Um Modelo De Programação Linear Inteira Mista Para A Localização De Armazéns E A Distribuição De Produtos Siderúrgicos

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN Um Modelo De Programação Lnear Intera Msta Para A Localzação De Armazéns E A Dstrbução De Produtos Sderúrgcos Carlos Roberto Venânco de Carvalho carlos@dep.ufmg.br Clauda Rochael Olvera rochaelclauda@hotmal.com Rcardo Sarava Camargo rcamargo@task.com Departamento de Engenhara de Produção EE UFMG CP. 209 CEP Belo Horzonte - MG Resumo Este trabalho apresenta um modelo de programação lnear ntera msta para representar um problema estratégco de localzação de armazéns e a dstrbução de produtos de uma grande sderúrgca braslera. Custos fxos e varáves da rede logístca consderada foram modelados. Uma solução ótma é encontrada. Resultados numércos mostram a performance do modelo para a resolução de város problemas de dferentes dmensões. Abstract The present work addresses a real strategc transportaton-locaton problem of a brazlan steel maker where the locaton of warehouses affects the cost of supplayng commodtes to clents through transportaton costs and the fxed costs of operatng the warehouses. A mxed-nteger lnear programs proposed consderng real fxed constructon costs, shppng costs and stock holdng costs. Computatonal experence usng real and random generated nstances s found to be encouragng. Palavras chave: Problema de Localzação, Otmzação em redes, Modelagem matemátca. 1. Introdução A necessdade de se garantr um bom nível de servço logístco ao clente vem se tornando vtal no mundo empresaral devdo a potencal vantagem compettva que ele oferece. Exstem dversas possbldades para se garantr esse bom nível de servço logístco e segundo Ballou (1993), entre as mas valorzadas pelos clentes estão: (1) tempo de entrega hábl; (2) cumprmento de prazos; (3) dsponbldade de mercadoras e (4) nformações sobre peddos. Nesse sentdo, a atenção se volta para a nstalação e localzação de armazéns na rede de dstrbução físca. A localzação de armazéns é um problema comum e dos mas mportantes para os profssonas de logístca. Sua mportânca decorre dos altos nvestmentos envolvdos e dos profundos mpactos que as decsões de localzação têm sobre os custos. De forma geral, os estudos de localzação tratam do problema de mnmzar os custos de uma rede de dstrbução, estando essa sujeta a restrções de capacdade das nstalações, tendo que atender a determnada demanda e devendo satsfazer a certos lmtes de nível de servço. O objetvo deste artgo é apresentar uma formulação matemátca para um problema de localzação de armazéns, baseada na necessdade real de uma grande empresa sderúrgca. Além dsso, oferecer uma solução otmzada para o problema dentro das premssas adotadas.

2 2. Caracterzação do problema Um problema de localzação se caracterza pela alocação espacal de recursos (CHIU & BRANDEAU, 1989). Bascamente, num contexto geral de localzação, um ou mas centros de facldades abastecem um conjunto de pontos de demandas espacalmente dstrbuído. Utlzando defnções da teora dos grafos (MINOUX, 1995) e (BOAVENTURA NETTO, 1997), a topologa desse espaço é modelada como uma rede generalzada ou uma rede especalzada (por exemplo, estrutura em árvore). O problema é localzar, nessa rede, os centros de facldades e/ou defnr qual centro va atender cada ponto de demanda de manera que algum objetvo seja atngdo. Alguns exemplos prátcos são lstados abaxo, lustrando a grande varedade de aplcações desses tpos de problemas. São eles: 1. Planejamento em redes: uma cdade deseja construr uma rede de tratamento de água. Água não tratada se orgna de város pontos dferentes da cdade. O problema então consste em localzar uma estação central de tratamento de água de tal manera que a extensão total dos tubos necessáros para conduzr a água não tratada até à estação de tratamento seja mínma. 