APOSTILA DE ESTATÍSTICA BÁSICA Parte 1

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1 APOSTILA DE ESTATÍSTICA BÁSICA Parte 1 Prof. Msc. Jorge Wlson Perera da Slva

2 SUMÁRIO Capítulo 1. Concetos Báscos Introdução População e Amostra Processos Estatístcos de Abordagem A Natureza dos Dados Estatístcos Estatístca Descrtva 6 Capítulo 2. Meddas e Erros Estatístcos Introdução Meddas Precsão e Exatdão Erro Expermental 8 Capítulo 3. Estatístca Descrtva Apresentação dos Dados Estatístcos Dstrbução de Frequêncas Frequêncas Acumuladas Meddas Descrtvas Méda Artmétca Medana Moda Varânca Desvo-Padrão Representação Gráfca dos Dados Estatístcos Hstograma para varável dscreta Hstograma para varável contínua Meddas Separatrzes Cálculo das Meddas Separatrzes para Dados Brutos ou Rol Cálculo das Meddas Separatrzes para Varável Dscreta Cálculo das Meddas Separatrzes para Varável Contínua Meddas de Assmetra Curtose 26 Estatístca Básca 2

3 CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 1.1. INTRODUÇÃO O termo Estatístca provém da palavra Estado e fo utlzado orgnalmente para denomnar levantamento de dados, cuja fnaldade era orentar o Estado em suas decsões. A prmtva utlzação da Estatístca envolva complações de dados e gráfcos que descrevam város aspectos de um estado ou país. Em 1662, John Graunt publcou nformes estatístcos sobre nascmentos e mortes. O trabalho de Graunt fo secundado por estudos de mortaldade, tamanho de populações, rendas e taxas de desemprego. As famílas e as empresas se apoam largamente em dados estatístcos. Assm é que as taxas de desemprego, de nflação, os índces do consumdor, as taxas de nataldade e mortaldade são calculados cudadosamente a ntervalos regulares, e seus resultados são utlzados por empresáros para tomarem decsões que afetam a futura contratação de empregados, níves de produção e expansão para futuros mercados. Atualmente, a Estatístca é defnda da segunte forma: A Estatístca é uma coleção de métodos e processos quanttatvos que serve para estudar e medr os fenômenos coletvos. Ou anda, é um conjunto de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los e nterpretá-los e deles extrar conclusões. A Estatístca teve acelerado desenvolvmento a partr do século XVII, com os resultados de Bernoull, Fermat, Pascal, Laplace, Gauss, Galton, Person, Fsher, Posson e outros que estabeleceram suas característcas atuas. Ela não alcançou anda um estado defntvo. Contnua a progredr na razão dreta do desejo de nvestgação dos fenômenos coletvos. A Estatístca é consderada por alguns autores como cênca no sentdo do estudo de uma população e método quando utlzada como nstrumento por outra cênca. A Estatístca mantém com a Matemátca uma relação de dependênca, solctando-lhe auxílo, sem o qual não podera desenvolver-se. Com as outras cêncas mantém uma relação de complemento, quando utlzada como nstrumento de pesqusa. Em especal esta últma é a relação que a Estatístca mantém com a Engenhara, Admnstração, Economa e Cêncas Contábes, servndo como nstrumento auxlar na tomada de decsões POPULAÇÃO E AMOSTRA A Estatístca tem como objetvo o estudo dos fenômenos coletvos, ou seja, ela abrange muto mas do que smples traçado de gráfcos e cálculo de médas, é mportante aprender como trar conclusões geras que vão além dos dados orgnas. Em Estatístca utlza-se extensamente os termos população e amostra, que estão defndos a segur: População: conjunto de todos os tens (pessoas, cosas, objetos) que nteressam ao estudo de um fenômeno coletvo segundo alguma característca. Amostra: subconjunto de elementos extraídos de uma população. Uma característca numérca estabelecda para toda uma população é denomnada parâmetro, enquanto que, uma característca numérca estabelecda para uma amostra é denomnada estmador. Por exemplo, no fenômeno coletvo eleção para governador no estado de São Paulo, a população é o conjunto de todos os eletores habltados no Estado de São Paulo. Um parâmetro é a proporção de votos do canddato A. Uma amostra é um grupo de 1000 eletores seleconados em todo o estado. Um estmador é a proporção de votos do Estatístca Básca 3

4 canddato A obtda na amostra. Em aplcações efetvas, o número de elementos componentes de uma amostra é bastante reduzdo em relação ao número de elementos componentes da população PROCESSOS ESTATÍSTICOS DE ABORDAGEM Quando solctados a estudar um fenômeno coletvo pode-se optar entre os seguntes processos estatístcos: Censo: é uma avalação dreta de um parâmetro, utlzando-se todos os componentes da população. Estmação: é uma avalação ndreta de um parâmetro, com base em um estmador através do cálculo de probabldades. Propredades Prncpas do Censo Admte erro processual zero e tem confabldade de 100% É caro É lento É quase sempre desatualzado Nem sempre é vável Propredades Prncpas da Estmação Admte erro processual postvo e tem confabldade menor que 100% É barata É rápda É atualzada É sempre vável Admtndo-se que se possa retrar do censo todo tpo de erro de natureza humana (erro de cálculo, de avalação, de anotação, etc.) restará apenas outro tpo de erro devdo ao procedmento empregado. Este erro é chamado erro processual. No caso de um Censo, o erro processual é zero, pos avala-se um por um, todos os elementos componentes da população. Como o erro processual na avalação é zero, a confabldade no parâmetro obtdo é 100%. A precsão no Censo é total. Na estmação, como avala-se apenas parte e não todos os elementos que compõem a população, admtse um erro processual postvo na avalação do valor numérco e por consequênca uma confabldade menor que 100%, sendo portanto, menos precsa que o Censo. Como o número de elementos que compõem uma amostra é consderavelmente menor que o número de elementos que compõem uma população, a estmação é sempre bem mas barata que o Censo, é concluída mas rapdamente que o Censo e, portanto, mas atualzada. Se a manera de avalar um elemento é um teste destrutvo, o Censo se torna um processo nvável, pos destrura a população objeto de estudo. Na maora das vezes em que o Censo é consderado nvável é por razões econômcas e de tempo. Na socedade moderna, a maora dos problemas exgem decsões de curto prazo. Por sso, as nformações estatístcas útes à resolução destes problemas devem ser obtdas rapdamente. Pela rapdez e facldade da obtenção destas nformações, a estmação tem sdo cada vez mas utlzada como procedmento estatístco. Estatístca Básca 4

