2 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS

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1 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 22 2 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS Como vsto no capítulo 1, a energa frme de uma usna hdrelétrca corresponde à máxma demanda que pode ser suprda contnuamente (sem raconamento) na ocorrênca das vazões regstradas no hstórco. Uma das formas de se obter a Energa Frme de uma usna hdrelétrca é utlzar um procedmento teratvo do tpo tentatva e erro. Um procedmento típco sera: (a) defna uma demanda frme ncal EF; (b) smule a operação do sstema para atender a esta demanda EF; se ocorreu algum raconamento durante a smulação, reduza EF e volte ao passo (b); se não ocorreu nenhum raconamento, aumente EF e volte ao passo (b). Este procedmento deve ser aplcado até que um crtéro de convergênca seja atenddo. Neste capítulo será mostrado que a energa frme pode ser calculada dretamente através de um modelo de otmzação lnear. Por motvos ddátcos, será apresentado ncalmente o modelo para apenas uma usna e em seguda será apresentada a extensão para múltplas usnas Formulação como um problema de otmzação uma únca usna Por smplcdade de apresentação, no modelo apresentado a segur, e no restante deste trabalho, será usada uma formulação lnear para a modelagem do sstema hdrelétrco, a qual em partcular consdera constante o coefcente de produção da usna hdrelétrca 6. Outra não-lneardade desconsderada no modelo, dscutda em [1][24], é a 6 O coefcente de produção de uma usna é dretamente proporconal à altura líquda de queda, que corresponde à dferença entre a cota do reservatóro (que depende do volume armazenado) e o nível do

2 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 23 representação das perdas de volume dos reservatóros por evaporação 7. Mostra-se em [36],[82] que estas não-lneardades podem ser representadas por um conjunto de nequações lneares obtdas através de envoltóras convexas ( convex hull )[81] Equação de balanço hídrco Esta equação representa a evolução do armazenamento ao longo do período de estudo: o volume fnal a cada estágo é obtdo somando-se ao volume ncal a afluênca durante o estágo (afluênca natural do ro) e subtrando-se os volumes turbnado e vertdo: v t+1 - v t + u t + w t = a t (2.2) para t = 1,..., T onde: t T ndexa os estágos (por exemplo, mês) duração do estudo (número de meses do regstro hstórco) v t armazenamento do reservatóro no níco do mês t (m 3 ) v t+1 armazenamento ao fnal do mês t = níco do mês t+1 (m 3 ) u t volume turbnado ao longo do mês (m 3 ) w t volume vertdo (m 3 ) a t afluênca ncremental ao longo do mês (m 3 ) canal de fuga (que depende do volume defluente). As perdas hdráulcas são abatdas dretamente desta altura A formulação não-lnear do problema é apresentada em [1],[24]. 7 A evaporação é proporconal ao produto do coefcente mensal de evaporação pela área do espelho d água do reservatóro, que por sua vez depende do armazenamento.

3 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS Lmtes de armazenamento e turbnamento Estas restrções são auto-explcatvas e estabelecem o volume máxmo armazenado no reservatóro e máxmo volume turbnado ao longo de cada mês: onde: v t v para t = 1,..., T (2.3) u t u para t = 1,..., T (2.4) v volume útl do reservatóro (m 3 ) u máxmo volume turbnado ao longo do mês (m 3 ) Geração hdrelétrca A produção de energa da usna (MWh) é proporconal ao produto do volume turbnado (m 3 ) e do coefcente de produção médo (MWh/m 3 ). E t = ρ u t para t = 1,..., T (2.5) onde: ρ fator de produção médo da usna (MWh/m 3 ) Energa frme Como a energa frme deve ser produzda contnuamente, o conjunto de restrções a segur essencalmente estabelece que o frme corresponde à menor energa produzda ao longo do período:

4 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 25 onde: F ρ u t para t = 1,..., T (2.6) F varável escalar que representa a energa frme da usna (MWh) Função objetvo Como vsto em (2.6), F é a menor energa produzda ao longo do período. Portanto, o objetvo é maxmzar F Formulação completa O problema de otmzação é formulado como: Max F sujeto a v t+1 - v t + u t + w t = a t (2.7a) v t v (2.7b) u t u (2.7c) F - ρ u t 0 (2.7d) para t = 1,..., T O armazenamento ncal no reservatóro, v 0, é arbtrado para ter 100% da capacdade máxma da usna, ou seja, v. 8 Por smplcdade de notação, estamos supondo que todos os estágos têm gual duração. Na prátca são utlzados estágos mensas e é feto um ajuste de MWh para MW médo.