2. Localzação de facldades compettvas: uma empresa quer ntroduzr uma nova loja em uma área que já é servda por outras lojas concorrentes. Os clentes na área têm demonstrado um certo nível de demanda por produto ou servço, mas esta demanda podera aumentar se uma nova loja fosse aberta no mercado. O objetvo da empresa é então localzar uma nova loja de manera que maxmze o lucro ou a porção do mercado. Apesar da grande dversdade de aplcação, Chu e Brandeau (1989) observam que o modelo de representação de qualquer problema de localzação deve consstr em: 1. Objetvo: Quando o objetvo for de otmzação, ele pode ser defndo como, por exemplo: (a) Mnmzar o tempo e/ou custo médo de vagem; (b) Mnmzar o tempo médo de resposta (tempo de vagem + tempo na fla de espera); (c) Mnmzar o tempo e/ou o custo máxmo de vagem; (d) Maxmzar o tempo e/ou o custo mínmo de vagem; (e) Mnmzar os custos de servços. 2. Varáves de decsão: As varáves de decsão podem estar ndcando: (a) Localzação das facldades; (b) Capacdade das facldades; (c) Número de centros de facldades; (d) Rotas e/ou fluxos de mercadoras para os pontos de demanda. 3. Parâmetros do sstema: Os parâmetros do sstema são os dados de entrada para o modelo e são obtdos através de banco de dados hstórcos e nformações da empresa em estudo. Genercamente, esses parâmetros podem ser: (a) Estrutura topológca: árvore, rede generalzada ou grafo bpartdo; (b) Custo ou tempo de vagem: determnístco ou probablístco; (c) Dstânca de vagem: retangular, eucldana ou rodovára; (d) Demanda: contínua ou dscreta, determnístca ou probablístca, dnâmca ou estátca; (e) Número de centros de facldade; (f) Número de produtos; (g) Localzação dos centros de facldade: localzações fntas (Problema dscreto), localzações nfntas (Problema contínuo), custo fxo nulo ou não; (h) Capacdade dos centros de facldade: capactado ou não capactado. 2248

3 3. Defnção do problema Uma empresa do ramo sderúrgco produz város tpos de produtos em dversas fábrcas geografcamente dstantes. Os produtos são dstrbuídos em todo terrtóro braslero através de transporte rodováro. Para garantr um nível de qualdade no atendmento em relação ao tempo de entrega de seus produtos, a empresa decdu construr alguns armazéns de estocagem em cdades estratégcas defndas conforme a mportânca e a demanda de cada regão do país. Portanto, já exstem ncalmente potencas locas para nstalação de um armazém. A Fgura 1 esquematza a dstrbução de produtos da empresa. Fgura 1 Esquema de dstrbução de produtos. O problema de localzação e dstrbução consste em defnr quas pontos potencas de armazenagem serão realmente abertos, quas armazéns exstentes contnuarão na rede e quas serão os fluxos de mercadoras das fábrcas aos armazéns e desses aos clentes. Exste também a possbldade de entregas dretas das fábrcas aos clentes. Além dsso, esta confguração deve ser a de menor custo possível respetando as capacdades das nstalações e as exgêncas mínmas de nível de servço. 4. Modelo matemátco As prncpas característcas do problema de localzação de armazéns e dstrbução de produtos sderúrgcos são lstadas a segur: 1. Fábrcas: pontos onde uma fábrca está nstalada e suas prncpas característcas são: (a) não exste transporte de produtos entre as fábrcas; (b) uma fábrca pode fraconar peddos e atender dretamente pontos de demanda; (c) as fábrcas abastecem os armazéns; (d) uma fábrca pode produzr város produtos; (e) exste capacdade de produção por produto; (f) exste capacdade total de produção; (g) exste capacdade de expedção. 