2 Lógica Fuzzy Introdução

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1 2 Lógca Fuzzy 2.. Introdução A lógca fuzzy é uma extensão da lógca booleana, ntroduzda pelo Dr. Loft Zadeh da Unversdade da Calfórna / Berkeley no ano 965. Fo desenvolvda para expressar o conceto de verdade parcal, de manera que se possam determnar valores entre o lmte completamente verdadero e completamente falso. Isto sgnfca que um valor lógco dfuso é um valor qualquer no ntervalo de a. A lógca fuzzy torna-se mportante na medda em que o mundo em que vvemos não é consttuído por fatos absolutamente verdaderos ou falsos. Embora as técncas de controle possam ser mplementadas por modelos matemátcos determnístcos, as mplementações baseada na lógca fuzzy freqüentemente têm um melhor desempenho, pelos seguntes pontos [7]: As estratégas de controle fuzzy mtam um comportamento baseado em regras vndas da experênca do especalsta, em vez de um controle explctamente restrto a modelos matemátcos como equações dferencas. Portanto, é robusto em sstemas não-lneares sem requerer um modelo matemátco. O controle fuzzy abrange um grande número de entradas, muto das quas são apenas para condções especas. Portanto, algumas condções excepconas (tas como alarmes) podem ser mplementadas com um menor esforço computaconal e flexível a modfcações. A mplementação de produtos comercas baseados em estratégas de controle fuzzy destnadas ao mercado devem ser de custo mas baxo, freqüentemente mas efcente e faclmente mplementável em mcroprocessadores, em comparação a estratégas de controle

2 24 convenconas. Isto é devdo a uma menor codfcação e tempo computaconal de execução. A lógca fuzzy tem a capacdade de ncorporar a forma humana de pensar em sstemas de controle. Dessa forma, o controlador fuzzy comporta-se conforme o racocíno que o especalsta utlza para nferr as regras, baseadas nas nformações que eles já conhecem. A lógca fuzzy é uma varação da lógca booleana, que só apresenta os valores de e, sem nenhum termo médo. Entretanto, na lógca fuzzy, uma premssa pode assumr valores de pertnênca (grau de verdade) ntermedáros. Assm, é possível descrever grandezas mprecsas como: altura (alto, baxo), quantdade (muto, razoável, pouco), dade (jovem, velho), etc. Em sentdo mas amplo, a lógca fuzzy é quase snônmo da teora de conjuntos fuzzy, uma teora na qual os elementos têm um grau parcal de pertnênca [8] Conjuntos Fuzzy Na teora clássca de conjuntos, o conceto de pertnênca de um elemento a um conjunto é bem defndo, de manera que para um conjunto A em um unverso U, o elemento smplesmente pertence ou não pertence àquele conjunto, como se mostra na segunte função característca [9]: f A Se e somente se ( x) = Se e somente se x A x A (2.) Em um sentdo mas amplo, Zadeh propôs a generalzação da função característca, de modo que ela possa assumr nfntos valores no ntervalo [,] e representado por pares ordenados. A = { µ ( x) / x} x U (2.2) A Onde: µ ( x ) : Representa o grau de pertnênca de x com o conjunto A A A : Conjunto fuzzy. x : A varável de nteresse. U : Unverso de dscurso.

