Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Transcrição

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2 Programação Lnear (PL) Aula : Dualdade. Defnção do Problema Dual.

3 Defnção do problema dual. O que é dualdade em Programação Lnear? Dualdade sgnfca a exstênca de um outro problema de PL, assocado a cada problema de PL. Esse outro problema desgna-se por problema dual (D). Nesta relação com o problema dual o problema orgnal desgna-se por problema prmal (P). 3

4 O par de problemas duas (P) (D). Os problemas prmal (P) e dual (D) são conhecdos por par de problemas duas (P)-(D) (P)-(D) são suportados pelo mesmo sstema de parâmetros; a resolução de um deles consttu a resolução smultânea do outro; a solução de um, está completamente determnada pela solução do outro. O par de problemas duas (P)- (D) não é mas do que um par de representações matemátcas do mesmo problema real. 4

5 Relações entre o par de problemas duas. ª ª 3ª 4ª 5ª um problema uma restrção uma varável matrz A um coefcente da f.o um termo ndependente o outro problema uma varável uma restrção matrz A transposta um termo ndependente um coefcente da f.o. 5

6 Relações entre o par de problemas duas. 6ª um problema um problema de maxmzação com restrções de desgualdade do tpo () o outro problema um problema de mnmzação com restrções de desgualdade do tpo () 7ª um problema de mnmzação com restrções de desgualdade do tpo () um problema de maxmzação com restrções de desgualdade do tpo () 6

7 Problema Prmal Maxmzar z N N a Par de Problemas Duas na forma canónca. x c x x 0 x b Mnmzar Problema Dual w M M a y b y y 0 y c =,...,M, =,...,N =,...,M, =,...,N 7

8 Defnção do Problema Dual. O dual do problema dual é o problema prmal. A relação entre os dos problemas é recíproca. Se um dos problemas ndstntamente fo desgnado então o outro é desgnado prmal, dual. 8

9 Dagrama de Tucker para os problemas (P)-(D). (D): a y +a y + a m y m c y 0 y 0... y m 0 (D): w = b y +b y + +b m y m Problema prmal x 0 x 0. x n 0 a a a n a a a n... a m a m a mn Mn w b b... b m b - termos ndependentes do (P) b - coefcentes da f.o. do (D) (P): z =c x +c x + c n x n (P): a x +a x + a n x n b c - coefcentes da f.o do (P) Max z c c c n Problema dual c - termos ndependentes do (D) 9

10 Dagrama de Tucker para o Exemplo Protótpo. (P)- varáves: x, x (D)- 3 varáves: y, y, y 3 (D)-ª rest.: y + 3 y 3 3 y 0 y 0 y 3 0 Problema prmal x 0 x Mn w 4 8 (D)- w = 4 y + y + 8 y 3 (P)- ª rest.: x 4 (P)- ª rest.: x (P)- 3ª rest.: 3x + x 8 (P): z =3x +5x Max z 3 5 Problema dual (D) -ª rest.: y + y 3 5 0

11 Exemplo Protótpo: Par de Problemas Duas Problema Prmal Maxmzar z= 3 x + 5 x x 4 x 3 x + x 8 x, x 0 Mnmzar w= 4 y + y + 8 y 3 Problema Dual y + 3 y 3 3 y + y 3 5 y, y, y 3 0

12 Solução do problema dual. Exemplo protótpo. Como determnar a solução do problema dual para o exemplo protótpo? A solução para o problema dual do exemplo protótpo fo á determnada e pode ser encontrada no quadro óptmo do problema prmal na lnha dos z correspondentes às varáves de folgas x 3, x 4, x 5, onde ncalmente se encontrava a base ncal.

13 colunas correspondentes à nversa da base assocada à solução óptma a solução óptma para o problema dual é: y = 0, y = 3/, y 3 = c X B C B x x x 3 x 4 x as varáves de folga do dual têm valor smétrco ao valor dos custos reduzdos correspondentes às colunas das varáves de decsão y 4 = 0, y 5 = 0 Solução do problema dual.exemplo protótpo. z Quadro óptmo do problema prmal x 3 x c -z x b 36 3

14 Caso : Uma restrção de desgualdade do tpo oposto... Se uma restrção de desgualdade for do tpo oposto ao da respectva forma canónca, então a correspondente varável dual é não postva. Prova: Consdere um problema de maxmzação contendo restrções de desgualdade do tpo (). As restrções de desgualdades do tpo () podem ser sempre convertdas em restrções do tpo () multplcando por (-) ambos os membros. maxmzar : z x a N x b c x a x b 0 a x b,,..., p p, p,..., M,,...N p, p,..., M 4

15 Caso : Uma restrção de desgualdade do tpo oposto... Desgnando por y e y as varáves duas correspondentes às restrções de desgualdade tem-se o problema dual: mnmzar : w b y b ' a y a y y ', y 0 y ' c,,...n,,..., p p, p,..., M ' y y a cada restrção de desgualdade do tpo oposto corresponde uma varável dual não postva 0 mnmzar : w b y a y a y b y y 0 y 0,,..., p c p, p,..., M,,...N 5