5 1.4. A NATUREZA DOS DADOS ESTATÍSTICOS Normalmente, no trabalho estatístco o pesqusador se vê obrgado a ldar com grande quantdade de valores numércos resultantes de um Censo ou de uma estmação. Estes valores são chamados dados estatístcos. No sentdo de dscplna, a Estatístca ensna métodos raconas para a obtenção de nformações a respeto de um fenômeno coletvo, além de obter conclusões váldas para o fenômeno e também permtr tomada de decsões, através de dados estatístcos observados. Desta forma a Estatístca pode ser dvdda em duas áreas: Estatístca Descrtva: é a parte da Estatístca que tem por objetvo descrever os dados observados, sem trar quasquer conclusões sobre um grupo maor. Estatístca Indutva: é a parte da Estatístca que tem por objetvo obter e generalzar conclusões para a população a partr de uma amostra, através do cálculo de probabldade. O cálculo de probabldade é que vablza a nferênca estatístca. Alguns conjuntos de dados consstem em números, enquanto que outros são não numércos, aplcandose as expressões dados quanttatvos e dados qualtatvos para dstngur esses dos tpos. Dados Quanttatvos: consstem em números que representam contagens ou meddas. Dados Qualtatvos: (ou dados categórcos, ou atrbutos) podem ser separados em dferentes categoras que se dstnguem por alguma característca não numérca. Pode-se anda descrever os dados quanttatvos dstngundo entre os tpos dscreto e contínuo. Dados Dscretos: resultam de um conjunto fnto de valores possíves, ou de um conjunto enumerável desses valores. Dados Contínuos: resultam de número fnto de valores possíves que podem ser assocados a pontos em uma escala contínua de tal manera que não haja lacunas ou nterrupções. Quando os dados representam contagens, são dscretos; quando representam mensurações, são contínuos. O número de cranças em cada uma de 1000 famílas é um exemplo de dados dscretos, enquanto o peso de 100 estudantes unverstáros é um exemplo de dados contínuos. Mutas vezes é convenente estender o conceto de varável a entdades não numércas. Por exemplo, a cor C de um arco-írs é uma varável que pode tomar os valores vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, anl e voleta. Geralmente, é possível substtur essas varáves por quantdades numércas, como atrbur 1 ao vermelho, 2 ao laranja, etc.. Quando se faz n observações dretas em um fenômeno coletvo ou observa-se as respostas a uma pergunta em uma coleção de n questonáros, obtém-se uma sequênca de n valores numércos denomnada dados brutos. Representando por X a característca observada no fenômeno coletvo ou na pergunta dos questonáros, então x 1 representa o valor da característca obtda na prmera observação do fenômeno coletvo ou o valor da característca observado no prmero questonáro; x 2 representa o valor da característca obtda na segunda observação do fenômeno coletvo ou o valor da característca observado no segundo questonáro e assm sucessvamente. Desta forma os dados brutos podem representados por X : x1, x2, x3,... xn. Esta sequênca assm obtda apresenta-se completamente desordenada, de modo geral pode-se afrmar que os dados brutos são uma sequênca de valores numércos não organzados, obtdos dretamente da observação de um fenômeno coletvo. Quando ordena-se na forma crescente ou decrescente, os dados brutos passam a se chamar rol. Portanto rol é uma sequênca ordenada de dados brutos. Por exemplo, no fnal do ano letvo, um aluno obteve as seguntes notas bmestras em Matemátca: 4;8;7.5;6.5. Neste exemplo X representa nota bmestral e pode ser apresentada na segunte forma: Dados Brutos: X : 4;8;7.5;6. 5 Rol: X : 4;6.5;7.5; 8 Estatístca Básca 5

6 1.5. ESTATÍSTICA DESCRITIVA A Estatístca Descrtva, na sua função de descrção dos dados, tem as seguntes atrbuções: Obtenção ou coleta dos dados: é normalmente feta através de um questonáro ou de observação dreta de uma amostra. Organzação dos dados: consste na ordenação e crítca quanto à correção dos valores observados, falhas humanas, omssões, abandono de dados duvdosos, etc.. Redução dos dados: o entendmento e compreensão de grande quantdade de dados através de smples letura de seus valores ndvduas é uma tarefa extremamente árdua e dfícl mesmo para o mas expermentado pesqusador. A Estatístca descrtva apresenta duas formas báscas para a redução do número de dados com os quas deve-se trabalhar, chamadas varáves dscretas e contínuas. Representação dos dados: os dados estatístcos podem ser mas faclmente compreenddos quando apresentados através de uma representação gráfca, o que permte uma vsualzação nstantânea de todos os dados. Os gráfcos quando bem representatvos, tornam-se mportantes nstrumentos de trabalho. É anda atrbuto da Estatístca Descrtva a obtenção de algumas nformações como médas, proporções, dspersões, tendêncas, índces, taxas, coefcentes, que facltam a descrção dos fenômenos observados. Completando o processo estatístco, no caso de uma Estmação, a Estatístca Indutva estabelece parâmetros a partr de estmadores usando o cálculo de probabldade. Esta últma etapa será desenvolvda posterormente. 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1) O que é estatístca? 2) O que é população? 3) O que é amostra? 4) O que é parâmetro? 5) O que é estmador? 6) Qual a dferença entre censo e estmação? 7) O que é Estatístca Descrtva e quas as suas tarefas? 8) O que é Estatístca Indutva? 9) Qual a dferença entre Dados Brutos e Rol? Estatístca Básca 6