3 25 Além dsso, um elemento pode pertencer a mas de um dferente grau de pertnênca. conjunto fuzzy, com Na Fgura 2. (a) pode-se observar que se um elemento x for movdo em dreção aos lmtes do conjunto A (cor amarela), no ponto de cruzamento ocorrerá repentnamente um degrau no comportamento de sua pertnênca, ncalmente de membro para não membro. Também, o grau de pertnênca nos lmtes é ndetermnado. Por outro lado, a lógca fuzzy pode perceber as varações ocorrdas nos pontos transção de uma cor para outro. Os conjuntos (faxa de cores) são faclmente representáves através de lnguagem fuzzy (Fgura 2. b). As funções de pertnênca fuzzy podem representar a varação gradual nas tonaldades. Por exemplo, o mesmo elemento x possu um grau de pertnênca,8 na função de pertnênca de cor amarela, e grau de pertnênca,2 na função de cor vermelha. Na Fgura 2., o exo X representa o unverso de dscurso do elemento x e o exo Y representa o grau de pertnênca defndo entre e. Fgura 2.. (a) lógca booleana (b) lógca fuzzy. Neste momento, é mportante defnr o conceto de grau de pertnênca. Ele é defndo por um número no ntervalo de [,] que determna quanto uma varável pertence a um determnado conjunto. Na lógca booleana, somente exstem dos graus de pertnênca: % se não pertence e % se pertence ao conjunto. No entanto, na lógca fuzzy exste uma faxa de valores entre % e % %. O grau de pertnênca é descrto pela Equação 2.2 [].

4 Varáves lngüístcas A varável lngüístca é uma varável que possu valores que não são números, mas sm palavras ou frases na lnguagem natural. Elas são os nomes dos conjuntos fuzzy, os quas são representados por meo de funções de pertnênca. Por exemplo, a velocdade de um pstão hdráulco pode ser uma varável lngüístca com valores: baxa, méda e alta, conforme mostrado na Fgura 2.2. baxa méda alta Velocdade Fgura 2.2. Varável lngüístca As varáves lngüístcas têm a função de fornecer uma forma sstemátca para as descrções aproxmadas dos fenômenos complexos ou mal defndas, utlzando um tpo de descrção lngüístca smlar ao empregado pelos seres humanos. Isto permte o tratamento de sstemas muto complexos para serem analsados através de cálculos matemátcos. Generalzando, as varáves lngüístcas podem ser sentenças com um formato de lnguagem padrão ou especfcada pelo usuáro, construídas a partr de termos prmáros (alto, baxo, grande, etc.), de modfcadores (muto, pouco, levemente, etc.), de delmtadores (acma, abaxo, etc.) e conectores lógcos (não, e, e ou). Uma varável lngüístca é formalmente caracterzada pela quíntupla (N, T(N), U, G, M), onde: N : Nome da varável. T(N) : Conjunto de nomes dos valores lngüístcos de N. U : Unverso de dscurso. G : Regra sntátca para gerar os valores de N como uma composção de termos de T(N). M : Regra semântca, para assocar a cada valor gerado por G um conjunto fuzzy em U.

5 Função de Pertnênca. A função de pertnênca (FP) é uma função numérca que atrbu valores de pertnênca fuzzy para valores dscretos de uma varável, em seu unverso de dscurso [8]. Estas funções de pertnênca podem ter dferentes formas, as quas dependem do crtéro utlzado pelo especalsta para representar o contexto em que serão utlzadas. Por exemplo, consdere-se a varável lngüístca dade (de pessoas), consttuídas pelos termos lngüístcos; T(dade) = {jovem, meda, velho} correspondentes aos conjuntos fuzzy A, B e C, e cada uma defndo por uma função de pertnênca. Uma possível representação das funções de pertnênca é mostrada na Fgura 2.3. jovem méda velho A B C anos Fgura 2.3. Funções de pertnênca. Na fgura acma, a dade até 2 anos apresenta um grau de pertnênca gual a no conjunto A, à medda que a dade aumenta o grau de pertnênca neste conjunto decresce; para uma dade de 25 anos é totalmente ncompatível no conjunto A e compatível no conjunto B, e uma dade acma de 4 anos apresenta grau de pertnênca dferente de em C. Observe-se que, na Fgura 2.3, o contexto é mportante na defnção das funções de pertnênca e de sua dstrbução ao longo de seu unverso de dscurso, as quas são determnadas pelas noções que podem ter dferentes pessoas do contexto. Além dsso, a forma (trangular, trapezodal, gaussana, etc.) das funções de pertnênca pode ser defnda baseada na experênca e perspectva do especalsta. Na prátca, as formas escolhdas podem ser alteradas em função dos resultados obtdos.