16 Caso : Uma restrção de desgualdade do tpo oposto. Maxmzar z a x x b N b a x Problema Prmal c x,,..., p p, p,..., M 0,,... N Mnmzar y a y Problema Dual a y y b y w b y 0,,..., p 0 p, p,..., M,,... N c 6

17 Caso : Exemplo. Problema Prmal Problema Dual Mnmzar z= 5 x + x + 3 x 3 x + x 3 5 x + x 3 8 x + x 4 x + x + x 3 x, x, x 3 0 Maxmzar w= 5 y + 8 y + y 3 + y 4 y + y y 4 5 y + y 3 + y 4 y + y + y 4 3 y, y, y 3 0, y 4 0 Como esta restrção é de tpo oposto corresponde-lhe uma varável dual não postva 7

18 Caso : Uma restrção de gualdade. Se uma restrção for de gualdade, então a correspondente varável dual é lvre. Pode ser demonstrado a partr do facto de que qualquer restrção de gualdade pode ser convertda em duas restrções de desgualdade de um mesmo tpo. Provar!!! 8

19 Caso : Uma restrção de gualdade. Maxmzar z a x x Problema Prmal b a x b N c x,,..., p p, p,..., M 0,,... N Mnmzar y a y y y Problema Dual a 0 lvres b y w b y,,..., p p, p,..., M,,... N c 9

20 Problema Prmal Maxmzação uma restrção Relações prmal-dual. Problema dual Mnmzação uma varável Restrção de tpo oposto 0 0 = lvre uma varável uma restrção 0 0 lvre = Restrção de tpo oposto 0

21 Problema Prmal. Mnmzação Restrção de tpo oposto uma restrção Relações prmal-dual. uma varável 0 0 = lvre Problema dual. Maxmzação uma varável uma restrção 0 0 lvre = Restrção de tpo oposto

22 Formulação do Problema Dual. Exemplo. Prmal Prmal : restrções, 3 varáves Dual : varáves, 3 restrções restrções duas: Prmal : x, x, x 3 0 Dual : 3 restrções de tpo Maxmzar z= 5 x + x +4 x 3 : Dual x + x + x 3 0 x - x + 3 x 3 = 8 x, x, x 3 0 varáves duas: Prmal : restrção nº tpo Dual : y 0 Prmal : restrção nº tpo = Dual : y lvre Mnmzar w= 0 y + 8 y y + y 5 y - y y +3 y 4 : y 0, y lvre

23 Prmal : 3 restrções, 5 varáves Dual : 3 varáves, 5 restrções restrções duas: (P) : x, x, x 4 0 (D) :rest.,, 4 tpo (P) : x 3 lvre (D) :rest. 3 tpo = (P) : x 5 0 (D) :rest. 5 tpo varáves duas: (P) : :rest. tpo = (D) : y lvre (P) : :rest. tpo (D) : y 0 (P) : :rest. 3 tpo (D) : y 3 0 Formulação do problema dual. Exemplo. Prmal Dual Mnmzar z= x + 6 x -7 x 3 + x 4-5 x 5-5 x + 4 x - 3 x 3 + x 4-5 x 5 = - 0 x - x + 5 x 3 + x 5 8 x - x 3 + x 4 00 x, x 0, x 3 lvre, x 4 0, x 5 0 : Maxmzar w= -0 y + 8y + 00 y 3 : -5 y + y + y 3 4 y - y 6-3 y +5 y - y 3 = -7 y lvre y + y 3-5 y + y - 5, y 0, y 3 0 3

24 Prmal : 3 restrções, varáves Dual : 3 varáves, restrções restrções duas: (P) : x 0 (D) :rest. tpo (P) : x lvre (D) :rest tpo = Formulação do problema dual. Exemplo 3. Prmal Maxmzar z= 5x + 6 x : x + x = 5 - x + 5 x 3 4 x + 7 x 8 x lvre, x 0 varáves duas: (P) : :rest. tpo = (D) : y lvre (P) : :rest. tpo (D) : y 0 (P) : :rest. 3 tpo Dual Mnmzar w= 5 y + 3y + 8 y 3 : y - y + 4 y 3 = 5 y +5 y + 7 y 3 6 (D) : y 3 0 y lvre, y 0, y 3 0 4

25 Maxmzar z c t X Pares de Problemas Duas. Notação Matrcal. Forma Canónca. Problema Prmal Problema Dual Mnmzar w t b Y AX b X 0 Y c Y 0 A t Problema Prmal Mnmzar z c t X Problema Dual Maxmzar w t b Y AX b X 0 Y c Y 0 A t 5

26 Maxmzar z c t X AX b X 0 Pares de Problemas Duas. Notação Matrcal. Forma Padrão. Problema Prmal Problema Dual Mnmzar w t b Y Y c Y lvre A t Problema Prmal Mnmzar z c t X Problema Dual Maxmzar w t b Y AX b X 0 Y c Y lvre A t 6

27 Defnção do Problema Dual. Conclusões. O estudo da dualdade em Programação Lnear consdera um problema (o qual é geralmente desgnado por problema dual) dstnto daquele que se pretende resolver (problema prmal), mas cua abordagem permte obter algumas conclusões drectamente relaconadas com o problema orgnal (problema prmal), nomeadamente referente às condções de optmaldade. 7