UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ENSINO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS NO NÍVEL MÉDIO E INÍCIO DO CURSO SUPERIOR Roberto C. Qunno Edna A. Res Emílo Suyama Lupérco F. Bessegato Relatóro Técnco RTP-03/2013 Relatóro Técnco Sére Pesqusa

2 Uma Abordagem Alternatva para o Ensno do Método dos Mínmos Quadrados no Nível Médo e Iníco do Curso Superor Roberto C. Qunno Edna A. Res Emílo Suyama Departamento de Estatístca ICEx UFMG - Brasl Lupérco F. Bessegato Departamento de Estatístca ICE UFJF - Brasl 1. Introdução O método dos mínmos quadrados é o procedmento de estmação dos parâmetros de um modelo de regressão por meo da mnmzação da soma dos quadrados das dferenças entre os valores observados da varável resposta em uma amostra e seus valores predtos pelo modelo. Possu aplcações em áreas como bologa, engenhara, estatístca, físca matemátca, entre outras, prncpalmente aquelas que objetvam relaconar uma varável dependente (Y) em função de varáves explcatvas ( 1,..., k ). O método fo proposto ndependentemente pelos matemátcos Carl Fredrch Gauss por volta de 1795 e Adren Mare Legendre em torno de Consttu-se num conteúdo programátco usualmente apresentado no níco de um curso superor para alunos que já estudaram o conceto de dervadas parcas com foco em métodos de otmzação. O método de mínmos quadrados não é, em geral, apresentado no ensno médo, pos demandara o uso de dervada parcal, que é, normalmente, um assunto destnado ao curso superor. Neste sentdo, Barbosa&Bretschaft (2006) sugerem que para o ensno médo o método de mínmos quadrados seja substtuído pelo ajuste vsual de uma reta aos pontos expermentas o que possbltara, também, a determnação dos parâmetros desta reta. Concordamos, mas entendemos que podemos melhorar o procedmento, no caso em que Y depende lnearmente apenas de uma varável ndependente e um erro aleatóro ε com méda zero, (+b+ ε ). Tal modelo permtra apresentar o método de mínmos quadrados no ensno médo e níco do ensno superor sem demandar conteúdo programátco mas avançado. Nosso objetvo nessa nota é descrever como sso pode ser feto. A abordagem aqu descrta fo baseada em Thel (1950) e Brkes&Dodge (1993) e demanda apenas noções de combnação, méda ponderada e solução de sstemas de duas equações lneares a duas ncógntas, conteúdo normalmente pertencente ao ensno fundamental e médo. Essencalmente o procedmento resume-se em encontrar todas as retas que passam por, pelo menos dos pontos e, utlzando-se de uma méda ponderada de todos nterceptos e de todas nclnações, calcular, respectvamente, a estmatva do ntercepto e da nclnação da reta fnal. O objetvo desta metodologa sera que o aluno chegasse ao ensno superor com uma postura mas crítca e sugestva, nclusve em relação a outras possbldades além do método de mínmos quadrados. 2. Abordagem Alternatva para Explcar o Método de Mínmos Quadrados Sem perda de generaldade, demonstraremos a sugestão dessa nota com a utlzação de um exemplo. Consdere que desejamos obter uma estmatva da reta +b+ ε, representada por Y = aˆ + b, que melhor se ajuste aos dados descrtos e lustrados na Fgura 1.

3 Fgura 1: Gráfco de dspersão de versus Y. Em sala de aula, a prmera motvação sera que os alunos descrevessem todas as retas que poderam ser obtdas por meo da seleção de dos pares ordenados. A Fgura 2 lustra as ses retas possíves. Por exemplo, 1 +b 1 é relatvo aos pares ordenados n (4;7) e (5;12). De manera geral, se temos n pontos, o número de retas é gual a 2, salvo casos em que os dos pares ordenados possuem o mesmo valor de, stuação que não deverá ser consderada, uma vez que gerará sstemas sem solução ou com nfntas soluções. Fgura 2: Todas as ses retas consderando conjuntos de dos pares ordenados. Observe que os valores dos nterceptos (a 1,...,a 6 ) e das nclnações (b 1,...,b 6 ) podem ser obtdos smplesmente resolvendo sstemas de duas equações lneares a duas ncógntas. Por exemplo, para o pares ordenados (4;7) e (5;12), temos o segunte sstema: 7 = a1 + 4b1 12 = a1 + 5b1 Resolvendo-o por comparação, temos que a 1 =-13 e b 1 =5. A Tabela 1 mostra todos os nterceptos e nclnações para as ses retas. Tabela 1: Descrção das ses retas da Fgura 1. Pontos Intercepto Reta Inclnação b (,Y) a Peso (4,7) e 1 +b (5-4) 2 = 1 (1,2) e (4,7) 2 +b 2 0,33 1,67 (1-4) 2 = 9 (2,6) e 3 +b (2-5) 2 = 9 (1,2) e (2,6) 4 +b (1-2) 2 = 1 (1,2) e 5 +b 5-0,5 2,5 (1-5) 2 = 16 (2,6) e (4,6) 6 +b 6 5 0,5 (2-4) 2 = 4 Nosso nteresse está em saber se alguma das ses retas podera ser canddata à reta estmada Y = aˆ + b. Cada uma das ses retas é determnístca para os dos pares ordenados que a gerou, mas pode ser a mas próxma, ou não, ao restante dos pontos. Pela Fgura 2, podemos mostrar aos alunos que, quanto mas afastados entre s estão os dos valores de que formam a reta, melhor parece fcar a reta em relação a todos os pontos. Neste sentdo, a reta 5 +b 5 se destaca no sentdo de parecer estar mas próxma de todos os pontos e canddata a se tornar a reta procurada Y = aˆ + b.