7 2.1 - INTRODUÇÃO CAPÍTULO 2. MEDIDAS E ERROS ESTATÍSTICOS Uma medda expermental é satsfatoramente representada quando, a esta medda é atrbuído um erro, ao qual a medda está sujeta. Quando efetuamos uma medda ou váras meddas (nas mesmas condções, de uma mesma grandeza), o valor dessa grandeza deve ser expresso pela relação: x x x undade Para os casos onde é realzada uma únca medda x é a própra medda e para váras meddas é a méda dos valores meddos. O é chamado de desvo para váras meddas, para uma únca medda é chamado de ncerteza, e tem o valor da metade da menor medda do nstrumento. Por maor cudado que se tenha ao efetuar uma medção, mesmo que se utlzem equpamentos topo de gama em condções ambentas bem controladas, os resultados que se obtém vrão afetados por dversos erros. Nada nem nnguém são perfetos. Como tal os resultados das medções, dos ensaos e das análses também não podem ser perfetos. Isto não é novdade para nnguém. Uma das prncpas tarefas de um expermentador é dentfcar as fontes de erro que podem afetar o processo de medção, e quantfcar essas fontes de erro. Essa falta de perfeção é desgnada, atualmente, por ncerteza. A palavra erro, que durante largos anos fo utlzada com esse mesmo sgnfcado, está hoje em da reservada para desgnar o afastamento entre o valor obtdo numa medção e o correspondente valor verdadero, o qual é, em geral, desconhecdo. 2.2 MEDIDAS PRECISÃO E EXATIDÃO As meddas podem ser classfcadas em dos tpos, dretas e ndretas suas defnções são especfcadas a segur. Meddas dretas São aquelas obtdas dretamente do nstrumento de medda. Como exemplos podem ser ctados: comprmento e tempo, sendo realzadas dretamente de trenas e cronômetros, respectvamente. Meddas ndretas São aquelas obtdas a partr das meddas dretas, com o auxílo de equações. Por exemplo: a área de uma superfíce, volume de um corpo ou a vazão de um ro ou canal. Precsão é quando, pressupõe-se que, se a mesma for repetda váras vezes a varação da mesma em relação ao valor médo meddo é baxa. A exatdão (ou acuráca) está assocada a ausênca de erros sstemátcos, mantendo as meddas em torno do valor real. Portanto, quando o conjunto de meddas realzadas se afasta muto da méda, a medda é pouco precsa e o conjunto de valores meddos tem alta dspersão (Fgura 2.1 (a, b)). Quando as mesmas estão mas concentradas em torno da méda dz-se que a precsão da medda é alta (Fgura 2.1 (c, d)), e os valores meddos tem uma dstrbução de baxa dspersão. a) Baxa precsão e baxa exatdão b) Baxa precsão e alta exatdão c) Alta precsão e baxa exatdão d) Alta precsão e alta exatdão Fgura 2.1: Representação da precsão e exatdão em meddas expermentas Estatístca Básca 7

8 2.3 - ERRO EXPERIMENTAL Concetualmente, o erro expermental é a dferença entre o real valor de uma grandeza físca (peso, área, velocdade...) e o respectvo valor dessa grandeza obtdo através de medções expermentas. Mesmo que o expermento seja realzado com o máxmo de cudado, há sempre fontes de erro que podem afetá-la. Os erros expermentas podem ser de dos tpos: erros sstemátcos e erros aleatóros. Erros grosseros Ocorrem devdo à falta de atenção, pouco treno ou falta de períca do operador. Por exemplo, uma troca de algarsmos ao regstar um valor ldo. São geralmente fáces de detectar e elmnar. Erros Sstemátcos - São os que afetam os resultados sempre no mesmo sentdo. Exemplo: ncorreto posconamento do zero da escala, afetando todas as leturas fetas com esse nstrumento. Devem ser compensados ou corrgdos convenentemente. São causados por fontes dentfcáves, e -em prncípo- podem ser elmnados ou compensados. Estes erros fazem com que as meddas fetas estejam consstentemente acma ou abaxo do valor real, prejudcando a exatdão da medda. Decorre de uma mperfeção no equpamento de medção ou no procedmento de medção, pode ser devdo a um equpamento não calbrado. Erros aleatóros - Estes erros decorrem de fatores mprevsíves. São flutuações, para cma ou para baxo, que fazem com que aproxmadamente a metade das meddas realzadas esteja desvada para mas, e a outra metade esteja desvada para menos, afetando a precsão da medda. Decorre da lmtação do equpamento ou do procedmento de medção, que mpede que meddas exatas sejam tomadas. Nem sempre é possível dentfcar as fontes de erros aleatóros. Assocados à natural varabldade dos processos físcos, levando a flutuações nos valores meddos. São mprevsíves e devem ser abordados com métodos estatístcos. Estatístca Básca 8