2. Armazéns Exstentes: pontos onde um armazém já está nstalado e suas prncpas característcas são: (a) não exste transporte de produtos entre os armazéns exstentes; (b) eles não estarão necessaramente confgurados na solução fnal; (c) podem armazenar todos dos produtos; (d) possuem capacdade de expedção. 3. Armazéns Potencas: pontos onde um armazém pode ser nstalado e suas prncpas característcas são: (a) podem armazenar todos dos produtos; (b) possuem capacdade de expedção; (c) o número de centros a serem nstalados não é prevamente defndo e sm determnado pelo própro modelo de programação lnear. 2249

4 4. Pontos de Consumo: pontos onde os clentes estão localzados e suas prncpas característcas são: (a) podem receber produtos a partr de mas de um centro de dstrbução; (b) para economa de escala pode-se posterormente ntroduzr a restrção de que um ponto de demanda é atenddo por somente um armazém; (c) não exste restrção de consumo nos pontos, ou seja, pode exstr demanda de todos os produtos; (d) o nível de servço aos pontos de demanda consdera apenas o tempo de transporte e não o completo cclo do peddo; (e) o atendmento da demanda não é obrgatóro. Seja a segunte notação: Índces: : índce dos Armazéns ( 1 = Exstentes e 2 = Potencas); j: índce dos Pontos de Consumo; k: índce das Fábrcas; l: índce dos Produtos. Constantes: Relatvo às Fábrcas: S k : capacdade total de produção da fábrca k; S lk : capacdade de Produção do Produto l na Fábrca k; c jkl : custo de atender dretamente o Ponto de Consumo j com o Produto l através da Fábrca k. Este custo é calculado pela soma dos custos: c jkl = c 1 kl + c 2 jk + c 4 kj onde: c 1 kl : custo de produção do Produto l na Fábrca k; c 2 jk : custo de transporte da Fábrca k ao Ponto de Consumo j; c 4 kj : penaldade por atraso no atendmento da Fábrca k ao Ponto de Consumo j. Este custo só exste se houver atraso, ou seja, se o tempo total de transporte entre a Fábrca k e o Ponto de Consumo j for maor que o nível de servço (tempo máxmo de atendmento) desejado para o Ponto de Consumo j. Este custo pode ser calculado como: c 4 kj = max (0, t kj T j ) x p j ; onde, T j : é o nível de servço desejado para o Ponto de Consumo j; t kj = d kj /20: é o tempo de transporte entre a Fábrca k e o Ponto de Consumo j, que é gual a dstânca entre a Fábrca k e o Ponto de Consumo j dvddo pela velocdade méda de transporte; p j : penaldade por atraso. Relatvo aos Pontos de Consumo: D : demanda do Produto l no Ponto de Consumo j; a : penaldade por não atendmento do Ponto de Consumo j com Produto l. Relatvo aos Armazéns Exstentes e Potencas: f : custo fxo do Armazém, calculado de manera dferente para os Armazéns Exstentes e Armazéns Potencas, como mostrado ao defnr a função objetvo; c jkl : custo do Produto l produzdo pela Fábrca k, passando pelo Armazém Potencal localzado em e satsfazendo a demanda do Ponto de Consumo j. Este custo é calculado pela soma dos custos: c jkl = c 1 kl + c 2 jk + c 3 j + c 4 j onde: c 1 kl : custo de produção do Produto l na Fábrca k; c 2 k : custo de transporte da Fábrca k ao Armazém Exstente ou Potencal ; c 3 j : custo de transporte do Armazém ao Ponto de Consumo j; c 4 j : penaldade por atraso no atendmento do Ponto de Consumo j através do Armazém. Este custo só exste se houver atraso. Observa-se que o tempo total de transporte aqu é entre o Armazém e o Ponto de Consumo j. Este custo só va exstr se o tempo de 2250