4 Podemos agora desenvolver um raconal mas objetvo. Defna e como a dferença entre Y ˆ, 1,..., o valor observado e o valor predto pela reta ( Y = n ) e escolhamos a reta que e. apresentar o menor valor de Por exemplo, as fguras 3 e 4 lustram respectvamente uma comparação entre as retas 5 +b 5 e 6 +b 6. Observe que a 4 reta 5 +b 5 apresenta um valor de e =, menor do que a reta 6 +b 6, e = 8, sendo, então, mas aproprada que esta. De fato, a reta 5 +b 5 apresenta e o menor entre as ses retas sendo, então, uma opção acetável. Tal reta é conhecda na lteratura como aquela obtda pelo método do mínmo desvo absoluto (em nglês, Least Absolute Sevatons - LAD). Fgura 3: Desempenho da reta 5 +b 5. Fgura 4: Desempenho da reta 6 +b 6. Outra alternatva, consderando a nformação de todas as retas smultaneamente, sera trabalhar com a méda ponderada de todas as retas, em que o peso de cada reta sera dretamente proporconal à dstânca ao quadrado dos valores de que formam a reta (Tabela 1). Com os nterceptos, nclnações e pesos mostrados no Tabela 1, podemos obter ˆ estmatvas para os coefcentes a e b ( aˆ e b ) como a méda ponderada dos nterceptos e nclnações, respectvamente. Temos então: , , aˆ = = 0, ˆ , , ,5 4 b = = 2, Assm, a reta Y=0,45+2,1 é a reta obtda com a partcpação dos coefcentes de todas as retas. Os coefcentes desta reta são aqueles obtdos pelo conhecdo método de mínmos quadrados ordnáros (em nglês, Ordnary Least Squares - OLS). Observe que quanto maor a dstânca dos valores de para uma partcular reta, maor será o seu peso na composção da estmatva. Na abordagem tradconal de análse de regressão lnear, utlza-se a defnção de que a 2 e reta OLS mnmza e. Observe que a reta LAD e a reta LAD mnmza passará sempre por pelo menos dos pares ordenados de pontos. O procedmento LAD fo proposto pelo matemátco Roger Joseph Boscovch em 1757, sto é, aproxmadamente 50 anos antes do método OLS. Maores detalhes podem ser encontrados em Brkes & Dodge (1993). 3. Conclusão e Recomendações O objetvo deste trabalho fo dvdr com outros professores nossa experênca de sala de aula em ntroduzr o Método de Mínmos quadrados conforme descrto nesta nota. O

5 método é smples e consste em: obter todas as retas que passem por, pelo menos, dos pontos; utlzar uma méda ponderada dos nterceptos e nclnações obtdos. O exemplo apresentado na Seção 2 pode ser faclmente reproduzdo pelo professor e aplcado em sala de aula. A maora dos alunos com a qual trabalhamos com este método era do prmero ano de graduação. Também, em palestras, tvemos a oportundade de apresentar a abordagem para alunos do ensno médo. Percebemos que, se motvados, mutos alunos sugerem outras possbldades para Y = aˆ + b, quase sempre sugerndo pesos alternatvos para a méda ponderada das retas obtdas das combnações dos pares ordenados tomados dos a dos. O melhor termômetro de que a abordagem gera grande nteresse fo o fato de que város alunos se aproxmaram do quadro ao fnal da aula para conversar com o professor e apresentar outras sugestões. Dessa forma, concluímos, pela nossa experênca em sala de aula, que o método é mas atratvo aos alunos numa etapa ntrodutóra do que a equvalente e tradconal 2 e abordagem de mnmzação de. Fnalmente, o método também pode ser amplado para comtemplar estmadores alternatvos para regressão lnear múltpla, geralmente dscutda em um estágo mas avançado da graduação. 4. Referêncas 1. Barbosa, V. C. ; Bretschaft, A. M. S. (2006) Um aparato expermental para o estudo do prncípo de Arqumedes, Revsta Braslera de Ensno de Físca, v.28, n.1, p Brkes, Davd & Yadolah Dodge. (1993) Alternatve Methods of Regresson. Wley. 3. Thel, H. (1950). A rank-nvarant method of lnear and polynomal regresson analyss. I, II and III. Konnkljke Nederlandse. Akademe van Wetenschappen, Proceedngs, ser. A, vol. 53, pp , ,

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