9 É anda possível falar-se em erros absolutos e em erros relatvos, de acordo com a forma como são calculados. Antes de os defnrmos, convém ntroduzr o conceto de valor verdadero de uma grandeza. Dado que, como vmos já, todas as medções estão afetadas por erros, por mas rgorosos que procuremos ser, nunca poderemos esperar que os resultados obtdos sejam exatos. Para nos podermos referr ao grau de afastamento entre tas resultados e os resultados deas, defnmos valor verdadero como sendo o valor que obteríamos numa medção deal, feta em condções perfetas com nstrumentos perfetos e por operadores perfetos. Esse valor, meramente utópco, permte-nos ntroduzr, entre outros, os concetos de erro absoluto e erro relatvo. Os erros absolutos correspondem à dferença algébrca (com snal + ou - ) entre o valor obtdo e o valor verdadero: Dzemos que uma medção tem um erro postvo (erro com snal +, ou medção adantada ) se o seu valor for superor ao valor que obteríamos na tal medção deal. Pelo contráro, se obtvermos um valor nferor ao deal, dremos que o erro é negatvo (erro com snal -, ou medção atrasada ). Por vezes é muto útl apresentar valores relatvos, quando se exprmem erros de medções. A forma mas usual de apresentação é ndcar os erros relatvos em percentagem (%): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1- Faça a letura dos nstrumentos de medda abaxo, escrevendo as meddas com seus respectvos erros nstrumentas e undades. 2- Uma esfera é lançada horzontalmente de uma mesa e aterrssa no chão a uma dstânca d da mesma. A posção de queda é regstrada em um papel sobre o chão e a dstânca d é medda com uma régua como lustrado na fgura. O expermento é realzado 3 vezes partndo sempre das mesmas condções ncas. A régua é graduada em mlímetros. Estatístca Básca 9

10 a) Qual a dstânca d percorrda em cada lançamento? Indque o erro de letura em sua resposta. Consdere o centro da mancha como a posção de queda da esfera. b) Se você tvesse que escrever um únco valor para representar a melhor estmatva para a dstânca d, o que escrevera? Qual sera a ncerteza em d? Justfque sua resposta. 3 - Estabeleça qual o número de algarsmos sgnfcatvos para cada um dos seguntes resultados expermentas. a) 0, b) 2500 c) 0, d) 0,2045 e) f) 0,007 g) h) 0, Faça o arredondamento dos seguntes valores expermentas para que contenham quatro, três e dos algarsmos sgnfcatvos. a) 12,9994 b) 3,00828 c) d) e) 0, Uma analoga nteressante para se compreender a dferença entre erros estatístcos e erros sstemátcos é através do resultado de um expermento onde foram atrados projétes em um alvo. A máquna é ajustada para atngr o centro verdadero ou absoluto da grandeza que pretende-se medr. A magem abaxo mostra o alvo e o seu centro e onde os projétes atngram quando quatro nstrumentos dstntos foram usados com o mesmo objetvo: atngr o alvo no centro. Use esta magem para dscutr os concetos de erro absoluto, erro aleatóro, erro sstemátco, exatdão e precsão. Estatístca Básca 10

11 CAPÍTULO 3. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3.1. APRESENTAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS Ao se analsar um conjunto de dados é necessáro determnar em prmero lugar se eles tratam de uma amostra ou de uma população. Essa determnação afetará não somente os métodos utlzados, mas também as conclusões a que se chegam. Utlzam-se métodos de Estatístca Descrtva para resumr ou descrever as característcas mportantes de um conjunto conhecdo de dados populaconas. Recorre-se à Estatístca Inferêncal quando utlzam-se dados amostras para fazer nferêncas, ou generalzações, sobre uma população. Quando um professor calcula a méda fnal de um exame para uma determnada turma, o resultado é um exemplo de Estatístca Descrtva se a toda a turma é consderada a população. Mas, se o resultado for consderado uma estmatva da méda do exame fnal de todas as turmas, está-se fazendo uma nferênca que ultrapassa o âmbto dos dados coletados. Com os recursos da Estatístca Descrtva, pode-se entender melhor um conjunto de dados através de suas característcas. As três característcas seguntes são extremamente mportantes e proporconam uma vsão bastante satsfatóra: A natureza ou forma da dstrbução de dados, como forma de sno, unforme ou assmétrca; Um valor representatvo, como uma méda; Uma medda de dspersão ou varação. Quando lda-se com poucos valores numércos, o trabalho estatístco fca sensvelmente reduzdo. No entanto, normalmente, tem-se que trabalhar com grandes quantdades de dados. Um dos objetvos da Estatístca Descrtva neste caso, é obter uma sgnfcatva redução na quantdade de dados com os quas deve-se operar dretamente A Estatístca Descrtva trabalha tanto quanto possível, com modelos, que nada mas são que ferramentas teórcas de organzação dos dados, às quas procuram adaptar os dados reas. Esses modelos são chamados de Dstrbuções Teórcas de Probabldade. Antes que esses modelos sejam apresentados é nteressante que se aprenda algumas técncas de organzação dos dados, sem a preocupação de adaptá-los a nenhum modelo DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS Suponha que se observam as notas de 30 alunos em uma prova e obtêm-se os seguntes valores: X: 3,5; 5; 4,5; 4; 4,5; 5; 3,5; 4; 4; 5; 2; 3; 4,5; 3,5; 4; 4,5; 3; 4; 3; 4; 3,5; 3,5; 3,5; 4; 4; 3; 4; 4; 5; 3. (1) Se entender como frequênca smples de um elemento o número de vezes que este elemento fgura no conjunto de dados, pode-se reduzr sgnfcatvamente o número de elementos com os quas deve-se trabalhar. Para sto organza-se o conjunto de dados na forma de uma sére estatístca chamada varável dscreta. A dstrbução de frequênca para uma varável dscreta é uma representação tabular de um conjunto de valores em que se coloca na prmera coluna em ordem crescente apenas os valores dstntos da sére e na segunda os valores das frequêncas smples correspondentes. Usando f para representar frequênca smples, a sequênca 1 pode ser representado por: Deve-se optar por uma varável dscreta na representação de uma sére de valores quando o número de elementos dstntos da sére for pequeno. Estatístca Básca 11