5 transporte entre o Armazém e o Ponto de Consumo j for maor que o nível de servço (tempo máxmo de atendmento) desejado para o Ponto de Consumo j. Este custo pode ser calculado: c 4 j = max(0, t j - T j ) x p j. Onde, T j : é o nível de servço desejado para o Ponto de Consumo j (horas); t j = d j /20: é o tempo de transporte entre do Armazém e o Ponto de Consumo j, que é gual à dstânca entre o Armazém e o Ponto de Consumo j dvddo pela velocdade de transporte; p j : penaldade por atraso. Varáves de decsão x jkl : quantdade do Produto l é transportado dretamente da Fábrca k ao Ponto de Consumo j; x jkl : quantdade do Produto l transportado da Fábrca k, através do Armazém para Ponto de Consumo j; w : quantdade não atendda do Produto l ao Ponto de Consumo j; z = 1, se o local é utlzado por um Armazém e z = 0, caso contráro O modelo proposto de programação lnear ntera msta para o problema de localzação de armazéns e dstrbução de produtos sderúrgcos é o segunte: Mn jkl x jkl + cjkl xjkl + a w + f z + jkl c f (1.1) jkl 1 '' 1 Sujeto a x jkl + xjkl + w D j, l (1.2) k k x jkl + xjkl S k k (1.3) x jkl xjkl Slk k, l (1.4) j + j xjkl Qz (1.5) jkl x jkl 0 j, k, l (1.6) x 0, j, k, l (1.7) jkl w 0 j, l (1.8) { 0,1} z (1.9) As relações acma representam: (1.1) - Função Objetvo de mnmzação de custos. A função custos é composta pelas parcelas: (a) jkl jkl jkl c x : custo total de produção e transporte do Produto l a partr da Fábrca k para atender dretamente o Ponto de Consumo j; (b) jkl c jkl xjkl : custo total de produção e transporte do Produto l a partr da Fábrca k para atender o Ponto de Consumo j passando pelo Armazém ; (c) a w : penaldade por não atendmento do Ponto de Consumo j com Produto l; (d) f z : é o custo fxo total do Armazém nstalado em e é subdvddo em: para um Armazém Exstente: ' '' ' '' f = f 1 f 1. Onde, f 2 1 : custo fxo de operação do Armazém Exstente em ; f 2 : custo fxo de fechamento do Armazém Exstente. Este custo é negatvo porque o custo de fechamento do Armazém já fo adconado à função objetvo pela sua últma parcela '' f ). Caso o Armazém Exstente contnue operando, o custo fxo de fechamento não é (

6 pago. Para um Armazém Potencal: Armazém Potencal em ; '' 2 f = f + f. Onde, ' '' f : custo fxo de operação do f : custo fxo de nstalação do Armazém Potencal em ; (e) f '' : o custo fxo de fechamento do Armazém Exstente em é subtraído à função 1 objetvo pela sua parcela anteror, esta parcela soma este custo à função objetvo caso o Armazém Exstente em dexe de operar; (1.2): a demanda do Ponto de Consumo j pelo Produto l deve ser atendda; (1.3): a capacdade total de produção da Fábrca k não deve ser ultrapassada; (1.4): a Fábrca k não deve produzr mas que a sua capacdade de produção do Produto l; (1.5): se o Armazém atende o Ponto de Consumo j com uma quantdade qualquer de um Produto, produzdo por qualquer Fábrca, então o armazém deve exstr (z = 1); (1.6, 1.7 e 1.8): domíno para as varáves contínuas; (1.9): defnção das varáves bnáras. O modelo proposto gera o segunte número de varáves: (1) varáves x jkl = (número de Armazéns Potencas + número de Armazéns Exstentes) número de Pontos de Consumo número de Produtos número de Fábrcas; (2) varáves z = número de Armazéns Potencas + número de Armazéns Exstentes; (3) varáves x jkl = número de Pontos de Consumo número de Fábrcas número de Produtos; (4) varáves w = número de Pontos de Consumo número de Produtos. Para o problema em estudo, no qual, exstem ses Fábrcas, três Armazéns Exstentes, dez Armazéns Potencas, doze Pontos de Consumo e dezenove produtos, foram geradas varáves. ' 2 5. Dscussões a respeto do modelo