, o polígono das frequêncas relatvas acumuladas e ndque, justfcando, a classe medana das alturas dos 160 alunos. O polígono das frequêncas acumuladas é a lnha construída no dagrama do lado. A classe medana é [164, 17[, pos é a que contém F = 50% (10).5. Recorrendo ao polígono das frequêncas acumuladas, determne uma aproxmação geométrca para a medana das alturas dos alunos. Explque como procedeu. Partndo de F = 50%, vamos ao encontro do polígono das frequêncas acumuladas e depos vemos qual é o valor correspondente da varável. Neste caso, uma aproxmação geométrca para a medana é 165 centímetros, tal como sugere o gráfco anteror. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna /8 Versão 4

3 3. No segumento do estudo referdo na questão anteror construu-se também o segunte gráfco de barras. (10) 3.1. Complete a tabela segunte. Número de rmãos Frequênca absoluta smples acumulada Frequênca relatva acumulada x n N F Acrescentando colunas para a méda e n x x x n x x , (0 1,5) 67, , (1 1,5) , ( 1,5) , (3 1,5) (4 1,5) 6, (10) 3.. Calcule a méda do número de rmãos de cada aluno. Méda = x x n = N = = 1,5 Cada aluno tem, em méda, 1,5 rmãos. (10) 3.3. Calcule o desvo-padrão do número de rmãos de cada aluno, apresentando o resultado com duas casas decmas.. n x x Desvo-padrão = = N = 1,11803 O desvo-padrão do número de rmãos de cada aluno é 1,1. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 3/8 Versão 4

4 Turma A Turma B 4. Nas tabelas abaxo encontram-se as classfcações que duas turmas do 10.º ano obtveram em Matemátca no fnal do.º período. Nota N.º de alunos N Nota N.º de alunos N (10) 4.1. Sabe-se que a méda e o desvo-padrão das notas da turma A são, respetvamente: x Turma A 13 Turma A 9, Recorrendo à calculadora, determne a méda e o desvo-padrão das classfcações da turma B, com aproxmação às décmas. x (turma B) = 13,0 (Turma B) =,7 (10) 4.. Atendendo apenas aos valores da méda e do desvo-padrão de ambas as turmas, dz, justfcando adequadamente, qual das turmas obteve melhores resultados. Ambas as turmas têm a mesma méda (13 valores), mas a turma B tem menor desvo padrão. Como o desvo-padrão nos dá a dspersão dos dados relatvamente à méda, essa dspersão é maor na turma A, o que pressupõe que a turma é mas rregular. Assm, como as duas turmas têm a mesma méda, podemos consderar que a turma B obteve melhores resultados. (10) 4.3. No níco do 3.º período veo um aluno transferdo para a turma A. Com a entrada desse aluno o desvo-padrão das notas da turma aumentou lgeramente. Dga, justfcando adequadamente, entre que valores poderá varar a nota desse aluno. Como o desvo padrão aumentou então a dferença da nota desse aluno para a classfcação méda da turma é superor ao desvo-padrão regstado sem esse aluno. Temos x e x Portanto, a classfcação desse aluno é nferor a 9 ou superor a 15 valores, pos caso contráro, o desvo-padrão dmnura. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 4/8 Versão 4

5 (10) 4.4. A partr da tabela ncal, determne, analtcamente, os quarts (Q 1, Q e Q 3 ) da dstrbução das classfcações da turma B. Temos N = 6, número par de dados As frequêncas absolutas acumuladas estão ao lado da tabela x13 x14 Q = medana = x = = 13 Q 1 = x13 1 x 7 = 11 Nota: fcam 13 dados de cada lado da medana Q 3 = x 13 7 x = 15 0 (10) 4.5. A segur encontra-se o dagrama de extremos e quarts das classfcações da turma A. Construa, paralelo ao dagrama da turma A, o dagrama de extremos e quarts da turma B. Esconder dagrama B (10) 4.6. Baseando-se apenas nos dagramas da questão anteror, e sabendo que a turma A tem 7 alunos e a turma B tem 6 alunos (suponha que não conheca as notas de cada turma), ndque o valor lógco das afrmações seguntes: F A turma A tem maor dspersão no ntervalo nterquarts do que a turma B. F A maor percentagem de classfcações da turma A regstou-se acma de Q 3. F V Na turma B houve 8 notas nferores ou guas a 11 valores. Na turma A houve pelo menos uma nota gual a 13 valores. F Na turma B houve maor percentagem de notas entre Q e Q 3 do que na turma A. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 5/8 Versão 4