5 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS Formulação como um problema de otmzação múltplas usnas A Energa Frme total de um conjunto de usnas hdrelétrcas, analogamente ao caso de uma usna, corresponde à máxma demanda que elas podem atender contnuamente, numa operação ntegrada, supondo a ocorrênca do regstro hstórco de vazões e sem ocorrênca de défcts. A Energa Frme de um sstema composto de múltplas usnas hdrelétrcas também pode ser obtda através de um modelo de programação lnear, análogo ao modelo para uma usna vsto no na seção 2.1. A produção de energa total do sstema, também neste caso, está sujeta a restrções operatvas de cada usna que compõe o sstema (balanço hídrco, lmtes de armazenamento e turbnamento, etc.) Equação de balanço hídrco Para o caso de um sstema com múltplas usnas, a equação de balanço hídrco é um pouco dferente, já que neste caso adcona-se à afluênca ncremental de cada usna as defluêncas das usnas a montante dela. O volume fnal a cada estágo é obtdo somando-se ao volume ncal a afluênca durante o estágo (afluênca ncremental mas defluênca das usnas a montante) e subtrando-se os volumes turbnado e vertdo: [ ut, m + wt, m ] + ut, + wt, at, v + (2.8) t 1, vt, + = m M para t = 1,..., T; = 1,..., I onde: t T ndexa os estágos (por exemplo, mês) duração do estudo (número de meses do regstro hstórco) ndexa as usnas (I - número de usnas) v t, armazenamento do reservatóro no níco do mês t (m 3 )

6 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 27 v t+1, armazenamento ao fnal do mês t = níco do mês t+1 (m 3 ) m M conjunto de usnas medatamente a montante da usna u t, volume turbnado ao longo do mês (m 3 ) w t, volume vertdo (m 3 ) a t, afluênca ncremental ao longo do mês (m 3 ) Lmtes de armazenamento e turbnamento Smlarmente ao caso uma usna somente, estas restrções são auto-explcatvas: v v t, para t = 1,..., T; = 1,...,I (2.9) u u t, para t = 1,..., T; = 1,...,I (2.10) onde: v armazenamento máxmo (m 3 ) u máxmo volume turbnado ao longo do mês (m 3 ) Geração hdrelétrca A produção de energa total do sstema é gual à soma das produções ndvduas de todas as usnas: E = ρ u, para t = 1,..., T (2.11) t t onde: ρ fator de produção médo da usna (MWh/m 3 )

7 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS Energa frme Como a energa frme deve ser produzda contnuamente, o conjunto de restrções a segur essencalmente estabelece que o frme corresponde à menor energa produzda ao longo do período: F ρ, para t = 1,..., T (2.12) u t onde: F varável escalar que representa a energa frme do conjunto de usnas (MWh) Função objetvo Como vsto em (2.12), F é a menor energa produzda ao longo do período. Portanto, o objetvo é maxmzar F Formulação Completa O problema de otmzação é formulado como: 9 Novamente, por smplcdade de notação, estamos supondo que todos os estágos têm gual duração e na prátca são utlzados estágos mensas e é feto um ajuste de MWh para MW médo.

8 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 29 Max F sujeto a [ ut, m + wt, m ] + ut, + wt, at, v + (2.13a) t 1, vt, + = m M v, v (2.13b) t u, u (2.13c) t F ρ u t, 0 (2.13d) para t = 1,..., T; para = 1,..., N Os armazenamentos ncas dos reservatóros v 0 s de cada usna são arbtrados para terem 100% das capacdades máxmas. O modelo de cálculo da energa frme (2.13) é um problema de otmzação lnear e pode ser resolvdo por pacotes computaconas comercas como o CPLEX [68] ou XPRESS- MP [69] Aplcações do modelo para cálculo de energa frme. Esta seção mostra a aplcação do modelo de cálculo de energa frme (2.13), prmero para um caso com uma únca usna, e em seguda consderando 4 usnas em cascata.