12 x Estatístca Básca 12 f , , Dentro de um trabalho de levantamento de nformações, a obtenção de dados em um número muto elevado é fato dos mas corrqueros. O procedmento mas óbvo sera o de dvdr os dados em classes ou faxas, contando-se então o número de casos que se enquadram em cada uma das classes. Suponha, por exemplo, que a observação das notas de 30 alunos em uma prova conduzsse aos seguntes valores: X: 3; 4; 2,5; 4; 4,5; 6; 5; 5,5; 6,5; 7; 7,5; 2; 3,5; 5; 5,5; 8; 8,5; 7,5; 9; 9,5; 5; 5,5; 4,5; 4; 7,5; 6,5; 5; 6; 6,5; 6. (02) Observando estes valores nota-se um grande número de elementos dstntos, o que sgnfca que neste caso a varável dscreta não é aconselhável na redução de dados. Nesta stuação é convenente agrupar os dados por faxas de valores, fcando a sére (02) com a apresentação abaxo. Esta representação é denomnada varável contínua. Quando agrupa-se os dados na dsposção de uma varável contínua, passa-se a trabalhar com os dados sem o conhecmento de seus valores ndvduas. Classe Notas f Deve-se optar por uma varável contínua na representação de uma sére de valores quando o número de elementos dstntos da sére for grande. De uma manera geral, uma Dstrbução de Frequêncas de certa grandeza consste em um conjunto de valores (ou faxa de valores) da grandeza, assocado ao número de ocorrêncas de cada valor (ou de cada faxa de valores). Ao número de ocorrêncas para cada valor ou faxa de valores da grandeza dá-se ao nome de Frequênca Absoluta ou Smples. Se cada frequênca absoluta for dvdda pelo total das frequêncas absolutas, o resultado será a Frequênca Relatva, que pode ser dexada na forma de fração ou colocada na forma de porcentagem. Quando a grandeza de nteresse é numérca a dstrbução de frequêncas é chamada de quanttatva. Não há necessdade, numa dstrbução quanttatva, que a grandeza compareça na forma de classe, ela pode apresentar-se com valores solados, como para as varáves dscretas. Por outro lado, exstem dstrbuções onde a grandeza é apresentada em categoras, neste caso, a dstrbução é dta qualtatva ou categórca. A tabela

13 segunte lustra uma dstrbução de frequêncas categórca. Área de Formação Frequênca Absoluta (n o de formandos) Humanas Exatas Bológcas 509 Outras Se a grandeza de nteresse ver na forma categórca ou com valores solados, a montagem da dstrbução não apresenta maores dfculdades. Basta contar o número de casos. As dfculdades maores acontecem quando dspõem-se de um conjunto numérco de mutos valores que devem ser transformados em classes. Devese determnar quantas classes serão usadas e também a sua ampltude. Como não há uma solução únca para este problema, algumas regras empírcas são as vezes sugerdas, entre elas: As classes têm que conter todos os dados; Cada valor da grandeza só pode pertencer a uma únca classe; Tanto quanto possível, os ntervalos das classes devem ter a mesma ampltude; Tentar fazer com que o número de classes seja maor ou gual a 6 e menor ou gual a 15. Exste anda uma regra mas precsa sobre o número de classes: regra da raz quadrada. Segundo essa regra o número de classes deve ser próxmo à raz quadrada do número de observações coletadas para a grandeza. Portanto, se a sequênca estatístca contém n elementos e se K representar o número de classes a ser utlzado, pelo crtéro da raz, tem-se que: K n A ampltude do ntervalo da classe, h, é determnada da segunte forma: At h K Estatístca Básca 13

14 Exemplo 1) Foram fetas 98 observações dáras sobre o tempo de parada de um equpamento, seja por manutenção, seja por troca de ferramentas. Os resultados obtdos estão fornecdos em mnutos. Elaborar a dstrbução de frequêncas dos tempos de parada do equpamento. Ampltude Total: Número de Classes: Intervalo das Classes: Tempos de Parada x Frequênca Absoluta f Frequênca Relatva (fração) f r Frequênca Relatva (porcentagem) f r Estatístca Básca 14