6 (a) Trangular (b) Trapezodal (c) Gaussana (d) Gbell Fgura 2.4. Funções de pertnênca: (a) Trangular (b) Trapezodal (c) Sgmodal (d) função de Bell. Algumas recomendações prátcas podem ser menconadas como segue [7]. O número de funções de pertnênca por varável deve estar entre 2 e 7; com um maor número de conjuntos, se tem uma maor precsão, mas a demanda computaconal também é maor; e para valores muto maores, não há melhoras sgnfcatvas. Os formatos mas freqüentemente encontrados são os trangulares e trapezodas, pela facldade de serem gerados. Em aplcações onde se requer um desempenho suave de mportânca crítca, podem ser usadas funções tpo sgmódes e splne. Outro fator que afeta a precsão é o grau de superposção das funções de pertnênca; expermentalmente foram determnados como adequados valores na faxa de 25 % até 75% Operações entre Conjuntos Fuzzy As operações que podem ser fetas com conjuntos fuzzy são baseadas na teora clássca de conjuntos. Algumas das operações elementares mas utlzadas são: unão, nterseção, e complemento, as quas são defndas pelas equações (2.3), (2.4) e (2.5) respectvamente e mostradas na Fgura 2.4 [9,, 2].

7 29 Unão : µ ( A B) ( x) = max( µ ( A) ( x), µ ( B) ( x)) (2.3) Interseção : µ ( A B) ( x) = mn( µ ( A) ( x), µ ( B) ( x)) (2.4) Complemento : µ ( x ) = µ ( ) ( A) ( A) x (2.5) µ A,B (x) µ A B (x) (a) (b) µ A B (x) µ A (x) (c) (d) Fgura 2.4. Operações entre conjuntos fuzzy: (a) Conjuntos A e B, (b) Unão, (c) Interseção e (d) Complemento. [2]. Embora a unão e nterseção possam ser descrtas também por meo de outros operadores, Zadeh os representou com os operadores mn e max. Alem dsso, sugeru a soma algébrca para a unão fuzzy e o produto algébrco para a nterseção fuzzy, como se apresenta na Equação (2.6) e (2.7); posterormente, com o objetvo de generalzar, foram defndos operadores baseados no conceto de norma trangular (norma-t) e co-norma trangular (co-norma-t ou norma-s). Soma Algébrca : µ ( A B) ( x) = µ ( A) ( x) + µ ( B) ( x) µ ( A) ( x). µ ( B) ( x) (2.6) Produto Algébrco : µ ( A B) ( x) = µ ( A) ( x). µ ( B) ( x) (2.7)

8 Sstema de Inferênca Fuzzy O sstema fuzzy é um modelo geral que permte a dentfcação dos módulos que compõem tal sstema, fornecendo assm a déa do fluxo de nformação dentro do mesmo. Bascamente ele é compostos por 3 etapas, como é mostrado na Fgura 2.5, onde estão defndas as funções de cada uma das etapas. Entrada Para atvar as regras Regras Fornecda por especalstas Fornece a saída precsa Saída Fuzzfcador Inferênca Defuzzfcador Conjunto nebuloso de entrada Mapea Conjuntos Fuzzy Conjunto nebuloso de saída Fgura 2.5. Sstema de Inferênca Fuzzy. Na fgura acma, consdera-se a entrada não fuzzy, e ela é resultado de medções na maora das aplcações prátcas. Portanto, é necessáro efetuar-se a conversão destas entradas em uma representação conhecda como conjuntos fuzzy, o que se denomna fuzzfcação. Além dsso, nesta etapa ocorrem as atvações das regras para as dferentes stuações. Na segunda etapa, estabelece-se a base de regras, como a relação das varáves de entrada e saída, as quas são obtdas pelo conhecmento e pela experênca do especalsta da aplcação. Uma vez obtdo o conjunto fuzzy de saída resultante do processo de nferênca, é necessáro efetuar a nterpretação dessa nformação, pos nas aplcações prátcas são requerdas saídas precsas, o que é realzado na etapa de defuzzfcação [9] Fuzzfcação A fuzzfcação é a conversão das entradas exatas (número reas) para o domíno fuzzy. O fuzzfcador atrbu valores lngüístcos (graus de pertnênca) empregando funções de pertnênca às varáves de entrada. Isto se consdera como uma etapa de pré-processamento dos snas de entrada, reduzndo o numero