9 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS Exemplo com 1 usna A Tabela 2.1 abaxo as característcas físcas da usna do prmero exemplo: Fator de Volume útl do Turbnamento Potênca Produtbldade (ρ) reservatóro ( v ) máxmo (u ) Nomnal (MW/ m 3 /s) (hm 3 ) (m 3 /s) (MW) Usna 1 0, ,0 Tabela Característcas físcas da usna do prmero exemplo As vazões naturas utlzadas foram obtdas do hstórco de vazões de uma usna do sstema braslero com característcas semelhantes. O modelo (2.13) fo mplementado e testado para a usna com o pacote computaconal Xpress-MP. O valor da Energa Frme encontrado fo 513,7 MW médos. Isto sgnfca que a usna consegue atender, sem que haja défct, a uma demanda constante de no máxmo 513,7 MW médos, caso ocorra novamente a seqüênca hstórca de vazões smulada. Os resultados são apresentados no gráfco da Fgura 2.1, que mostra a evolução das varáves: () volume armazenado, () vertmento, () turbnamento, (v) vazão ncremental, expressos em hm 3, e (v) energa produzda, expressa em MW médos. Para que se possa ver com mas detalhes o período crítco (que será ntroduzdo na seção 2.4), o horzonte de tempo apresentado é bem menor que o smulado, que começa em 1931 e se estende até As undades nesta tabela, dferentes das apresentadas no modelo (2.13), são as mas usualmente utlzadas.

10 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS PERÍODO CRÍTICO Volume Útl (hm3) Vertmento (hm3) Turbnamento (hm3) Vazao Incr (Hm3) Energa Produzda (MW médos) Hm jan/48 jul/ MW médos jan/49 jul/49 jan/50 jul/50 jan/51 jul/51 jan/52 jul/52 jan/53 jul/53 jan/54 jul/54 jan/55 jul/55 jan/56 jul/56 jan/57 jul/57 jan/58 jul/58 jan/59 jul/59 Fgura Resultados do cálculo da energa frme para 1 usna jan/60 jul/60 jan/61 jul/61 jan/62 jul/62 Observa-se ncalmente que a energa produzda, expressa em MW médos, é constante, pos se está atendendo contnuamente a uma demanda gual à energa frme do sstema. As pequenas varações no turbnamento se devem ao fato de que os meses smulados têm número de das dferentes, e, portanto, mesmo turbnando a uma taxa constante, apresentam volumes totas turbnados em cada mês, em hm 3, dferentes Exemplo com 4 usnas Neste segundo exemplo fo utlzado um sstema hdrelétrco composto por quatro usnas localzadas em cascata. As característcas físcas das usnas estão descrtas na Tabela 2.2 e a topologa é mostrada na Fgura 2.3. As vazões naturas utlzadas foram obtdas dos dados do hstórco de vazões de 4 postos do sstema braslero. Para defnr as característcas das usnas (volume máxmo, turbnamento máxmo e fator de produção

11 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 32 médo) também foram adotados valores típcos de hdrelétrcas exstentes no sstema braslero. A Fgura 2.2 mostra a legenda das fguras usadas para representar cada tpo de usnas (fo d água, com reservatóro e somente com reservatóro): Legenda dos Tpos de Usnas Hdrelétrcas Fgura 2.2 Legenda das fguras usadas para representar usnas hdrelétrcas Fgura 2.3 Topologa dosstema-exemplo

12 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 33 Fator de Produtbldade (ρ) Volume útl do reservatóro ( v ) Turbnamento máxmo (u ) Potênca Nomnal (MW/ m 3 /s) (hm 3 ) (m 3 /s) (MW) Usna 1 0, ,0 Usna 2 0, ,5 Usna 3 0, ,0 Usna 4 1, ,0 Tabela Característcas físcas das 4 usnas segundo exemplo O valor da Energa Frme encontrado fo 799,3 MW médos, que é, portanto, a máxma demanda que estas quatro usnas conseguem atender numa operação ntegrada, sem que haja défct, caso ocorra novamente a seqüênca hstórca de vazões smulada. Os resultados são apresentados no gráfco da Fgura 2.4, que mostra a evolução da soma das varáves das quatro usnas: () volume armazenado, () vertmento, () turbnamento, (v) vazão ncremental, expressas em hm 3 e (v) energa produzda, expressa em MW médos. Novamente, para que se possa ver com mas detalhes o período crítco (que será ntroduzdo em seguda na seção 2.4), o horzonte de tempo apresentado é bem menor que o horzonte smulado (1931 até 2001).