proposto No modelo proposto as varáves y j assocadas ao atendmento do Ponto de Consumo j pelo Armazém localzado em, utlzadas por Geoffron e Graves (1974), não foram necessáras, pos consderamos que um Ponto de Consumo pode ser atenddo por város armazéns e não mas por um únco armazém como consderam os autores. Como Geoffron e Graves (1974) relatam, apesar da economa de escala que pode ser gerada pela consderação de um Ponto de Consumo ser atenddo por um únco Armazém, esta stuação pode ser elmnada, pos, os custos envolvdos nesta especfcação, mutas vezes não são relevantes comparados às dmensões dos outros custos, como é o caso do problema modelado. Observa-se anda que os autores fundamentam a necessdade da utlzação destas varáves para a cração das restrções que acoplam as varáves contínuas do modelo às varáves bnáras, restrções estas necessáras para a utlzação do Método de Decomposção de Benders utlzado pelos autores. No modelo proposto, tal técnca também pode ser aplcada, pos outro tpo de restrção de acoplamento de varáves foram cradas (restrções (1.5)). Foram cradas varáves de transporte subscrtas com três índces x jkl que representam as entregas dretamente das Fábrcas aos Pontos de Consumo. Percebe-se que as Fábrcas podem realzar entregas fraconadas ndependente do valor da demanda. Essas varáves permtem que as entregas dretas para todos os clentes sejam analsadas e não se faz necessáro crar um armazém fctíco 0 e nem pré fxar os atendmentos dretos para um subconjunto de clentes específcos como proposto por Geoffron e Graves (1974). A cração de maor número de varáves contínuas não dfculta o modelo como a cração de um maor número de varáves nteras (WAGNER, 1986). As entregas através de armazéns são representadas por varáves de transporte subscrtas com quatro índces x jkl como sugerdas por Geoffron e Graves (1974), assm não se perde a nformação da fábrca de orgem. Pode-se fazer antecpadamente x jkl = 0 e x jkl = 0 para as rotas explctamente nváves, podendo 2252

7 tornar o tempo computaconal menor. O modelo permte um controle do nível de servço ao clente. Este nível de servço não é um tempo médo de entrega por produto como sugerdo em Geoffron e Graves (1974), e sm tempo máxmo de atendmento para cada clente para qualquer produto, sendo mas rígdo no que dz respeto ao tempo de atendmento ao clente, já que o foco da empresa é aumentar o nível de servço logístco. Caso o clente não seja atenddo no nível de servço desejado, ncde uma penaldade por atraso no atendmento. Pode-se determnar uma penaldade dferente para cada clente, permtndo assm herarquzação de clentes. Podem ser probdos atrasos na rede fazendo-se a penaldade muto grande, neste caso, o modelo abre armazéns enquanto clentes anda não estão sendo atenddos com o nível de servço desejado. Podemos probr o fechamento de um armazém exstente fazendo o custo de fechamento muto alto. Exste a possbldade de não atendmento, neste caso, exste a possbldade de se prorzar o atendmento de alguns clentes específcos, fazendo a penaldade por não atendmento bem mas alta para estes clentes do que para o restante. 