Optimização com variáveis discretas

Transcrição

1 Engenhara de Processos e Sstemas Optmzação com varáves dscretas Fernando Bernardo Fev 2013 mn f ( x,, θ ) x, s. t. h( x,, θ ) = 0 g( x,, θ ) 0 x x x L U x real, {0,1} Por que necesstamos de varáves dscretas? Métodos de resolução. Branch & Bound. Optmaldade. Aplcações clásscas. 1

2 Projecto de equpamentos/processo: - Localzação das almentações e produtos lateras de uma coluna de destlação - Dmensões dscretas de equpamentos - Nº de reactores em paralelo, eventualmente de dmensão gual, fxa ou não Por que precsamos de varáves dscretas? - Estrutura do dagrama de fabrco e opções de equpamento alternatvo A1 Processo 1 Bc A A2 Processo 2 B Processo 4 C A3 Processo 3 2

3 Por que precsamos de varáves dscretas? Projecto de produto: - Formulação de msturas (formular a melhor mstura a partr de um conjunto de N ngredentes de partda) - Selecção de grupos funconas numa molécula Desenhar um solvente para extrar boetanol Grupos funconas de partda: CH3, CH2, CH, CH2=CH, CH=CH, álcoos: OH ésteres: COO Escolher o melhor solvente usando como blocos base os grupos funconas acma (exstem mlhões de soluções possíves) Gestão/planeamento - Planeamento da produção. O que produzr e quando. Comprar produtos ntermédos ou produz-los a partr de percursores? Expandr capacdade? s/n?) - Gestão de stocks. Que matéras-prmas encomendar e quando? - Escalonamento. Lnha multprodutos. Qual a sequênca de produção óptma? ABCD, ABDC, ACBD,? 3

4 Por que precsamos de varáves dscretas? Em mutos destes casos, surgem questões lógcas do tpo: - Se tecnologa 1 é escolhda, então o custo é C1; se tecnologa 2, então o custo é C2 - Se o ngredente 3 está presente na mstura, então a sua quantdade mínma vável é 5% - Se encomendar a matéras-prma A em quantdade superor a X, então consgo um desconto de quantdade. ( ) Como modelar estas condções envolvendo decsões dscretas? Próxma aula 4

5 De facto, só precsamos de varáves bnáras Podemos representar qualquer ntero (0,1,2,3, ) apenas com varáves bnáras (0 e 1) Por exemplo 0 n 10, n N { } n = , 0,1 8 é a maor potênca de 2, anda nferor ou gual a N 0 n 10, n N Portanto, a restrção pode ser substtuída por: + 0 { } , 0, Caso geral da representação bnára de nteros: 0 n N, n, N N { } n = , 0,1 r onde 2 é a maor potênca de 2, tal que 2 r r r N 5

6 De facto, só precsamos de varáves bnáras Exemplo. Na optmzação de um processo descontínuo, queremos equaconar a utlzação de város equpamentos guas em paralelo. Podemos usar entre 2 e 7 reactores em paralelo e uma ou duas centrífugas. Como representar estas restrções com varáves bnáras? N R { 2,3,4,5,6,7 }, N { 1,2} C 0 N 2 5 R N 2 = R N C 1 = 4 a 0 4 { } 0,1 (5 varáves bnáras) 6

7 Formulação geral (optmzação lnear/não-lnear, eventualmente com varáves dscretas mn f ( x,, θ ) x, s. t. h( x,, θ ) = 0 g( x,, θ ) 0 x x x L U x real, {0,1} Sem varáves bnáras : função obj. f, escalar decsões x e, vectores funções h e g, vectores vector de parâmetros q Problema LP (lnear programmng), se f, g e h lneares em x. Optmaldade global garantda. O problema Problema NLP (non-lnear programmng). Optmaldade global se f convexa, h lnear e g(x) 0 é regão convexa. Com varáves bnáras : Problema IP (nteger programmng): apenas varáves bnáras Problema MILP (mxed-nteger lnear programmng), se f, h e g lneares em x e. Resolução por branch and bound, optmaldade global garantda. Problema MINLP (mxed-nteger non-lnear programmng). Mas dfícl garantr optmaldade global 7