15 3.3. FREQUÊNCIAS ACUMULADAS Para mutos propóstos prátcos, é mas convenente trabalhar com uma dstrbução de frequêncas acumuladas por classe do que com as frequêncas absolutas ou relatvas de cada classe solada. Exstem dos tpos fundamentas de frequêncas acumuladas: a) Frequêncas acumuladas do tpo ou menos : para o lmte superor de cada classe, somam-se à frequênca da classe, as frequêncas absolutas ou relatvas de todas as classes anterores; b) Frequêncas acumuladas do tpo ou mas : para o lmte nferor de cada classe, somam-se à frequênca da classe, as frequêncas absolutas ou relatvas de todas as classes posterores; Exemplo 2) Frequêncas Acumuladas Tempo de Parada Tempos de Parada x Frequênca Absoluta f Frequênca Acumulada ( ou menos ) F Frequênca Acumulada ( ou mas ) F Frequênca Acumulada Relatva ( ou menos ) F 3.4. MEDIDAS DESCRITIVAS Para melhor nterpretar uma dstrbução de frequêncas é necessáro defnr algumas propredades de ordem geral e a forma de med-las. Essas propredades enquadram-se no que se denomna Meddas Descrtvas, onde exstem duas categoras: Meddas de tendênca central: servem para dar uma déa acerca dos valores médos da grandeza. Entre elas estão: Méda Artmétca, ou smplesmente méda, Medana e Moda. Em resumo, a medda de tendênca central procura estabelecer um número no exo horzontal em torno do qual a sére se concentra. Meddas de Dspersão: servem para dar uma déa acerca da maor ou menor concentração dos valores da grandeza. Serão vstos: Varânca e Desvo Padrão. É fácl perceber a mportânca das meddas de dspersão analsando as três séres abaxo: X: 10; 1; 18; 20; 35; 3; 7; 15; 11; 10. Y: 12; 13; 13; 14; 12; 14; 12; 14; 13; 13. Z: 13;13;13;13;13;13;13;13;13;13. Na sequênca Z os dados estão totalmente concentrados sobre a méda 13. Não há dspersão de dados. Na sequênca Y há forte concentração de dados sobre a méda 13, mas há fraca dspersão. Já na sére X há fraca concentração de dados sobre a méda 13 e forte dspersão de dados em relação a méda 13. Quando as meddas de tendênca central e as dspersões são calculadas sobre toda a população, ou seja, sobre todos os valores possíves da grandeza, elas são chamadas de parâmetros. De uma forma geral, um parâmetro de uma população é qualquer medda característca dessa população, obtda consderando-se todos os seus elementos. Por outro lado, quando as meddas são obtdas consderando-se amostras elas são chamadas de Estatístca Básca 15

16 estatístcas. Uma estatístca é, pos, o valor de uma medda tomada sobre uma amostra. As estatístcas, na prátca, são tomadas como estmatvas dos parâmetros, quando não for possível trabalhar com as populações MÉDIA ARITMÉTICA A méda artmétca é defnda como a soma dos valores de uma grandeza, dvdda pelo número de observações. N x x 1 n Se a cada valor x estver assocado uma frequênca dada f então a méda será: x N 1 Se os valores das grandezas estão agrupados em classes, a méda será obtda com o auxílo dos pontos médos, m, de cada classe: K m f x 1 n Exemplo 3) Méda do número de defetos por peça. f n x Número de Defetos Frequênca Absoluta x f f x Estatístca Básca 16

17 4) Méda do Tempo de Parada de um Equpamento MEDIANA Tempos de Parada x Frequênca Absoluta f Ponto Médo m m f A medana é o valor central de um conjunto de números colocados em ordem crescente, tal que 50% dos valores caem abaxo e 50% caem acma da medana Medana Se o conjunto tver um número par de valores, exstrão dos valores em posção méda como no caso: os pontos médos são 21 e 24 e qualquer número entre esses dos valores satsfaz à defnção de medana. Por convenção, adota-se como medana o ponto médo entre os dos valores centras: Md 22,5 2 Quando a grandeza assume valores dscretos aos quas estão assocadas às frequêncas respectvas, a n 1 medana será o número tal que contenha a frequênca acumulada dada por. Exemplo 5) Cálculo da Medana: Valor Frequênca Frequênca Acumulada O valor 36,5 está contdo na frequênca acumulada 40, que corresponde ao valor 8 que é, portanto, a medana. Quando os valores da grandeza são colocados em classes a classe onde car a observação de número n 1 é chamada de classe medana. A estmatva da medana será um valor da grandeza dentro da classe 2 Estatístca Básca 17 2

18 medana, dado por: h n Md Lnf Fac fmd 2 onde: L nf = lmte nferor da classe medana. h = ntervalo da classe medana; f md = frequênca da classe medana. n = soma total das frequêncas. F ac = frequênca acumulada até a classe que precede medatamente a classe medana. Exemplo 6) Calculo da medana para o tempo de parada de um equpamento. n 1 2 L nf = h = f md = n = F ac = Md MODA Tempos de Parada Frequênca Absoluta Frequênca Acumulada A moda é o valor da grandeza que ocorre mas frequentemente. Quando os valores da grandeza estão agrupados em classes com frequêncas determnadas defne-se a classe modal como aquela que apresenta a maor frequênca. A moda é adotada então como sendo o ponto médo da classe modal. Estatístca Básca 18

19 Para os dados agrupados de forma contínua, a moda pode ser calculada utlzando a fórmula de Pearson: Mo 3Md 2x MODA DE CZUBER: VARIÂNCIA Defne-se a varânca como sendo a soma dos quadrados das dferenças entre cada medda e a sua méda, dvdda pelo número de observações menos 1: 2 s N 1 x x n 1 2 f Para o caso em que os dados estão agrupados em classe: Estatístca Básca 19

20 s 2 K 1 f n 1 m x DESVIO-PADRÃO O desvo-padrão é defndo como a raz quadrada postva da varânca. s 2 s Exemplo 7) Cálculo da Varânca e do Desvo-Padrão para os tempos de parada de um equpamento. Tempos de Parada x Frequênca Absoluta f Ponto Médo m m x 2 f m x Estatístca Básca 20

21 3.5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SÉRIES ESTATÍSTICAS Exstem mutas formas de se representar grafcamente uma sére estatístca. Pode-se ctar entre elas: gráfco em lnhas, em colunas, em barras, em setores em porcentagens, etc.. No entanto, a maora deles, são smplesmente gráfcos de apresentação, que o nteressado com pequeno esforço poderá compreender. O nteresse maor estará completamente voltado para os gráfcos de análse da sére estatístca que são: Hstograma e Polígono de Frequênca HISTOGRAMA PARA VARIÁVEL DISCRETA É um conjunto de hastes, representadas em um sstema de coordenadas cartesana que tem por base os valores dstntos da sére x e por altura, valores proporconas as frequêncas smples correspondentes destes elementos f. Exemplo 8) Consderando a sére: x f O hstograma assume a forma: Fgura 3.1. Hstograma para varável dscreta. Estatístca Básca 21