9 3 de valores a ser processado o que sgnfca um menor esforço computaconal Regras e Inferênca Fuzzy Regra fuzzy são mplcações lógcas que relaconam os conjuntos fuzzy de entrada com os de saída. Geralmente são fornecdas por um especalsta, em forma de sentenças lngüístcas, consttundo um aspecto fundamental no desempenho de um sstema de nferênca fuzzy, como mostrado abaxo. Se x è A e y é B, então z é C. Onde, A e B são os conjuntos fuzzy de entrada, relatvos à parte conhecda como antecedentes ou premssas, enquanto C é o conjunto fuzzy de saída, relatvo à parte conhecda como conseqüente ou conclusão [8]. Estas regras podem ser defndas prevamente ou alternatvamente geradas automatcamente a partr de uma base de dados. Na etapa de nferênca, ocorrem as operações dos conjuntos propramente dtas, como a combnação dos antecedentes das regras do tpo SE ENTÃO, gerando o conjunto de saída fuzzy. Na Fgura 2.6, apresenta-se o processo de nferênca fuzzy. Entrada Fuzzy Operação - mplcação 25 % 25 % SE servço é Rum OU Comda é Rum ENTÃO Pago é Pobre 25 % 25 % SE servço é Bom ENTÃO Pago é Meda 25 % 25 % SE servço é excelente OU Comda é Boa ENTÃO Pago é Generoso Servço = 3 Entrada Comda = 8 Entrada 2 Sada Fuzzy 25 % Fgura 2.6. Regra e nferênca fuzzy [8].

10 32 Na fgura acma, mostra-se como ocorrem às operações na etapa de nferênca; a entrada exata é transformada em entradas fuzzy, e com esses valores calculam-se as operações - mplcação e fnalmente obtém-se a saída fuzzy Defuzzfcação. No processo de defuzzfcação, é efetuada a nterpretação do conjunto fuzzy de saída nferda pelas regras, com o objetvo de obter um valor numérco. Isto se faz necessáro porque em aplcações prátcas são requerdas saídas precsas com algum sgnfcado físco. Por exemplo, no controle de uma planta utlzando um controlador fuzzy, este deve fornecer à planta snas precsos, já que apresentar um conjunto fuzzy na entrada da planta não tera sgnfcado algum. Na prátca, o método de defuzzfcação mas popular é o centro de Área (Co-A), o qual retorna o centro da área debaxo a curva, como se mostra na Fgura 2.7. Outros métodos utlzados são: Centro do Máxmo (C-o-M), Méda do Máxmo (M-o-M) e o Maor do Máxmos [3]. Defuzzfcação 25 Saláro = 5% Resultado da Defuzzfcação Fgura 2.7. Processo de Defuzzfcação Tpos de Sstema Fuzzy Na lteratura exstem város modelos de sstemas fuzzy, nos quas geralmente os antecedentes das regras estão formados por conjuntos fuzzy (proposções lngüístcas), e a dferença entre os modelos se dá no conseqüente das regras. Algum dos modelos mas conhecdos são o modelo de Mandan e o modelo de Tagak-Sugeno.