6 5. Os dagramas de dspersão apresentados abaxo relaconam algumas varáves estatístcas de um grupo de 10 alunos de uma turma escolhdos ao acaso. Dstrbução A Dstrbução B Dstrbução C Horas Sono / Estudo Colesterol HDL / LDL Notas Matemátca / F.Químca r -0,66 r -0,91 r 0,94 Correlação negatva Correlação negatva Correlação postva forte (10) 5.1. Entre os números seguntes encontram-se os coefcentes de correlação das três dstrbuções. 0,54-0,66 0,94 0-0,91-0,13 Complete a legenda de cada dagrama com o respetvo coefcente de correção e classfque o tpo de correlação exstente. (10) 5.. Calcule, analtcamente, o centro da nuvem de pontos da dstrbução A. Centro da nuvem = x, y x 87, y 79, Portanto, x, y 8, 7; 7, 9 (5) 5.3. Sabe-se que reta de regressão da dstrbução B tem equação y, 17x 3, 79. Para 134 mg/dl de sangue do colesterol LDL é prevsível um valor de HDL de: 66,67 mg/dl 57,99 mg/dl 43,68 mg/dl 45,53 mg/dl (5) 5.4. Se adconarmos 1 undade a todos os valores da varável x na dstrbução C obtemos uma nova dstrbução cujo centro da nuvem de pontos sobe 1 undade. desce 1 undade. mantem as mesmas coordenadas. desloca-se 1 undade para a dreta. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 6/8 Versão 4

7 Nº de alunos N.º de alunos N.º de alunos Nº de alunos 6. Os gráfcos seguntes mostram como se dstrbuíram as notas de Matemátca em quatro turmas do 10.º ano de uma escola secundára, todas com o mesmo número de alunos. Turma A Turma B Turma C Turma D Notas Notas Notas Notas (5) 6.1. Relatvamente à ampltude, podemos afrmar que: Todas as turmas têm ampltude 4. A turma A tem ampltude. Só a turma B tem ampltude 4. As turmas C e D têm ampltude 5. (5) 6.. Relatvamente à moda, podemos afrmar que: Na turma B não há moda. Todas as turmas têm moda 13. As turmas A e C têm moda 13. A turma D tem 5 modas. (5) 6.3. Relatvamente à méda, podemos afrmar que: A turma A tem a maor méda. A turma B tem a menor méda. Só as turmas A e C têm méda 13. Todas as turmas têm méda 13. (5) 6.4. Relatvamente à turma C, se todas as notas descerem 1 valor, podemos conclur que: A méda desce 1 valor. O desvo-padrão desce 1 valor. Só a medana desce 1 valor. A moda mantem-se gual. (5) 6.5. Relatvamente ao desvo-padrão, podemos afrmar que: Todas as turmas têm gual desvo-padrão O desvo-padrão é menor na turma A. O desvo-padrão é menor na turma B. As turmas A e C têm gual desvo-padrão. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 7/8 Versão 4

8 ESTA PÁGINA PODE SER UTILIZADA PARA CORRIGIR OU RESOLVER ALGUMA QUESTÃO EM QUE O ESPAÇO APRESENTADO NÃO TENHA SIDO SUFICIENTE. CASO A UTILIZE, IDENTIFIQUE CLARAMENTE AS QUESTÕES A QUE ESTÁ A RESPONDER. Outro processo de resolução da questão 1 Para haver moda é necessáro que haja, pelo menos, dos números guas. No entanto, se houver três números guas a moda é necessaramente gual à medana, o que não pode acontecer. Assm, só podemos ter dos números guas que representarão à moda. Como as três meddas são nteros ímpares consecutvos, moda e a medana. Por exemplo: se Mo 5 temos x 7 e x 9 Mo x x, podemos começar por fxar a Assm, os números peddos são 5, 5, 7, a, b, com a b e nteros e superores a 7, para haver apenas uma moda. Como x 9 resulta a b 9 17 a b 45 a b 8 5 Agora só temos de escolher dos números nteros maores do que 7 cuja soma dê 8. Mesmo assm, temos de ter cudado com as váras possbldades, como mostra a tabela abaxo a A partr daqu as soluções são smétrcas b Note-se que a últma solução não serve (porquê). Portanto, uma solução é: 5, 5, 7, 8, 0, sendo Mo 5, x 7 e x 9 Qualquer outra solução obtda da tabela tem as mesmas méda, moda e medana. BOM TRABALHO! Prof. José Tnoco Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 8/8 Versão 4