8 Problema da mochla: conceptualmente smples para percebermos alguns pontos chave da optmzação dscreta: problema combnatoral, grande nº de combnações possíves. O problema da mochla N tens com capacdade c e peso/valor w. Maxmzar o valor total sujeto a capacdade máxma cmax. tem, = 1,..., N max 1, se tem escolhdo = 0, caso contráro N = 1 N s. t. c cmax = 1 w 8

9 $TITLE PROBLEMA DA MOCHILA SET I numero de tens /I1*I10/ PARAMETER c(i) Capacdade /I1 1.5 I2 0.8 I3 2.5 I4 3.2 I5 1.5 I6 2.5 I7 5.2 I8 2.6 I9 0.9 I10 3.2/; SCALAR Cmax /15./; O problema da mochla BINARY VARIABLES (I) Item escolhdo ou nao VARIABLE Valortotal; EQUATIONS E1,OBJ; E1.. SUM(I,(I)*c(I)) =L= cmax; OBJ.. ValorTotal =E= SUM(I,(I)*w(I)); MODEL MOCHILA/ALL/ SOLVE MOCHILA USING MIP MAXIMIZING ValorTotal; PARAMETER w() valor /I1 2. I2 1.5 I3 0.7 I4 10. I5 1.5 I6 2.5 I7 4. I8 3. I9 5. I10 2./; Número de combnações possíves = 2 N 9

10 O problema da mochla $TITLE PROBLEMA DA MOCHILA SET I numero de tens /I1*I10/ PARAMETER c(i) Capacdade /I1 1.5 I2 0.8 I3 2.5 I4 3.2 I5 1.5 I6 2.5 I7 5.2 I8 2.6 I9 0.9 I10 3.2/; PARAMETER w() valor /I1 2. I2 1.5 I3 0.7 I4 10. I5 1.5 I6 2.5 I7 4. I8 3. I9 5. I10 2./; Solução: tens escolhdos: 1,2,4,6,8, 9 e 10 Capacdade = 14.7 Valor total =

11 Forma da regão vável LP: x R Métodos de solução Regão vável é um contínuo. IP: x N + 0 Regão vável é conjunto fnto de pontos. - Conceto de dervada desaparece. - Métodos tradconas de optmzação não são aplcáves. 11

12 Relaxação real e aproxmação por arredondamento { } Relaxar x 0,1,2,3,4 para 0 x 4, x R Frequentemente nsatsfatóro. Pode conduzr a soluções nváves. Métodos de solução Óptmo LP, arredondado a ponto a vermelho, que é nvável Se a solução do problema relaxado for ntera então fca automatcamente encontrada a solução do problema dscreto! (mas sto é um tro de sorte) 12

13 Enumeração explícta Métodos de solução Enumerar todas as possbldades para as varáves dscretas e resolver os problemas contínuos daí resultantes. mn x + + n s. a. 2x n 5 (...) R0 1 1 R0 1 x, {0,1}, n, n 3 Árvore de decsão (neste caso, árvore completa) P0 1=0 1=1 n1=0 n1=1 n1=2 n1=3 n1=0 n1=1 n1=2 n1=3 Neste caso, temos de resolver 8 problemas contínuos e depos escolher a melhor solução. No caso geral, com N varáves bnáras, temos 2 N problemas. Faclmente se têm problemas com 10 a 30 varáves bnáras e 2 30 ~ A enumeração explícta torna-se assm mpratcável. 13

