5 Relação entre Análise Limite e Programação Linear 5.1. Modelo Matemático para Análise Limite

Transcrição

1 5 Relação entre Análse Lmte e Programação Lnear 5.. Modelo Matemátco para Análse Lmte Como fo explcado anterormente, a análse lmte oferece a facldade para o cálculo da carga de ruptura pelo fato de utlzar a análse rígdo-plástca, smplfcando sgnfcatvamente as les consttutvas. As varáves que caracterzam os campos de tensões, dtas varáves estátcas, relaconam-se entre s e com as cargas aplcadas através de expressões que traduzem o equlíbro, enquanto as varáves que caracterzam os campos de deslocamentos e deformações, dtas varáves cnemátcas, relaconam-se entre s através de expressões que traduzem a compatbldade. A dentfcação dos problemas da análse lmte como problemas de programação lnear se consttuu em um marco de maor mportânca no desenvolvmento da análse estrutural, pos permtu a utlzação de programas computaconalmente mas efcentes quando comparados com os que se utlzam da análse ncremental teratva convenconal, na obtenção da carga de colapso da estrutura. A condção de resstênca representada pela superfíce de escoamento consttu, juntamente com as equações de equlíbro, as prncpas restrções do problema de programação matemátca, correspondente ao problema da análse lmte pelo lmte nferor. A lnearzação da superfíce de escoamento, quando possível, transforma o problema num caso partcular da programação matemátca, em que todas as relações são lneares, denomnado programação lnear (PL). Nesse trabalho é utlzado o teorema do lmte nferor (safe theorem) para a formulação do problema de análse lmte. Como é usada a trelça de Mörsch para representar a vga no colapso, as ncógntas, que representam os campos de tensões, serão as forças nternas nas barras da trelça e o fator de carga estátco λ L.

2 Descrção do Programa 43 A função objetvo do problema de programação lnear é maxmzar o fator de carga λ L para um campo de forças estatcamente admssível, onde N é o vetor das ncógntas do problema de PL e o vetor de cargas aplcadas F, em equlíbro com N, é majorado por um fator estátco λ L. As forças N devem satsfazer anda ao crtéro de resstênca. TEOREMA DO LIMITE INFERIOR max λ L Sujeto a C N = λ F L N l N N u C - matrz de equlíbro N - esforços nternos das barras F - vetor de cargas aplcadas N u e N l - são respectvamente os lmtes superor e nferor das forças nas barras Como já menconado, na formulação apresentada a segur, desenvolveu-se um problema de programação lnear para aplcação do Teorema do Lmte Inferor, com o objetvo de maxmzar a carga de colapso, utlzando o modelo de Trelça de Mörsch. Para o estudo da análse lmte em vgas fo crado um modelo dvdndose o comprmento L da vga pela altura z do modelo de trelça, o ntero mas próxmo deste valor representa o número de dvsões (n e ).

3 Descrção do Programa 44 z d h θ a a a a a a bw d' L Fgura 5. Modelo generalzado de trelça n e = > ntero de z L (5.) L a = (5.2) n e z = d( 0,4k ) (5.3) k x x d = h d' (5.4) ε = (5.5) ε + ε max c max c s z tan θ = (5.6) a ε c As x ε h d Md d' As 2 ε 2 Fgura 5.2 Dstrbução das tensões de compressão no concreto bw

4 Descrção do Programa 45 L comprmento da vga; h altura total da seção transversal; d dstânca do bordo mas comprmdo até o centro de gravdade das barras de aço que consttuem a armadura longtudnal de tração na flexão (As); d a dferença (h-d), ou seja: d = h d; d dstânca do bordo superor ao centro de gravdade da armadura longtudnal de compressão (As ); z braço de alavanca entre as resultantes de compressão no concreto e de tração no aço, provocadas pelo momento fletor atuante na seção; b w largura da seção transversal da vga; n e número de dvsões da vga a espaçamento entre os trantes ε max c o encurtamento do concreto na fbra mas comprmda; ε s o alongamento do aço da armadura prncpal de flexão; k x coefcente que defne a posção da lnha neutra; θ - ângulo de nclnação das belas; As condções fundamentas mpostas para a obtenção do modelo de trelça foram: condções de equlíbro nos nós da estrutura artculada e lmtes superores e nferores para os esforços N. Tem-se assm para as varáves do problema, os esforços axas de compressão nas barras comprmdas e as armaduras nos trantes. u ( ) N. Para cada uma destas barras temos dos lmtes: nferor ( N l ) e superor Para as barras horzontas superores: l ( 0,85 f A + As f ) N = (5.7) u yk ck yk N = As f (5.8)