5. Resultados computaconas O modelo proposto para localzação de armazéns, fo codfcado usando a lnguagem C++ padrão (STROUSTRUP, 2000), onde bblotecas específcas do sstema computaconal GLPK, versão (MAKHORIN, 2002), foram ncluídas para a resolução do programa lnear nterro msto. Fo utlzado o sstema operaconal Lnux, versão Mandrake 9.1. O complador utlzado fo o GCC-C++, versão Observamos aqu que a opção -g do complador (opção para gerar códgos que permtem a utlzação de programas para detecção de erros) fo atvada, tal opção reduz a velocdade de execução do códgo, aumentando assm os tempos computaconas. O códgo fo executado em um computador com o processador PENTIUM III, 1,2 Ggaherts e 256 Megabytes de memóra RAM. Como sugerem Daskn e Melkote (2001), para analsarmos os tempos computaconas, alguns parâmetros devem ser varados e dferentes exemplos, varando o número de nós na rede, devem ser construídos. Consderamos N, o conjunto de todos os nós da rede, ou seja, o conjunto formado por todas as Fábrcas, Armazéns (Exstentes ou Potencas) e Pontos de Consumo. Foram crados dos exemplos, um com N = 22 e outro com N = 31, que se dferencam somente pelo número de Armazéns Potencas. Estes dos exemplos foram nsprados no problema real da empresa sderúrgca em estudo. Consderamos anda o fator u que multplca os custos varáves que ncdem na rede. Os testes computaconas foram realzados para u = 1,5; u = 2 e u = 10. Sendo que: T j é o tempo máxmo de atendmento, Q é a capacdade dos armazéns e f, os custos fxos. Varações de T j, Q e f foram fetas tas como mostras pela Tabela 1. Parâmetros Número Valores nos níves de níves N 2 22; 31 T j 3 0,5T j ; T j ; 2T j u 3 1,5; 2; 10 Q 2 Q 1 =0,3Q ; Q 2 =Q f 2 f 1 = f ; f 2 = 1,7f Fonte: (Adaptado de Daskn, 2001) Tabela 1 Planejamento expermental O planejamento expermental resultou na geração de 108 problemas dstntos. Nos prmeros 72 problemas testados, os Armazéns Potencas possuem capacdade nfnta (problemas não capactados) e nos outros 36 problemas seguntes, a capacdade de atendmento dos Armazéns Potencas é lmtada a uma capacdade físca realsta 2253

8 (problemas capactados), como por exemplo, gual à capacdade do maor Armazém Exstente. Os tempos computaconas obtdos ao resolver os problemas não capactados com o valor de f 1 = f são mostrados pela Tabela 2. Para f 1 = f N u 0,5T j T j 2T j Q : Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 Q ,5 1,90 1,94 1,96 2,52 1,91 2,06 2 1,87 1,93 1,99 1,99 1,99 2, ,80 1,85 1,83 1,97 1,76 2, ,5 7,38 7,43 8,82 10,47 7,20 7,28 2 7,65 7,55 11,18 12,09 7,07 7, ,52 7,55 8,83 10,14 8,11 8,29 Fonte: (Adaptado de Daskn, 2001) Tabela 2 Tempo computaconal (s) para f 1 = f Podemos vsualzar na tabela acma que os tempos computaconas pratcamente não vararam com mudanças nos parâmetros u, Q e T j. Porém, com a varação de N, podemos perceber um sgnfcatvo aumento no tempo computaconal. Os tempos computaconas para execução dos problemas com N = 31 são sensvelmente superores aos tempos computaconas para execução dos problemas com N = 22, conforme sugerdo pela lteratura (CHRISTOFIDES & BEASLEY, 1982), (CHRISTOFIDES & BEASLEY, 1983) e (BEASLEY, 1985). Consderando anda os problemas não capactados, a Tabela 3 mostra os tempos computaconas para os dferentes problemas quando f 2 = 1,7f. Para f 2 = 1,7f N u 0,5T j T j 2T j Q Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 : 22 1,5 1,86 1,82 1,80 2,56 2,02 2,16 2 1,79 1,90 1,87 2,53 1,91 2, ,79 1,92 2,02 2,37 1,85 2, ,5 6,79 7,43 8,23 8,48 7,06 7,16 2 6,75 7,35 7,90 9,34 7,25 7, ,24 7,46 9,70 11,61 7,05 7,11 Fonte: (Adaptado de Daskn, 2001) Tabela 3 Tempo computaconal (s) para f 2 = 1,7f (em segundos) Como pode ser observado na Tabela 3, para estes problemas, o comportamento do sstema computaconal relatvo ao tempo computaconal fo pratcamente o mesmo daquele para os problemas com custos fxos menores (f 1 = f ). A Tabela 4 mostra os tempos computaconas para os problemas capactados, consderando a capacdade dos Armazéns Potencas gual à capacdade do maor Armazém Exstente e f 2 = 1,7f. 2254