14 Enumeração mplícta Método também conhecdo por branch and bound - Construr gradualmente a árvore de decsão (branchng) Métodos de solução - Ir calculando lmtes (upper bound, lower bound) para a solução ntegral e manter esses lmtes actualzados - Se se detectar que alguns ramos da árvore não conduzem (garantdamente) à solução, então esses ramos são cortados (prunng) antes de serem completamente explorados. Como calcular lmtes para a solução? Caso de mnmzação Lmte nferor: solução da relaxação real do problema. O problema relaxado (menos restrngdo) conduz necessaramente a um valor do mínmo nferor à R0 0 1, mínmo A {0,1} mínmo B Se ambos os mínmos são globas A B Lmte superor: a melhor solução ntera encontrada até ao momento 14

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16 Nodo 1. Resolver relaxação real do problema orgnal obtemos lmte nferor global Ramfcar: 2=0 e 2=1; escolher ramo a explorar Nodo 2. Resolver relaxação real mas com 2=1 obtemos lmte para nodos descendentes (mas abaxo na árvore) Nova ramfcação: 1=0 e 1=1; escolhemos r por 1=1. Nodo 3. Obtemos novo lmte nferor para descendentes. Nodo 4. Aqu obtemos solução ntera lmte superor Nodo 5. Obtemos solução acma do lmte superor podemos cortar ramos abaxo Nodo 6. Obtemos solução ntera melhor do que a do nodo 4. Não vale a pena ramfcar mas. É esta a solução do problema. 16

17 Aplcações. Formulação de uma mstura Problema de formulação de uma mstura: mnmzar o custo de uma formulação almentar, sujeto a um desempenho mínmo. a) Sem lmtação no número de ngredentes b) Lmtando o número de ngredentes a N ngredente, =1, M x fracção mássca do componente V valor nutrtvo (und./kg) C custo (EUR/kg) Avea, trgo, mlho amêndoas, etc Cereas de pequenoalmoço Nível nutrtvo 17

18 Aplcações. Formulação de um mstura Sem lmtação no número de ngredentes Custo = Valor = mn x M = 1 M = 1 x C x V s. t. x V V x C x 0 x = 1 1 = 1,..., M mn Problema LP 18

19 E agora lmtando o número de ngredentes a N Aplcações. Formulação de um mstura Varáves bnáras : = 1, se o componente está presente na formulação = 0, caso contráro mn x s. t. x V V x C x 0 x = 1 = 1,..., M 1 N mn Problema MINLP Será esta uma formulação razoável? 19

20 Aplcações. Formulação de um mstura Devemos evtar termos não-lneares, neste caso do tpo x. Isso é possível se consegurmos modelar a condção lógca: = 0 x = 0 Restrção do tpo bg-m : x M (1), sendo M um lmte superor para x, não atngível (neste caso M=1) Tem-se também a restrção: x 0 (2) Se =0, (1) é x 0, o que, em conjunto com (2), resulta em x=0, tal como desejado. Se =1, tem-se x M, o que funcona como restrção neutra. 20

21 Aplcações. Formulação de um mstura A formulação adequada é então: mn x s. t. x V V x x C x = 1 mn M, neste caso M = 1 0 x 1 N mn x s. t. x V V x C x 0 x = 1 1 N MINLP mn MILP Óptmo global 21

22 Problema do caxero vajante: Conjunto de n cdades a vstar. Qual a sequênca que mnmza a dstânca percorrda, termnando-se na cdade onde se começa. j exste ou não percurso j c j custo assocado (dstânca, combustível gasto) Qual a estrutura da matrz c j? Aplcações. Problema do caxero vajante. mn n n = 1 j= 1 c j j s. t. Para cada j: = 1 (o vajante só chega a j uma vez) Para cada : (o nodo ncal 1 está ncluído na formulação, pelo que o vajante só parte de 1 uma vez e só chega a 1 uma vez. Então, garantdamente o vajante regressa à cdade ncal) n = 1 n = 1 j j = 1 (o vajante só parte de uma vez) 22