11 Modelo de Mandan O modelo de Mandan utlza conjuntos fuzzy nos conseqüentes das regras fuzzy. Neste modelo, a saída da etapa de nferênca é representada por um conjunto fuzzy, que é o resultado da agregação das saídas nferda por cada uma das regras, a qual na segunte etapa gera uma saída exata utlzando um dos métodos de defuzzfcação já menconados. A característca básca do modelo tpo Mandan é o fato que tanto os antecedentes como os conseqüentes são mapeados com conjuntos fuzzy. Por exemplo, uma regra típca num modelo Mandan é da segunte forma: SE Erro é Grande E a Dervada de Erro é Pequena Então Torque é Alto. No caso em que cada um das regras de nferênca tenha mas de uma varável de entrada, é necessáro aplcar uma técnca de agregação dos conjuntos antecedentes, que neste caso geralmente é dada pelas t-normas (mn e produto). Além dsso, nas aplcações prátcas têm-se N regras na etapa de nferênca, das quas são gerados N conjuntos conseqüentes, um por cada regra. Para obter o conjunto fnal de saída da etapa de nferênca, é feta a composção dos N conjuntos conseqüentes utlzando a s-norma (max) [7- ] Modelo de Takag-Sugeno No modelo de Takag-Sugeno (TS), o conseqüente de cada regra é representado em função das varáves de entrada; e a saída fnal de todas as regras é determnada pela méda ponderada das saídas geradas por cada um das regras. Nesse caso, os coefcentes de ponderação são defndos pelos graus de atvação das respectvas regras. A fuzzfcação das entradas com a aplcação dos operadores fuzzy (operação dos antecedentes) é feta de gual forma que no modelo Mandan, com a dferença que a saída é uma função lnear ou constante. Uma regra típca de um modelo Sugeno é da segunte forma: SE Erro = x e a Dervada de Erro = y então Torque é τ = a. x + b. y + c.

12 34 onde τ é o valor de saída de cada um das regras. Além dsso, a partr do produto da operação do antecedente de cada regra, obtém-se um peso ω, o qual determna o fator de nfluênca de cada regra no resultado fnal. Por exemplo, na regra mostrada acma, com o tpo de operador AND, com Erro = x e Dervada de Erro = y, o fator de nfluênca é: ω = AND( f ( x), g( y)) (2.8) onde f e g são as funções de pertnênca para as entradas Erro e Dervada de Erro. A saída fnal é determnada pela equação: out = n j= n j= w. τ w (2.9) 2.5. Vantagens e Desvantagens dos Sstemas Fuzzy As prncpas vantagens e desvantagens dos sstemas fuzzy, apresentadas em aplcações prátcas, são as seguntes []: Vantagens dos Sstemas Fuzzy A capacdade de controlar sstemas com mutas varáves de saída utlzando um só controlador fuzzy, com um bom desempenho. A facldade de utlzar expressões utlzadas na lnguagem natural na elaboração das proposções lngüístcas. A habldade de controlar processos com característca não-lnear e de alta ordem, na qual a determnação do modelo matemátco e o controle clássco do sstema são muto complexos. A facldade de mplementar técncas de controle baseadas na experênca de um especalsta e em aspectos ntutvos, utlzando proposções lngüístcas (regras) e entradas mprecsas.

13 Desvantagens dos Sstemas Fuzzy Algumas das lmtações que apresentam os sstemas fuzzy são as seguntes: A dfculdade de análse de aspectos de optmaldade, establdade e robustez. A nfluênca da grande quantdade de parâmetros na confguração geralmente feta pelo usuáro, algumas das quas são: número de funções de pertnênca de cada varável, número de regras, seleção dos métodos de mplcação e agregação, método de defuzzfcação, assm como os parâmetros de cada função de pertnênca. Geralmente a precsão do sstema fuzzy é lmtada pela experênca do especalsta na confguração dos parâmetros, a qual é determnada pelo conhecmento do processo pelo especalsta. No capítulo segunte apresentam-se os fundamentos teórcos das redes neuras artfcas, o modelo de sua célula básca, sua arqutetura e os algortmos de aprendzagem.

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