9 Para f 2 = 1,7f (problema capactado) N u 0,5T j T j 2T j Q : Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 Q ,5 2,15 2,10 2,25 2,19 2,04 3,25 2 2,15 1,95 2,14 2,64 2,03 2, ,01 2,09 2,06 2,70 2,23 2, ,5 43,91 95,84 65,45 132,22 15,88 28, ,39 101,55 55,33 239,61 19,04 31, ,22 120,97 150,26 447,05 23,70 35,78 Fonte: (Adaptado de Daskn, 2001) Tabela 4 Tempo computaconal (s) para o problema capactado com f 2 = 1,7f Podemos perceber, com a análse da Tabela 4, que para problemas com N = 22 os tempos computaconas não tveram mudanças sgnfcatvas quando Armazéns Potencas foram capactados e que também se manteve um comportamento semelhante aos das tabelas anterores, sto é, os tempos computaconas não tveram mudanças sgnfcatvas com os dferentes parâmetros. Já para os problemas com N = 31, podemos perceber grandes aumentos nos tempos computaconas quando os Armazéns Potencas são capactados. Percebemos anda uma tendênca de maores tempos computaconas quando valores dos parâmetros u e Q aumentam. Porém, quando dobramos os valores do parâmetro T j este comportamento não se aplca. De acordo com Wagner (1986), quando trabalhamos no unverso ntero abandonamos a suposção de dvsbldade, sto é, redução ou expansão das varáves proporconal às mudanças nos parâmetros, comum ao unverso contínuo. Assm as tabelas abaxo não possuem a pretensão de serem conclusvas, mas sm, relatarem os resultados obtdos com o unverso reduzdo dos problemas propostos. Ao resolver os problemas capactados para f 1 = f utlzando o modelo e o códgo proposto, obtveram-se os custos de transporte mostrados pela Tabela 5. Para f = f 1 (problema capactado) N u 0,5T j T j 2T j Q : Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 Q ,5 12,5 12,6 12,4 12,5 12,2 12,2 2 16,6 16,8 16,6 16,6 16,2 16, ,3 84,1 82,9 83,5 81,1 81,1 31 1,5 11,8 11,8 11,7 11,7 11,9 11,9 2 15,7 15,7 15,6 15,6 15,8 15, ,2 78,2 77,9 77,9 79,1 79,1 Fonte: (Adaptado de Daskn, 2001) Tabela 5 Custo total de transporte ( x 10 6 ) Podemos perceber pela Tabela 5, que os custos de transporte aumentaram quase que proporconalmente ao aumento do parâmetro u. Estes custos não tveram mudanças sgnfcatvas com a varação da capacdade dos Armazéns (Exstentes ou Potencas) provavelmente devdo ao nível de demanda consderado nos problemas propostos, pos as tabelas não contemplam a varação dos parâmetros de demanda, sto é, fo consderado um mesmo nível de demanda para todos os problemas, que pode estar relatvamente baxo em relação às capacdades consderadas dos Armazéns (Exstentes ou Potencas). Os custos de transporte em geral, tveram a tendênca de serem maores para aqueles níves de servço 2255

10 mas altos. Aqu vale a pena chamar a atenção para que níves de servço mas altos mplcam em menores tempos máxmos de atendmento, sto é, um maor nível de servço é oferecdo pela stuação 0,5T j do que pela stuação 2T j. Percebemos também que, com um maor número de Armazéns Potencas, o custo de transporte dmnuu. Porém, não podemos afrmar, somente com os resultados mostrados pela Tabela 5, que um maor número de armazéns fo aberto para os problemas onde N = 31 do que para os problemas onde N = 22. A Tabela 6 apresenta os custos globas obtdos pelo modelo proposto na resolução dos problemas capactados e com f 1 = f. N Para f 1 = f (problema capactado) u 0,5T j T j 2T j Q : Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 Q ,5 286,7 216,3 52,9 51,8 49,5 49, ,8 233,5 69,9 68,7 65,8 65, ,0 507,9 343,6 339,7 326,2 326,2 31 1,5 53,1 51,8 50,4 50,3 47,9 47,9 2 68,2 68,2 66,7 66,7 63,7 63, ,9 328,9 325,9 325,9 317,4 317,4 Fonte: (Adaptado de Daskn, 2001) Tabela 6 Custo global ( x 10 6 ) Na Tabela 6, os