22 HISTOGRAMA PARA VARIÁVEL CONTÍNUA É um conjunto de retângulos justapostos, representado em um sstema de coordenadas cartesanas, cujas bases são os ntervalos de classe e cujas alturas são valores proporconas às frequêncas smples correspondentes. Exemplo 9) Consderando a sére: Classe Int. cl. f O Hstograma assume a forma: Fgura 3.2. Hstograma para varável contínua. Observe que não se coloca o zero no exo horzontal na orgem do sstema por uma questão de clareza da representação gráfca. Dexa-se ntenconalmente, um espaço gual a um ntervalo da classe no níco e no fnal da representação gráfca. Consderando este espaçamento ncal e fnal como sendo classes fctícas com frequênca zero e unndo o os pontos médos das bases superores destes retângulos, obtém-se uma nova fgura chamada Polígono de Frequênca. A área do polígono de frequênca é a mesma área do hstograma. Estatístca Básca 22

23 3 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1) O que é uma Dstrbução de Frequêncas? O que é Frequênca Absoluta? O que é Frequênca Relatva? 2) Cte algumas regras báscas na dvsão de valores de uma grandeza em classes. 3) Defnr lmtes, ponto médo e ntervalo de uma classe. 4) O que são Dstrbuções de Frequênca Acumuladas? 5) Quas são as mas mportantes meddas de tendênca central? Como são calculadas para o caso dos dados estarem dvddos em classes? 6) Como são calculados a Varâncas e o Desvo Padrão? 7) Uma pesqusa sobre a dade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade revelou os seguntes valores: Agrupe estes dados por frequênca. Dê as dstrbuções de frequênca acumuladas ou mas e ou menos, assm como as frequêncas relatvas. Calcule a méda, a moda, a medana, a varânca e o desvo padrão. Interprete os valores colocados na 3 a lnha da dstrbução de frequêncas. 8) Uma empresa automoblístca seleconou ao acaso uma amostra de 40 revendedores autorzados em todo o Brasl e anotou em determnado mês o número de undades adqurdas por estes revendedores. Obteve os seguntes dados: Agrupe estes dados por frequênca. Dê as dstrbuções de frequênca acumuladas ou mas e ou menos, assm como as frequêncas relatvas. Calcule a méda, a moda, a medana, a varânca e o desvo padrão. Interprete os valores colocados na 3 a lnha da dstrbução de frequêncas. 9) Construa o hstograma para o exemplo 1, tempo de parada de um equpamento, e para o exercíco 8. 10) Abaxo é dado o número de undades venddas de um certo produto, para 50 semanas consecutvas: Calcule: construa as dstrbuções de frequêncas absoluta, acumulada e relatva, calcule a méda e a medana, assm como o desvo padrão, construa o hstograma e o polígono de frequênca, Determnar a porcentagem de semanas em que são venddas 50 ou mas undades do produto. Estatístca Básca 23

24 3.6. MEDIDAS SEPARATRIZES As meddas separatrzes são números reas que dvdem a sequênca ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantdade de elementos da sére. Desta forma, a medana que dvde a sequênca ordenada em dos grupos, cada um contendo 50% dos valores da sequênca, é também uma medda separatrz. Além da medana, as outras meddas separatrzes são: quarts, qunts, decs e percents. Dvdndo a sére ordenada em quatro partes, cada uma fcará com 25% de seus elementos. Os elementos que separam este grupo são chamados de quarts. Assm, o prmero quartl, ndcado por Q 1, separa a sequênca ordenada, dexando 25% de seus valores à esquerda e 75% à dreta. O segundo quartl, ndcado por Q 2, separa a sequênca ordenada, dexando 50% de seus valores à esquerda e 50% à dreta. Note que Q2 é a medana da sére. O tercero quartl, ndcado por Q 3, separa a sequênca ordenada, dexando 75% de seus valores à esquerda e 25% à dreta. Dvdndo a sequênca ordenada em cnco partes, cada uma fcará com 20% de seus elementos. Os elementos que separam este grupo são chamados de qunts. Assm, o prmero quntl, ndcado por K 1, separa a sequênca ordenada, dexando à sua esquerda 20% de seus elementos e à sua dreta 80% de seus valores. De modo análogo são defndos os outros qunts. Se a sequênca for dvdda em dez partes, cada uma fcará com 10% de seus valores. Os elementos que separam estes valores são chamados de decs. Assm o prmero decl, D 1, separa a sequênca ordenada, dexando à sua esquerda 10% dos valores e à sua dreta 90%. Se dvdr a sequênca em 100 partes, cada uma fcará com 1% dos elementos. Os elementos que separam estes grupos são chamados de cents ou percents.. Assm o prmero percentl, ndcado por P 1, separa a sequênca ordenada dexando 1% de seus valores à esquerda e 99% à sua dreta. De modo análogo são defndos os outros percents. Deve-se notar que o Q 4, P 5, D 10 e P 100 são elementos que dexam à sua esquerda 100% dos valores da sequênca ordenada e correspondem dretamente ao últmo valor da sequênca. Além dsso, observando que os quarts, decs e os decs são múltplos dos percents, então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percents, pos todas as outras meddas podem ser dentfcadas como percents. Desta forma: D1 P10 K1 P20 D6 P60 Q1 P25 D2 P20 K 2 P40 D7 P70 Q2 P50 D3 P30 K 3 P60 D8 P80 Q3 P75 D4 P40 K 4 P80 D9 P90 D P CÁLCULO DAS MEDIDAS SEPARATRIZES PARA DADOS BRUTOS OU ROL Deve-se ordenar os elementos, caso sejam dados brutos obtendo o rol. Identfca-se a medda que se quer obter com o percentl correspondente, P. Calcula-se % de n, ou seja: 5 50 Posção do percentl no n rol n é o número de elementos 100 n Em seguda, dentfca-se o elemento que ocupa esta posção. Se 100 for um número ntero, então que está-se procurando dentfcar é um dos elementos da sequênca ordenada. Caso contráro, sto sgnfca que o P é um elemento ntermedáro entre os elementos que ocupam as posções aproxmadas, sendo a méda destes valores. Estatístca Básca 24 P