13 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS PERÍODO CRÍTICO Volume (hm3) Vertmento (hm3) Turbnamento (hm3) Vazao Incr (hm3) Energa Gerada (MW médos) jan/50 ma/50 set/50 jan/51 ma/51 set/51 jan/52 ma/52 set/52 jan/53 ma/53 set/53 jan/54 ma/54 set/54 jan/55 ma/55 set/55 jan/56 ma/56 set/56 jan/57 ma/57 set/57 jan/58 Hm3 ma/58 set/58 jan/59 ma/59 set/59 jan/60 ma/60 set/ MW médos Fgura 2.4 Resultados do cálculo da energa frme para 4 usnas Apesar de a produção de energa ser constante, o volume turbnado apresenta uma certa varação, devdo aos dferentes coefcentes de produção das usnas que geram em dferentes proporções em cada etapa. Já o volume afluente é bastante varável, e é a varação no armazenamento do reservatóro que transforma esta sére varável de entrada numa saída constante. Em partcular, observa-se na Fgura 2.4 que o reservatóro fo enchendo para poder compensar as afluêncas mas reduzdas ao longo do período crítco Período Crítco Assocado ao cálculo do frme surge um mportante conceto que será usado em um dos métodos de alocação estudado nesta dssertação, que é o método de alocação pela geração méda no Período Crítco.

14 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 35 Quando o modelo de otmzação (2.7) para cálculo da energa frme é aplcado e a solução ótma é obtda, os valores da varável volume útl do problema apresentam um comportamento típco: sempre haverá um ntervalo de tempo em que a usna começa com seu reservatóro completamente cheo e termna com ele completamente vazo, sem haver reenchmentos parcas. Este ntervalo é conhecdo como período crítco e está destacado na Fgura 2.1 e na Fgura 2.4. O período crítco se caracterza por ter as pores afluêncas do hstórco de vazões, ou seja, é o período em que ocorre a por seca, daí o adjetvo crítco. Ele é mportante porque representa o ponto de estrangulamento da capacdade contínua de produção do sstema. Fora do período crítco, anda sera possível atender a um ncremento da demanda, sem problemas. Entretanto, dentro do período crítco, o atendmento a este mesmo ncremento levara a um raconamento Interpretação das Varáves Duas: modelo para uma usna As varáves duas (ou multplcadores de Lagrange) assocadas às restrções do modelo do frme servem para nterpretar e defnr explctamente mportantes aspectos relaconados ao problema da energa frme. A defnção do período crítco pode ser feta de manera explícta (depos de encontrada a solução ótma) através dos valores das varáves duas assocadas às restrções de atendmento ao frme (2.7d). Ele pode ser defndo como o ntervalo de tempo onde estas restrções estão atvas, sto é, têm varáves duas dferentes de zero. Para todo o resto do horzonte estas restrções estarão relaxadas, e suas varáves duas terão valores nulos. A razão é que aumentar nfntesmalmente o recurso (lado dreto) da restrção (2.7d) numa etapa fora do período crítco não gerara benefco (ou melhora) à função objetvo. Neste caso estas restrções apenas fcaram um pouco mas relaxadas e o valor ótmo do problema não se alterara. Já aumentar o recurso desta restrção numa etapa que está dentro do período crítco gerara um aumento do frme total, pos nesta etapa menos água precsara ser turbnada para atender à restrção do frme (que neste caso