5 Descrção do Programa 46 Para as barras horzontas nferores: l ( 0,85 f A + As f ) N = (5.9) u 2 yk ck 2 yk N = As f (5.0) Para as belas nclnadas: N l ( 0,6 f α ) = (5.) cd v N u = 0 (5.2) f ck α v =? f ck em MPa 250 Para as barras vertcas (estrbos): N l = 0 (5.3) N = A f + 0,6 f b d (5.4) u t yk ctk,nf w A parcela do cortante, referente à contbução do concreto fo calculada pela nova norma NBR 68 como será mostrado a segur. Sendo: A = 0,8 b w x (5.5) a A t = n pe A s b b w e (5.6) A = a senθ (5.7) f ctd ctk,nf f = γ ctk,nf c ctm (5.8) f = 0,7 f (5.9) 2 3 ctm = 0,3 f ck f (5.20)

6 Descrção do Programa 47 f ck - valor característco da resstênca do concreto à compressão; f yk - valor característco da resstênca do aço à tração; A área do banzo comprmdo de concreto; As - área da seção transversal da armadura prncpal superor; As 2 - área da seção transversal da armadura prncpal nferor; A b - área da seção transversal das belas nclnadas; A t área da seção transversal das barras vertcas (estrbos); x altura da lnha neutra da seção; s espaçamento entre os estrbos; n pe número de pernas do estrbo; A e área da barra do estrbo; f ctd resstênca de cálculo do concreto à tração dreta; f ctk,nf resstênca característca nferor à tração do concreto; γ c coefcente de ponderação da resstênca do concreto; f ctm resstênca méda do concreto à tração dreta; N esforço normal nas barras; Para calcular a contrbução do concreto na resstênca do esforço cortante, foram consderadas as recomendações das normas NBR [27] e a NBR [2] e o trabalho de Lopes e Barbosa [9]. Segundo a NBR , este modelo admte para o dmensonamento ao esforço cortante que a bela nclnada de compressão tenha α = 45 o em relação ao exo longtudnal do elemento estrutural e que a parcela V c tenha valor constante ndependente de V Sd. O dmensonamento da armadura transversal é obtdo de manera satsfatóra quando são atenddas as seguntes condções: a) O esforço cortante solctante de cálculo V Sd não exceda a força cortante resstente de cálculo, relatva à ruína das dagonas comprmdas de concreto V Rd2. V Sd < V Rd 2 (5.2)

7 Descrção do Programa 48 b) A resstênca ao csalhamento da seção V Rd3 exceda o esforço cortante solctante de cálculo V Sd V > V (5.22) Rd3 Sd A resstênca V Rd3 da seção é a força cortante resstente de cálculo relatva à ruptura por tração dagonal, sendo dada pela soma da parcela resstente do concreto V c, e da parcela absorvda pela armadura transversal V sw, onde: V = V + V (5.23) Rd3 c sw A determnação da parcela de concreto (V c ) depende de mecansmos complementares ao da trelça para absorver a força cortante. Para elementos estruturas em concreto submetdos à flexão smples ou flexo-tração com a lnha neutra cortando a seção, V c é dado por: V c = V c0 (5.24) Sendo: V = 0,6 f b d (5.25) c 0 ctd w V c parcela de contrbução do concreto na resstênca ao esforço cortante V Sd esforço cortante solctante de cálculo V c0 valor de referênca para V c quando θ = 45 o f ctd defndo anterormente na equação 5.9 Pela antga norma NB--978 [27], a parcela de contrbução do concreto na resstênca ao esforço cortante (V C ) é calculada conforme mostrado abaxo. Para a flexão smples temos: τ = ψ f (5.26) C ck ρ = As (5.27) Ac ψ = 0,07 para ρ 0, 00 (5.28.a) ψ = 0,4 para ρ 0, 05 (5.28.b)