25 Exemplos 10) Calcule o Q 1 da sequênca X: 2; 5; 8; 5; 5; 10; 1; 12; 12; 11; 13; ) Calcule o K 3 da sequênca X: 2; 8; 7,5; 6; 10; 12; 2; CÁLCULO DAS MEDIDAS SEPARATRIZES PARA VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma varável dscreta, eles já estão naturalmente ordenados. Sendo assm, dentfca-se a medda que se quer obter com o percentl correspondente, P. Calcula-se % de n, ou seja: Posção do percentl na n sére 100 Em seguda utlza-se a frequênca cumulada da sére para dentfcar o elemento que ocupa esta posção. Exemplo 12) Calcule o D 4 para a sére: x f F CÁLCULO DAS MEDIDAS SEPARATRIZES PARA VARIÁVEL CONTÍNUA Se os dados estão apresentados na forma de uma varável contínua, eles já estão naturalmente ordenados e o número de elementos da sére é n. Obtém-se uma fórmula geral para o cálculo dos percents através da generalzação da fórmula para o cálculo da medana: P L nf h f n F 100 ac Exemplo 13) Calcule Q3 da sére abaxo. Classe Int. Classe Estatístca Básca 25 f F

26 3.7. MEDIDAS DE ASSIMETRIA Dz-se que uma dstrbução é smétrca quando x Md Mo. Se sto de fato ocorrer, a curva de frequênca tem a característca gráfca apresentada na Fgura 3.4. Se uma dstrbução não é smétrca, será classfcada como assmétrca, podendo ser postva Fg. 3.5.a, e negatva 3.5.b. Fgura 3.4. Dstrbução de frequênca smétrca. (a) (b) Fgura 3.5. (a) Dstrbução de frequênca assmétrca postva; (b) Dstrbução de frequênca assmétrca negatva. Pode-se calcular a assmetra de uma curva utlzando o Coefcente de Pearson, dado por: As x Mo s Se As 1 então a dstrbução é assmétrca negatva forte. Se 1 As 0 então a dstrbução é assmétrca negatva fraca Se As 0 então a dstrbução é smétrca. Se 0 As 1 então a dstrbução é assmétrca postva fraca Se As 1 então a dstrbução é assmétrca postva forte. Exemplo 14) Classfque quanto a assmetra, a dstrbução abaxo, segundo o coefcente de Pearson. x f x f 2 x x f Estatístca Básca 26

27 3.8. CURTOSE Observando os valores de uma sére em torno de sua moda, pode-se observar três stuações especas: 1 o Caso: Os dados são fortemente concentrados em torno da sua moda, o que fara a curva de frequênca ser bastante aflada. Este tpo de curva é classfcada como Leptocúrtca. 2 o Caso: Os dados são razoavelmente concentrados em torno da moda, o que fara a curva de frequênca ser razoavelmente aflada, Este tpo de curva é classfcada como Mesocúrtca. 3 o Caso: Os dados estão fracamente concentrados em torno da moda, o que fara a curva de frequênca ser fracamente aflada, ou bastante achatada em sua área central. Este tpo de curva é classfcada como platcúrtca. por: Para classfcar uma dstrbução quanto a sua curtose, pode-se utlzar o coefcente de curtose dados K x x 4 n s f Se K 0 a dstrbução é mesocúrtca. Se K 0 a dstrbução é leptocúrtca. Se K 0 a dstrbução é platcúrtca. Para varáves aleatóras contínuas trocar x por m. Exemplo 15) Classfque quanto à curtose, a dstrbução abaxo: Classe Int. Classe f m m f 2 m x f m x f 4 Estatístca Básca 27

28 4 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Uma empresa produz caxas de papelão para embalagens e afrma que o número de defetos por caxa se dstrbu conforme a tabela abaxo: Número de Número de Defetos Caxas Pede-se: a) As dstrbuções de frequêncas relatvas e acumuladas. b) A porcentagem de caxas com dos defetos, com menos três defetos e com mas que três defetos. c) Ampltude total. d) O hstograma. e) O número médo de defetos por caxa. f) O número medano de defetos por caxa. g) A moda. h) A varânca e o desvo padrão. Q, Q, P D e P. ) , 6 90 j) O percentual de elementos da sére stuados entre Q 1 e K 4. k) Classfque quanto a assmetra e curtose. Estatístca Básca 28

29 2) Uma amostra aleatóra de 250 resdêncas de famílas de classe méda, com dos flhos, revelou a segunte dstrbução do consumo mensal de energa elétrca. Classe Consumo Mensal (kwh) Número de Famílas Pede-se: a) As dstrbuções de frequêncas relatvas e acumuladas. b) A porcentagem de famílas com consumo mensal maor ou gual a 200 e menor que 250kWh. c) A porcentagem de famílas com consumo mensal menor que 200kWh. d) A porcentagem de famílas com consumo mensal maor ou gual a 250kWh. e) A ampltude total f) O hstograma. g) O consumo médo por resdênca. h) O consumo medano. ) A moda de Pearson. j) A varânca e o desvo padrão. Q, Q, P D e P. k) , 6 90 l) O percentual de famílas classfcadas Q 1 e K 4. m) Classfque quanto a assmetra e curtose. Estatístca Básca 29