custos globas foram muto elevados quando o nível de servço fo gual a 0.5T j e N = 22, se comparados aos demas problemas. Isto ocorreu devdo às penaldades por atraso. Para estes problemas não exstem locas de armazenagem sufcentes para um atendmento com o nível de servço especfcado, podendo então ocorrer atrasos e altas penaldades mpostas. Já para os problemas com N = 31, por possuírem maor número de Armazéns Potencas, exste maor possbldade de atendmento sem atraso, assm as dmensões dos custos nestes problemas foram reduzdas e sem grandes varações. Percebemos que quanto maor o nível de servço mposto, maores são os custos globas, provavelmente porque nessas condções exste a necessdade de um maor número de armazéns nstalados. Os custos globas para u =10 estão extremamente altos, se comparados aos demas custos globas, sto devdo ao grande aumento mposto aos custos varáves. 6. Conclusões Neste artgo nós propomos um modelo de programação lnear ntera msta para planejamento de dstrbução de produtos sderúrgcos. O modelo fo mplementado computaconalmente utlzando bblotecas específcas do sstema computaconal GLPK, versão Foram desenvolvdos 108 problemas expermentas que mostram um tempo computaconal compatível com o tempo de tomada de decsão estratégca. O tempo computaconal (maor tempo computaconal observado fo de 447,05 segundos) se mostrou compatível para o tamanho do problema da empresa sderúrgca consderada, não se pode afrmar anda que serão compatíves para redes muto maores, pos, os tempos computaconas deste tpo de problema (NP-hard) crescem exponencalmente com o número de nós da rede. Ao analsar os dversos problemas expermentas crados, observou-se que: (1) Os tempos computaconas aumentam sensvelmente com o número de nós na rede; (2) Não observamos sgnfcatvas mudanças nos tempos computaconas quando varamos somente parâmetros de nível de servço, de custos fxos e varáves para os problemas consderados 2256

11 aqu como não capactados; (3) Para problemas consderados aqu como capactados, observou-se que: (a) aqueles que envolvem um menor número de nós (no caso, 22 nós) não tveram mudanças sgnfcatvas nos tempos computaconas com a varação dos parâmetros de nível de servço, de custos fxos e varáves; (b) aqueles que envolvem um maor número de nós (no caso, 31 nós) apresentaram sensíves mudanças nos tempos computaconas quando os parâmetros de nível de servço, de custos fxos e varáves vararam; (4) Os problemas consderados capactados apresentaram tempos computaconas sgnfcatvamente maores que os problemas consderados não capactados; (5) Os custos de transporte dmnuíram quando um maor número de Armazéns Potencas é consderado; (6) Os custos de transporte aumentaram quando níves de servço maores foram mpostos; (7) Os custos globas dmnuíram quando um maor número de Armazéns Potencas é consderado; (8) Os custos globas aumentaram quando níves de servço maores foram mpostos. Referêncas BALOOU, R. (1993) Logístca Empresaral. Edtora Atlas. BEASLEY, J. E. (1985) A note on solvng large p-medan problems. European Journal of Operatonal Research Vol. 21, p BOAVENTURA NETTO, P. O. (1997) Grafos: teora, modelos e algortmos. Edgard Blucher. CHIU, S. S. & BRANDEAU, M. L. (1989) An over vew of representatve problems n locaton research. Management Scence Vol. 35, p CHRISTOFIDES, N. & BEASLEY, J. E. (1982) A tree search algorthm for the p- medan problem. European Journal of Operatonal Research Vol. 10, p CHRISTOFIDES, N. & BEASLEY, J. E. (1983) Extensons to a lagrangean relaxaton approach for the capactated warehouse locaton problem. European gorthm for q6a95 TD0.000L 2257