15 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 36 sera menor pelo aumento do recurso no lado dreto). Com sso, mas água podera passar a ser turbnada nas etapas do período crítco, o que gerara um aumento da energa frme total da usna. Esta também é a explcação para não haver nenhum vertmento durante o período crítco, ou seja, nenhuma quantdade de água é desperdçada. Outra característca das varáves duas assocadas à restrção (2.7d) é que possuem o mesmo valor durante todo o período crítco 11, o que sgnfca que um aumento nfntesmal no lado dreto da restrção (2.7d) gerara aumentos guas na energa frme total da usna. Vsto em termos econômcos, o custo margnal de curto prazo, que reflete justamente o custo de atender a 1 MWh adconal de demanda, é gual a zero fora do período crítco; e gual ao custo do raconamento dentro do período crítco. Este conceto é a base das extensões metodológcas dscutdas nos capítulos seguntes. Outra característca do modelo dz respeto ao comportamento do reservatóro da usna durante o período crítco. Na últma etapa do período crítco o reservatóro sempre se esvaza completamente. A razão é que o modelo rá tentar aumentar o valor da varável F (que representa a capacdade de geração constante e é a própra função objetvo), até que ela atnja seu valor máxmo. Se no fnal do período crítco o reservatóro não se esvaza completamente, sgnfca que esta água que anda sobrou podera ter sdo usada para aumentar anda mas o valor de F. Por esses motvos, quando a solução ótma for obtda, sempre haverá um período crítco e o reservatóro da usna ao fnal dele sempre estará vazo. 12 O mesmo racocíno feto para as restrções de atendmento ao frme (2.7d) vale para as restrções de balanço hídrco (2.7a), ou seja, um aumento nfntesmal na quantdade de água ( recurso, ou lado dreto da restrção de balanço hídrco) que chega a montante da usna em uma etapa fora do período crítco não ra alterar o valor da energa que ela sera capaz de gerar contnuamente durante todo o horzonte. A razão é que caso esta quantdade a mas de água chegasse em uma etapa anteror ao período 11 Neste caso se supõe que todas as etapas smuladas são do mesmo tamanho. 12 Em teora, poderam exstr, para uma mesma energa frme, dos períodos crítcos dferentes. Este caso sera equvalente ao de uma solução degenerada em programação lnear, em que um dos períodos sera arbtraramente o crítco (básco). Este caso, por ser consderado estatstcamente mpossível de ocorrer, não afeta os desenvolvmentos deste trabalho.

16 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 37 crítco, ela certamente ra ser vertda antes de seu níco, quando o reservatóro se enche por completo. Já se essa quantdade chegasse depos do período crítco, ela também não ra ser capaz de mpedr o completo esvazamento do reservatóro ao fnal do período crítco. Outra característca mportante dz respeto à varável dual assocada à restrção de volume máxmo. Quando a solução ótma do problema é obtda ela terá valor maor que zero apenas na prmera etapa do período crítco, quando o reservatóro está completamente cheo. Apenas nesta etapa um aumento da capacdade do reservatóro gerara um aumento no valor da função objetvo, já que uma quantdade maor de água podera ser armazenada e utlzada durante o período crítco para aumentar a capacdade de geração constante da usna Interpretação das Varáves Duas: modelo para múltplas usnas Todas as análses das varáves duas fetas até então estão relaconadas ao modelo para uma usna (2.7). As mesmas característcas observadas neste modelo se estendem para o caso de múltplas usnas (2.13), salvo algumas observações. No níco do período crítco, por exemplo, não é garantdo que todas as usnas atngrão os níves máxmos de armazenamento ao mesmo tempo, e por sso a varável dual assocada à restrção de volume máxmo de alguma delas pode ter valor gual a zero nesta etapa. Durante o período crítco o nverso também pode ocorrer, ou seja, alguma usna pode soladamente encher completamente o reservatóro e por sso apresentar a varável dual assocada à restrção de volume máxmo maor que zero. Isto serve também para explcar a exstênca de pequenos vertmentos solados durante o período crítco. Ao fnal do período crítco os reservatóros de todas as usnas, analogamente ao caso de uma usna, se esvazam completamente e ao mesmo tempo. Há dos casos em que uma usna verte durante o período crítco. O prmero é quando ela é um reservatóro puro, sem capacdade de turbnamento, só lhe restando verter ou armazenar água. O segundo sera o de a usna possur soladamente vazões mas

17 ENERGIA FIRME DE SISTEMAS HIDRELÉTRICOS 38 favoráves durante o período crítco, o que faz com que encha por completo o reservatóro, mesmo turbnando o máxmo de água possível. Neste caso, a vazão excedente, que não pode ser nem armazenada, nem turbnada, é vertda. Nunca ocorrerá, porém, durante o período crítco, vertmento em uma usna que não esteja turbnando o máxmo de sua capacdade. Esta energa desperdçada por esta usna, podera ser gerada e fazer com que outra armazenasse mas água, aumentando a energa frme do sstema. Analsando as varáves duas assocadas às restrções de turbnamento máxmo constata-se que elas também poderão ter valores maores que zero somente durante o período crítco. Isto ocorre por motvos análogos aos apresentados anterormente, ou seja, um aumento nfntesmal na capacdade de turbnamento de qualquer usna numa etapa fora do período crítco não gerara um aumento da energa frme total do sstema. Tal fato ocorre geralmente com usnas cujas vazões afluentes durante o período crítco são mas favoráves, o que faz com que elas pudessem turbnar uma quantdade de água maor que suas capacdades máxmas de turbnamento.