8 Descrção do Programa 49 ψ = ρ 0,065 para 0,00 ρ 0, 05 (5.28.c) 5 + V = τ b d (5.29) C C w ρ - menor taxa da armadura longtudnal de tração do trecho de comprmento 2h a partr da face do apoo; As condções de equlíbro para cada nó da estrutura são fetas com o somatóro das forças ndcado na Fg. 5.3, na dreção x e na dreção y: y F h N F v α N 3 P N O Fgura Condção de equlíbro N 2 x Sendo α postvo no sentdo ant-horáro e as forças postvas quando estverem no sentdo do sstema de exos. Para o nó, temos: Na dreção x: NB = N cosα + λlfh = 0 (5.30) Na dreção y: NB = N senα λ LFv P = 0 (5.3)

9 Descrção do Programa 50 NB - número de barras convergentes no nó; N - esforço axal na barra ; F h - valor da força concentrada horzontal aplcada ao nó; F v - valor da força concentrada vertcal, aplcada ao nó; α - ângulo que a barra de ordem faz com o exo Ox; P - peso própro no nó. Nos elementos estruturas de concreto armado, a área da seção transversal das barras vertcas (trantes) são geralmente lmtadas a valores máxmos, em função do tpo de elemento e de sua seção transversal de concreto e como a armadura usada não pode ser negatva, obtém-se: N 0 (5.32) No caso das barras horzontas não se sabe se uma barra trabalhará como um trante submetdo à tração, ou se trabalhará como uma bela submetda à compressão Modelo Matemátco para o Dmensonamento Ótmo Além de formular a análse lmte como um problema de programação lnear para se calcular a carga de colapso, faz-se também um dmensonamento ótmo, utlzando a programação lnear, com o objetvo de mnmzar o custo de armadura. Com base na carga de colapso calculada ncalmente defne-se uma carga de projeto como sendo a carga de colapso dvdda por um fator de segurança ao colapso. Faz-se um dmensonamento para calcular a seção de armadura necessára para esta carga de projeto. A formulação teve como base a NBR 68 / 2003, para estabelecer alguns lmtes para os esforços no concreto e lmtações de armadura mínma para alguns casos estudados. O crtéro de otmzação utlzado é estrtamente econômco, ou seja, aquele que conduzr ao menor custo para a solução. Uma vez que a geometra da

10 Descrção do Programa 5 peça é consderada neste trabalho nalterável, o menor custo da solução corresponde assm ao mínmo volume de armadura a ser usada. Mnmzar Z = NE = A sw, l w + NH = A s, l (5.33) mn. Z = Sujeto a FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE PL NE = A NB sw, l w + NH = A s, l N cosα + λ F 0 = NB L h = N senα +λ F + P 0 = L v = Barras Vertcas N f As 0 ywd Asw mn < A < Asw max Barras Horzontas N f As 0 yd,85 Ab f + f As + N 0 0 cd yd As mn < A < As max Barras Inclnadas 0.6 α f ) N 0 ( v cd α v f ck = 250 Sendo : Z custo da solução ou função objetvo; NE número de estrbos; NH número de barras longtudnas;

11 Descrção do Programa 52 A sw, área de armadura transversal ; l w comprmento do trante ; A s, armadura nas barras longtudnas da trelça; l comprmento das barras longtudnas ; f yd valor de resstênca de cálculo do aço à tração, para as barras longtudnas; f ywd valor de resstênca de cálculo do aço á tração para as barras transversas; f ck - valor característco da resstênca do concreto à compressão; f cd - valor de cálculo da resstênca do concreto à compressão. As novas restrções passam a ser os lmtes das áreas das armaduras, que varam de As mn a As max. Na flexão (barras nferores e superores) os lmtes são: As As = 0, 5% b h (5.34) mn w = 4% b h (5.35) max w No caso de não ser necessáro armadura, consdera-se somente armadura de montagem. Fo adotado como armadura mínma de montagem 2 φ 5 (As = 0,4cm 2 ). E no csalhamento (barras vertcas): f ctm As mn = 0,2 b w a f ywk (5.36) Onde (como já dto anterormente) 2 3 ctm = 0,3 f ck f Como não fo encontrado na lteratura, nenhum lmte máxmo para área de armadura do estrbo fo adotado As = 4% b a. max w

12 Descrção do Programa 53 A resolução deste problema matemátco obtém-se recorrendo a um algortmo aproprado sendo o mas conhecdo o SIMPLEX. Para resolver estas equações de equlíbro utlzou-se o programa LINGO, onde a partr da resolução do problema encontra-se o modelo ótmo para a estrutura.